2021届高三,,解三角形大题狂练,,答案解析

时间：2020-10-29 15:17:07 来源：蒲公英阅读网 本文已影响人

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　解三角形 类型一：求面积、周长的最值 1.（2020 届山东模拟）平面四边形 ABCD 中，边 BC 上有一点 E ，ADC  120  ，AD  3 ，sin ECD 32 ， DE  3 ，CE 43 3。

　（1）求 AE 的长； （2）已知ABC  60 求 ABE 面积的最大值．

　解(1)在 CED  中由正弦定理可得CDE CDECEECDDE sin43 3323,sin sin即 , ,21sin  CDE 因为 DE CE  ,所以 CDE  是锐角，故    30 CDE ，    90 ADE , 在直角三角形 ADE 中， 3 2 , 12 3 3 22 2 2      AE DE AD AE . （2）在 ABE  中，     60 , 3 2 ABC AE ,由余弦定理可得：

　BE AB BE AB BE AB BE AB AE         2 2 2 2 212 , 60 cos 2

　因为 12 , 2 12 , 22 2           BE AB BE AB BE AB BE AB BE AB 

　从而， 3 34360 sin21      BE AB BE AB S

　 2.（2020 届济宁）已知 ABC 内接于单位圆，且   1 1 2 tanA tanB    ，   1 求角 C   2 求 ABC 面积的最大值． 解：

　     1 1 1 2 tanA tanB   

　1 tanA tanB tanA tanB      ，   11tanA tanBtanC tan A BtanAtanB       ，  3C 0,4C   

　  2 ABC 的外接圆为单位圆，

　 其半径1 R 

　由正弦定理可得 2 2 c RsinC   ， 由余弦定理可得2 2 22 c a b abcosC    ， 代入数据可得2 22 2 a b ab     2 2 2 2 ab ab ab    ，当且仅当 a=b 时，“=”成立 22 2ab  ， ABC  的面积1 1 2 2 12 2 2 2 2S absinC   ， B A C  面积的最大值为：2 12

　3.（2020 届济南）在平面四边形 ABCD 中，已知 AB＝2 ，AD＝3，∠ADB＝2∠ABD，∠BCD＝ ． （1）求 BD； （2）求△ BCD 周长的最大值．

　解：（1）在△ ABD 中，由正弦定理得：

　＝ ＝2cos∠ABD， ∴cos∠ABD＝ ， ∴cos∠ABD＝ ＝ ＝ ， 即：BD 2 ﹣8BD+15＝0， 解得：BD＝3 或 5； （2）在△ BCD 中，∠BCD＝ ，由余弦定理得：cos∠BCD＝ ＝ ， ∴BC 2 +CD 2 ﹣BD 2 ＝BC×CD， ∴（BC+CD）

　2 ＝BD 2 +3BC×CD，

　由基本不等式得：

　， ∴（BC+CD）

　2 ≤ ， ∴ ， ∴（BC+CD）

　2 ≤4BD 2 ， 当 BD＝3 时，BC+CD≤6，即 3＜BC+CD≤6，所以 6＜BC+CD+BD≤9， 当 BD＝5 时，BC+CD≤10，即 3＜BC+CD≤10，所以 6＜BC+CD+BD≤13 所以△ BCD 周长的最大值为：9 或 13．

　 4. （2020 届济南）在 ABC  中，角 , , A B C 的对边分别为 , , a b c ，已知 4 a  ，tan tantan tanA B c bA B c ． （1）求 A 的余弦值； （2）求 ABC  面积的最大值． 解：（1）由tan tantan tanA B c bA B c ，得(tan tan ) 2tantan tanA B B c bA B c  ，即2tan1 1tan tanB bA B c  ， ∴2tantan tanB bA B c，又由正弦定理sinsinb Bc C ，可得2tan sintan tan sinB BA B C， 即2sin sin sinsin sincos cos cosB A BC BB A B      ，由 sin 0 B  ， 整理得：

　2sin cos sin cos cos sin sin( ) sin C A A B A B A B C       ， 由 sin 0 C  ，得1cos2A ． （2）由（1）知3A ，则由余弦定理可得2 2 2 2 22 cos 2 a b c bc A b c bc bc bc bc         … ， 当且仅当 b c  时等号成立，即216 bc a  „ ．

