第四章,章末检测试卷(四)

时间：2020-11-03 20:56:50 来源：蒲公英阅读网 本文已影响人

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　章末检测试卷( 四) (时间：120 分钟 满分：150 分) 一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分) 1．化简－x 3x的结果为(

　) A．－ －x

　B. x

　C．－ x

　D. －x 答案 A 解析 要使式子有意义，只需－x 3 >0，x≠0，即 x<0， 所以－x 3x＝ －x －xx＝－ －x. 2．函数 f(x)＝ln(x 2 －x)的定义域为(

　) A．(0,1)

　 B．[0,1] C．(－∞，0)∪(1，＋∞)

　 D．(－∞，0]∪[1，＋∞) 答案 C 解析 由 x 2 －x>0，得 x>1 或 x<0. 3．已知 log 2 m＝2.019，log 2 n＝1.019，则 nm 等于(

　) A．2

　 B. 12

　C．10

　 D.110

　答案 B 解析 因为 log 2 m＝2.019，log 2 n＝1.019， 所以 m＝2 2.019 ，n＝2 1.019 ，所以 nm ＝2 1.0192 2.019 ＝12 . 4．函数 y＝113x   的值域是(

　) A．(－∞，0)

　 B．(0,1] C．[1，＋∞)

　 D．(－∞，1] 答案 B 解析 由题意得 x－1≥0，x≥1，令 t＝ x－1，则 t≥0，y＝ 13t 是减函数， ∴0<y＝113x   ≤ 130 ＝1.

　5．已知 a＝13log 4 ，b＝log 2 3，c＝2－ 0.3 ，则 a，b，c 的大小关系是(

　) A．a>b>c

　 B．b>a>c C．c>a>b

　 D．b>c>a 答案 D 解析 因为 a＝13log 4 <13log 1 ＝0，b＝log 2 3>log 2 2＝1， 0<c＝2－ 0.3 <2 0 ＝1， 所以 b>c>a. 6．在同一直角坐标系中，函数 f(x)＝2－ax，g(x)＝log a (x＋2)(a>0，且 a≠1)的图象大致为(

　)

　 答案 A 解析 由题意，当 a>0，函数 f(x)＝2－ax 为单调递减函数，若 0<a<1 时，函数 f(x)＝2－ax的零点 x 0 ＝ 2a >2，且函数 g(x)＝log a (x＋2)在(－2，＋∞)上为减函数；若 a>1 时，函数 f(x)＝2－ax 的零点 x 0 ＝ 2a <2，且函数 g(x)＝log a (x＋2)在(－2，＋∞)上为增函数． 7．已知函数 f(x)＝  2 x－ 1 －2，x≤1，－log 2 x＋1，x>1，且 f(a)＝－3，则 f(6－a)等于(

　) A．－ 74

　 B．－54

　 C．－34

　 D．－14

　答案 A 解析 若 a≤1，f(a)＝2 a－ 1 －2＝－3,2 a － 1 ＝－1(无解)；若 a>1，f(a)＝－log2 (a＋1)＝－3，解得 a＝7. 所以 f(6－a)＝f(－1)＝2－ 2 －2＝ 14 －2＝－74 . 8．已知定义在 R 上的函数 f(x)＝2 |x－ m| －1(m 为实数)为偶函数，记 a＝f(log0.5 3)，b＝f(log 2 5)，c＝f(2m)，则 a，b，c 的大小关系为(

　) A．a<b<c

　 B．c<a<b C．a<c<b

　 D．c<b<a

　答案 B 解析 由 f(x)为偶函数得 m＝0， 所以 a＝f(log 0.5 3)＝0.5log 32 －1＝2log 32 －1＝2. b＝f(log 2 5)＝2log 52 －1＝4，c＝f(0)＝2 |0| －1＝0， 所以 c<a<b. 二、多项选择题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分) 9．下列函数中，是奇函数且存在零点的是(

　) A．y＝x 3 ＋x

　 B．y＝log 2 x C．y＝2x 2 －3

　 D．y＝x|x| 答案 AD 解析 A 中，y＝x 3 ＋x 为奇函数，且存在零点 x＝0，与题意相符； B 中，y＝log 2 x 为非奇非偶函数，与题意不符； C 中，y＝2x 2 －3 为偶函数，与题意不符； D 中，y＝x|x|是奇函数，且存在零点 x＝0，与题意相符． 10．已知函数 f(x)＝a x － 1ax ，其中 a>0 且 a≠1，则下列结论正确的是(

