第4讲,三角函数图像和性质教师

时间：2021-02-01 20:55:22 来源：蒲公英阅读网 本文已影响人

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　 第四讲

　三角函数图像和性质 [玩前必备] 1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象

　定义域 R R {x|x∈R 且 x≠ π2 ＋kπ，k∈Z} 值域 [－1，1] [－1，1] R 单调性 [－ π2 ＋2kπ，π2 ＋2kπ](k∈Z)上递增； [ π2 ＋2kπ，3π2＋2kπ](k∈Z)上递减 [－π＋2kπ，2kπ] (k∈Z)上递增； [2kπ，π＋2kπ] (k∈Z)上递减 (－ π2 ＋kπ，π2 ＋kπ) (k∈Z)上递增 最值 x＝ π2 ＋2kπ(k∈Z)时，y max ＝1； x＝－ π2 ＋2kπ(k∈Z)时，y min ＝－1 x＝2kπ(k∈Z)时， y max ＝1； x＝π＋2kπ(k∈Z)时，y min ＝－1

　奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称中心 (kπ，0)(k∈Z) ( π2 ＋kπ，0) (k∈Z) ( kπ2，0)(k∈Z) 对称轴 方程 x＝ π2 ＋kπ (k∈Z) x＝kπ(k∈Z)

　周期 2π 2π π 2．五点法作 y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图 用“五点法”作图，就是令 ωx＋φ 取下列 5 个特殊值：0, π2 , π, 3π2, 2π，通过列表，计算五点的坐标，描点得到图象.

　 3．三角函数图象变换

　4[常用结论] （1）对称与周期的关系 正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一个周期；正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期． （2）与三角函数的奇偶性相关的结论 若 y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则有 φ＝kπ＋ π2 (k∈Z Z)；若为奇函数，则有 φ＝kπ(k∈Z Z)． 若 y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数，则有 φ＝kπ(k∈Z Z)；若为奇函数，则有 φ＝kπ＋ π2 (k∈Z Z)． 若 y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则有 φ＝kπ(k∈Z Z)． [玩转典例] 题型一

　三角函数的 5 大性质 例 例 1 (安老师原创) 已知函数 f(x)＝2cos x·sin  x＋ π3－ 3sin 2 x＋sin x cos x＋1. (1)求函数 f(x)的最小正周期； (2) 当 x∈ 0， π2时， 求函数 f(x)的最大值及最小值； (3)写出函数 f(x)的单调递增区间． (4)写出函数 f(x)的对称轴和对称中心. (5)函数 f(x)向右平移 t 个单位为偶函数，求 t 的最小正值。

　解 f(x)＝2cos x   12 sin x＋32cos x － 3sin 2 x＋sin xcos x＋1＝2sin xcos x＋ 3(cos 2 x－sin 2 x)＋1 ＝sin 2x＋ 3cos 2x＋1＝2sin  2x＋ π3＋1. [玩转跟踪]

　 1．（2020·山东高三下学期开学）函数2( ) cos3f x x     的最小正周期为（

　）

　A．4 B． 2 

　C．2 D． 

　【答案】D 【解析】因为22cos 2 11 2 1 3( ) cos cos 23 2 2 3 2xf x x x                   ，所以最小正周期为  . 故选：D 2．（2020 届山东省济宁市高三 3 月月考）已知函数      2sin 2 0 f x x        ，若将函数   f x 的图象向右平移6个单位长度后，所得图象关于 y 轴对称，则下列结论中正确的是(

　) A．56 

　B． ,012    是   f x 图象的一个对称中心 C．   2 f  

　D．6x  是   f x 图象的一条对称轴 【答案】ABD 【解析】由题意，     2sin 2 f x x    向右平移6，得 2sin 2 2sin 26 3y x x                       2sin 23y x     的图象关于 y 轴对称，所以3 2k      ， k Z 

　6k k Z     ， ，又 0     ,506k    ，

　即  52sin 26x x f  ,50 2 212 6 6f f f                      ， ，

　则 ,012    是   f x 图象的一个对称中心，6x  是   f x 图象的一条对称轴 而   2 f   ，则 C 错，A,B,D 正确,故选：ABD 3.（2019·呼和浩特开来中学）已知函数23 1( ) sin2 cos2 2f x x x   .

