专题03,,,数列多选题,（解析版）

时间：2020-12-02 15:17:42 来源：蒲公英阅读网 本文已影响人

相关热词搜索：数列 解析 专题

　第一篇

　备战新高考狂练新题型之高三数学提升捷径 专题 03

　 数列多选题

　典

　 型

　母

　 题 题源

　2019·山东莱州一中高三月考

　试题 内容 已知数列{a n }是公差不为 0 的等差数列，前 n 项和为 S n ，满足 a 1 +5a 3 ＝S 8 ，下列选项正确的有（

　 ）

　A．100 a 

　B．7 12S S 

　C．10S 最小 D．200 S 

　试题 解析 因为{a n }是等差数列，设公差为 d ，由1 3 85 a a S   ，

　可得19 0 a d   ，即100 a  ，即选项 A 正确， 又12 7 8 9 10 11 12 105 0 S S a a a a a a         ，即选项 B 正确，

　当 0 d  时，则9S 或10S 最小，当 0 d  时，则9S 或10S 最大，即选项 C 错误， 又19 1019 0 S a   ，200 a  ，所以200 S  ，即选项 D 错误， 故选 AB. 试题 点评 本题考查了等差数列的性质、基本量的运算、通项公式、前 n 项和公式、前 n 项和的最值等问题，属中档题.

　方法 归纳 解决数列有关的选择题，一般就是考查数列性质、基本量的运算、通项公式、前 n 项和公式、等差数列、等比数列的判断等。解决这类题，应注意等差数列、等比数列性质的运用，要熟练掌握基本量的运算。解决数列选择题的方法一般有：直接法、 特值检验法，顺推破解法， 构造函数，逐项验证法。

　【针对训练】

　1.【题源】已知等比数列  na 中，满足11, 2 a q   ，则（

　）

　A．数列  2na 是等比数列 B．数列1na   是递增数列 C．数列  2logna 是等差数列 D．数列  na 中，10 20 30, , S S S 仍成等比数列

　【答案】AC 【解析】等比数列  na 中，11, 2 a q   ，所以12 nna-= ， 2 1nnS   ． 于是124 nna

　，11 12nna   ，2log 1na n   ，故数列  2na 是等比数列， 数列1na   是递减数列，数列  2logna 是等差数列． 因为10 20 3010 20 302 1, 2 1, 2 1, S S S      

　20 3010 20S SS S ，所以10 20 30, , S S S 不成等比数列． 故选：AC． 2.【题源】（2019·山东高三期中）设   x 为不超过 x 的最大整数，na 为       0, x x x n    能取到所有值的个数，nS 是数列12na n   前 n 项的和，则下列结论正确的有（

　）

　A．34 a 

　B．190 是数列  na 中的项 C．1056S 

　D．当 7 n  时，21nan取最小值 【答案】ACD 【解析】当 1 n  时,   0,1 x ,   0 x  ,   0 x x  ,故   0 x x    ,即11 a  , 当 2 n  时,   0,2 x ,     0,1 x  ,       0 1,2 x x   ,故     0,1 x x    ,即22 a  , 当 3 n  时,   0,3 x ,     0,1,2 x  ,         0 1,2 4,6 x x    ,故     0,1,4,5 x x    ,即34 a  , 以此类推,当 2 n  ,   0, x n  时,     0,1,2,... x n  ,         20 1,2 4,6 ( 1) , ( 1) x x n n n       ,故   x x   可以取的个数为221 1 2 3 ... 12n nn       ,即22, 22nn na n   当 1 n  时也满足上式,故22,2nn na n N  . 对 A, 233 3 242a  ,故 A 正确.

　对 B,令222190 378 02nn na n n      无整数解.故 B 错误. 对 C, 1 2 1 12( )2 ( 1)( 2) 1 2na n n n n n      . 故1 1 1 1 1 1 22( ... ) 1 )2 3 3 4 1 2 2nn nSn          .故102 5112 6S    .故 C 正确. 对 D, 21 22 1 22 122 2 2 2na n nn n n      .当且仅当  222 11 6,72nnn    时取等号. 因为 nN,当 6 n  时,21 166nan  , 当 7 n  时,21 167nan  , 故当 7 n  时,21nan取最小值,故 D 正确. 故选：ACD 3.【题源】等差数列 { }na 的前 n 项和为nS ，若10 a  ，公差 0 d  ，则下列命题正确的是（

