构造函数解题中应用(改3)

时间：2021-03-15 12:05:31 来源：蒲公英阅读网 本文已影响人

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构造函数在解题中的应用(改3) 本文关键词：解题，构造，函数

构造函数在解题中的应用(改3) 本文简介：构造函数在解题中的应用山东省定陶县第一中学谢于民274100函数思想，指运用函数的概念和性质，通过类比联想转化合理地构造函数，然后去分析、研究问题，转化问题并解决问题。因此函数思想的实质是用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数量特征，建立函数关系。函数思想在数学应用中占有重要的地们，应用范围很广。

构造函数在解题中的应用(改3) 本文内容：

构造函数在解题中的应用

山东省定陶县第一中学

谢于民

274100

函数思想，指运用函数的概念和性质，通过类比联想转化合理地构造函数，然后去分析、研究问题，转化问题并解决问题。因此函数思想的实质是用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数量特征，建立函数关系。函数思想在数学应用中占有重要的地们，应用范围很广。函数思想不仅体现在本身就是函数问题的高考试题中，而且对于诸如方程、不等式、几何等问题也常常可以通过构造函数来求解。下面我们就举例说明构造函数的方法在解题中的应用。

一、

构造方程中的函数

函数与方程有着密切的关系，对于条件中的方程若能巧妙构造出函数利用函数性质解题，则是一种创造性思维活动，往往可以使问题化难为易，避繁就简。

例1．

设x、y∈[-,],且

求cos(x+2y)的值。

②

①

解：

由①

2a=x+sinx

由②

2a=(-2y)+sin(-2y)

故构造函数

f(x)=

x+sinx

则f(x)=f(-2y)

因为f′(x)=3x+cosx

>0

所以f(x)在[-,]上是增函数

由f(x)=f(-2y)

得x=-2y

即x+2y=0

所以

cos(x+2y)=1

评：通过变换题设中给出的的方程组，可构造函数f(x)=

x+sinx，然后转化为同一函数的两个函数值相等，再利用函数的单调性得出两自变量相等，进而得解。

例2.已知分别满足·lg=1004,·10=1004

则等于（

）

A

B

1004

C

D

2008

解：令f(x)=10

f(x)=

f(x)=

由·lg=1004

得lg=

所以

方程·lg=1004的根

即为函数f(x)=

与函数f(x)=的图象交点A的横坐标，故可设A(,)

同理，方程·10=1004的根

即为函数f(x)=10与f(x)=的图象交点B的横坐标

可设B（，）

因为f(x)=

图象关于y=x对称

f(x)

=10与f(x)

=lgx互为反函数

图象关于y=x对称

所以

A、B关于y=x对称

所以=

所以=1004

故选B

评：由已知方程的特点，构造函数f(x)

=x、f(x)

=、f(x)

=10，把方程的根看作两函数图象交点的横坐标，利用三函数图象的对称性得出交点的对称性而得解。

二、

构造不等式中的函数

不等式的证明是高中数学中的一个常见问题，在各类考试中经常出现，许多学生往往感到有些困难，找不到思路，有些问题如果构造辅助函数利用函数性质来证明不等式，将思路简捷，而且有一定的方法和规律。

例3.

（2011

辽宁高考）函数f(x)的定义域为R,，f(-1)=2

对任意x

R，

f′(x)>2

，则f(x)>2x+4的解集为（

）

A

(-1,1)

B

(-1,+)

C

(-,-1)

D

(-,+)

解：令g(x)=f(x)-2x-4

则g(-1)=f(-1)-2·(-1)-4=0

又g′(x)=f′(x)-2>0

所以g(x)在(-,+)上是增函数

所以原不等式可化为g(x)>g(-1)

所以x>-1

故选B

评：f(x)解析式不具体，通过构造新的函数，借助函数的单调性，由函数值的大小转化为所求自变量x的取值集合。

例4

已知数列

其中=

=

求证：<

证明：因为==

所以==

令f(x)=x-

则f′(x)=1-

cosx

令f′(x)=0

得cosx=

所以给定区间（0，）

f′(x)<0

所以f(x)在（0，）上单调递减

所以f(x)<

f(0)=0

x

（0，）

即x<

在（0，）上恒成立

又0<<

所以

所以<

评：因为==，而=启发我们构造函数

f(x)=x-去探索。

三、

构造几何中的函数

对于几何中的最值问题，很多情况下都是构造函数法，把动态问题转化为目标函数，最终利用代数方法求目标函数的最值。

例5、如右图，已知在ABC中，C=90，PA平面ABC，AEPB交PB于E，AFPC于F，AP=AB=2，AEF=，当变化时，求三棱锥

P－AEF体积的最大值。

解：因为PA平面ABC，BC

平面ABC，

所以PABC。又因为BCAC，

所以BC平面PAC。而AF平面PAC，

所以BCAF。

又因为AFPC，

，所以AF平面PBC。

而EF平面PBC，所以AFEF.