　) A．函数 f(x)是奇函数 B．函数 f(x)在其定义域上有零点 C．函数 f(x)的图象过定点(0,1) D．当 a>1 时，函数 f(x)在其定义域上为增函数 答案 ABD 解析 f(x)＝a x － 1ax ＝a x －a － x ，定义域为 R， f(－x)＝a－ x －a x ＝－f(x)，∴f(x)为奇函数， 且 f(0)＝0，故选项 A，B 正确，选项 C 错误； a>1,0< 1a <1，y＝ax ，y＝－  1ax 在 R 上均为增函数，f(x)在其定义域上为增函数，所以选项 D正确． 11．已知 y＝f(x)是定义在 R 上的函数，下列命题正确的是(

　) A．若 f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有 f(a)·f(b)>0，则其在(a，b)内没有零点 B．若 f(x)在区间(a，b)上的图象是一条连续不断的曲线，且有 f(a)·f(b)<0，则其在(a，b)内有零点 C．若 f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有 f(a)·f(b)<0，则其在(a，b)内有

　零点 D．若 f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线且单调，又 f(a)·f(b)<0 成立，则其在(a，b)内有且只有一个零点 答案 CD 解析 对于 A 中，函数 y＝x 2 ，满足 f(－1)·f(1)>0，在(－1,1)内有零点，故 A 不正确； 对于 B 中，若 f(x)在区间(a，b)上的图象是一条连续不断的曲线，f(a)＝－1，f(b)＝1，且在(a，b)上 f(x)>0 恒成立，此时满足 f(a)·f(b)<0，但是其在(a，b)内没有零点，故 B 不正确； 对于 C 中，若 f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有 f(a)·f(b)<0，根据函数零点存在定理，可得在(a，b)内有零点，故 C 是正确的； 对于 D 中，若 f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线且单调，又 f(a)·f(b)<0 成立，根据函数零点存在定理，在(a，b)内有且只有一个零点，故 D 是正确的． 12．下列命题中正确的是(

　) A．函数 y＝ 12x －x 2 在区间(0,1)上有且只有 1 个零点 B．若函数 f(x)＝x 2 ＋ax＋b，则 f x 1 ＋x 22≤ fx1 ＋fx 2 2 C．如果函数 y＝x＋ 1x 在[a，b]上单调递增，那么它在[－b，－a]上单调递减 D．若定义在 R 上的函数 y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称，则函数 y＝f(x＋a)－b 为奇函数 答案 ABD 解析 对于 A 选项，函数 y 1 ＝ 12x 在区间(0,1)上单调递减，函数 y 2 ＝x 2 在区间(0,1)上单调递增，所以，函数 y＝ 12x －x 2 在区间(0,1)上单调递减， 因为 120 －0 2 >0，  121 －1 2 <0，所以，函数 y＝  12x －x 2 在区间(0,1)上有且只有 1 个零点，A 选项正确； 对于 B 选项，f

　x 1 ＋x 22－ fx1 ＋fx 2 2＝ x 1 ＋x 222 ＋ ax 1 ＋x 2 2＋b－ x21 ＋ax 1 ＋b＋x 2 2 ＋ax 2 ＋b2＝x 1 ＋x 2  2 －2x 2 1 ＋x 2 2 4＝ 2x1 x 2 －x 2 1 －x 2 24＝－ x1 －x 2  24≤0，B 选项正确； 对于 C 选项，令 f(x)＝x＋ 1x ，定义域为{x|x≠0}，关于原点对称， 且 f(－x)＝－x＋1－x ＝－ x＋ 1x＝－f(x)，所以，函数 f(x)＝x＋ 1x 为奇函数， 由于该函数在区间[a，b]上单调递增，则该函数在区间[－b，－a]上也单调递增，C 选项错误； 对于 D 选项，由于函数 y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称，则 f(a＋x)＋f(a－x)＝2b， 令 g(x)＝f(x＋a)－b，定义域为 R，且 g(－x)＋g(x)＝f(－x＋a)－b＋f(x＋a)－b＝2b－2b＝0，

