物理选择性必修第二册(RJ)2、教师用书word5,专题强化2　带电粒子有界匀强磁场中运动

时间：2021-02-02 20:21:23 来源：蒲公英阅读网 本文已影响人

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　专题强化 2 带电粒子在有界匀强磁场中的运动

　 带电粒子在有界匀强磁场中运动的基本问题 【核心深化】

　1．几种常见的不同边界磁场中的运动规律 (1)直线边界(进出磁场具有对称性，如图甲、乙、丙所示)

　(2)平行边界(存在临界条件，如图丁、戊、己所示)

　(3)圆形边界(沿径向射入必沿径向射出，如图庚所示)

　2．解决带电粒子在有界磁场中运动问题的方法 解决此类问题时，找到粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心位置、半径大小，以及与半径相关的几何关系是解题的关键。解决此类问题时应注意下列结论：

　(1)刚好穿出或刚好不能穿出磁场的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。

　(2)当以一定的速率垂直射入磁场时，运动的弧长越长，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动时间越长。

　(3)当比荷相同，速率 v 变化时，在匀强磁场中运动的带电粒子圆心角越大，运动时间越长。

　【典题例析】

　 一磁场宽度为 L，磁感应强度为 B，如图所示，一粒子质量为 m，电荷量为－q，不计重力，以一速度 v(方向如图)射入磁场。若不使其从右边界飞出，则电荷的速度应为多大？

　 [解析] 若要粒子不从右边界飞出，则当达到最大速度时，半径最大，此时运动轨迹如图所示，即轨迹恰好和右边界相切。

　由几何关系可求得最大半径 r，即 r＋rcos θ＝L， 所以 r＝L1＋cos θ

　由牛顿第二定律得 qvB＝ mv2r 所以 v max ＝ Bqrm＝BqLm（1＋cos θ）

　。

　[答案] 0＜v≤BqLm（1＋cos θ）

　【针对训练】

　1. (多选)如图所示，虚线上方存在匀强磁场，磁感应强度为 B；一群电子以不同速率 v 从边界上的 P 点以相同的方向射入磁场。其中某一速率为 v 0 的电子从 Q 点射出。已知电子入射方向与边界夹角为 θ，则由以上条件可判断(

　)

　A．该匀强磁场的方向垂直于纸面向里 B．所有电子在磁场中的轨迹相同 C．速率大于 v 0 的电子在磁场中运动时间长

　D．所有电子的速度方向都改变了 2θ 解析：选 AD。由左手定则可知，该匀强磁场的方向垂直于纸面向里，A 正确；由 qvB＝ mv2R得 R＝ mvqB ，可知所有电子在磁场中的轨迹不相同，B 错误；所有电子偏转角度相同，所有电子的速度方向都改变了 2θ，由 T＝ 2πmqB和 t＝ 2θ2π ·T，可知所有电子在磁场中的运动时间都相同，C 错误，D 正确。

　2. 一圆形区域的匀强磁场如图所示，在 O 点处有一放射源，沿半径方向射出速率为 v 的不同带电粒子，其中带电粒子 1 从 A 点飞出磁场，带电粒子 2 从 B点飞出磁场，不考虑带电粒子的重力，则(

　)

　A．带电粒子 1 的比荷与带电粒子 2 的比荷的比为 3∶1 B．带电粒子 1 的比荷与带电粒子 2 的比荷的比为 3∶1 C．带电粒子 1 与带电粒子 2 在磁场中运动时间的比为 2∶1 D．带电粒子 1 与带电粒子 2 在磁场中运动时间的比为 1∶2 解析：选 A。设匀强磁场圆形区域的半径为 R，由 qBv＝ mv2R′，得 R′＝ mvqB ，可知带电粒子 1 从 A 点飞出磁场，带电粒子 2 从 B 点飞出磁场，半径分别为 R 1 ′＝Rtan 30°，R 2 ′＝Rtan 60°，所以 R 1 ′∶R 2 ′＝1∶3，则带电粒子 1 的比荷与带电粒子 2 的比荷的比为 3∶1；由 T＝ 2πmqB知，带电粒子 1 和 2 的周期之比为 1∶3，所以带电粒子 1 与带电粒子 2 在磁场中运动时间的比为 t1t 2 ＝23 。