　所以1 1 3sin 16 4 32 2 2ABCS bc A    „ ．

　 5. （2020 届江门）在 ABC  中，角 , , A B C 的对应边分别为 , , a b c ． （1）若 , , a b c 成等比数列，12cos13B  ，求cos cossin sinA CA C 的值； （2）若角, , A B C 成等差数列，且 =2 b，求ABC 周长的最大值 解：（1）在△ ABC 中，∵cosB=1213 B (0, )   ∴sinB=513 ∵a、b、c 成等比数列，∴b 2 ＝ac， ∴由正弦定理得 sin 2 B＝sinAsinC， ∴cos cosCsin sinAA C =2sin(A C)sin B=2sinsinBB=1 13sin 5 B

　（2）∵b＝2，A、B、C 成等差数列， ∴2B＝A+C＝180°﹣B，∴B＝60°，则 sinB=32， ∴由正弦定理，得4 3sin sin sin 3a b cA B C  

　∴4 3sin3a A  ，4 3sin3c C 

　∵A+C＝120°，即 C＝120°－A， ∴△ABC 周长为 L＝a+b+c=4 3(sinA sin ) 23C   =4cos（A﹣60°）+2． ∵0＜A＜120°，∴﹣60°＜A﹣60°＜60°， ∴ 21cos（A﹣60°）≤1，∴4＜4cos（A﹣60°）+2≤6， ∴当 A＝B＝C＝60°时，△ ABC 周长 L 取得最大值为 6

　6.（2020 届山东模拟）.已知 ABC  的内角, , A B C 的对应边分别为 , , a b c ， 在①  3cos cos cos sin C a B b A c C  

　② sin sin2A Ba c A

　③  22sin sin sin sin sin B A C B A   

　这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，当_______时，求 sin sin A B  的最大值. 解：若选①，则由正弦定理   3cos sin cos sin cos sin sin C A B B A C C   ，   3cos sin sin sin C A B C C   ， 3 tanC  ，3C

　若选②，则由正弦定理知：

　sin sin sin sin2CA C A  ， cos sin 2sin cos2 2 2C C CC   ，1sin2 2C ，3C

　若选③，则有正弦定理知  22b a c bc    ， 2 2 2b a c bc     ，由余弦定理知：1cos2C  ，3C ， 23A B  ，2sin sin sin sin3A B A A        3 1sin cos sin2 2A A A        23 1 3 1sin cos sin sin2 1 cos22 2 4 4A A A A A      1 1sin 22 6 4A       20,3A    ，72 ,6 6 6A         ，所以当3A 时， sin sin A B  的最大值是34.

　7.（2020 届江西调研）设 ABC 的内角 A，B，C 的对边长 a，b，c 成等比数列，  2cos 2sin 12A C B       ，延长 BC 至 D 使 3 BD . （1）求 B Ð 的大小； （2）求CD AC 的取值范围. 解：（1）依题可得：

　 1cos cos2A C B    ，    1cos cos2A C A C      ， 1cos cos4A C   ① 又因为长 a，b，c 成等比数列，所以2b ac  ，由正弦定理得：2sin sin sin B A C  ② ①  ②得：21sin cos cos sin sin4B A C A C    ，

　化简得：24cos 4cos 3 0 B B    ，解得：1cos2B  ，又 0 B    ，所以3B ， （2）①  ②得：

　  cos 1 A C   ，即 0 A C  ，即 A C  ，即三角形 ABC 为正三角形， 设 ABC 的边长为 x，由已知可得 0 3 x   ， 则      1cos 3 cos 33 2AC CD AC CD ACD x x x x        uuur uuur uuur uuur 21 9 9 93 0,2 4 4 8x x             （当且仅当32x  时取等号）. CD AC 的取值范围90,8  .