　）

　A．若5 9S S  ，则必有140 S 

　B．若5 9S S  ，则必有7S 是nS 中最大的项 C．若6 7S S  ，则必有7 8S S 

　D．若6 7S S  ，则必有5 6S S 

　【答案】

　ABC 【解析】∵等差数列 { }na 的前 n 项和公式 112nn n dS na  ， 若5 9S S  ，则1 15 10 9 36 a d a d    ， ∴12 13 0 a d   ，∴1132da   ，∵10 a  ，∴ 0 d  ， ∴1 140 a a   ，∴  1 14 140 7 a a S    ，A 对； ∴ 112nn n dS na   1 132 2n n d nd    27 492d n   ，由二次函数的性质知7S 是nS 中最大的项，B 对； 若6 7S S  ，则7 16 0 a a d    ，∴16 a d   ， ∵10 a  ，∴ 0 d  ，∴6 15 a a d   6d d    0 d    ，8 7 70 a a d a     ， ∴5 6 5 6S S S a    ，7 8 7 8S S S a    ，C 对，D 错；

　故选：ABC． 4. 【题源】已知数列  na 的前 n 项和为nS ，且   2n nS a a   （其中 a 为常数），则下列说法正确的是（

　）

　A．数列  na 一定是等比数列 B．数列  na 可能是等差数列 C．数列  nS 可能是等比数列 D．数列  nS 可能是等差数列 【答案】

　BD 【解析】

　  2n nS a a   ，  1 12 , , 2n nS a a n N n     ，两式相减：

　12 2n n na a a  ，12n na a ， 2 n 

　若 0 a  ，令  1 11, 2 0 n a a    ，10 a  ，则 0na  ，此时是等差数列，不是等比数列， 若 0 a  ，令  1 11, 2 n a a a    ，12 a a  ，则12n na a ， 2 n  ，此时不是等差数列， 所以数列  na 不一定是等比数列，可能是等差数列，所以 A 错 B 正确； 又    12 2 , 2,n n n nS a a S S a n n N        ，得12 2n nS S a  ， 要使  nS 为等比数列，必有若 0 a  ，已求得此时令  1 11, 2 0 n a a    ，10 a  ， 则 0, 0n na S   ，此时  nS 是一个所有项为 0 的常数列，所以  nS 不可能为等比数列，所以 C 错误 D 正确. 故选：BD 5.【题源】意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，….，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列  na 称为“斐波那契数列”，记nS 为数列  na 的前 n 项和，则下列结论正确的是（

　）

　A．68 a 

　B．733 S 

　C．1 3 5 2019 2020a a a a a    

　D．2 2 21 2 201920202019a a aaa 

　【答案】

　ABCD 【解析】对 A，写出数列的前 6 项为 1,1,2,3,5,8 ，故 A 正确； 对 B，71 1 2 3 5 8 13 33 S         ，故 B 正确；

　对 C，由1 2a a  ，3 4 2a a a   ，5 6 4a a a   ，……，2019 2020 2018a a a   ， 可得：1 3 5 2019 2020a a a a a     .故1 3 5 2019a a a a    是斐波那契数列中的第 2020 项. 对 D，斐波那契数列总有2 1 n n na a a   ，则21 2 1a a a  ，  22 2 3 1 2 3 2 1a a a a a a a a     ， 23 3 4 2 3 4 2 3a a a a a a a a     ，……，  22018 2018 2019 2017 2018 2019 2017 2018a a a a a a a a     ，22019 2019 2020 2019 2018a a a a a  

　2 2 2 21 2 3 2019 2019 2020a a a a a a     ，故 D 正确； 故选：ABCD. 6.【题源】在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”.则下列说法正确的是（

　）

　A．此人第三天走了四十八里路 B．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里 C．此人第二天走的路程占全程的14 D．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的 8 倍 【答案】

　ABD 【解析】根据题意此人每天行走的路程成等比数列， 设此人第 n 天走na 里路，则 { }na 是首项为1a ，公比为12q 

　的等比数列. 所以661161[1 ( )](1 )2= 3781112aa qSq ，解得1192 a  . 23 11192 484a a q     ,所以 A 正确, 由1192 a  ，则6 1378 192 186 S a     ，又 192 186 6   ，所以 B 正确. 2 11192 962a a q     ,而6194.6 964S   ，所以 C 不正确. 21 2 3 11 1(1 ) 192 (1 ) 3362 4a a a a q q           ,则后 3 天走的路程为 378 336=42 

