2021年高考物理模拟题精练专题5.1,开普勒定律（解析版）

时间：2021-01-19 20:11:35 来源：蒲公英阅读网 本文已影响人

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　 2021 年高考物理 100 考点最新模拟题千题精练 第五部分

　万有引力定律和航天 题 专题 5.1 开普勒定律 一．选择题 1.（2020 年 5 月 26 日湖北武汉质检）2020 年 5 月 5 日，长征五号 B 火箭首飞成功，新一代载人飞船试验船和柔性充气式货物返回舱被送入预定轨道，中国空间站建造拉开序幕。若试验船绕地球做匀速圆周运动，它与地心的连线在单位时间内扫过的面积为 S。已知地球半径为 R，地球表面的重力加速度为 g，则试验船的轨道半径为 A．224gRS

　B224SgR

　C．3216 SgR

　D．2316gRS 【关键点拨】根据题述试验船与地心的连线在单位时间内扫过的面积为 S，试验船绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，在地球表面重力等于万有引力，列方程解答。

　【参考答案】B 【名师解析】设试验船的轨道半径为 r，绕地球做匀速圆周运动的角速度为 ω，根据题述，若试验船绕地球做匀速圆周运动，它与地心的连线在单位时间内扫过的面积为 S，可知 S=12r 2 ω。试验船绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，设地球质量为M，试验船质量为m，则有G2Mmr=mrω 2 ，在地球表面，G2MmR=mg，联立解得 r=224SgR，选项 B 正确。

　【规律总结】凡是绕地球做匀速圆周运动的卫星或飞船，都是万有引力提供向心力，可根据题述条件选择合适的向心加速度公式列出相关方程；若题述没有给出地球质量，而是给出了地球表面的重力加速度 g，可利用黄金代换 GM=gR 2 （式中 M 为地球质量，R 为地球半径，G 为万有引力常量）。

　2．（2020 四川绵阳三诊）在地球同步轨道卫星轨道平面内运行的低轨道卫星，其轨道半径为同步卫星半径的 1/4， 则该低轨道卫星运行周期为 A．1h

　B．3h

　C．6h

　D．12 h 【参考答案】B 【命题意图】本题考查开普勒定律及其相关知识点，意在考查理解能力和推理能力，体现的核心素养是运动和力的观念。

　【解题思路】设该低轨道卫星的轨道半径为 r，运行周期为 T，则地球同步轨道卫星的轨道半径为 4r，

　 运行周期与地球自转周期相同，为 24h，根据开普勒第三定律， 334rr=2224T，解得 T=3h，选项 B 正确。

　【规律总结】对于绕同一天体运动的两颗卫星类问题，凡是涉及轨道半径和周期问题，可以采用开普勒第三定律。

　3．（2020 东北三省四市二模）如图所示，已知地球半径为 R，甲乙两颗卫星绕地球运动。卫星甲做匀速圆周运动，其轨道直径为 4R，C 是轨道上任意一点；卫星乙的轨道是椭圆，椭圆的长轴长为 6R，A、B 是轨道的近地点和远地点。不计卫星间相互作用，下列说法正确的是

　A．卫星甲在 C 点的速度一定小于卫星乙在 B 点的速度 B．卫星甲的周期大于卫星乙的周期 C．卫星甲在 C 点的速度一定小于卫星乙在 A 点的速度 D．在任意相等的时间内，卫星甲与地心的连线扫过的面积一定等于卫星乙与地心的连线扫过的面积 【参考答案】C 【命题意图】本题考查万有引力定律和牛顿运动定律、开普勒定律及其相关知识点，意在考查对开普勒定律的理解、建模能力和推理能力，体现的核心素养是运动和力的观念、科学思维能力。