所以EF是AE在平面PBC内的射影。因为AEPB，所以EFPB，所以PE平面AEF。

在RtPAB中，因为AP=AB=2，AEPB，所以PE=，AE=，AF=sin，EF=cos。

因为，所以

所以，

评：的变化是由AC与BC的变化引起的，要求三棱锥P－AEF的体积，则需找到三棱锥P－AEF的底面积和高，高为定值时，底面积最大，则体积最大。

例6、已知动点A、B分别在x轴、y轴上，且满足=2，点P在线段AB上，且（t是不为零的常数）。

（1）

求点P的轨迹方程C；

（2）

若t=2，点M、N是C上关于原点对称的两个动点（M、N不在

坐标轴上），点Q（，3），求QMN面积S的最大值。

解：

评：上例抓住了双曲线方程和椭圆方程中两个变量的联系，将目标函数构造成二元目标函数的表达式，由此求解最值，也使得运算过程更为简洁。

构造辅助函数是高等数学中一种常用的方法，这种方法也已渗透到中学数学中。首先解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，用函数的观点加以分析，常可使问题变得明了，从而易于找到一种科学的解题途径。其次数量关系是数学中的一种基本关系。现实世界的复杂性决定了数量关系的多元性。因此，如何从多变元的数量关系中选定合适的主变元，从而揭示其中主要的函数关系，有时便成了数学问题能否“明朗化”的关键所在。

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篇2：第五届全国中学生数理化学科能力展示活动九年级数学解题技能展示试题选解(13、15)

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第五届全国中学生数理化学科能力展示活动九年级数学解题技能展示试题选解(13、15) 本文简介：第五届全国中学生数理化学科能力展示活动九年级数学解题技能展示试题选解三、解答题13.某出租车公司买了每辆价值2a元的出租车投入运营，由调查得知：每辆出租车每年客运收入约为a元，且每辆客车第n年的油料费、维修费及其他各种管理费用总和P（n）与年数n成正比，又知第三年每辆出租车以上费用是该年客运收入的4

第五届全国中学生数理化学科能力展示活动九年级数学解题技能展示试题选解(13、15) 本文内容：

第五届全国中学生数理化学科能力展示活动

九年级数学解题技能展示试题选解

三、解答题

13.某出租车公司买了每辆价值2a元的出租车投入运营，由调查得知：每辆出租车每年客运收入约为a元，且每辆客车第n年的油料费、维修费及其他各种管理费用总和P（n）与年数n成正比，又知第三年每辆出租车以上费用是该年客运收入的48%.（1）写出每辆出租车运营的总利润（客运收入扣除总费用及其成本）y（元）与n的函数关系式.（2）每辆出租车运营多少年可使其运营的年平均利润最大？

解：(1)因为P（n）与年数n成正比，设P（n）=kn

当n=3时，P(n)=48%a=3k,，所以k=0.16a，P（n）=0.16an

所以运营n年后的总费用为：P（1）+P（2）+…+P（n）=0.16a(1+2+…n)=0.08an(n+1)

所以

y=na－0.08an(n+1)－2a=

－0.08a(n2－11.5n+25)

(2)运营n年平均利润为y/n=－0.08a(n2－11.5n+25)/n=－0.08a(n+25/n－11.5)

∵

n+25/n≧2√25=10，当且仅当n=25/n，即n=5时等号成立.

∴

每辆出租车运营5年可使其运营的年平均利润最大。

年平均最大利润=－0.08a(10－11.5)=

0.12a.

15.如图，圆O的直径的长是关于x的二次方程x2+2(k－2)x+k=0(k是整数)的最大整数根.

P是圆O外一点，过点P做圆O的切线ＰＡ和割线ＰＢＣ，其中Ａ为切点，点Ｂ、Ｃ是直线

PBC与圆O的交点.若PA、PB、PC的长都是正整数，且PB的长不是合数，求PA2+PB2+PC2的值.

