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    专题15,三角函数图象与性质（知识精讲）（原卷版）

    时间：2021-01-19 20:17:27 来源：蒲公英阅读网 本文已影响人 蒲公英阅读网手机站

    相关热词搜索：图象 函数 性质

    　专题十五

    　三角函数的图象与性质 知识精讲 一 一 知识结构图 内

    　容 考点 关注点

    　 三角函数的图象与性质

    　三角函数的图象 五个关键点 正弦、余弦、正切型函数的最值、单调区间

    　三角函数的图象与性质 三角函数值比较大小 三角函数单调性

    　二 二. 学法指导 1．解决正、余弦函数的图象问题，关键是要正确的画出正、余弦曲线． 2．正、余弦曲线的形状相同，只是在坐标系中的位置不同，可以通过相互平移得到． 3．用“五点法”画函数 y＝Asin x＋b(A≠0)或 y＝Acos x＋b(A≠0)在[0,2π]上简图的步骤 (1)列表：

    　x 0 π2

    　π、 3π2 2π sin x (或 cos x) 0(或 1) 1(或 0) 0(或－1) －1 (或 0) 0(或 1) y b (或 A＋b) A＋b (或 b) b (或－A＋b) －A＋b (或 b) b (或 A＋b) (2)描点：在平面直角坐标系中描出五个点(0，y 1 )， π2 ，y 2，(π，y 3 )， 3π2，y 4 ，(2π，y 5 )，这里的 y i (i＝1,2,3,4,5)值是通过函数解析式计算得到的． (3)连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来，就得到正(余)弦函数 y＝Asin x＋b(y＝Acos x＋b)(A≠0)的图象． 4.用三角函数的图象解 sin x＞a(或 cos x＞a)的方法 (1)作出 y＝a，y＝sin x(或 y＝cos x)的图象．

    　(2)确定 sin x＝a(或 cos x＝a)的 x 值． (3)确定 sin x＞a(或 cos x＞a)的解集． 5..求三角函数周期的方法：

    　(1)定义法：即利用周期函数的定义求解． (2)公式法：对形如 y＝Asin(ωx＋φ)或 y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ 是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝ 2π|ω| . (3)图象法：即通过观察函数图象求其周期． 6.对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断． 7、与三角函数奇偶性有关的结论 (1)要使 y＝Asin(ωx＋φ)(Aω≠0)为奇函数，则 φ＝kπ(k∈Z)； (2)要使 y＝Asin(ωx＋φ)(Aω≠0)为偶函数，则 φ＝kπ＋ π2 (k∈Z)； (3)要使 y＝Acos(ωx＋φ)(Aω≠0)为奇函数，则 φ＝kπ＋ π2 (k∈Z)； (4)要使 y＝Acos(ωx＋φ)(Aω≠0)为偶函数，则 φ＝kπ(k∈Z)． 8.求形如 y＝Asin(ωx＋φ)＋b 或形如 y＝Acos(ωx＋φ)＋b 或形如 y＝Atan(ωx＋φ)+b(其中 A≠0，ω>0，b为常数)的函数的单调区间，注意两点：①要把 ωx＋φ 看作一个整体，若 ω<0，先用诱导公式将式子变形，将 x 的系数化为正；②在 A>0，ω>0 时，将“ωx＋φ”代入正弦(或余弦或正切)函数的单调区间，可以解得与之单调性一致的单调区间；当 A<0，ω>0 时同样方法可以求得与正弦(余弦或正切)函数单调性相反的单调区间． 9、三角函数值大小比较的策略 1利用诱导公式，对于正弦函数来说，一般将两个角转化到 － π2 ，π2或 π2 ，3π2内；对于余弦函数来说，一般将两个角转化到[－π，0]或[0，π]内. 2不同名的函数化为同名的函数. 3自变量不在同一单调区间化至同一单调区间内，借助正弦、余弦函数的单调性来比较大小. 10、三角函数最值问题的常见类型及求解方法：

    　1y＝asin 2 x＋bsin x＋ca≠0，利用换元思想设 t＝sin x，转化为二次函数 y＝at 2 ＋bt＋c 求最值，t 的范围需要根据定义域来确定. 2y＝Asinωx＋φ＋b，可先由定义域求得 ωx＋φ 的范围，然后求得 sinωx＋φ的范围，最后得最值. 11、求正切型函数 y＝Atan(ωx＋φ)(A≠0，ω＞0)的定义域时，要将“ωx＋φ”视为一个“整体”．令 ωx＋φ≠kπ＋ π2 ，k∈Z，解得 x. 三 三. 知识点贯通 点 知识点 1

    　 正弦函数、余弦函数图象的初步认识 1.正弦函数 y＝sin x，x∈R 的图象叫正弦曲线．

    　2.余弦函数 y＝cos x，x∈R 的图象叫余弦曲线．

    　例 1.(1)下列叙述正确的是(

    　) ①y＝sin x，x∈[0,2π]的图象关于点 P(π，0)成中心对称； ②y＝cos x，x∈[0,2π]的图象关于直线 x＝π 成轴对称； ③正、余弦函数的图象不超过直线 y＝1 和 y＝－1 所夹的范围． A．0