　 (1)求2( )3f的值及 f(x)的对称轴； (2)将( ) f x 的图象向左平移6个单位得到函数 ( ) g x 的图象，求 ( ) g x 的单调递增区间. 【答案】（1）12 ， ,3 2kx k Z    ； （2）

　[ , ],3 6k k k Z       。

　【解析】（1）由函数23 1 3 1( ) sin2 cos sin2 cos2 sin(2 )2 2 2 2 6f x x x x x x       ， 则2 2 7 1( ) sin(2 ) sin sin3 3 6 6 6 2f            ， 令 2 ,6 2x k k Z      ，解得 ,3 2kx k Z    ， 即函数的对称轴的方程为 ,3 2kx k Z   

　（2）由（1）可知函数 ( ) sin(2 )6f x x  的图象向左平移6个单位得到函数 ( ) g x 的图象， 可得 ( ) sin[2( ) ] sin(2 )6 6 6g x x x       的图象， 令 2 2 2 ,2 6 2k x k k Z           ，解得 ,3 6k x k k Z         ， 所以函数的单调递增区间为 [ , ],3 6k k k Z       . 题型二

　三角函数模型中“ω”范围的求法探究 例 例 2 (2020·洛阳尖子生第二次联考)已知函数 f(x)＝sin ωx＋ π6(ω>0)在区间 － π4 ，2π3上单调递增，则 ω 的取值范围为(

　) A. 0， 83

　B. 0， 12 C. 12 ，83

　D. 38 ，2 [解析] 法一：由题意得 － ωπ4＋ π6 ≥－π2 ＋2kπ，k∈Z，2ωπ3＋ π6 ≤π2 ＋2kπ，k∈Z， 则 ω≤ 83 －8k，k∈Z，ω≤ 12 ＋3k，k∈Z，又 ω>0，所以 83 －8k>0，12 ＋3k>0k∈Z Z，所以 k＝0，则 0<ω≤ 12 ，故选 B.

　 法二：取 ω＝1，则 f(x)＝sin x＋ π6，令 π2 ＋2kπ≤x＋π6 ≤3π2＋2kπ，k∈Z Z，得 π3 ＋2kπ≤x≤4π3＋2kπ，k∈Z Z，当k＝1 时，函数 f(x)在区间 π3 ，4π3上单调递减，与函数 f(x)在区间 － π4 ，2π3上单调递增矛盾，故 ω≠1，结合四个选项可知选 B. [答案] B 例 例 3 已知函数 f(x)＝cos ωx＋ π3(ω>0)的一条对称轴 x＝ π3 ，一个对称中心为点 π12 ，0 ，则 ω 有(

　) A．最小值 2

　 B．最大值 2 C．最小值 1

　 D．最大值 1 [解析] 因为函数的中心到对称轴的最短距离是 T4 ，两条对称轴间的最短距离是T2 ，所以，中心 π12 ，0 到对称轴 x＝ π3 间的距离用周期可表示为π3 －π12 ≥T4 ，又∵T＝2πω ， ∴2πω4≤ π4 ，∴ω≥2，∴ω 有最小值 2，故选 A. [答案] A 例 例 4 已知函数 f(x)＝2sin ωx 在区间 － π3 ，π4上的最小值为－2，则 ω 的取值范围是________． [解析] 显然 ω≠0. 若 ω>0，当 x∈ － π3 ，π4时，－ π3 ω≤ωx≤π4 ω，因为函数 f(x)＝2sin ωx 在区间 － π3 ，π4上的最小值为－2，所以－ π3 ω≤－π2 ，解得 ω≥32 . 若 ω<0，当 x∈ － π3 ，π4时， π4 ω≤ωx≤－π3 ω，因为函数 f(x)＝2sin ωx 在区间 － π3 ，π4上的最小值为－2.所以π4 ω≤－π2 ，解得 ω≤－2. 综上所述，符合条件的实数 ω 的取值范围是(－∞，－2]∪ 32 ，＋∞ . [答案] (－∞，－2]∪ 32 ，＋∞ [玩转跟踪]

　1．(2020·湖南师大附中 3 月月考)若函数 f(x)＝2 3sin ωxcos ωx＋2sin 2 ωx＋cos 2ωx 在区间 － 3π2， 3π2上单调递增，则正数 ω 的最大值为(