　【解题思路】若卫星乙在过 B 的圆周上绕地球做匀速圆周运动，则轨道半径一定大于 3R，由G2Mmr=m2vr，解得 v=GMr，可知卫星乙在过 B 点的圆周上绕地球做匀速圆周运动的线速度小于卫星甲在 C 点的速度。卫星乙在过 B 的圆周上绕地球做匀速圆周运动减速后可变轨到 B 为远地点的椭圆轨道上运动，所以卫星甲在 C 点的速度一定大于卫星乙在 B 点的速度，选项 A 错误；由于卫星甲做匀速圆周运动轨道半径为 2R，卫星乙的在半长轴为 3R 的椭圆轨道上绕地球运动，由开普勒第三定律，可知卫星甲的周期小于卫星乙的周期，选项 B 错误；若卫星乙在过 A 点的圆周上绕地球做匀速圆周运动，则轨道半径一定小于 3R，由 G2Mmr=m2vr，解得 v=GMr，可知卫星乙在过 A 点的圆周上绕地球做匀速圆周运动的线速度大于卫星甲在 C 点的速度。卫星乙在过 A 点的圆周上绕地球做匀速圆周运动加速后可变轨到 A 为近地点、B 为远地点的椭圆轨道上运动，所以卫星甲在 C 点的速度一定小于卫星乙在 A 点的速度，选项 C 正确；根据开普勒第二定律，行星和太阳的连线在相等的时间间隔内扫过相等的面积，对于地球和卫星来说，在任意相等的时间内，卫星甲与地心的连线扫过的面积一定相等，卫星乙与地心的连线扫过的面积一定相等，但是，在任意相等的时间内，卫星甲与地心的连线扫过的面积不等于卫星乙与地心的连线扫过的面积，选

　 项 D 错误。

　【易错警示】解答此题常见错误主要有：一是根据卫星乙在过 A 点速度大于卫星甲。导致错误推理出卫星甲在 C 点的速度一定小于卫星乙在 B 点的速度，错选 A；二是根据卫星乙在过 A 点的圆周上绕地球做匀速圆周运动的周期小于卫星甲，导致错选 B；三是对开普勒第二定律理解错误，导致错选 D。

　4. （2020 河南五市联考）我国计划在 2020 年 7 月发射火星探测器,预计经过 10 个月的飞行,火星探测器 2021年到达火星,着陆火星表面并进行巡视探测。假设探测器在火星表面和地球表面以相同的速度竖直上抛一物体,其在地球上落回抛出点的时间是火星上的 a 倍,已知地球半径与火星半径之比为 b。不计地球和火星的自转及其表面气体的阻力。下列说法正确的是

　A.地球与火星绕太阳运动时,它们与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等

　B.地球与火星表面的重力加速度大小之比为 1∶a

　C.地球与火星的质量之比为 a∶b 2

　 D.地球与火星的第一宇宙速度大小之比为

　【参考答案】BD 【名师解析】根据开普勒第二定律，.地球绕太阳运动时与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等，.火星绕太阳运动时与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等，但是.地球与火星绕太阳运动时,它们与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积不相等，选项 A 错误；根据竖直上抛运动规律，探测器在火星表面和地球表面以相同的速度竖直上抛一物体,其在地球上落回抛出点的时间是火星上的 a 倍,，可得 g 火 t 火 =2v，g 地 t地 =2v，t 地 =a t 火 ，联立解得：地球与火星表面的重力加速度大小之比为g 地 ∶g 火 =1∶a，选项B正确；由GM/R 2 =g，解得地球与火星的质量之比为MM地火=22g Rg R地 地火 火= b 2 ∶a，选项 C 错误；由第一宇宙速度公式 v 1 = gR ，可得地球与火星的第一宇宙速度大小之比为 v 地 1 ∶ v 火 1 =g Rg R地 地火 火=11ba= ，选项 D 正确。

　5．（2020 天津 12 区县重点学校联考）科幻电影《流浪地球》中讲述了人类想方设法让地球脱离太阳系的故事．地球流浪途中在接近木星时被木星吸引，当地球快要撞击木星的危险时刻，点燃木星产生强大气流推开地球拯救了地球．若逃逸前，地球、木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，且航天器在地球表面的重力为G 1 ，在木星表面的重力为 G 2 ；地球与木星均可视为球体，其半径分别为 R 1 、R 2 ，则下列说法正确的是（