    　B．1 个

    　C．2 个

    　 D．3 个 （2）函数 y＝sin|x|的图象是(

    　)

    　知识点二

    　 用 用“ 五点法” 作三角函数的图象 1.正弦曲线在[0,2π]上的图象的五个关键点(0,0)， π2 ，1 ，(π，0)， 3π2，－1 ，(2π，0)，。

    　2.余弦曲线 y＝cos x 在[0,2π]上的图象时，所取的五个关键点分别为(0,1)，π2 ，0 ，(π，－1)， 3π2，0 ，(2π，1)。

    　题 例题 2 ：用“五点法”作出函数 y＝－1＋cos x(0≤x≤2π)的简图．

    　 知识点三

    　三角函数的周期问题及简单应用 1.函数的周期性 (1)周期函数：对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的每一个值时，都有 f(x＋T)＝f(x)，那么这个函数的周期为 T. (2)最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期． 2．正弦函数、余弦函数的周期性 函数 y＝sin x y＝cos x

    　周期 2kπ(k∈Z 且 k≠0) 2kπ(k∈Z 且 k≠0) 最小正周期 2π 2π

    　题 例题 3 .求下列函数的周期：

    　(1)y＝sin 2x＋ π4； (2)y＝|sin x|.

    　知识点四

    　三角函数奇偶性的判断 正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性 函数 y＝sin x y＝cos x 奇偶性 奇函数 偶函数 题 例题 4 ．判断下列函数的奇偶性：

    　(1)f(x)＝sin － 12 x＋π2；(2)f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x)；

    　知识点五

    　正弦函数、余弦函数的单调性 解析式 y＝sin x y＝cos x

    　图象

    　 单调性 在  － π2 ＋2kπ，π2＋2kπ，k∈Z 上单调递增， 在  π2 ＋2kπ，3π2＋2kπ，k∈Z 上单调递减 在[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z 上单调递增， 在[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z 上单调递减

    　例题 5.(1)函数 y＝cos x 在区间[－π，a]上为增函数，则 a 的取值范围是________． (2)已知函数 f(x)＝ 2sin π4 ＋2x ＋1，求函数 f(x)的单调递增区间．

    　知识点六

    　正弦函数、余弦函数的最值问题 解析式 y＝sin x y＝cos x 图象

    　 值域 [－1,1] [－1,1] 最值 x＝ π2 ＋2kπ，k∈Z 时，y max ＝1；x＝－π2 ＋2kπ，k∈Z 时，y min ＝－1 x＝2kπ，k∈Z 时，y max ＝1；x＝π＋2kπ，k∈Z 时，y min ＝－1

    　例题 6

    　 (1)函数 y＝cos 2 x＋2sin x－2，x∈R 的值域为________． (2)已知函数 f(x)＝asin 2x－ π3＋b(a＞0)．当 x∈ 0， π2时，f(x)的最大值为 3，最小值是－2，求

    　a 和 b 的值．

    　知识点七

    　 正切函数的定义域、值域问题 解析式 y＝tan x 图象

    　定义域 x  x∈R，且x≠ π2＋kπ，k∈Z 值域 R

    　例题 7.(1)函数 y＝1tan x － π4 ＜x＜π4 且x≠0 的值域是(

    　) A．(－1,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C．(－∞，1)

    　 D．(－1，＋∞) (2)函数 y＝3tan π6 －x4的定义域为________．

    　知识点八

    　 正切函数奇偶性、周期性和图象的对称性 解析式 y＝tan x 图象

    　周期 π 奇偶性 奇函数 对称中心 kπ2，0 ，k∈Z

    　例题 8. (1)函数 f(x)＝tan 2x＋ π3的周期为________． (2)已知函数 y＝tan x－ π3，则该函数图象的对称中心坐标为________． (3)判断函数 y＝cos π2 －x ＋tan x.的奇偶性：

    　知识点九

    　 正切函数单调性的应用

    　解析式 y＝tan x 图象

    　单调性 在开区间 － π2 ＋kπ，π2 ＋kπ ，k∈Z 内都是增函数

    　例题 9.（1）求函数 y＝3tan π4 －2x 的单调区间．

    　 （2）tan 1，tan 2，tan 3，tan 4 从小到大的排列顺序为________．

    　 五 五 易错点分析 易错一

    　利用函数图象求方程的个数 题 例题 10.在同一坐标系中，作函数 y＝sin x 和 y＝lg x 的图象，根据图象判断出方程 sin x＝lg x 的解的个数．

    　误区警示 画函数的图象时，要注意关键点，找几个关键点，然后连接，进而可得函数的图象。

    　易错二

    　 比较大小 题 例题 11.利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小． (1)sin 196°与 cos 156°； (2)cos － 235π 与 cos － 174π .

    　错误区警示 利用三角函数的单调性比较大小，应先用诱导公式，化成在同一个单调区间上的角的同名三角函数值，进而用函数的单调性比较大小。

    　易错三 求三角函数的单调区间 题 例题 12.已知函数 y＝cos π3 －2x ，则它的单调减区间为________．

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