　 8.（2020 届合肥）已知函数 ． （1）求函数 f（x）在[0，π]上的单调递减区间； （2）在锐角△ ABC 的内角 A，B，C 所对边为 a，b，c，已知 f（A）＝﹣1，a＝2，求△ ABC的面积的最大值． 解：（1）利用三角公式化简变形由已知得 ． ∴ ，∴ （k∈Z）

　∴函数 f（x）在[0，π]的单调递减区间为 和 ． （2）∵△ABC 为锐角三角形，∴ ， 又 ，即 ． ∵a 2 ＝b 2 +c 2 ﹣2bcosA＝b 2 +c 2 ﹣bc≥2bc﹣bc＝bc，又 a＝2，∴bc≤4， ∴ ．当且仅当 b＝c＝2 时，△ ABC 的面积取得最大值 ．

　9. （2020 届惠州）在 ABC  中，已知内角 , , A B C 所对的边分别为 , , a b c ，向量 ( 3, 2sin ) m B   ， 向量 (cos ,cos2 ) n B B  ，且 / / m n ，角 B 为锐角。

　（1）求角 B 的大小； （2）若 2 b  ，求 ABC  面积的最大值。

　解：（1）由 / / m n 得 3cos2 = 2sin cos B B B  ， 即 sin23cos2 B B   所以 tan2 3 B  

　B 为锐角， 2 (0, ) B    ， 223B  ， 即3B

　（2）

　, 23B b  ，  由余弦定理2 2 2cos2a c bBac  ， 得2 24 0 a c ac    

　又2 22 a c ac   代入上式得 4 ac ， 当且仅当 2 a c   时取等号成立.

　1 1 3 3sin 32 2 2 4ABCS ac B ac ac      ， 故 ABC  的面积最大值为 3 .

　10.（2020 届惠州）已知 ABC 的内角 A、B、C 满足sin sin sin sinsin sin sin sinA B C BC A B C  ． （1）求角 A； （2）若 ABC 的外接圆半径为 1，求 ABC 的面积 S 的最大值． 解：（1）由正弦定理可得a b c bc a b c  ，化简得2 2 2b c a bc    ， 由余弦定理2 2 2cos2b c aAbc  得1cos2 2bcAbc  ， 又因为 0 A    ，所以3A ． （2）解法一：由正弦定理得 2 2 sin 2sin 3sin 3aR a R AA     ，

　由余弦定理得2 23 2 b c bc bc bc bc       ， 即 3 bc ，（当且仅当 b c  时取等号）

　故1 1 3 3 3sin 32 2 2 4S bc A      （当且仅当 b c  时取等号）． 即 ABC 面积 S 的最大值为3 34 解法二：由正弦定理：

　2 2sin sinb cRB C   ， 2sin b B   ， 2sin c C 

　1 1sin (2sin ) (2sin ) sin 3sin sin2 2 3S bc A B C B C      ， A B C     ，1 3sin sin( ) sin sin cos3 2 2B A C C C C           23 3 3 3sin cos sin sin2 (1 cos2 )2 2 4 4S C C C C C      

　3 3 1 3 3 3sin2 cos2 sin 22 2 2 4 2 6 4C C C               203C  ，∴当 26 2C   ，即3C 时， 即 ABC 面积 S 的最大值为3 34

　 类型二：求面积 1. （2020 届济南）

　ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且满足 cos cos 2 c A a C a   ． （1）求ab的值； （2）若 1 a  ， 7 c  ，求 ABC 的面积． 解：（1）由正弦定理， cos cos 2 c A a C a   可化为 sin cos cos sin 2sin C A C A A   ，也就是 sin() 2sin A C A  ． 由 ABC 中 A B C     可得 sin() sin( ) sin A C B B     ． 即 sin 2sin B A  ．由正弦定理可得 2 b a  ，故12ab ． （2）由 1 a  可知 2 b  ．而 7 c  ，由余弦定理可知2 2 21cos2 2a b cCab    ．

　又 0 C    ，于是23C ． 1 1 2 3sin 1 2 sin2 2 3 2ABCS ab C      ．

　2.（2020 届济南）已知函数 ( ) 2cos sin6f x x x     . （1）求 ( ) f x 的最小正周期； （2）在 ABC △ 中，角 , , A B C 所对的边分别为 , , a b c ，若 ( ) 1 f C  ， sin 2sin B A  ，且 ABC △ 的面积 解：（1）

　 3 1 12cos sin cos sin 22 2 6 2f x x x x x           ，   f x 的最小正周期为 T  

　（2）

　 1sin 2 16 2f x C       ∴1sin 26 2C      1326 6 6C     ，∴526 6C   ，3C ∵ sin 2sin B A  ，∴ 2 b a 

