阿氏圆从入门到精通
阿氏圆
关于“阿波罗尼斯”:
阿波罗尼斯(Apollonius of Perga Back,也音译作“阿波罗尼奥斯”),古希腊人(公元前262~公元前190),写了八册圆锥曲线论(Conics)著,书中详细讨论了圆锥曲线的各种性质,如切线、共扼直径、极与极轴、点到锥线的最短与最长距离等,阿波罗尼斯圆是他的论著中一个著名的问题。他与阿基米德、欧几里德被誉为古希腊三大数学家。
阿波罗尼斯出生在当代文化的中心——Perga(古代小亚细亚南岸地区,今土耳其境内)。少年时,阿波罗尼斯前去 Alexandria(亚历山卓,埃及北部海港城市),并在欧几里得(《几何原本》作者)门下求学,后来也在那边从事教书工作。其生平描述,仅见于他的著作 Conics 的前言。Conics 共有八册,希腊文版本仅留存前四册,而阿拉伯文版本的,前七册均被保留了下来。
阿波罗尼斯亦是位利用数学方法研究相关天文学(即使用几何的模型去解释星球理论)的重要创始人,也是许多应用的发明人,例如他发明了 hemicyclium,即一个表面上有着时刻线的圆锥形的日,这个日暑带给当时的计时工作有更大的精确度。阿波罗尼斯被公认为「最伟大的几何学家]。关于阿波罗尼斯的生平事迹记载并不多,但他的著作对数学的发展确实具有十分重大的影响,特别是他那本介绍了许多名词(例如:抛物线、椭圆、双曲线)的有名的著作 Conics。
关于“阿波罗尼斯圆”:
:
阿波罗尼斯证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数 λ(λ>0 且 λ≠0)的点的轨迹是圆.后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆(简称“阿氏圆”).用现代数学语言详述如下:
阿波罗尼斯圆的定义:在平面上给定相异的两点 A、B,设 P 点在同一平面上且满足 PA:PB=λ 当 λ>0 且 λ≠0 时 P 点轨迹是一个圆,这个圆我们称为阿波罗尼斯圆.这个结论称为阿波罗尼斯轨迹定理.
经典几何模型之“阿氏圆”
一、 模型名称由来
【模型背景】“PA+k·PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。当 k 值为 1 时,即可转化为“PA+PB”之和最短问题,就可用我们常见的“饮马问题”模型来处理,即可以转化为轴对称问题来处理。而当 k 取任意不为 1 的正数时,若再以常规的轴对称思想来解决问题,则无法进行,因此必须转换思路。此类问题的处理通常以动点 P 所在图像的不同来分类,一般分为 2 类研究。即点 P 在直线上运动和点 P 在圆上运动。其中点 P 在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题;点 P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。
【模型由来】“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”,已知平面上两点 A、B,则所有满足 PA=k·PB(k≠1)的点 P 的轨迹是一个圆,这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现,故称“阿氏圆”。
二. . 模型建立
如图 1 所示,⊙O 的半径为 r,点 A、B 都在⊙O 外,P 为⊙O 上一动点,已知 r=k·OB,连接 PA、PB,则当“PA+k·PB”的值最小时,P 点的位置如何确定?
模型解读:最早见“PA+PB”型问题应该是在“将军饮马”问题中,而本题多了一个“k”,故如何确定“k·PB”的大小是关键,如图 2,在线段 OB 上截取 OC 使 OC=k·r,则可说明△BPO 与△PCO相似,即 k·PB=PC。故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为:“PA+PC”的最小值,其中与A 与 C 为定点,P 为动点,故当 A、P、C 三点共线时“PA+PC”值最小。如图 3
三 .“ 阿氏圆 ” 模型破解策略
【破解策略详细步骤解析】
第一步:连接动点于圆心 O(一般将含有 k 的线段两端点分别与圆心 O 相连),即连接 0B、OP; 第二步:计算出线段 OP 与 OB 及 OP 与 OA 的线段比,找到线段比为 k 的情况,如例子中的 OP:OB=k 第三步:在 OB 上取点 C,使得 OC:OP=OP:OB(核心关键步骤)
第四步:连接 AC,与⊙O 的交点即为点 P 【核心步骤另单独解析】
回顾图 2,在 OB 上取点 C 构建 OC:OP=OP:OB 的目的是为了形成“母子型相似模型”,“母子型相似”的构建是“阿氏圆”模型破解的“核武器”,“母子型相似”一出,“阿氏圆”直接秒杀。