　) A. 18

　 B． 16

　C. 14

　 D. 13

　 解析：选 B 法一：因为 f(x)＝2 3sin ωxcos ωx＋2sin 2 ωx＋cos 2ωx＝ 3sin 2ωx＋1 在区间 － 3π2， 3π2上单调递增， 所以 －3ωπ≥－ π2 ，3ωπ≤ π2 ，解得 ω≤ 16 ，所以正数 ω 的最大值是16 .故选 B. 法二：易知 f(x)＝ 3sin 2ωx＋1，可得 f(x)的最小正周期 T＝ πω ，所以  －π4ω ≤－3π2，π4ω ≥3π2，解得 ω≤ 16 .故选 B. 2.已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，若 f(x)在区间 0， π2上是单调函数，且 f(－π)＝f(0)＝－f π2，则ω 的值为(

　) A. 23

　 B． 23 或 2 C. 13

　D．1 或 13

　解析：选 B 因为 f(x)在 0， π2上单调，所以 T2 ≥π2 ，即 T≥π.若 T＝π，则 ω＝2；若 T>π，因为 f(－π)＝f(0)＝－f π2，所以直线 x＝－ π2 是 f(x)的图象的一条对称轴，且在区间 0， π2上 f(x)图象的对称中心是 π4 ，0 ，所以 T4 ＝π4 － － π2＝ 3π4，所以 T＝3π，ω＝ 2πT＝ 23 .故选 B. 3.设函数 f(x)＝cos ωx－ π6(ω>0)．若 f(x)≤f π4对任意的实数 x 都成立，则 ω 的最小值为________． 解析：由于对任意的实数都有 f(x)≤f π4成立，故当 x＝ π4 时，函数 f(x)有最大值，故 f π4＝1， πω4－ π6 ＝2kπ(k∈Z Z)，∴ω＝8k＋ 23 (k∈Z Z)．又 ω>0，∴ω min ＝23 . 答案：

　23

　题型 三

　三角 函数的 图像和图像变换 例 例 5 （2017 山东）设函数 ，其中 ．已知 ． （Ⅰ）求 ； （Ⅱ）将函数 的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移 个单位，得到函数 的图象，求 在 上的最小值． ( ) sin( ) sin( )6 2f x x x       0 3    ( ) 06f( ) y f x 4( ) y g x  ( ) g x3[ , ]4 4 

　 【解析】（Ⅰ）因为 ，所以

　由题设知 ，所以6 3k    ， ．故 ， ，又 ， 所以 ． （Ⅱ）由（Ⅰ）得,所以 ． 因为 ，所以 ，当 ，即 时， 取得最小值 ． [玩转跟踪]

　1．(2014·辽宁卷) 将函数 y＝3sin 2x＋ π3的图象向右平移 π2 个单位长度，所得图象对应的函数(

　) A．在区间 π12 ，7π12上单调递减

　B．在区间 π12 ，7π12上单调递增 C．在区间 － π6 ，π3上单调递减

　D．在区间 － π6 ，π3上单调递增 答案

　B

　解析

　由题可知，将函数 y＝3sin 2x＋ π3的图象向右平移 π2 个单位长度得到函数 y＝3sin 2x－ 23 π 的图象，令－ π2 ＋2kπ≤2x－23 π≤π2 ＋2kπ，k∈Z，即π12 ＋kπ≤x≤7π12 ＋kπ，k∈Z 时，函数单调递增，即函数 y＝3sin 2x－ 23 π的单调递增区间为 π12 ＋kπ，7π12 ＋kπ ，k∈Z，可知当 k＝0 时，函数在区间 π12 ，7π12上单调递增． 2.【2017 课标 1，9】已知曲线 C 1 ：y=cosx，C 2 ：y=sin (2x+2π3)，则下面结论正确的是 A．把 C 1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线 C 2 B．把 C 1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线 C 2 ( ) sin( ) sin( )6 2f x x x      3 1( ) sin cos cos2 2f x x x x      3 3sin cos2 2x x    1 33( sin cos )2 2x x     3(sin )3x  ( ) 06f k Z  6 2 k    k Z  0 3   2  ( ) 3sin(2 )3f x x  ( ) 3sin( ) 3sin( )4 3 12g x x x      3[ , ]4 4x  2[ , ]12 3 3x    12 3x   4x  ( ) g x32