　又 ABC △ 的面积为 2 3 ，∴1sin 2 32 3ab

　∴ 8 ab ， 2 a  ， 4 b  由余弦定理得 2 3 c 

　3. （2020 届济南）已知 a，b，c 分别为△ ABC 内角 A，B，C 的对边，a=2．设 F 为线段 AC上一点，CF= 2 BF．有 下列条件：①c=2；②b= 2 3 ；③2 2 23 a b ab c    ． 请从这三个条件中任选两个，求∠CBF 的大小和△ ABF 的面积． 解：选①②，则 2, 2 3 a c b    . 由余弦定理可得2 2 21cos2 2a c bABCac    

　又  20,3ABC ABC     ，所以

　所以6A C 

　在 BCF  中，由正弦定理 2sin sinCF BFCF BFCBF C ，及

　可得2sin2CBF   ， 又23 4CBF CBA CBF       ，所以 ， 所以512ABF AFB    ，所以 2 AF AB  

　所以12 2sin 12 6ABFS   

　选②③，因为2 2 22, 2 3, 3 a b a b ab c      ，所以 2 c . 由余弦定理可得2 2 23cos2 2a b cCab   

　又   0, C   ，所以6C

　所以2,6 3A C ABC A C        

　在 BCF  中，由正弦定理 2sin sinCF BFCF BFCBF C ，及

　可得2sin2CBF   ， 又23CBF CBA    ，所以4CBF  ， 所以512ABF AFB    ，所以 2 AF AB  

　所以12 2sin 12 6ABFS   

　选①③，由余弦定理可得2 2 23cos2 2a b cCab  

　  0,6C C   ，所以 ， 因为 ,6a c A C   所以 ， 所以23ABC A C     

　在 BCF  中，由正弦定理 2sin sinCF BFCF BFCBF C ，及 ， 可得2sin2CBF   ，

　又23 4CBF CBA CBF      ，所以 ， 所以5212ABF AFB AF AB     ，所以

　所以12 2sin 12 6ABFS   

　4.（2020 届深圳）在 ABC 中，内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知cos 2cos 2cosA C c aB b  . （1）求ca的值； （2）若1cos4B  ， 2 b  ，求 ABC 面积 S. 解：(1)由正弦定理, cos 2cos 2sin sincos sinA C C AB B 

　sin cos 2sin cos 2cos sin cos sin B A B C B C B A   

　sin cos cos sin 2cos sin 2sin cos B A B A B C B C   

　    sin 2sin A B B C    ,根据内角和有     sin 2sin sin 2sin C A C A        . 根据正弦定理有 2 c a  ,即 2ca . (2)由余弦定理有2 2 22 cos b a c ac B    ,由(1) 2 c a  ,代入1cos4B  , 2 b 

　即2 2 214 4 4 14a a a a       .故 2 c .又因为   0, B   ,215sin 1 cos4B B    . 故1 15sin2 4S ac B = = .

　5.（2020 届珠海）如图，点 A在 BCD 的外接圆上，且3sin5A  ，A为锐角， 5 AD CD   ，3 5 BD  .

　（1）求 AB ； （2）求四边形 ABCD 的面积. 【详解】解：（1）∵3sin5A  ，A为锐角，∴4cos5A ，在 ABD △ 中由余弦定理得：2 2 22 cos BD AD AB AD AB A    

　28 20 0 AB AB    ，得 10 AB 或 2 AB （舍去），∴ 10 AB

　（2）由（1）可知1 1 3sin 10 5 152 2 5ABDS AB AD A       △ ∵ ABCD 四点共圆，∴ A C     ，∴3sin5C  ，4cos5C   ，在 BCD 中由正弦定理得：sin sinBD CDC DBC，即3 5 53sin5DBC，得5sin5DBC  2 5cos5DBC  

　sin sin( ( )) sin( ) BDC DBC BCD DBC BCD           5 4 2 5 3 2 55 5 5 5 25        ∴1 1 2 5sin 3 5 5 32 2 25BCDS BD CD BDC          △ ∴四边形 ABCD 面积 15 3 18 S   

　 6.（2020 届广东调研）设函数23( ) 3sin cos sin2f x x x x    ，a，b，c 分别为 ABC  内角 A，B，C 的对边.已知 ( ) 0 f A  ， 2 b  . （1）若 2 3 a  ，求 B； （2）若 2 a c  ，求 ABC  的面积. 解（1）3 1 cos2 3( ) sin2 sin 2 12 2 2 6xf x x x          ，

　 因为 ( ) 0 f A  ，所以 26 2A   ，即3A .