　即 g(－x)＝－g(x)， 所以，函数 y＝f(x＋a)－b 为奇函数，D 选项正确． 三、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 13．已知函数 f(x)＝a x－ 1 ＋3(a>0，且 a≠1)的图象过定点 P，则 P 点的坐标是________． 答案 (1,4) 解析 由于函数 y＝a x 恒过(0,1)，而 y＝a x－ 1 ＋3 的图象可看作是由 y＝a x 的图象向右平移 1 个单位长度，再向上平移 3 个单位长度得到的，则 P 点坐标为(1,4)． 14．若指数函数f(x)＝a x (a>1)在区间[0,2]上的最大值和最小值之和为10，则a的值为________． 答案 3 解析 因为当 a>1 时，指数函数 f(x)＝a x 为增函数， 则在区间[0,2]上，f(x) max ＝a 2 ，f(x) min ＝a 0 ＝1， 又指数函数 f(x)＝a x (a>1)在区间[0,2]上的最大值和最小值之和为 10， 则 a 2 ＋1＝10，即 a 2 ＝9，又 a>1，即 a＝3. 15．已知[x]表示不超过 x 的最大整数，如[－1.2]＝－2，[1.5]＝1，[3]＝3.若 f(x)＝2 x ，g(x)＝f(x－[x])，则 g 32＝________，函数 g(x)的值域为________．(本题第一空 2 分，第二空 3 分) 答案 2 [1,2) 解析 g 32＝f

　32 －1 ＝f 12＝ 2， 令 t＝x－[x]∈[0,1)，g(x)＝f(x－[x])＝f(t)＝2 t ， 1≤2 t <2，g(x)的值域为[1,2)． 16．已知函数 f(x)＝ln x 2 － 212log 1 x  ，则满足不等式13log f x   >1 的 x 的取值范围是____________． 答案 0， 13∪(3，＋∞) 解析 函数 f(x)＝ln x 2 － 212log 1 x  的定义域为{x|x≠0}， f(－x)＝ln(－x) 2 －  212log 1 x   ＝ln x 2 － 212log 1 x  ＝f(x)，该函数为偶函数， 因为函数 y 1 ＝ln x 2 在区间(0，＋∞)上单调递增， 函数 y＝ 212log 1 x  在区间(0，＋∞)上单调递减， 所以，函数 f(x)＝ln x 2 － 212log 1 x  在区间(0，＋∞)上单调递增，且 f(1)＝1，

　若13log f x    >1，即13log f x   >f(1)， 即13log f x    >f(1)，可得13log x >1， 可得13log x >1 或13log x <－1， 解得 0<x< 13 或 x>3. 四、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分) 17．(10 分)计算：

　(1)12－1 － 350 ＋  94－ 0.5 ＋ 4 2－e 4 ； (2)lg 500＋lg 85 －12 lg 64＋50×(lg 2＋lg 5)2 . 解 (1)原式＝ 2＋1－1＋ 23 ＋e－ 2＝23 ＋e. (2)原式＝lg 5＋lg 10 2 ＋lg 2 3 －lg 5－ 12 lg 26 ＋50×(lg 10) 2

　＝lg 5＋2＋3lg 2－lg 5－3lg 2＋50＝52. 18．(12 分)已知函数 f(x)＝x 2 ＋(m－2)x＋5－m 有两个零点，且都大于 2，求实数 m 的取值范围． 解 函数 f(x)＝x 2 ＋(m－2)x＋5－m 有两个大于 2 的零点，即方程 x 2 ＋(m－2)x＋5－m＝0 有两个不相等的实数解，且都大于 2. 结合图象可知 m－2 2 －45－m>0，2－m2>2，4＋2m－2＋5－m>0， 解得－5<m<－4. 故实数 m 的取值范围是(－5，－4)． 19．(12 分)已知函数 f(x)＝log 2 (x＋1)，当点(x，y)是函数 f(x)图象上的点时，点 x3 ，y2是函数g(x)图象上的点． (1)写出函数 g(x)的表达式； (2)当 2g(x)－f(x)≥0 时，求 x 的取值范围． 解 (1)令 x′＝ x3 ，y′＝y2 ，则 x＝3x′，y＝2y′， 把 x＝3x′，y＝2y′代入 f(x)＝log 2 (x＋1)，