　 C． 把 C 1 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线 C 2 D．把 C 1 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线 C 2 【答案】D 【解析】

　试题分析：因为1 2, C C 函数名不同，所以先将2C 利用诱导公式转化成与1C 相同的函数名，则22 2: sin(2 ) cos(2 ) cos(2 )3 3 2 6C y x x x          ，则由1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍变为 sin2 y x  ，再将曲线向左平移12个单位得到2C ，故选 D. 3.（2020 届山东省济宁市第一中学高三二轮检测）将函数   3cos 2 13f x x      的图象向左平移3个单位长度，再向上平移 1 个单位长度，得到函数   g x 的图象，则下列关于函数   g x 的说法正确的是（

　）

　A．最大值为 3 ，图象关于直线12x 对称 B．图象关于 y 轴对称 C．最小正周期为 

　D．图象关于点 ,04    对称 【答案】BCD 【解析】将函数   3cos 2 13f x x      的图象向左平移3个单位长度， 得到   3cos 2 1 3cos 2 1 3cos2 13 3y x x x                   的图象； 再向上平移 1 个单位长度，得到函数   3cos2 g x x  的图象，对于函数   g x ，它的最大值为 3 ，由于当12x 时，  32g x   ，不是最值，故   g x 的图象不关于直线12x 对称，故 A 错误； 由于该函数为偶函数，故它的图象关于 y 轴对称，故 B 正确；

　 它的最小正周期为22  ，故 C 正确； 当4x 时，   0 g x  ，故函数   g x 的图象关于点 ,04    对称，故 D 正确.故选：BCD 题型 四

　由求 图象求 y ＝Asin(ωx ＋φ)的 的 解析 式

　例 例 6 (1)若函数 y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则 y＝

　.

　答案 2sin 2x－ π6 解析 由题图可知，A＝2，T＝2 π3 － － π6＝π，所以 ω＝2，由五点作图法可知 2× π3 ＋φ＝π2 ，所以 φ＝－π6 ，所以函数的解析式为 y＝2sin 2x－ π6. (2)已知函数 f(x)＝sin(ωx＋φ) ω>0，|φ|< π2的部分图象如图所示，则 y＝f x＋ π6取得最小值时 x 的集合为

　．

　答案 x  x＝kπ－ π3 ，k∈Z 解析 根据题干所给图象，周期T＝4× 7π12 －π3＝π，故π＝ 2πω ，∴ω＝2，因此f(x)＝sin(2x＋φ)，另外图象经过点 7π12 ，0 ，代入有 2×7π12 ＋φ＝π＋2kπ(k∈Z)，再由|φ|<π2 ，得 φ＝－π6 ，∴f(x)＝sin 2x－ π6， ∴f x＋ π6＝sin 2x＋ π6，当 2x＋ π6 ＝－π2 ＋2kπ(k∈Z)，即 x＝－π3 ＋kπ(k∈Z)时，y＝f x＋ π6取得最小值． [玩转跟踪] 1．(四川，6)函数 f(x)＝2sin(ωx＋φ)  ω ＞0，－ π2＜φ＜ π2 的部分图象如图所示，则 ω， φ 的值分别是(

　) A．2，－ π3

　 B．2，－ π6

　 C．4，－ π6

　 D．4， π3 解析 设该三角函数的周期为 T，则由图象可得 12 T＝11π12－ 5π12＝ 12 π，所以 T＝π＝2πω，所以 ω＝2.又图象过点   5π12，2 ，所以 sin   5π6＋φ ＝1，－ π2＜φ＜ π2，解得 φ＝－ π3. 答案 A 2.(2020·石家庄质检)已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B A>0，ω>0，|φ|< π2的部分图象如图所示，将函数 f(x)的图象向左平移 m(m>0)个单位长度后，得到函数 g(x)的图象关于点 π3 ，32对称，则 m 的值可能为(

　)