　 因为sin sina bA B ，所以sin 1sin2b ABa  ，

　 因为 (0, ) B   ，所以6B 或56，

　 又 b a  ，所以6B .

　（2）由余弦定理，可得2 2 2(2 ) 2 2 2cos3c c c     ，

　即23 2 4 0 c c    ，解得1 133c  （负根舍去），

　故 ABC  的面积为1 1 1 13 39 3sin 2 sin2 2 3 3 6bc A       

　7. （2020届东莞）如图，在 ABC 中，内角 A B C ， ， 所对的边分别为 a b c ， ， ，且 2c o s 2 a C c b   ． （1）求角 A 的大小； （2）若6ABC  ， AC 边上的中线 BD 的长为 7，求 ABC 的面积．

　解：（1）由 2 cos 2 a C c b   及正弦定理，得 2sin cos sin 2sin A C C B   ． 即   2sin cos sin 2sin A C C A C    ， 整理得 sin 2sin cos C C A   ， 因为 sin 0 C  ，所以1cos2A  ， 又因为   0 A   ， ，则23A （没写角的范围扣 1 分）． （2）由（1）知23A ，又因为6ABC  ， 所以6C ， 所以 AC AB  ． 设 AD x  ，则 2 AB x  ， 在 ABD 中应用余弦定理，得2 2 22 cos BD AB AD AB AD A     ， 即27 7 x  ，解得 1 x ， 故 ABC 的面积21 24 sin 32 3S x    ．

　类型三：求边长 1.（2020 届江门）在 ABC  中，边, , a b c 所对的角分别为 , , A B C ，已知 a c ， ABC  的面积为 2 2 ，  2sin sin sin3A B C A    ， 3 b ． (1)求 sinB 的值；

　(2)求边 a ， c 的值． 解：

　(1)由  2sin sin sin3A B C A    ， ( ) C A B    

　得  2sin cos cos sin sin sin3A B A B A B A     ， 即22sin cos sin3A B A  ，

　0 A   

　sin 0 A   ，1cos3B   . 0 B   

　2 2sin3B   ．

　(2)由余弦定理得：2 2 2 2 222 cos3b a c ac B a c ac       ， 得2 2293a c ac    ①，

　又1sin 2 22ABCS ac B  ， 6 ac   ②，

　由①②解得32ac ，或23ac ， a c ， 3 a   ， 2 c  .

　 2.（2020 届惠州）在 ABC △ 中，角 , , A B C 的对边分别为 , , a b c ，已知 2 a  ， 5 b  ， 2 B A  ． （1）求 cos A ； （2）求 c 边的值． 解（1）由正弦定理sin sina bA B

　得2 5sin sin2 A A

　即2 5sin 2sin cos A A A

　因为 sin 0 A ，可解得5cos4A ． （2）由余弦定理2 2 22 cos a b c bc A    得2 2 252 ( 5) 2 54c c      ，

　整理得：22 5 2 0 c c   

　解得 2 c 或12c 

　当 2 c a   时，得 A C  ，又因为 2 B A  ，故 ,4 2A C B    ， 所以 2 b a  ，与已知矛盾，所以 2 c 不满足要求． 当12c  时，经检验符合要求． 综上可知：12c  ．

　3.（2020 届东莞）△ ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若

　（1）求 A； （2）若 b＝4，c＝2，AM 为 BC 边上的中线，求 AM 的长． 解：（1）由 ，可得：sinC﹣sinAcosB sinBsinA，sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB． ∴cosAsinB sinBsinA≠0，化为：tanA ，A∈（0，π）． ∴A ． （2）△ ABC 中，由余弦定理可得：a 2 ＝4 2 +2 2 ﹣2×4×2cos 12，解得 a＝2 ． ∴a 2 +c 2 ＝b 2 ，∴B ． ∴AM ．

　4. （2020 届衡水调研）在 ABC 中，角, , A B C 的对边分别为 , , a b c ，若2cos3A ，2 B A  ， 8 b . （1）求边长 a ； （2）已知点 M 为边 BC 的中点，求 AM 的长度.