将图 2 中△BPO 单独提取出,如图 4,上色渲染的△PCO∽△BPO,就是“母子型相似模型”,“母子型相似模型”的特点如图 4,△PCO 与△BPO 有公共角∠O,且 OC:OP=OP:OB(在某些角度处理策略题中,“母子型相似”的主要特征是∠O=∠O、∠B=∠OPC)
(构造出△PCO∽△BPO 后可以得到 OC:OP=OP:OB,进而推出 OP2 =0B·OC,即“半径的平方=原有线段×构造线段”,确定 C 的位置后,连接 AC,求出 AC 长度“阿氏圆”即可破解)
四.“阿氏圆”典型例题讲解 例 1:如图 1,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,CB=4,CA=6,⊙C 半径为 2,P 为圆上一动点,连接AP、BP,求 AP+ 12 BP 的最小值。
解答:如图 2,连接 CP,因为 CP=2,AC=6,BC=4,简单推算得:13CPAC ,12CPCB 而题目中是求“AP+ 12BP”其中的“k= 12 ”,故舍弃在 AC 上取点,应用“12CPCB ”,所以在 CB 上取一点 D,使 CD=1,则有12CD CP PDCP CB BP ,无论P如何移动,△PCD与△BCP始终相似,故PD= 12 BP始终成立,所以AP+12 BP=AP+PD,其中 A、D 为定点,故 A、P、D 三点共线时最小2 21372AP BP AP PD AD AC CD
(思考:若求 BP+ 13 PA 呢?)
(大家仔细看第一题的解答过程,边看边与前面的“破解策略”对照,动脑筋悟出“核武器”)
例 2:已知扇形 COD 中,∠COD=90°,OC=6,0A=3,OB=5,点 P 是弧 CD 上一点,求 2PA+PB 的最小值. 解答:首先连接 0P,因为 0P=6,0A=3,0B=5,所以12AOOP ,56BCOP ,题目求的是“2PA+PB”,其中的“k=2”与之相关的是 AO:OP=1:2,故在 0A 上取点,考虑到是 2PA,故在 OC 上取点 H 使 0H=12,则有12OA OP APOP OH PH ,无论 P 如何移动,△PA0 与△HPO 始终相似,故 PH=2PA 始终成立,所以2PA+PB=PH+PB,其中 H、B 为定点,故 H、P、B 三点共线时最小,2PA+PB=PH+PB=2 2OH OB =13.(思考:若求 AP+ 65 PB 呢?)
例 3:如图 1,已知 AC=6,BC=8,AB=10,⊙C 的半径为 4,点 D 是⊙C 上的动点,连接 AD、BD,则 AD+ 12BD 的最小值为?
解答:首先连接 CD,因为 CD=4,CB=8,CA=6,所以12CDCB ,23CDCA 题目求的是 “AD+ 12 BD”,其中的“k=12 ”与之相关的是12CDCB ,故在 CB 上取点,故在 CB 上取点 H,使 CH=2,则有12CH CD HDCD CB BD ,无论 P 如间移动,△DH0 与△BDC 始终相似,故 HD= 12 BD 始终成立,所以 AD+12BD=AD+DH,其中 H、A 为定点,故 H、D、A 三点共线时最小 AD+ 12 BD=AD+DH=2 2CH AC = 2 10
(思考:若求 BD+ 23 AD 呢?)
例 4:如图 1,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,点 D 为△4BC 内一动点,且满足 CD=2,则AD+ 23 BD 的最小值?
解答:此题关键在于看出是“阿氏圆模型”,首先从问题看,可能是“阿圆”,接着题目条件“CD=2”更加确定此题有隐藏圆,如图 2,D 在 r=2 的⊙C 上,下面步骤完全与上相同,故略。答案:4103 例 5:如图 1,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,CA=3,CB=4,⊙C 的半径为 2,点 P 是⊙C 上一动点,则 AP+ 12PB 的最小值?
解答:如图 2,连接 CP,口算23CPCA ,12CPCB 故选择在 CB 上取点,构造“核武器”“母子型相供模型”,取点 H,使 CH=1,有器12CH CP PHCP CB BP ,所以无论 P 如间移动,△PCH 与△BCP 始终相似,故 PH= 12 BP 始终成立,所以 AP+12 PB=AP+PH,其中 H、A 为定点,故 H、P、A 三点共线时最小,AP+12 PB=AP+PH=2 2CH AC = 10
(思考:若求 BP+ 23 AP 呢?)
例 6:如图 1,正方形 ABCD 边长为 4,OB 的半径为 2,P 是⊙B 上一动点,则 2 PD+4PC 的最小值?