　）

　A．地球逃逸前，发射的航天器逃出太阳系的最小速度为 11.2 / km s

　B．木星与地球的第一宇宙速度之比为2 11 2G RG R C．地球与木星绕太阳公转周期之比的立方等于它们的轨道半长轴之比的平方

　 D．地球与木星的质量之比为21 122 2G RG R 【参考答案】D 【名师解析】

　在地球的表面发射飞出太阳系的最小发射速度，叫做第三宇宙速度 v 3 =16.7km/s，故 A 错误； 根据重力提供向心力得2111vG mR ，解得：地球上的第一宇宙速度1 11G Rvm ，同理得：木星上的第一宇宙速度为：2 21 "G Rvm ，故木星与地球的第一宇宙速度之比1 2 21 1 1v G Rv G R，故 B 错误； 根据开普勒第三定律得：3 31 22 21 2a aT T ，故3 21 12 2a Ta T         ，即地球与木星绕太阳公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的三次方，故 C 错误； 根据重力与万有引力相等，121M mG GR地，解得：21 1G RMGm地，同理可得木星质量：22 2G RMGm木，故21 122 2M G RM G R地木，故 D 正确；

　6.（2020 湖南长沙期末）为了加快建设海洋强国，根据《中国民用空间基础设施中长期发展规划》和《海洋卫星业务发展“十三五”规划》，到 2020 年，我国将研制和发射海洋卫星共十余颗。“海洋一号 C”卫星和“海洋二号 B”卫星这两颗卫星现在已经正式交付自然资源部投入使用，若这两颗卫星均绕地球做匀速圆周运动，“海洋二号 B”卫星的轨道半径是“海洋一号 C”卫星的 n 倍，关于这两颗卫星，下列说法正确的是（

　）

　A. “海洋二号 B”卫星的线速度是“海洋一号 C”卫星的1n倍

　B. “海洋二号 B”卫星的线速度是“海洋一号 C”卫星的 n 倍

　C. 在相同的时间内，“海洋二号 B”卫星与地球球心的连线扫过的面积和“海洋一号 C”卫星的相等

　D. 在相同的时间内，“海洋二号 B”卫星与地球球心的连线扫过的面积是“海洋一号 C”卫星的 n 倍

　【参考答案】AD 【名师解析】

　 两颗卫星绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力， ，解得线速度

　“海洋二号 B”卫星的轨道半径是“海洋一号 C”卫星的 n 倍，则“海洋二号 B”卫星的线速度是“海洋一号 C”卫星的1n倍，故 A 正确，B 错误。根据扇形面积公式可知，卫星与地球球心的连线扫过的面积为 S= ，则在相同的时间内，“海洋二号 B”卫星与地球球心的连线扫过的面积是“海洋一号 C”卫星的 n 倍，故 C 错误，D 正确。

　【关键点拨】。

　两颗卫星绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，得出线速度大小关系。

　根据扇形面积公式比较在相同的时间内，两位卫星与地球球心的连线扫过的面积。

　本题考查了人造卫星的相关计算，明确万有引力提供向心力，得出线速度公式，同时掌握扇形面积公式。

　7.（2020 山东三校联考）我国成功地发射了北斗三号组网卫星，如图为发射卫星的示意图。先将卫星发射到半径为 r 1 =r 的圆轨道上做匀速圆周运动，到 A 点时使卫星加速进入椭圆轨道，到椭圆轨道的远地点 B 点时，再次改变卫星的速度，使卫星进入半径为 r 2 =3r 的圆轨道做匀速圆周运动。已知卫星在椭圆轨道时距地心的距离与速度的乘积为定值，卫星在椭圆轨道上 A 点时的速度为 v，卫星的质量为 m，地球质量为 M，引力常量为 G，则发动机在 A 点对卫星做的功与在 B 点对卫星做的功之差为（不计卫星的质量变化）（