　【详解】解：（1）由 0 A    ,2cos3A ,得25sin 1 cos3A A    , 所以5 2 4 5sin sin2 2sin cos 23 3 9B A A A       , 由正弦定理sin sina bA B ,可得sin6sinb AaB  . （2）222 1cos cos2 2cos 1 2 13 9B A A          , 在 ABC 中,  22cos cos sin sin cos cos27C A B A B A B      

　在 ACM 中,由余弦定理得：2 2 23052 cos9AM AC CM AC CM C      

　所以,3053AM 

　5. （2020 届安徽皖南八校调研）

　ABC 中，内角 A ， B ， C 的对边分别是 a ， b ， c ，5sin3A  ，B 2A  ， b 4  ． （1）求 a 的值； （2）若 D 为 BC 中点，求 AD 的长． 【详解】（1）

　2 B A  ， 0,2A    ， 由5sin3A  ，得2cos3A ， 5 2 4 5sin sin2 2sin cos 23 3 9B A A A       ， 由正弦定理sin sina bA B ，可得54sin33sin 4 59b AaB  ， 所以， a 的值为 3. （2）222 1cos cos2 2cos 1 2 13 9B A A          ，

　22cos cos( ) sin sin cos cos27C A B A B A B       ，

　在 ACD 中，由余弦定理得 2 2 2 2 23 3 22 3052 cos 4 ( ) 2 42 2 27 36AD AC CD AC CD C             ， 解得3056AD  ， 所以3056AD  . 6.（2020 届泉州）已知四边形 ABCD 中， 7 AC  ， 5 BC  ， 120 ABC   ． （1）求 ABC △ 的面积；

　（2）若 ACD △ 是等边三角形，求 BD ． 解：（1）

　ABC △ 中，2 2 22 cos AC AB BC AB BC ABC       ， 化简得25 24 0 AB AB    ，解得 3 AB  或 8 AB  （舍去）； 所以 ABC △ 的面积1sin2S BA BC ABC    1 33 52 2   15 34 ． （2）

　ABC △ 中，sin sinBC ACBAC ABC ，所以sin 5 3sin14BC ABCBACAC    ， 11cos14BAC   ． cos cos3BAD BAC       1 3cos sin2 2BAC BAC    1 11 3 5 32 14 2 14   1314

　BAD △ 中，2 2 22 cos BD AB AD AB AD BAD      2 2133 7 2 3 714      19  ， 所以 19 BD  ．

　7.（2020 届济宁）如图，D 是直角 ABC 斜边 BC 上一点， 3 AC DC  ．

　（1）若 60 BAD   ，求 ADC  的大小； （2）若 2 BD DC  ，且 6 AB  ，求 AD 的长． 解：（1）

　) BAD 60   ， BAC 90   ， DAC 30    ，

　在 ADC 中，由正弦定理可得：DC ACsin DAC sin ADC   ，

　AC 3sin ADC sin DACDC 2     ，

　ADC 120    或 60 ，

　又 BAD 60   ， ADC 120   

　（2）

　)BD 2DC ， BC 3DC   ， 在 ABC 中，由勾股定理可得：2 2 2BC AB AC   ，可得：2 29DC 6 3DC   ， DC 1   ， BD 2  ， AC 3  ，

　令 ADB θ   ，由余弦定理：

　在 ADB 中，2 2 2AB AD BD 2AD BD cosθ      ，

　在 ADC 中，  2 2 2AC AD CD 2AD CD cos π θ       ，

　可得：26 AD 4 4ADcosθ23 AD 1 2ADcosθ     ，  解得：2AD 2 ，可得：

　AD 2 

　 8. （2020 届青岛）在 ABC  中， E ， F 分别为线段 BC ， AC 上的点， // EF AB ，3 AB ， 2 EF  ，

　AE 2 3  ，3BAC  . （1）求 EAC  ； （2）求 BC 的长度.

　解：（1）在 ABC  中：

　// EF AB ，所以23AFE  ， 在 AFE  中由正弦定理知：1sinsin sin 2AE EFEAFAFE EAF    ， 又因为23AFE  为钝角，所以6EAF  . （2）因为23AFE  ，6EAF  ，所以6AEF  ， 2 AF EF   ， 又因为 // EF AB ， 3 AB ， 2 EF  ，所以 2CFAF ，即 6 AC  ， 在 ABC  中由余弦定理知：

　2 2 22 cos 27 BC AB AC AB AC BAC         ， ∴ 3 3 BC  .