解：要使方程x2+2(k－2)x+k=0(k是整数)有整数根，

△=4(k－2)2-4k=4(k-4)(k-1)≧0,k≧4或k≦1,当k≧4时，二次方程的两根均为负值，不合题意。

所以k≦1，且△=4(k－2)2-4k=(2k－5)2－9

为完全平方数，设△=m2(m≧0，且为整数)

当m=0时，k=1,x=1；

当m≠0时

(2k－5)2－m2=

9，(2k－5+m)(2k－5－m)=9，

因为(2k－5+m)与(2k－5－m)同奇偶，且2k－5+m﹥2k－5－m

所以2k－5+m=-1，2k－5－m=-9；2k－5+m=9，2k－5－m=1

（k≦1）

解之得k=0，此时方程x2+2(k－2)x+k=0的根为x=0和4，所以⊙O得直径为4.

∵

PA2=PB·PC=PB（PB+BC），

PA2

－PB2=PB·BC，（PA+PB）（PA－PB）=PB·BC，

因PA、PB、PC的长都是正整数，且PB的长不是合数，PA+PB﹥PB所以

PA+PB=BC，PA－PB=PB

PA=2PB，BC=3PB﹤4（直径长），所以PB=1，PA=2，PC=4，

PA2+PB2+PC2=1+4+16=21.

济宁市任城区济东中学数学组提供

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篇3：数列解题技巧归纳总结打印

数列解题技巧归纳总结打印 本文关键词：数列，解题，归纳，技巧，打印

数列解题技巧归纳总结打印 本文简介：数列解题技巧归纳总结基础知识：1．数列、项的概念：按一定次序排列的一列数，叫做数列，其中的每一个数叫做数列的项．2．数列的项的性质：①有序性；②确定性；③可重复性．3．数列的表示：通常用字母加右下角标表示数列的项，其中右下角标表示项的位置序号，因此数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，（

数列解题技巧归纳总结打印 本文内容：

数列解题技巧归纳总结

基础知识：

1．数列、项的概念：按一定

次序

排列的一列数，叫做

数列

，其中的每一个数叫做数列的项

．

2．数列的项的性质：①

有序性

；②

确定性

；③

可重复性

．

3．数列的表示：通常用字母加右下角标表示数列的项，其中右下角标表示项的位置序号，因此数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，（…），简记作

{an}

．其中an是该数列的第

n

项，列表法、

图象法、

符号法、

列举法、

解析法、

公式法（通项公式、递推公式、求和公式）都是表示数列的方法．

4．数列的一般性质：①单调性

；②周期性

．

5．数列的分类：

①按项的数量分：

有穷数列

、

无穷数列

；

②按相邻项的大小关系分：递增数列

、递减数列

、常数列、摆动数列

、其他；

③按项的变化规律分：等差数列、等比数列、其他；

④按项的变化范围分：有界数列、无界数列．

6．数列的通项公式：如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的函数关系可以用一个公式a=f（n）（n∈N+或其有限子集{1，2，3，…，n}）

来表示，那么这个公式叫做这个数列的

通项公式

．数列的项是指数列中一个确定的数，是函数值，而序号是指数列中项的位置，是自变量的值．由通项公式可知数列的图象是

散点图

，点的横坐标是

项的序号值

，纵坐标是

各项的值

．不是所有的数列都有通项公式，数列的通项公式在形式上未必唯一．

7．数列的递推公式：如果已知数列{an}的第一项（或前几项），且任一项an与它的前一项an-1（或前几项an-1，an-2，…）间关系可以用一个公式

an=f（a）（n=2，3，…）

（或

an=f（a,a）(n=3，4，5，…)，…）来表示，那么这个公式叫做这个数列的

递推公式

．

8．数列的求和公式：设Sn表示数列{an}和前n项和，即Sn==a1+a2+…+an，如果Sn与项数n之间的函数关系可以用一个公式

Sn=

f（n）（n=1，2，3，…）

来表示，那么这个公式叫做这个数列的

求和公式

．

9．通项公式与求和公式的关系：

通项公式an与求和公式Sn的关系可表示为：

等差数列与等比数列：

等差数列

等比数列

文字定义

一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫等差数列的公差。

一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比是同一个常数，那么这个数列就叫等比数列，这个常数叫等比数列的公比。