　得 y′＝ 12 log 2 (3x′＋1)， ∴g(x)＝ 12 log 2 (3x＋1)． (2)2g(x)－f(x)≥0， 即 log 2 (3x＋1)－log 2 (x＋1)≥0， ∴ 3x＋1>0，x＋1>0，3x＋1≥x＋1，解得 x≥0， 故 x 的取值范围为[0，＋∞)． 20．(12 分)已知函数 g(x)是 f(x)＝a x (a>0 且 a≠1)的反函数，且 g(x)的图象过点 2 2， 32. (1)求 f(x)与 g(x)的解析式； (2)比较 f(0.3)，g(0.2)与 g(1.5)的大小． 解 (1)因为函数 g(x)是 f(x)＝a x (a>0 且 a≠1)的反函数，所以 g(x)＝log a x(a>0 且 a≠1)． 因为 g(x)的图象过点 2 2， 32， 所以 log a 2 2＝ 32 ，所以32a ＝2 2，解得 a＝2. 所以 f(x)＝2 x ，g(x)＝log 2 x. (2)因为 f(0.3)＝2 0.3 >2 0 ＝1，g(0.2)＝log 2 0.2<0， 又 g(1.5)＝log 2 1.5<log 2 2＝1， 且 g(1.5)＝log 2 1.5>log 2 1＝0， 所以 0<g(1.5)<1， 所以 f(0.3)>g(1.5)>g(0.2)． 21．(12 分)攀枝花是一座资源富集的城市，矿产资源储量巨大，已发现矿种 76 种，探明储量39 种，其中钒、钛资源储量分别占全国的 63%和 93%，占全球的 11%和 35%，因此其素有“钒钛之都”的美称．攀枝花市某科研单位在研发钛合金产品的过程中发现了一种新合金材料，由大数据测得该产品的性能指标值 y(y 值越大产品的性能越好)与这种新合金材料的含量x(单位：克)的关系为：当 0≤x<7 时，y 是 x 的二次函数；当 x≥7 时，y＝ 13x － m .测得部分数据如表：

　x(单位：克) 0 2 6 10 … y －4 8 8 19

　…

　(1)求 y 关于 x 的函数关系式 y＝f(x)；

　(2)求该新合金材料的含量 x 为何值时产品的性能达到最佳． 解 (1)当 0≤x<7 时，y 是 x 的二次函数， 可设 y＝ax 2 ＋bx＋c(a≠0)， 由 x＝0，y＝－4 可得 c＝－4，由 x＝2，y＝8， 得 4a＋2b＝12，

　① 由 x＝6，y＝8，可得 36a＋6b＝12，② 联立①②解得 a＝－1，b＝8，即有 y＝－x 2 ＋8x－4； 当 x≥7 时，y＝ 13x － m ， 由 x＝10，y＝ 19 ，可得 m＝8，即有 y＝ 13x － 8 . 综上可得 y＝ －x 2 ＋8x－4，0≤x<7，13x － 8 ，x≥7. (2)当 0≤x<7 时，y＝－x 2 ＋8x－4＝－(x－4) 2 ＋12， 即有 x＝4 时，取得最大值 12； 当 x≥7 时，y＝ 13x － 8 递减，可得 y≤3， 当 x＝7 时，取得最大值 3. 综上可得当 x＝4 时产品的性能达到最佳． 22．(12 分)已知定义域为 R 的函数 f(x)＝ b－2x2 x ＋a 是奇函数． (1)求 a，b 的值； (2)证明：f(x)在 R 上为减函数； (3)若对于任意 t∈R，不等式 f(t 2 －2t)＋f(2t 2 －k)<0 恒成立，求 k 的取值范围． (1)解 因为 f(x)为 R 上的奇函数， 所以 f(0)＝0，得 b＝1. 又 f(－1)＝－f(1)，得 a＝1. 经检验 a＝1，b＝1 符合题意． (2)证明 任取 x 1 ，x 2 ∈R，且 x 1 <x 2 ， 则 f(x 1 )－f(x 2 )＝111 22 1xx－221 22 1xx

　＝       1 2 2 11 21 2 2 1 1 2 2 12 1 2 1x x x xx x     

　＝   2 11 22 2 22 1 2 1x xx x  . 因为 x 1 <x 2 ，所以22 x －12 x >0. 又因为(12 x ＋1)(22 x ＋1)>0， 所以 f(x 1 )>f(x 2 )，所以 f(x)为 R 上的减函数． (3)解 因为 t∈R，不等式 f(t 2 －2t)＋f(2t 2 －k)<0 恒成立， 所以 f(t 2 －2t)<－f(2t 2 －k)． 因为 f(x)为奇函数，所以 f(t 2 －2t)<f(k－2t 2 )． 因为 f(x)为 R 上的减函数， 所以 t 2 －2t>k－2t 2 ，即 k<3t 2 －2t 恒成立， 而 3t 2 －2t＝3 t－ 132 － 13 ≥－13 . 所以 k<－ 13 .