　）

　【参考答案】B

　 【名师解析】由 G2Mmr=m21vr可知，卫星在轨道半径为 r 的圆轨道上运动的线速度大小 v 1 =GMr，在半径为 3r 的圆轨道上做圆周运动的线速度大小为 v 2 =3GMr，设卫星在椭圆轨道上 B 点的速度为 v B ，根据开普勒第二定律， 行星和太阳的连线在相等的时间间隔内扫过相等的面积， 可得，vr=v B ·3r，可知 发动机在 A 点对卫星做的功W 1 =12mv 2 -12mv 1 2 ；发动机在 B 点对卫星做的功 W 2 =12mv 2 2 -12m（v/3）

　2 ；则发动机在 A 点对卫星做的功与在 B 点对卫星做的功之差为△W= W 1 -W 2 =59mv 2 -23GMmr,选项 B 正确。

　【关键点拨】。

　根据万有引力提供向心力得出卫星在半径为 r 和 2r 的圆轨道上的速度大小，结合卫星在椭圆轨道时距地球的距离与速度的乘积为定值，根据动能定理求出发动机在 A 点对卫星做的功与在 B 点对卫星做的功之差。解决本题的关键能够从题干中获取有用的信息，掌握万有引力提供向心力这一重要理论，结合动能定理进行求解。

　8．（2020 高考模拟卷）如图所示，A、B 两颗卫星均绕地球做匀速圆周运动，若 p 表示卫星的动量大小，S表示卫星与地心的连线在单位时间内扫过的面积，a 表示加速度大小，r 表示轨道半径，T 表示周期，则下列关系正确的是

　A．p A 一定小于 p B

　B．S A 大于 S B

　C．a A 大于 a B

　D．2 23 3BA BAr rT T

　【参考答案】B 【名师解析】

　根据万有引力提供向心力，则有：22Mm vG mr r ，解得：GMvr ，A 的轨道半径较大，则A Bv v  ，

　 由于 AB 的质量大小关系不知道，根据 p=mv，可知无法判断两者动量的大小关系，A 错误； 运动的天体与中心天体连线在同一时间内扫过的面积：2 21 1 1 1•2 2 2 2 2t GMS r tr vrt rt GMr tr       ，A的轨道半径较大，所以A BS S  ，B 正确；根据2MmG mar ，解得：2GMar ，A 的轨道半径较大，所以A Ba a  ，C 错误；根据开普勒第三定律知3 32 2A BA Br rT T ，D 错误． 9 ．如图所示，某行星沿椭圆轨道运行 A 为远日点，离太阳的距离为 a B ， 为近日点，离太阳的距离为 b，过远日点时行星的速率为av ，过近日点时的速率为 .bv 已知图中的两个阴影部分的面积相等，则（

　 ）

　A．b aav vb

　B．b aav vb

　C．行星从 A 到 " A 的时间小于从 B 到 " B 的时间 D．太阳一定在该椭圆的一个焦点上 【参考答案】BD 【名师解析】取极短时间 t  ，根据开普勒第二定律得：

　1 12 2a bv a t v b t      ，得到b aav vb ，故A 错误，B 正确；已知图中的两个阴影部分的面积相等，那么它们的运动时间相等，故 C 错误；由开普勒第一定律，则太阳一定在该椭圆的一个焦点上，故 D 正确。所以 BD 正确，AC 错误。

　10 ．无论地心说还是日心说,古人都把天体的运动看得很神圣,认为天体的运动必然是最完美、最和谐的匀速圆周运动.德国天文学家开普勒用了 20 年的时间研究了丹麦天文学家第谷( TychoBrahe ,1546-1601)的行星观测记录,发现如果假设行星的运动是匀速圆周运动,计算所得的数据与观测数据不符;只有假设行星绕太阳运动的轨道不是圆,而是椭圆,才能解释这种差别.他还发现了行星运动的其他规律.开普勒分别于 1609 年和1619 年发表了他发现的规律,后人称为开普勒行星运动定律.下列说法中与之吻合的是（

　 ）

　A．太阳系内的所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆,行星到太阳的最大距离等于椭圆的半长轴 B．对太阳系内的任意一个行星来说,它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积 C．太阳系内的每一颗行星与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积 D．太阳系内的所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等 【参考答案】BD 【名师解析】