　带电粒子运动的临界和极值问题 【核心深化】

　解决临界和极值问题的方法技巧 (1)数学方法和物理方法的结合：利用“矢量图”“边界条件”等求临界值，利用“三角函数”“不等式的性质”“二次方程的判别式”等求极值。

　(2)一个“解题流程”，突破临界问题

　 (3)从关键词找突破口：许多临界问题，题干中常用“恰好”“最大”“至少”“不相撞”“不脱离”等词语对临界状态给以暗示，审题时，一定要抓住这些特定的词语挖掘其隐藏的规律，找出临界条件。

　【典题例析】

　平面 OM 和平面 ON 之间的夹角为 30°，其横截面(纸面)如图所示，平面 OM 上方存在匀强磁场，磁感应强度大小为 B，方向垂直于纸面向外。一带电粒子的质量为 m，电荷量为 q(q＞0)。粒子沿纸面以大小为 v 的速度从 OM 的某点向左上方射入磁场，速度与 OM 成 30°角。已知该粒子在磁场中的运动轨迹与 ON 只有一个交点，并从 OM 上另一点射出磁场。不计重力。粒子离开磁场的出射点到两平面交线 O 的距离为(

　)

　A.mv2qB

　 B．3mvqB C. 2mvqB D． 4mvqB [思路点拨] 粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律求出粒子的半径，然后根据几何关系求出射点与 O 点间的距离。

　[解析]

　粒子在匀强磁场中的运动轨迹示意图如图所示，设出射点为 P，粒子运动轨迹与 ON 的交点为 Q，粒子入射方向与 OM 成 30°角，则射出磁场时速度方向与 OM 成 30°角，由几何关系可知，PQ⊥ON，故出射点到 O 点的距离为轨迹圆直径的 2 倍，即 4R，又粒子在匀强磁场中运动的轨迹半径 R＝ mvqB ，D 正确。

　 [答案] D 【针对训练】

　3. (多选)长为 l 的水平极板间有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，板间距离也为 l，板不带电。现有质量为 m、电荷量为 q 的带正电粒子(不计重力)，从左边极板间中点处垂直于磁感线以速度 v 水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是(

　)

　A．使粒子的速度 v＜ Bql4m

　B．使粒子的速度 v＞ 5Bql4m C．使粒子的速度 v＞ Bqlm D．使粒子的速度 Bql4m ＜v＜5Bql4m 解析：选 AB。如图所示，带电粒子刚好打在极板右边缘时，有 r 2 1 ＝(r 1 － l2 )2＋l 2

　 又 r 1 ＝ mv1Bq， 所以 v 1 ＝ 5Bql4m 粒子刚好打在极板左边缘时，有 r 2 ＝ l4 ＝mv 2Bq， v 2 ＝ Bql4m ，综合上述分析可知，A、B 正确。

　4. (多选)如图所示，在半径为 R 的圆形区域内(圆心为 O)有匀强磁场，磁感应强度为 B，方向垂直于圆平面(未画出)。一群具有相同比荷的负离子以相同的速率由 P 点在纸平面内向不同方向射入磁场中，发生偏转后又飞出磁场，若离子在磁场中运动的轨道半径大于 R，则下列说法中正确的是(不计离子的重

　力)(

　)

　A．从 Q 点飞出的离子在磁场中运动的时间最长 B．沿 PQ 方向射入的离子飞出时偏转角最大 C．所有离子飞出磁场时的动能一定相等 D．在磁场中运动时间最长的离子不可能经过圆心 O 点 解析：选 AD。由圆的性质可知，轨迹圆与磁场圆相交，当轨迹圆的弦长最大时偏向角最大，故应该使弦长为 PQ，由 Q 点飞出的离子圆心角最大，所对应的时间最长，轨迹不可能经过圆心 O 点，A、D 正确，B 错误；因洛伦兹力永不做功，故离子在磁场中运动时动能保持不变，但由于不知离子的初动能，故飞出时的动能不一定相等，C 错误。