　类型四：求角度 1.（2020 届江门）在△ ABC 中，角 、 、 A B C 所对的边为 a b c 、 、 ，若2 2( ) 3 a c b ac    ，点 D在边 AB 上，且 1 BD ， DA DC  . （1）若 BCD  的面积为32，求 CD 的长； （2）若 3 AC  ，求 A  的大小. 解：（1）又由  223 a c b ac    可得2 2 2a c b ac   

　由余弦定理可得2 2 21cos2 2 2a c b acBac ac    ，

　0 B    所以3B

　因为 BCD 的面积为32，即1 3sin , 12 2BC BD B BD    ，所以 2 BC 

　BCD 中,由余弦定理，得2 2 212 cos 4 1 2 2 1 32CD BC BD BC BD B           

　所以 3 CD 

　（2）由题意得设 DCA A    

　△ ADC 中，由正弦定理，  sin 2 sinAC CDA A 得32cosCD

　① 在△ BCD 中，由正弦定理sin sinCD BDB DCB 即1 1sin sin 2sin 23 33CD                    ②

　由①②可得 cossin 23      即 sinsin 22 3              由 22 3      ，解得18 

　由2 ,2 3               解得 .6 

　故18A  或6A  .

　2.（2020 届肇庆）已知在 ABC  中，角 A B C 、 、 对应的边分别为 a b c 、 、 ， sin sin sin sin b B a C a A c C    ． （1）求角 B ； （2）若 1 c  ， ABC  的面积为34，求 C ． 解：（1）由 sin sin sin sin b B a C a A c C    及正弦定理 可得2 2 2b ac a c   

　由余弦定理可得 2 2 2 2 21cos2 2 2a c b b ac bBac ac     

　 又因为   0, B   ，所以3B

　 （2）因为1 1 3 3sin2 2 2 4ABCS ac B a   

　所以 1 a .

　 又因为 1,3a c B   ，所以 ABC  是等边三角形，所以3C

　 3.（2020 惠州）在平面四边形 ABCD 中，π3ABC   ，π2ADC   ， 2 BC  ． （1）若 ABC △ 的面积为3 32，求 AC ； （2）若 2 3 AD  ，π3ACB ACD     ， 求 tan ACD  ． 解：（1）在 ABC  中，因为 2 BC  ，π3ABC   ， 1 3 3sin2 2ABCS AB BC ABC    ， 所以3 3 32 2AB  ，解得 3 AB  ． 在 ABC  中，由余弦定理得2 2 22 cos 7 AC AB BC AB BC ABC       ， 因为 0 AC  ，所以 7 AC  ．

　（2）设 ACD    ，则π π3 3ACB ACD        ．

　 在 Rt ACD  中，因为 2 3 AD  ，所以2 3sin sinADAC   ．

　 在 ABC  中，ππ3BAC ACB ABC        ，

　 B D C A

　由正弦定理得sin sinBC ACBAC ABC ，即2 2 3π3sin( )sin32， 所以 2sin( ) sin3    ，所以3 12( cos sin ) sin2 2     ，

　即 3cos 2sin    ，

　所以3tan2  ，即3tan2ACD   ．

　4.（2020 届广州天河区）在锐角 ABC  中，角 A ， B ， C 对应的边分别是 a ， b ， c ，且3cos2 sin( ) 1 02A A    ． （1）求角 A 的大小； （2）若 ABC  的面积 3 3 S  ， 3 b ．求 sinC 的值． 解：（1）3cos2 sin( ) 1 02A A    ． cos2 cos 1 0 A A     ，可得：22cos cos 0 A A   ，解得：1cos2A ，或 cos 0 A ， ABC  为锐角三角形， 1cos2A   ，  可得：3A ． （2）1 1 3sin 3 32 2 2ABCS bc A bc   ，可得：

　12 bc ， 又 3 b ，可得：

　4 c ， 在 ABC  中，由余弦定理可知，2 2 212 cos 16 9 2 3 4 25 12 132a b c bc A             ， 13 a   ，

　在 ABC  中，由正弦定理可知：sin sina cA C ，可得：34sin 2 392sin13 13c ACa   ．