　A. π6

　B. π2

　C. 7π6

　 D. 7π12

　答案 D 解析 依题意得 A＋B＝ 3 32，－A＋B＝－32，解得 A＝ 3，B＝32，T2 ＝πω ＝2π3－ π6 ＝π2 ， 故 ω＝2，则 f(x)＝ 3sin(2x＋φ)＋32.又 f π6＝ 3sin π3 ＋φ ＋32＝ 3 32， 故 π3 ＋φ＝π2 ＋2kπ(k∈Z)，即 φ＝π6 ＋2kπ(k∈Z)．因为|φ|<π2 ，故 φ＝π6 ，所以 f(x)＝ 3sin 2x＋ π6＋32. 将函数 f(x)的图象向左平移 m 个单位长度后得到 g(x)＝ 3sin 2x＋ π6 ＋2m ＋32的图象，又函数 g(x)的图象关于点 π3 ，32对称，即 h(x)＝ 3sin 2x＋ π6 ＋2m 的图象关于点 π3 ，0 对称，故 3sin 2π3＋ π6 ＋2m ＝0，即5π6＋2m＝kπ(k∈Z)，故 m＝ kπ2－ 5π12 (k∈Z)．令 k＝2，则 m＝7π12 .

　题型五

　三角函数大题 例 例 7 7 已知函数 f(x)＝2 3sin x2 ＋π4·cos x2 ＋π4－sin(x＋π)． (1)求 f(x)的最小正周期；

　 (2)若将 f(x)的图象向右平移 π6 个单位长度，得到函数 g(x)的图象，求函数 g(x)在区间[0，π]上的最大值和最小值． 规范解答 解 (1)f(x)＝2 3sin x2 ＋π4cos x2 ＋π4－sin(x＋π)＝ 3cos x＋sin x[3 分] ＝2sin x＋ π3，[5 分]于是 T＝ 2π1＝2π.[6 分] (2)由已知得 g(x)＝f x－ π6＝2sin x＋ π6，[8 分]∵x∈[0，π]，∴x＋ π6 ∈ π6 ，7π6， ∴sin x＋ π6∈ － 12 ，1 ，[10 分]∴g(x)＝2sin x＋ π6∈[－1,2]．[11 分] 故函数 g(x)在区间[0，π]上的最大值为 2，最小值为－1.[12 分] [玩转跟踪]

　1 ． （2020 届山东省泰安市肥城市一模）已知函数4( ) cos f x x  42sin cos sin x x x  （1）求   f x 的单调递增区间； （2）求   f x 在 0,2    上的最小值及取最小值时的 x 的集合. 【答案】（1）

　 5,8 8k k k Z         ；（2）最小值为2 ， x 的集合为38    . 【解析】

　（1    4 4 2 2 2 2cos 2sin cos sin cos sin cos sin 2sin cos f x x x x x x x x x x x       2 2cos sin 2sin cos cos2 sin2 2sin 24x x x x x x x           ， 解不等式  32 2 22 4 2k x k k Z            ， 得  58 8k x k k Z          ， 因此，函数   y f x  的单调递增区间为  5,8 8k k k Z         ； （2）0,2x    ，324 4 4x      ，

　 当 24 2x   时，即当38x 时，函数   y f x  取得最小值2 . 因此，函数   y f x  的最小值为2 ，对应的 x 的集合为38    .

　2．(山东，18)设函数 f(x)＝32－ 3sin 2 ω x－sin ω xcos ω x(ω＞0)，且 y＝f(x)图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为 π4. (1)求 ω 的值； (2)求 f(x)在区间[π， 3π2]上的最大值和最小值． 解 (1)f(x)＝32－ 3sin 2 ω x－sin ω xcos ω x ＝32－ 3· 1－cos 2 ω x2－ 12 sin 2 ω x＝32cos 2 ω x－ 12 sin 2 ω x＝－sin 2 ω x－ π3. 因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为 π4， 又 ω＞0，所以 2π2 ω ＝4×π4.因此 ω＝1. (2)由(1)知 f(x)＝－sin  2x－ π3.当π≤x≤ 3π2时， 5π3≤2x－ π3≤ 8π3. 所以－32≤sin  2x－ π3≤1，因此－1≤f(x)≤32. 故 f(x)在区间  π， 3π2上的最大值和最小值分别为32，－1. [玩转练习] 1．(2020·永州模拟)函数 y＝2cos 2x＋ π6的部分图象大致是(

　)