　1. (带电粒子在有界磁场中的运动)如图所示，三个速度大小不同的同种带电粒子沿同一方向从图示长方形区域的匀强磁场上边缘射入，当它们从下边缘飞出时对入射方向的偏角分别为 90°、60°、30°，则它们在磁场中的运动时间之比为(

　)

　 A．1∶1∶1

　 B．1∶2∶3 C．3∶2∶1 D. 3∶ 2∶1 解析：选 C。如图所示，设带电粒子在磁场中做圆周运动的圆心为 O，由几何关系知，圆弧MN︵所对应的粒子运动的时间 t＝ MN︵v＝ Rαv＝ mvqB ·αv ＝mαqB ，因此，同种粒子以不同速率射入磁场，经历时间与它们的偏角 α 成正比，即 t 1 ∶t 2 ∶t 3 ＝90°∶60°∶30°＝3∶2∶1。

　 2. (带电粒子在有界磁场中的运动)(多选)如图所示，直角三角形 ABC 中存在一匀强磁场，比荷相同的两个粒子沿 AB 方向射入磁场，分别从 AC 边上的 P、Q两点射出，则(

　)

　A．从 P 射出的粒子速度大 B．从 Q 射出的粒子速度大 C．从 P 射出的粒子，在磁场中运动的时间长 D．两粒子在磁场中运动的时间一样长

　解析：选 BD。作出各自的轨迹如图所示，根据圆周运动特点知，分别从 P、Q 点射出时，与 AC 边夹角相同，故可判定从 P、Q 点射出时，半径 R 1 ＜R 2 ，所以，从 Q 点射出的粒子速度大，B 正确；由 T＝ 2πmqB可知两粒子比荷相同，周期相同，根据图示，可知两个圆心角相等，所以，从 P、Q 点射出时，两粒子在磁场中的运动时间相等，D 正确。

　3. (带电粒子运动的临界和极值问题)如图所示，在屏 MN 的上方有磁感应强度为 B 的匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里。P 为屏上的一小孔，PC 与 MN垂直。一群质量为 m、电荷量为－q 的粒子(不计重力)，以相同的速率 v，从 P处沿垂直于磁场的方向射入磁场区域。粒子入射方向在与磁场 B 垂直的平面内，且散开在与 PC 夹角为 θ 的范围内。则在屏 MN 上被粒子打中的区域的长度为(

　)

　 A. 2mvqB B. 2mvcos θqB C. 2mv () 1－sin θqB D. 2mv () 1－cos θqB 解析：选 D。如图所示，能打到的范围中最远点为 2R 处，其中 R 为轨迹半径，R＝ mvqB ，最近点为 2Rcos θ 处，所以总长度 L＝2R－2Rcos θ＝2mv ( ) 1－cos θqB。

　4. (带电粒子运动的临界和极值问题)如图所示，在半径为 R 的圆形区域内，分布着磁感应强度大小为 B 的匀强磁场。在圆心处发射一个运动方向与磁场垂直的电子，电子质量为 m，电荷量为 e。求这个电子要穿离此磁场区域应具有的最小动能。

　解析：电子刚好不穿离磁场区域条件是其轨迹正好和圆相切，故电子运动的半径 r＝ 12 R ① 电子做圆周运动的向心力由洛伦兹力提供 即 evB＝ mv2r ② 而动能 E k ＝ 12 mv2 ③ 联立①②③式可得 E k ＝ e2 B 2 R 28m。