解答:此题,初学者有可能会陷入误区,以为很难,因为按照前面题的套路12BPBC12BPBA (因为前面我们都是比较这三条线段啊),感觉好像和“ 2 PD+4PC”没关系啊!实际上对“阿氏圆”套路的理解不够深,我们研究的线段是圆心到“一动两点”,在此题中,“一动”指的是“动点 P”,“两定”不是指 A、C,而是要看问题“ 2 PD+4PC”问题中 P 为动点,C、D 才是定点,故本题应该比较12BPBC ,2 24 4 2BPBD ,故选择在 BD 上取点 H(如图 2),使得2=2BH ,则有24BH BP PHBP BD PD ,所以无论 P如何移动,△PBH与△DBP始终相似,故24PH PD 始终成立,所以22 +4PC=4(PC+ ) 4( )4PD PD PC PH ,其中 H、C 为定点,故 H、P、C 三点共线时最小,22 +4PC=4(PC+ ) 4( )=4CH4PD PD PC PH ,2 22 21 7 5 22 2 2CH PM MC ,故答案:
10 2
(思考:若求 PD+ 12 PC 呢?)
例 7:如图 1,在已知菱形 ABCD 的边长为 4,∠B=60°,⊙B 的半径为 2,P 为⊙B 上一动点,则 3PD+6PC 的最小值?
解答:比较 BP、BC、PD,得3=6BPBD,12BPBC ,故在 BD 上取点 H,使得 BH=33,36BH BP PHBP BD PD
所以3=6PH PD ,2 233 +6 =6 + =6 = 2 1116PD PC PC PD PC PH HM MC ( )( )6
(思考:若求 PD+ 12 PC 呢?)
例 8:在平面直角坐标系中,A(2,0)、B(0,2)、C(4,0)、D(3,2),P 是△AOB 外部的第一象限内一动点,且∠BPA-135°,则 2PD+PC 的最小值是?
解答:首先从问题,大概看出是“胡不归”或者“阿氏圆”的问题,然后 P 是动点,但是 AB 是定线段,∠BPA=135°是定值,属于“定弦定角”“隐圆模型”,故构建⊙O,如图 2,然后下面过程略,答案:
2 2
例 9:如图 1,在 Rt△ABC 中,AB=9,BC=8,∠ABC=60°,⊙A 的半径为 6,P 是⊙A 上的动点,连接PB、PC,则 3PC+2PB 的最小值?
解答:如图 2,取 AH=4,△APH∽△ABP,故 PH= 23 BP,所以 3PC+2PB=3(PC+23 BP)=3(PH+PC)=3CH,利用∠CBA=60°,BC=8,可以求出 BH=4,进而可知 HM=1,CM= 4 3 ,故 CH=7
五、实战演练 练 1:如图,在边长为 4 的正方形 ABCD 内,内切圆记为⊙O,P 是⊙O 上一动点,则 2PB+PC 的最小值为?
【答案】
2 3
练 2:如图,等边△ABC 的边长为 6,内切圆记为⊙0,P 是⊙0 上一动点,则 2PB+PC 的最小值为多少?
【答案】2372
- 范文大全
- 职场知识
- 精美散文
- 名著
- 讲坛
- 诗歌
- 礼仪知识
-
大学生学习2024年两会精神心得感悟
大学生学习2024年两会精神心得感悟过去一年,是全面贯彻二十大精神的开局之年,中国共产党带领全国各族人民,付出艰辛努力,换来重大成
【心得体会】 日期:2024-03-07
-
基尔霍夫定律验证实验报告
基尔霍夫定律的验证的实验报告本文关键词:基尔,定律,霍夫,验证,实验基尔霍夫定律的验证的实验报告本文
【思想宣传】 日期:2021-03-08
-
入党积极分子个人2024思想汇报12篇
入党积极分子个人2024思想汇报12篇 当我开始写这篇心得的时候,我的心里是很激动的。真的,就像在平静如湖的心田里忽然扔进了一块石子
【思想汇报】 日期:2024-02-20
-
超星尔雅学习通《对话大国工匠致敬劳动模范》题库附答案
超星尔雅学习通《对话大国工匠致敬劳动模范》题库附答案 1、历史只会眷顾坚定者、奋进者、搏击者,而不会
【入党申请书】 日期:2021-05-12
-
[女装批发店面装修图片欣赏] 女装店面装修效果图
店面是服装企业的形象,店面色彩又是人们对服装企业的第一视觉感觉,企业要建立良好的企业文化,提高销售额,增强其竞争力,必需要有一套完备的店面色彩设计密码。下面小编就...