　 解析：选 A 由 y＝2cos 2x＋ π6可知，函数的最大值为 2，故排除 D；又因为函数图象过点 π6 ，0 ，故排除B；又因为函数图象过点 －π12 ，2 ，故排除 C. 2．(2020·河南中原名校联盟联考)已知函数 f(x)＝4sin(ωx＋φ)(ω＞0)．在同一周期内，当 x＝ π6 时取最大值，当 x＝－ π3 时取最小值，则 φ 的值可能为(

　) A.π12

　 B. π3

　C. 13π6

　D. 7π6 解析：选 C T＝ 2πω ＝2 π6 － － π3＝π，故 ω＝2，又 2× π6 ＋φ＝2kπ＋π2 ，k∈Z Z，所以 φ＝2kπ＋π6 ，k∈Z Z，所以 φ 的值可能为 13π6，故选 C. 3．将曲线 y＝sin(2x＋φ) |φ|＜ π2向右平移 π6 个单位长度后得到曲线 y＝f(x)，若函数 f(x)的图象关于 y 轴对称，则 φ＝(

　) A. π3

　 B． π6

　C．－ π3

　D．－ π6

　解析：选 D 曲线 y＝sin(2x＋φ) |φ|＜ π2向右平移 π6 个单位长度后得到曲线 y＝f(x)＝sin 2 x－ π6＋φ ＝sin 2x－ π3 ＋φ ，若函数 f(x)的图象关于 y 轴对称，则－π3 ＋φ＝π2 ＋kπ(k∈Z Z)，则 φ＝5π6＋kπ(k∈Z Z)，又|φ|＜ π2 ， 所以 φ＝－ π6 . 4．(2020·郑州市第一次质量预测)已知曲线 C 1 ：y＝cos x，C 2 ：y＝sin 2x－ 2π3，则下列结论正确的是(

　) A．把 C 1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 7π12 个单位长度，得到曲线 C 2

　B．把 C 1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 π6 个单位长度，得到曲线 C 2

　C．把 C 1 上各点的横坐标缩短到原来的 12 ，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移7π12 个单位长度，得到曲线C 2

　 D．把 C 1 上各点的横坐标缩短到原来的 12 ，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π6 个单位长度，得到曲线C 2

　解析：选 C 把曲线 C 1 ：y＝cos x 上各点的横坐标缩短到原来的 12 ，纵坐标不变，得到函数 y＝cos 2x＝sin 2x＋ π2＝sin 2 x＋ π4的图象，再把图象向右平移 7π12 个单位长度，得到函数 y＝sin 2 x＋ π4 －7π12＝sin 2 x－ π3＝sin 2x－ 2π3的图象，即得曲线 C 2 .故选 C. 5.(多选)已知函数 f(x)＝Asin ωx(A>0，ω>0)与 g(x)＝ A2 cos ωx 的部分图象如图所示，则(

　) A．A＝1

　 B．A＝2 C．ω＝ π3

　D．ω＝ 3π

　解析：选 BC 由题图可得过点(0,1)的图象对应的函数解析式为 g(x)＝ A2 cos ωx，即A2 ＝1，A＝2.过原点的图象对应函数 f(x)＝Asin ωx.由 f(x)的图象可知，T＝ 2πω ＝1.5×4，可得 ω＝π3 .故选 B、C. 6．(多选)函数 f(x)＝2sin 2x－ π3的图象为 C，如下结论正确的是(

　) A．f(x)的最小正周期为 π B．对任意的 x∈R R，都有 f x＋ π6＋f π6 －x ＝0 C．f(x)在 －π12 ，5π12上是减函数 D．由 y＝2sin 2x 的图象向右平移 π3 个单位长度可以得到图象 C 解析：选 AB 由 y＝2sin 2x－ π3，所以 f(x)的最小正周期为 2π2＝π，故 A 正确；f π6＝2sin 2× π6 －π3＝0，即函数 f(x)的图象关于点 π6 ，0 对称，即对任意的 x∈R R，都有 f x＋ π6＋f π6 －x ＝0 成立，故 B 正确；当 x∈－π12 ，5π12时，2x－ π3 ∈ － π2 ，π2，所以 f(x)在 －π12 ，5π12上是增函数，故 C 错误；由 y＝2sin 2x 的图象向右平移 π3 个单位长度得到 y＝2sin 2 x－ π3＝2sin 2x－ 2π3的图象，故 D 错误．故选 A、B. 7．将函数 y＝sin x 的图象上所有的点向右平移π10 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是____________．