　太阳系内的所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，由于太阳位于椭圆的焦点上，则行星到太阳的最大距离大于椭圆的半长轴，选项 A 错误；对太阳系内的任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积，选项 B 正确；太阳系内的每一颗行星运动的轨道不同，则与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积不相等，选项 C 错误；太阳系内的所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等，选项 D 正确；故选 BD. 11.（2019·湖南省怀化市高三二模）2018 年 12 月 8 日，嫦娥四号发射升空。将实现人类历史上首次 月球背面登月。随着嫦娥奔月梦想的实现，我国不断刷新深空探测的中国高度。嫦娥卫星整个飞行过 程可分为三个轨道段：绕地飞行调相轨道段、地月转移轨道段、绕月飞行轨道段我们用如图所示的模 型来简化描绘嫦娥卫星飞行过程，假设调相轨道和绕月轨道的半长轴分别为 a 、 b，公转周期分别为 T 1 、T 2 。关于嫦娥卫星的飞行过程，下列说法正确的是

　A．3 32 21 2a bT T B．嫦娥卫星在地月转移轨道上运行的速度应大于 11.2 km/s C．从调相轨道切入到地月转移轨道时，卫星在 P 点必须减速 D．从地月转移轨道切入到绕月轨道时，卫星在 Q 点必须减速 【参考答案】D

　 【名师解析】根据开普勒第三定律，调相轨道与绕月轨道的中心天体分别对应地球和月球，故它们轨道半长轴的三次方与周期的二次方比值不相等，故 A 错误； 11.2 km/s 是第二宇宙速度，是地球上发射脱离地球束缚的卫星的最小发射速度，故嫦娥卫星没有脱离地球束缚，故其速度小于 11.2 km/s，故 B 错误；从调相轨道切入到地月转移轨道时，卫星的轨道将持续增大，故卫星需要在 P 点做离心运动，故在 P 点需要加速，故 C 错误；从地月转移轨道切入到绕月轨道时，卫星相对月球而言，轨道半径减小，需要在Q 点开始做近心运动，故卫星需在 Q 点减速，故 D 正确。故选 D。

　12. （2018 徐州期中）牛顿在思考万有引力定律时就曾想，把物体从高山上水平抛出，速度一次比一次大， 落点一次比一次远。如果速度足够大，物体就不再落回地面，它将绕地球运动，成为人造地球卫星。如图所示是牛顿设想的一颗卫星，它沿椭圆轨道运动。下列说法正确的是

　A. 地球的球心与椭圆的中心重合 B. 卫星在近地点的速率小于在远地点的速率 C. 卫星在远地点的加速度小于在近地点的加速度 D. 卫星与椭圆中心的连线在相等的时间内扫过相等的面积 【参考答案】.C 【名师解析】地球的球心与椭圆的焦点重合，选项 A 错误；根据卫星运动过程中机械能守恒（动能和引力势能之和保持不变），卫星在近地点的动能大于在远地点的动能，根据动能公式，卫星在近地点的速率大于在远地点的速率，选项 B 错误；根据万有引力定律和牛顿运动定律，卫星在远地点的加速度小于在近地点的加速度，选项 C 正确；根据开普勒定律，卫星与地球中心的连线在相等的时间内扫过相等的面积，选项D 错误。

　13..(2016· 江苏)如图所示，两质量相等的卫星 A、B 绕地球做匀速圆周运动，用 R、T、E k 、S 分别表示卫星的轨道半径、周期、动能、与地心连线在单位时间内扫过的面积．下列关系式正确的有

　A．T A >T B

　B.