　答案：

　e2 B 2 R 28m

　(建议用时：45 分钟) 【基础巩固】

　1. (多选)如图所示，一单边有界磁场的边界上有一粒子源，以与水平方向成θ 角的不同速率，向磁场中射入两个相同的带正电粒子 1 和 2，粒子 1 经磁场偏转后从边界上 A 点射出磁场，粒子 2 经磁场偏转后从边界上 B 点射出磁场，OA＝AB，不计重力，则(

　)

　A．粒子 1 与粒子 2 的速度之比为 1∶2 B．粒子 1 与粒子 2 的速度之比为 1∶4 C．粒子 1 与粒子 2 在磁场中运动的时间之比为 1∶1 D．粒子 1 与粒子 2 在磁场中运动的时间之比为 1∶2 解析：选 AC。如图所示，粒子 1 进入磁场时速度的垂线与 OA 的垂直平分线的交点为粒子 1 在磁场中的轨迹圆的圆心；同理，粒子 2 进入磁场时速度的垂线与 OB 的垂直平分线的交点为粒子 2 在磁场中的轨迹圆的圆心；由几何关系可知，两个粒子在磁场中做圆周运动的半径之比为 r 1 ∶r 2 ＝1∶2，由 r＝ mvqB 可知，粒子 1 与粒子 2 的速度之比为 1∶2，A 正确，B 错误；由于粒子在磁场中做圆周运动的周期均为 T＝ 2πmqB，且两粒子在磁场中做圆周运动的轨迹所对的圆心角相同，根据公式 t＝α2π T，两个粒子在磁场中运动的时间相等，C 正确，D 错误。

　 2. (多选)如图所示，分布在半径为 r 的圆形区域内的匀强磁场，磁感应强度为 B，方向垂直于纸面向里。电荷量为 q、质量为 m 的带正电的粒子从磁场边缘

　A 点沿圆的半径 AO 方向射入磁场，离开磁场时速度方向偏转了 60°角。(不计粒子的重力)则(

　)

　 A．粒子做圆周运动的半径为 3r B．粒子的入射速度为3Bqrm C．粒子在磁场中运动的时间为πm3qB

　D．粒子在磁场中运动的时间为 2πmqB 解析：选 ABC。设带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径为 R，如图所示，∠OO′A ＝ 30°，由图可知，粒子运动的半径 R＝O′A＝ 3r，A 正确；根据牛顿运动定律，有 Bqv ＝m v2R ，得 v＝qBRm，故粒子的入射速度 v＝3Bqrm，B 正确；由几何关系可知，粒子运动轨迹所对应的圆心角为 60°，则粒子在磁场中运动的时间 t＝ 16 ·T＝16 ·2πmqB＝πm3qB ，C 正确，D 错误。

　 3. (多选)如图所示，在一个边长为 a 的正六边形区域内，存在磁感应强度为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场。三个相同的带正电粒子，比荷为qm ，先后从 A 点沿 AD 方向以大小不等的速率射入匀强磁场区域，已知粒子只受磁场的作用力，则(

　)

　 A．从 F 点飞出磁场的粒子速度大小为 Bqam B．从 E 点飞出磁场的粒子，在磁场中的运动时间为 πm3Bq

　C．粒子速率足够大，完全可以直接从 D 点飞出 D．所有从 AF 边上飞出磁场的粒子，在磁场中的运动时间都相等 解析：选 BD。设从 F 点飞出的粒子在正六边形区域磁场中做圆周运动的半径为 r 1 ，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得 qvB＝m v2r 1 ，由几何关系可得r 1 ＝a2sin 60°＝3a3，解得 v＝3qBa3m，A 错误；

　由几何知识得，从 E 点飞出磁场的粒子在磁场中转过的圆心角 θ＝60°，粒子在磁场中的运动时间：t＝θ360°T＝60°360°× 2πmqB＝πm3qB ，B 正确；AD 在一条直线上，则无论速度多大，粒子都不可能从 D 点飞出，C 错误；粒子在磁场中做圆周运动的周期 T＝ 2πmqB都相等，从 AF 边上飞出的粒子在磁场中转过的圆心角 α＝120°，从 AF 边上飞出的粒子在磁场中的运动时间 t＝α360°T＝ 13 T，都相等，D正确。