符号定义

分类

递增数列：

递减数列：

常数数列：

递增数列：

递减数列：

摆动数列：

常数数列：

通项

其中

（）

前n项和

其中

中项

主要性质

等和性：等差数列

若则

推论：若则

即：首尾颠倒相加，则和相等

等积性：等比数列

若则

推论：若则

即：首尾颠倒相乘，则积相等

其

它

性

质

1、等差数列中连续项的和，组成的新数列是等差数列。即：

等差，公差为则有

2、从等差数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等差数列。

如：（下标成等差数列）

3、等差，则，，，也等差。

4、等差数列的通项公式是的一次函数，即：()

等差数列的前项和公式是一个没有常数项的的二次函数，

即：()

5、项数为奇数的等差数列有：

项数为偶数的等差数列有：

，

6、则

则

则

1、等比数列中连续项的和，组成的新数列是等比数列。即：等比，公比为。

2、从等比数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等比数列。

如：（下标成等差数列）

3、等比，则，，

也等比。其中

4、等比数列的通项公式类似于的指数函数，

即：，其中

等比数列的前项和公式是一个平移加振幅的的指数函数，即：

5、等比数列中连续相同项数的积组成的新数列是等比数列。

证明方法

证明一个数列为等差数列的方法：

1、定义法：

2、中项法：

证明一个数列为等比数列的方法：

1、定义法：

2、中项法：

设元技巧

三数等差：

四数等差：

三数等比：

四数等比：

联系

1、若数列是等差数列，则数列是等比数列，公比为，其中是常数，是的公差。

2、若数列是等比数列，且，则数列是等差数列，公差为，其中是常数且，是的公比。

数列的项与前项和的关系：

数列求和的常用方法：

1、拆项分组法：即把每一项拆成几项，重新组合分成几组，转化为特殊数列求和。

2、错项相减法：适用于差比数列（如果等差，等比，那么叫做差比数列）

即把每一项都乘以的公比，向后错一项，再对应同次项相减，转化为等比数列求和。

3、裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。

适用于数列和（其中等差）

可裂项为：，

等差数列前项和的最值问题：

1、若等差数列的首项，公差，则前项和有最大值。

（ⅰ）若已知通项，则最大；

（ⅱ）若已知，则当取最靠近的非零自然数时最大；

2、若等差数列的首项，公差，则前项和有最小值

（ⅰ）若已知通项，则最小；

（ⅱ）若已知，则当取最靠近的非零自然数时最小；

数列通项的求法：

⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。

⑵已知（即）求，用作差法：。

已知求，用作商法：。

⑶已知条件中既有还有，有时先求，再求；有时也可直接求。

⑷若求用累加法：

。

⑸已知求，用累乘法：。

⑹已知递推关系求，用构造法（构造等差、等比数列）。

特别地，（1）形如、（为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为的等比数列后，再求；形如的递推数列都可以除以得到一个等差数列后，再求。

（2）形如的递推数列都可以用倒数法求通项。

（3）形如的递推数列都可以用对数法求通项。

（7）（理科）数学归纳法。

（8）当遇到时，分奇数项偶数项讨论，结果可能是分段

典型题的技巧解法

1、求通项公式

（1）观察法。（2）由递推公式求通项。

对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。

(1)递推式为an+1=an+d及an+1=qan（d，q为常数）

例1、

已知{an}满足an+1=an+2，而且a1=1。求an。

例1、解

∵an+1-an=2为常数

∴{an}是首项为1，公差为2的等差数列

∴an=1+2（n-1）

即an=2n-1

例2、已知满足，而，求=？

（2）递推式为an+1=an+f（n）

例3、已知中，，求.

解：

由已知可知

令n=1，2，…，（n-1），代入得（n-1）个等式累加，即（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）

★

说明

只要和f（1）+f（2）+…+f（n-1）是可求的，就可以由an+1=an+f（n）以n=1，2，…，（n-1）代入，可得n-1个等式累加而求an。

(3)递推式为an+1=pan+q（p，q为常数）

例4、中，，对于n＞1（n∈N）有，求.