　E kA >E kB

　 C．S A =S B

　D. 3 32 2A BA BR RT T

　【参考答案】AD 【名师解析】

　由 G2MmR=mR(2T) 2 ，解得 T=2π3RGM.由此可知，T A >T B ，选项 A 正确。由 G2MmR=m2vR，E k

　=12mv 2 ，解得：E k

　=2GMmR， 由此可知，E kA <E kB ，选项 B 错误。卫星与地心连线在单位时间内扫过的面积 S=vR/2。由 G2MmR=m2vR，可得（vR）

　2 =GMR，由于两卫星轨道半径 R 不同，所以卫星与地心连线在单位时间内扫过的面积 S 不等，选项 C 错误。由开普勒定律可知，3 32 2A BA BR RT T ，选项 D 正确。

　14.(2017·江西重点中学联考)下列说法正确的是(

　) A.伽利略发现了万有引力定律，并测得了引力常量 B.根据表达式 F＝G m 1 m 2r 2可知，当 r 趋近于零时，万有引力趋近于无穷大 C.在由开普勒第三定律得出的表达式 R3T 2 ＝k 中，k 是一个与中心天体有关的常量 D.两物体间的万有引力总是大小相等、方向相反，是一对平衡力 【参考答案】C 【名师解析】

　牛顿发现了万有引力定律，卡文迪许测得了引力常量，故选项 A 错误；表达式 F＝G m 1 m 2r 2中，当 r 趋近于零时，万有引力定律不适用，故选项 B 错误；表达式 R3T 2 ＝k 中，k 是一个与中心天体有关的常量，故选项 C 正确；物体间的万有引力总是大小相等、方向相反，是一对相互作用力，故选项 D 错误。

　15、(2018·江苏苏北四市一模)(多选)澳大利亚科学家近日宣布，在离地球约 14 光年的“红矮星 Wolf 1061”周围发现了三颗行星 b、c、d，它们的公转周期分别是 5 天、18 天、67 天，公转轨道可视为圆，如图所示．已

　 知引力常量为 G.下列说法正确的是(

　)

　A．可求出 b、c 的公转半径之比 B．可求出 c、d 的向心加速度之比 C．若已知 c 的公转半径，可求出“红矮星”的质量 D．若已知 c 的公转半径，可求出“红矮星”的密度 【参考答案】ABC 【名师解析】行星 b、c 的周期分别为 5 天、18 天，均做匀速圆周运动，根据开普勒第三定律 R3T 2 ＝k，可以求出轨道半径之比，A 正确．行星 c、d 的周期分别为 18 天、67 天，同上可以求出轨道半径之比，根据万有引力提供向心力，有 G Mmr 2＝ma，解得 a＝ GMr 2，故可以求出 c、d 的向心加速度之比，B 正确．已知c 的公转半径和周期，根据牛顿第二定律有 G Mmr 2＝m 4π2T 2r，解得 M＝ 4π2 r 3GT 2 ，故可以求出“红矮星”的质量，但不知道“红矮星”的体积 G，无法求出“红矮星”的密度，C 正确，D 错误． 16. （2016山西太原期末）如图是两颗仅在地球引力作用下绕地球运动的人造卫星轨道示意图，I是半径为R的圆轨道,II为椭圆轨道，AB为椭圆的长轴，且AB=2R，两轨道和地心在同一平面内,C、D为两轨道的交点。己知轨道Ⅱ上的卫星运动到C点时速度方向与AB平行。下列说法正确的是

　A．两个轨道上的卫星在C点时的加速度相同 B．两个轨道上的卫星在C点时的向心加速度大小相等 C．II轨道上卫星的周期大于I轨道上卫星的周期 D．II轨道上卫星从C经B运动到D的时间与从D经A运动到C的时间相等 【参考答案】A 【名师解析】由G2Mmr=ma，解得a=GM/r 2 ，两个轨道上的卫星在C点时到地心的距离相同，所以两个轨道上的卫星在C点时的加速度相同，选项A正确。轨道I为圆轨道，轨道II为椭圆轨道，两个轨道上的卫星在C点时的向心加速度大小不相等，选项B错误。由于椭圆轨道的半长轴大于圆轨道半径，由开普勒定律可知，

　 II轨道上卫星的周期等于I轨道上卫星的周期，选项C错误。根据开普勒定律，卫星在近地点速度大于远地点速度，所以II轨道上卫星从C经B运动到D的时间大于从D经A运动到C的时间，选项D错误。