　4．一有界匀强磁场如图所示，磁感应强度大小为 B，方向垂直于纸面向外，MN、PQ 为其两个边界，两边界间的距离为 L。现有两个带负电的粒子同时从 A点以相同速度沿与 PQ 成 30°的方向垂直射入磁场，结果两粒子又同时离开磁场。已知两带负电的粒子质量分别为 2m 和 5m，电荷量大小均为 q，不计粒子重力及粒子间的相互作用，则粒子射入磁场时的速度为(

　)

　 A.3BqL6m

　 B．3BqL15m C. BqL2m D. BqL5m 解析：选 B。由于两粒子在磁场中运动时间相等，则两粒子一定是分别从MN 边和 PQ 边离开磁场的，如图所示，由几何知识可得质量为 2m 的粒子对应的圆心角为 300°，由 t＝θ2π T 得质量为 5m 的粒子对应的圆心角为 120°，由图可知△OCD 为等边三角形，可求得质量为 5m 的粒子对应的圆周运动的半径 R＝33L，由 Bqv＝ 5mv2R得 v＝3BqL15m，B 正确。

　 5. (多选)如图所示，在正方形 abcd 内充满方向垂直于纸面向里、磁感应强度为 B 的匀强磁场。a 处有比荷相等的甲、乙两种粒子，甲粒子以速度 v 1 沿 ab方向垂直射入磁场，经时间 t 1 从 d 点射出磁场，乙粒子沿与 ab 成 30°角的方向以速度 v 2 垂直射入磁场，经时间 t 2 垂直于 cd 射出磁场，不计粒子重力和粒子间的相互作用力，则下列说法正确的是(

　)

　 A．v 1 ∶v 2 ＝1∶2 B．v 1 ∶v 2 ＝ 3∶4 C．t 1 ∶t 2 ＝2∶1 D．t 1 ∶t 2 ＝3∶1 解析：选 BD。甲、乙两粒子的运动轨迹如图所示，粒子在磁场中的运行周

　期为 T＝ 2πmBq，因为甲、乙两种粒子的比荷相等，故 T 甲 ＝T 乙 。设正方形的边长为 L，则由图知甲粒子运行半径为 r 1 ＝ L2 ，运行时间为 t 1 ＝T 甲2，乙粒子运行半径为 r 2 ＝Lcos 30°，运行时间为 t 2 ＝ T乙6，而 r＝ mvBq ，所以 v 1 ∶v 2 ＝r 1 ∶r 2 ＝ 3∶4，A错误，B 正确；t 1 ∶t 2 ＝3∶1，C 错误，D 正确。

　 6. 带电粒子以初速度 v 0 从 a 点垂直于 y 轴进入匀强磁场，如图所示，运动中粒子经过 b 点，Oa＝Ob。若撤去磁场加一个与 y 轴平行的匀强电场，带电粒子仍以 v 0 从 a 点垂直于 y 轴进入电场，粒子仍能过 b 点，那么电场强度 E 与磁感应强度 B 的比值为(

　)

　 A．v 0

　B．1 C．2v 0

　D. v02

　解析：选 C。带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，O 为圆心，故 Oa＝Ob＝ mv0qB，带电粒子在匀强电场中做类平抛运动，故 Ob＝v 0 t，Oa＝ qE2m t2 ，联立以上各式解得 EB ＝2v 0 ，C 正确。

　7. 如图所示，边界 OA 与 OC 之间分布有垂直于纸面向里的匀强磁场，边界OA 上有一个粒子源 S。某一时刻，从 S 平行于纸面向各个方向发射出大量带正电的同种粒子(不计粒子的重力及粒子间的相互作用)，所有粒子的初速度大小相同，经过一段时间，有大量粒子从边界 OC 射出磁场。已知∠AOC＝60°，从边界 OC 射出的粒子在磁场中运动的最短时间等于 T6 (T 为粒子在磁场中运动的周