解法一：

由已知递推式得an+1=3an+2，an=3an-1+2。两式相减：an+1-an=3（an-an-1）

因此数列{an+1-an}是公比为3的等比数列，其首项为a2-a1=（3×1+2）-1=4

∴an+1-an=4·3n-1

∵an+1=3an+2

∴3an+2-an=4·3n-1

即

an=2·3n-1-1

解法二：

上法得{an+1-an}是公比为3的等比数列，于是有：a2-a1=4，a3-a2=4·3，a4-a3=4·32，…，an-an-1=4·3n-2，

把n-1个等式累加得：

∴an=2·3n-1-1

(4)递推式为an+1=p

an+q

n（p，q为常数）

由上题的解法，得：

∴

(5)递推式为

思路：设,可以变形为：，

想

于是{an+1-αan}是公比为β的等比数列，就转化为前面的类型。

求。

(6)递推式为Sn与an的关系式

关系；（2）试用n表示an。

∴

∴

∴

上式两边同乘以2n+1得2n+1an+1=2nan+2则{2nan}是公差为2的等差数列。

∴2nan=

2+（n-1）·2=2n

2．数列求和问题的方法

（1）、应用公式法

等差、等比数列可直接利用等差、等比数列的前n项和公式求和，另外记住以下公式对求和来说是有益的。

1＋3＋5＋……＋(2n-1)=n2

【例8】

求数列1，（3+5），（7+9+10），（13+15+17+19），…前n项的和。

解

本题实际是求各奇数的和，在数列的前n项中，共有1+2+…+n=个奇数，

∴最后一个奇数为：1+[n(n+1)-1]×2=n2+n-1

因此所求数列的前n项的和为

（2）、分解转化法

对通项进行分解、组合,转化为等差数列或等比数列求和。

【例9】求和S=1·（n2-1）+

2·（n2-22）+3·（n2-32）+…+n（n2-n2）

解

S=n2（1+2+3+…+n）-（13+23+33+…+n3）

（3）、倒序相加法

适用于给定式子中与首末两项之和具有典型的规律的数列，采取把正着写与倒着写的两个和式相加，然后求和。

例10、求和：

例10、解

∴

Sn=3n·2n-1

（4）、错位相减法

如果一个数列是由一个等差数列与一个等比数列对应项相乘构成的，可把和式的两端同乘以上面的等比数列的公比，然后错位相减求和．

例11、

求数列1，3x，5x2,…,(2n-1)xn-1前n项的和．

解

设Sn=1+3+5x2+…+(2n-1)xn-1．

①

(2)x=0时，Sn=1．

(3)当x≠0且x≠1时，在式①两边同乘以x得

xSn=x+3x2+5x3+…+(2n-1)xn，②

①-②，得

(1-x)Sn=1+2x+2x2+2x3+…+2xn-1-(2n-1)xn．

(5)裂项法：

把通项公式整理成两项(式多项)差的形式，然后前后相消。

常见裂项方法：

例12、求和

注：在消项时一定注意消去了哪些项，还剩下哪些项，一般地剩下的正项与负项一样多。

在掌握常见题型的解法的同时，也要注重数学思想在解决数列问题时的应用。

二、常用数学思想方法

1．函数思想

运用数列中的通项公式的特点把数列问题转化为函数问题解决。

【例13】

等差数列{an}的首项a1＞0，前n项的和为Sn，若Sl=Sk（l≠k）问n为何值时Sn最大？

此函数以n为自变量的二次函数。∵a1＞0

Sl=Sk（l≠k），∴d＜0故此二次函数的图像开口向下

∵

f（l）=f（k）

2．方程思想

【例14】设等比数列{an}前n项和为Sn，若S3+S6=2S9，求数列的公比q。

分析

本题考查等比数列的基础知识及推理能力。

解

∵依题意可知q≠1。

∵如果q=1，则S3=3a1，S6=6a1，S9=9a1。由此应推出a1=0与等比数列不符。

∵q≠1

整理得

q3（2q6-q3-1）=0

∵q≠0

此题还可以作如下思考：

S6=S3+q3S3=（1+q3）S3。S9=S3+q3S6=S3（1+q3+q6），

∴由S3+S6=2S9可得2+q3=2（1+q3+q6），2q6+q3=0

3．换元思想

【例15】

已知a，b，c是不为1的正数，x，y，z∈R+，且

求证：a，b，c顺次成等比数列。

证明

依题意令ax=by=cz=k

∴x=1ogak，y=logbk，z=logck

∴b2=ac

∴a，b，c成等比数列（a，b，c均不为0）