　17． 天文学上把日地距离的平均值称为一个天文单位，记为 1 AU，云南天文台发现一颗小行星在椭圆轨道上运行，经观测其与太阳最近距离约为 0.6 AU、运行周期约为 8 年。若地球公转轨道接近圆，小行星和地球绕太阳运行过程中均只考虑太阳对它们的引力作用，下列说法正确的是(

　) A．小行星轨道半长轴约为 4 AU B．小行星轨道半长轴约为 16 2 AU C．小行星在近日点的运行速率小于地球绕太阳公转的速率 D．小行星在近日点的运行速率大于地球绕太阳公转的速率 【参考答案】AD 【名师解析】．由题意知可知，小行星和地球公转周期之比为 8∶1，根据开普勒第三定律得， r3T 2 ＝k，则小行星的半长轴和地球公转半径之比为 4∶1，地球公转半径为 1 AU，则小行星轨道半长轴约为 4 AU，故 A正确，B 错误；小行星若在近日点位置做匀速圆周运动，根据 v＝GMr知，小行星的速率大于地球的公转速率，小行星在近日点位置由圆轨道进入椭圆轨道，需加速，可知小行星在近日点的运行速率大于地球绕太阳的公转速率，故 C 错误，D 正确。

　18．嫦娥四号探测器，简称四号星，由长征三号乙运载火箭从地面发射后，进入地月转移轨道，经多次变轨后进入距离月球表面 100 公里的圆形环月轨道(图中的轨道Ⅲ)，于 2018 年 12 月 30 日在该轨道再次成功实施变轨控制，顺利进入预定的着陆准备轨道，并于2019年1月3日成功着陆在月球背面的艾特肯盆地冯·卡门撞击坑的预选着陆区，自此我国成为全球首个在月球背面软着陆的国家。忽略四号星质量的变化，下列说法正确的是(

　)

　A．四号星在轨道Ⅲ上的运行周期比在轨道Ⅱ上的大 B．四号星在轨道Ⅰ上的机械能比在轨道Ⅱ上的大 C．四号星在轨道Ⅲ上经过 P 点时的加速度大小比在轨道Ⅱ上经过 P 点时的大 D．四号星在轨道Ⅲ上经过 P 点时的速率比在轨道Ⅰ上经过 P 点时的小 【参考答案】BD 【名师解析】．．由开普勒第三定律可知，轨道半径(或半长轴)越大，卫星在该轨道上的运行周期越大，因此

　 四号星在轨道Ⅲ上的运行周期比在轨道Ⅱ上的运行周期小，A 错误；四号星由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ时，应在 P点减速，则四号星在轨道Ⅰ上的机械能比在轨道Ⅱ上的大，B 正确；四号星在轨道Ⅲ和在轨道Ⅱ上经过 P点时受到的万有引力相等，因此四号星在轨道Ⅲ和在轨道Ⅱ上经过 P 点时的加速度大小相等，C 错误；四号星在轨道Ⅲ上做匀速圆周运动，则有 G Mmr 2＝m v2r，四号星在轨道Ⅰ上经过 P 点时做离心运动，则有 G Mmr 2＜m v2r，显然 v 3 ＜v 1 ，D 正确。

　19、“嫦娥四号”月球探测器要经过多次变轨，最终降落到月球表面上．如图所示，轨道Ⅰ为圆形轨道，其半径为 R；轨道Ⅱ为椭圆轨道，半长轴为 a，半短轴为 b.如果把探测器与月球中心的连线扫过的面积与其所用时间的比值定义为面积速率，则探测器绕月球运动过程中在轨道Ⅰ和轨道Ⅱ上的面积速率之比是(已知椭圆的面积 S＝πab)(

　)

　A.abR

　 B.Ra

　C.aRb

　 D.bRa 【参考答案】

　C 【名师解析】

　由开普勒第三定律得：R 3T 1 2 ＝a 3T 2 2 ，解得：T 2T 1 ＝a 3R 3

　v 面 1v 面 2 ＝πR 2T 1πabT 2＝ R2ab ·T 2T 1 ＝R 2aba 3R 3 ＝aRb，故 A、B、D 错误，C 正确． 二．计算题 1. （2019 北京 101 中学三模）黑洞是爱因斯坦广义相对论预言的一种质量极大的天体，黑洞自身不发光，难以直接观测，我们可以通过恒星运动，黑洞边缘的吸积盘及喷流，乃至引力波来探测。美国在