　期)，则从边界 OC 射出的粒子在磁场中运动的最长时间为(

　)

　 A. T3

　B. T2

　C. 2T3 D. 5T6 解析：选 B。由左手定则可知，粒子在磁场中做逆时针方向的圆周运动。粒子速度大小都相同，故轨迹弧长越小，粒子在磁场中运动时间就越短；而弧长越小，弦长也越短，所以从 S 点作 OC 的垂线 SD，则 SD 为最短弦，可知粒子从 D点射出时运行时间最短，如图所示，根据最短时间为 T6 ，可知△O′SD 为等边三角形，粒子圆周运动半径 R＝SD，过 S 点作 OA 的垂线交 OC 于 E 点，由几何关系可知 SE＝2SD，SE 为圆弧轨迹的直径，所以从 E 点射出，对应弦最长，运行时间最长，且 t＝ T2 ，B 正确。

　8. 在直径为 d 的圆形区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直于圆面指向纸外，一电荷量为 q、质量为 m 的粒子，从磁场区域的一条直径 AC 上的 A 点射入磁场，其速度大小为 v 0 ，方向与 AC 成 α 角，若此粒子恰好能打在磁场区域圆周上的 D点，AD 与 AC 的夹角为 β，如图所示。求该匀强磁场的磁感应强度 B 的大小。

　 解析：首先确定圆心位置。过 A 点作 AO 垂直于 v 0 方向，再作 AD 的垂直平分线 EO 与 AO 交于 O 点，则 O 为带电粒子在磁场中做圆周运动的圆心，如图所示。设 AO＝R。

　 由牛顿运动定律得 qv 0 B＝ 错误! ! ，即 B＝ 错误! !

　而在等腰△AOD 中 R＝ AD2·1cos γ (设∠DAO＝γ) 在直角△ADC 中，AD＝dcos β，又由图中几何关系得：α＋β＋γ＝ π2

　解得 B＝ 2mv0 sin（α＋β）qdcos β。

　答案：

　2mv0 sin（α＋β）qdcos β 【能力提升】

　9. 如图，虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场，P 为磁场边界上的一点，大量相同的带电粒子以相同的速率经过 P 点，在纸面内沿不同方向射入磁场。若粒子射入速率为 v 1 ，这些粒子在磁场边界的出射点分布在六分之一圆周上；若粒子射入速率为 v 2 ，相应的出射点分布在三分之一圆周上。不计重力及带电粒子之间的相互作用。则 v 2 ∶v 1 为(

　)

　A. 3∶2 B. 2∶1

　C. 3∶1 D．3∶ 2 解析：选 C。由于是相同的粒子，粒子进入磁场时的速度大小相同，由 qvB＝m v2R 可知，R＝mvqB ，即粒子在磁场中做圆周运动的半径相同。若粒子运动的速度大小为 v 1 ，如图所示，通过旋转圆可知，当粒子的磁场出射点 A 离 P 点最远时，AP＝2R 1 ；同样，若粒子运动的速度大小为 v 2 ，粒子的磁场出射点 B 离 P 点最远时，则 BP＝2R 2 ，由几何关系可知，R 1 ＝ R2 ，R 2 ＝Rcos 30°＝32R，则 v2v 1 ＝R 2R 1 ＝3，C 正确。

　10．一圆筒处于磁感应强度大小为 B 的匀强磁场中，磁场方向与筒的轴平行，筒的横截面如图所示。图中直径 MN 的两端分别开有小孔，筒绕其中心轴以角速度 ω 顺时针转动。在该截面内，一带电粒子从小孔 M 射入筒内，射入时的运动方向与 MN 成 30°角。当筒转过 90°时，该粒子恰好从小孔 N 飞出圆筒。不计重力。若粒子在筒内未与筒壁发生碰撞，则带电粒子的比荷为(