　答案：y＝sin 12 x－π10 8．函数 f(x)＝tan ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线 y＝2 所得线段长为 π2 ，则 f π6的值是________． 解析：由题意可知该函数的周期为 π2 ，∴πω ＝π2 ，ω＝2，f(x)＝tan 2x.∴f π6＝tan π3 ＝ 3. 答案：

　3 9．(2020·安徽合肥一中等六校教育研究会联考)将函数 y＝cos x 的图象向左平移 φ(0≤φ<2π)个单位长度后，得到函数 y＝sin x－ π6的图象，则 φ＝________. 解析：将 y＝cos x＝sin x＋ π2的图象向左平移 φ(0≤φ<2π)个单位长度后得到 y＝sin x＋ π2 ＋φ 的图象， 故 sin x＋ π2 ＋φ ＝sin x－ π6，即 π2 ＋φ＝－π6 ＋2kπ，k∈Z Z，解得 φ＝－2π3＋2kπ，k∈Z Z.又∵0≤φ<2π，∴φ＝ 4π3. 答案：

　4π3 10．(一题两空)已知函数 f(x)＝2sin(ωx＋φ) ω＞0，|φ|＜ π2一部分图象如图所示，则 ω＝________，函数 f(x)的单调递增区间为________．

　解析：由图象知 T2 ＝π3 － － π6＝ π2 ，则周期 T＝π，即2πω ＝π，则ω＝2，f(x)＝2sin(2x＋φ)．由五点对应法得2× － π6＋φ＝2kπ，又|φ|＜ π2 ，所以 φ＝π3 ，则 f(x)＝2sin 2x＋ π3.令 2kπ－ π2 ≤2x＋π3 ≤2kπ＋π2 ，k∈Z Z，得－5π12 ＋kπ≤x≤kπ＋π12 ，k∈Z Z，即函数的单调递增区间为 － 5π12 ＋kπ，π12 ＋kπ ，k∈Z Z. 答案：2 － 5π12 ＋kπ，π12 ＋kπ (k∈Z Z) 11．已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ) A>0，ω>0，|φ|< π2的图象过点 P π12 ，0 ，图象上与点 P 最近的一个最高点是 Q π3 ，5 . (1)求函数 f(x)的解析式；

　 (2)求函数 f(x)的单调递增区间． 解：(1)依题意得 A＝5，周期 T＝4 π3 －π12＝π，∴ω＝ 2ππ＝2.故 f(x)＝5sin(2x＋φ)， 又图象过点 P π12 ，0 ，∴5sin π6 ＋φ ＝0，由已知可得π6 ＋φ＝kπ，k∈Z Z， ∵|φ|< π2 ，∴φ＝－π6 ，∴f(x)＝5sin 2x－ π6. (2)由－ π2 ＋2kπ≤2x－π6 ≤π2 ＋2kπ，k∈Z Z，得－π6 ＋kπ≤x≤π3 ＋kπ，k∈Z Z， 故函数 f(x)的单调递增区间为 kπ－ π6 ，kπ＋π3(k∈Z Z)． 12．设函数 f(x)＝sin ωx－ π6＋sin ωx－ π2，其中 0<ω<3，且 f π6＝0. (1)求 ω； (2)将函数 y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移 π4 个单位，得到函数 y＝g(x)的图象，求 g(x)在 － π4 ，3π4上的最小值． 解：(1)因为 f(x)＝sin ωx－ π6＋sin ωx－ π2，所以 f(x)＝32sin ωx－ 12 cos ωx－cos ωx ＝32sin ωx－ 32 cos ωx＝ 3 12 sin ωx－32cos ωx ＝ 3sin ωx－ π3. 因为 f π6＝0，所以 ωπ6－ π3 ＝kπ，k∈Z Z.故 ω＝6k＋2，k∈Z Z.又 0<ω<3，所以 ω＝2. (2)由(1)得 f(x)＝ 3sin 2x－ π3，所以 g(x)＝ 3sin x＋ π4 －π3＝ 3sin x－π12. 因为 x∈ － π4 ，3π4，所以 x－π12 ∈ － π3 ，2π3，当 x－π12 ＝－π3 ，即 x＝－π4 时，g(x)取得最小值－32 .