　 2016 年 6 月“激光干涉引力波天文台”（LIGO）就发现了来自于距离地球 13 亿光年之外一个双黑洞系统合并产生的引力波。

　假定黑洞为一个质量分布均匀的球形天体，天文学家观测到一质量很小的恒星独自在宇宙中做周期为T，半径为 r 0 的匀速圆周运动，由此推测，圆周轨道的中心可能有个黑洞。设万有引力常量为 G。

　（1）利用所学知识求该黑洞的质量 M； （2）严格解决黑洞问题需要利用广义相对论的知识，但早在相对论提出之前就有人 利用牛顿力学体系预言过黑洞的存在，他们认为黑洞的引力很大，大到物体以光速运动都无法从其逃脱。我们知道，在牛顿体系中，当两个质量分别为 m 1 、m 2 的质点相距为 r 时也会具有势能，称之为引力势能，其大小为rm mG E2 1p （规定无穷远处势能为零），若按照牛顿力学体系将地球变为一个黑洞，求地球变为黑洞后的最大半径 R m 。（已知万有引力常量 G=6.67×10 -11 N·m²/kg²，地球质量 M=6.02×10 24 kg）。

　【名师解析】．（18 分）

　（1）根据万有引力定律和牛顿第二定律0220)2( rTmrMmG 解得

　23024GTrM

　(2) 设质量为 m 的物体，从黑洞表面至无穷远处 根据能量守恒定律 0 -212 ）

　（Rm MG mv

　解得

　22vM GR 因为连光都不能逃离，有 v = c 所以黑洞的半径最大不能超过22cM GR =0.009m

　2. （2016· 北京海淀模拟）万有引力定律揭示了天体运动规律与地上物体运动规律具有内在的一致性。

　（1）用弹簧秤称量一个相对于地球静止的小物体的重量，随称量位置的变化可能会有不同的结果。已知地球质量为 M，自转周期为 T，万有引力常量为 G。将地球看作是半径为 R、质量均匀分布的球体，不考虑空气的影响。设在地球北极地面称量时，弹簧秤的读数是 F 0 。

　a．若在北极上空高出地面 h 处称量，弹簧秤读数为 F 1 ，求比值10FF的表达式，并就 h=1.0%R 的情形计算出具体数值（计算结果保留两位有效数字）；

　 b．若在赤道地面称量，弹簧秤读数为 F 2 ，求比值20FF的表达式。

　（2）设想地球绕太阳公转的圆周轨道半径为 r、太阳的半径 Rs 和地球的半径 R 三者均减小为现在的 1.0%，而太阳和地球的密度不变均匀且不变，仅考虑太阳和地球之间的相互作用，以现在地球的 1 年为标准，计算“设想地球”的一年将变为多长？ 【名师解析】在地球北极地面称量时，弹簧秤的读数是 F 0 =G2MmR，

　 在北极上空高出地面 h 处称量，弹簧秤读数为 F 1 =G 2MmR h =G 21.01MmR， 解得：10FF=211.01=0.98

　 (2) 在赤道地面称量，弹簧秤读数为 F 2 ，由牛顿第二定律，G2MmR- F 2 =mR22T     解得：F 2 = F 0 -mR22T    ， 20FF=1-2 324 RT GM (3) 根据万有引力定律和牛顿第二定律可得，G2Mmr =mr22T     而太阳质量 M=43πR s 3 ρ， 解得周期 T=333SrG R。

　式中 ρ 为太阳的密度。

　由上式可知，地球公转周期 T E 仅与太阳的密度、地球公转轨道半径与太阳半径之比有关，因此三者均减小为现在的 1.0%，地球公转周期 T 不变，即仍为 1 地球年。