　)

　A.ω3B

　B.ω2B

　C. ωB

　D. 2ωB 解析：选 A。由题可知，粒子在磁场中做圆周运动的轨迹如图所示，由几何关系可知，粒子在磁场中做圆周运动的圆弧所对的圆心角为 30°，因此粒子在磁场中运动的时间为 t＝112 ×2πmqB，粒子在磁场中运动的时间与筒转过 90°所用的时间相等，即πm6qB ＝14 ×2πω ，求得qm ＝ω3B ，A 正确。

　 11. 如图所示，在边长为 2a 的正三角形区域内存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场，一个质量为 m、电荷量为－q(q＞0)的带电粒子(重力不计)从 AB 边的中心 O 以速度 v 进入磁场，粒子进入磁场时的速度方向垂直于磁场且与 AB 边的夹角为 60°，若要使粒子能从 AC 边穿出磁场，则匀强磁场磁感应强度的大小 B需满足(

　)

　A．B＞3mv3aq B．B＜3mv3aq C．B＞3mvaq D．B＜3mvaq 解析：选 B。若粒子刚好达到 C 点时，其运动轨迹与 AC 相切，如图所示，则粒子运动的半径为 r 0 ＝atan 30°＝ 3a。由 qvB＝ mv2r得 r＝ mvqB ，粒子要能从 AC边射出，粒子运行的半径应满足 r＞r 0 ，解得 B＜3mv3aq，B 正确。

　12. (多选)如图所示，以直角三角形 AOC 为边界的有界匀强磁场区域，磁感应强度为 B，∠A＝60°，AO＝a，在 O 点放置一个粒子源，可以向各个方向发射同种带负电粒子，粒子的比荷为 qm ，发射速度大小都为 v 0 ，且满足 v 0 ＝aqBm，发

　射方向由图中的角度 θ 表示。对于粒子进入磁场后的运动(不计重力作用)，下列说法正确的是(

　)

　A．在 0°＜θ＜30°范围入射的粒子将从 AC 边界射出 B．在 AC 边界上只有一半区域有粒子射出 C．以 θ＝0°、θ＝60°入射的粒子在磁场中运动的时间最长 D．以 60°＜θ＜90°范围飞入的粒子将从 AC 边界射出 解析：选 ABC。由左手定则，可知带负电粒子向右偏转。由 qv 0 B＝m 错误! ! 和T＝ 2πmBq得：R＝a，t＝α2π T，以 θ＝0°、θ ＝60°入射的粒子在磁场中运动的时间最长。以 60°＜θ ＜90°范围飞入的粒子将从 AO 边界射出，由几何关系得在 AC边界上只有一半区域有粒子射出，A、B、C 正确，D 错误。

　13. 如图所示，一带电粒子，质量为 m、电荷量为 q，以平行于 Ox 轴的速度 v 从 y 轴上的 a 点射入图中第Ⅰ象限所示的区域。为了使该粒子能从 x 轴上的b 点以垂直于 Ox 轴的速度 v 射出，可在适当的地方加一个垂直于 xOy 平面、磁感应强度为 B 的匀强磁场。若此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求这圆形磁场区域的最小半径，重力忽略不计。

　解析：粒子进入 xOy 平面的磁场区域内做匀速圆周运动，由 qvB＝m v2R 得 R＝ mvqB 。

　据题意，要求粒子垂直 Ox 轴射出，它在磁场区域内必经过 14 圆周，且此圆周应与入射和出射的方向线相切，过这两个切点 M、N 作入射和出射方向的垂线，其交点 O′即为圆心。因此该粒子在磁场内的轨道就是以 O′为圆心，R＝ mvqB 为半径的一段圆弧 MN，如图所示。

　在通过 M、N 两点的所有圆周中，以 MN 为直径的圆周最小(如图中虚线所示)。因此所求圆形区域的最小半径为 r min ＝ 12 MN＝12 · 2R＝2mv2qB。

　答案：2mv2qB