　 而且 42 8=336  ,所以 D 正确. 故选：ABD 7.【题源】若数列  na 满足：对任意正整数 n ，  1 n na a为递减数列，则称数列  na 为“差递减数列”.给出下列数列    *na n N ，其中是“差递减数列”的有（

　）

　A． 3na n 

　B．21na n  

　C．na n 

　D．ln1nnan 【答案】

　CD 【解析】对 A ，若 3na n  ，则13( 1) 3 3n na a n n     ，所以  1 n na a不为递减数列，故 A 错误； 对 B ，若21na n   ，则2 21( 1) 2 1n na a n n n      ，所以  1 n na a为递增数列，故 B 错误； 对 C ，若na n  ，则1111n na a n nn n     ，所以  1 n na a为递减数列，故 C 正确； 对 D ，若 ln1nnan，则121 1 1 1ln ln ln ln(1 )2 1 2 2n nn n n na an n n n n n           ，由函数21ln(1 )2yx x 在 (0, )  递减，所以数  1 n na a为递减数列，故 D 正确. 故选：

　CD . 8.【题源】设等比数列  na 的公比为 q ，其前 n 项和为nS ，前 n 项积为nT ，并且满足条件11 a  ，66 7711, 01aa aa ，则下列结论正确的是（

　）

　A． 0 1 q  

　B．6 81 a a 

　C．nS 的最大值为7S

　D．nT 的最大值为6T

　【答案】

　AD 【解析】①6 71, 1 a a   , 与题设67101aa矛盾. ②6 71, 1, a a   符合题意. ③6 71, 1, a a   与题设67101aa矛盾. ④ 6 71, 1, a a   与题设11 a  矛盾.

　得6 71, 1,0 1 a a q     ，则nT 的最大值为6T .  B，C，错误. 故选：AD. 9.【题源】已知数列  na 的前 n 项和为   0n nS S  ，且满足1 114 0( 2),4n n na S S n a    ，则下列说法

　正确的是（

　）

　A．数列  na 的前 n 项和为1S4nn

　B．数列  na 的通项公式为14 ( 1)nan n C．数列  na 为递增数列 D．数列1{ }nS为递增数列 【答案】

　AD 【解析】1 1 14 0( 2), 4 0n n n n n n na S S n S S S S        

　11 10 4nn nSS S    因此数列1{ }nS为以114S为首项， 4 为公差的等差数列，也是递增数列，即 D 正确； 所以1 14 4( 1) 44nnn n SS n     ，即 A 正确； 当 2 n  时11 1 14 4( 1) 4 ( 1)n n na S Sn n n n       所以1, 141, 24 ( 1)nnann n   ，即 B，C 不正确； 故选：AD 10.【题源】将2n 个数排成 n 行 n 列的一个数阵，如下图：

　11 12 1321 22 23 231 32 33 31 312nnn n n nnna a aa a a aa a a aa aaa a 该数阵第一列的 n 个数从上到下构成以 m 为公差的等差数列，每一行的 n 个数从左到右构成以 m 为公比的等比数列（其中 0 m  ）.已知112 a  ，13 611 a a   ，记这2n 个数的和为 S .下列结论正确的有（

　）

　A． 3 m 

　B．76717 3 a  

　C．1(3 1) 3 jija i  

　D．  1(3 1) 3 14nS n n   

　【答案】

　ACD 【解析】由题意，该数阵第一列的 n 个数从上到下构成以 m 为公差的等差数列，每一行的 n 个数从左到右构成以 m 为公比的等比数列，且112 a  ，13 611 a a   ， 可得2 213 112 a a m m   ，61 115 2 5 a a d m     ，所以22 2 5 1 m m   ， 解得 3 m  或12m   （舍去），所以选项 A 是正确的； 又由6 6 667 61(2 5 3) 3 17 3 a a m        ，所以选项 B 不正确； 又由1 1 11 111(3 [( ( 1) ] [2 ( 1) 3] 3 1) 3j j j jij ia m a i m m i i a                 ，所以选项 C 是正确的； 又由这2n 个数的和为 S ， 则11 12 1 21 22 2 1 2( ) ( ) ( )n n n n nnS a a a a a a a a a             

　 1 11 21(1 3 ) (1 3 ) (1 3 )1 3 1 3 1 3n n nna a a        1 (2 3 1)(3 1)2 2nn n    

　1(3 1)(3 1)4nn n    ，所以选项 D 是正确的， 故选：ACD.