【述职报告】 日期:2019-05-07
-
入党积极分子2024年第一季度思想汇报9篇
入党积极分子2024年第一季度思想汇报9篇 伟大、光荣、正确的中国共产党,是中华民族伟大复兴的中流砥柱,是领导我们事业的核心力量。
【思想汇报】 日期:2024-03-13
-
地藏经诵读仪规(完整版)
地藏经诵读仪规(完整版) 恭请文: 恭请大慈大悲大愿地藏王菩萨、护法诸天菩萨慈悲加持护念弟子***能
【个人简历】 日期:2021-03-31
-
服装店面装修设计图【女装小店面装修效果图设计图】
随着服装行业和照明产业的发展日趋成熟,服装店的照明设计越来越受到人们的广泛关注,即通过光环境设计对消费者产生引导性作用。那么女装小店面要如何装修呢?下面小编...
【党会发言】 日期:2019-05-09
-
2024年全国两会精神大学生心得感想
2024年全国两会精神大学生心得感想 在这个充满希望的春天,2024年全国两会如期而至,即使远在异国他乡,当我看到代表委员们用心用情履
【心得体会】 日期:2024-03-12
-
青年学生学习全国人大十四届二次会议心得感想16篇
青年学生学习全国人大十四届二次会议心得感想16篇报告中提到政府在经济调控、消费政策、基础设施和制造业投资、房地产调控以及地方债务
【心得体会】 日期:2024-03-07
-
执行信息公开网
执行信息公开网 执行信息公开网 执行信息公开网: zhi*ing (点击下图可直接进行访问) 全国
【职场知识】 日期:2020-07-03
-
组工干部学习谈治国理政第三卷《共建创新包容开放型世界经济》心得体会
组工干部学习谈治国理政第三卷《共建创新包容的开放型世界经济》心得体会 《习近平谈治国理政》第三卷第七
【职场知识】 日期:2020-09-22
-
有机磷酸酯类中毒及其解救(实验报告范文)
有机磷酸酯类中毒及其解救XXX、XXX一、实验目的1 观察有机磷酸酯类农药敌百虫中毒时的症状。 2
【职场知识】 日期:2020-08-30
-
【影子是怎么形成的】影子是怎样形成的?
一种光学现象,影子不是一个实体,只是一个投影。那么影子是怎么形成的?小编在此整理了影子形成的原因,供大家参阅,希望大家在阅读过程中有所收获! 影子形成的原因 光...
【职场知识】 日期:2020-03-12
-
2021教育基础知识试题(附答案)
2021教育基础知识精选试题(附答案) 1、主张恢复西方传统教育核心价值,反对“进步教育
【职场知识】 日期:2021-03-17
-
2017流行适合胖新娘的发型 新娘发型图片2017款
结婚时新娘肯定要做发型的,那么什么样的发型会让脸大的新娘显得小脸美丽呢?以下是小编为你精心整理的2017流行适合胖新娘的发型,希望你喜欢。 2017流行适合胖新娘的发型 ...
【职场知识】 日期:2020-03-10
-
资产负债表垂直分析表分析|资产负债表垂直分析表
从资产负债表垂直分析表中可以看出 (一)资产结构的分析评价 (1) 从静态方面分析。就一般意义而言,
【职场知识】 日期:2020-06-17
-
大学教师毕业设计指导记录4篇
大学教师毕业设计指导记录4篇 毕业设计是指工、农、林科高等学校和中等专业学校学生毕业前夕总结性的独立作业。是实践性教学最后一
【职场知识】 日期:2022-05-11
-
年国家开放大学电大电子商务单选题题库
单选: 1、EDI是指A、电子商务B、电子数据交换C、电子交易 D、移动数据交换 答案: B 2、电
【职场知识】 日期:2020-06-05
-
幼儿园关于春天的五大领域活动教案设计5篇
幼儿园关于春天的五大领域活动教案设计5篇 人间四月芳菲尽,山寺桃花始盛开。伴着春风,带着春雨,悄悄地来到了人间。小朋友最喜欢
【职场知识】 日期:2022-04-11
-
十三五规划(全文)
十三五规划建议发布(全文) 2015年11月03日16:06来源:新华网新华社北京11月3日电中共中
【古典文学】 日期:2020-09-12
-
唐代诗人李昂个人信息
唐代诗人李昂个人信息 导读:我根据大家的需要整理了一份关于《唐代诗人李昂个人信息》的内容,具体内容:
【古典文学】 日期:2020-11-07
-
叠加原理实验报告
一、实验目的1、通过实验来验证线性电路中的叠加原理以及其适用范围。 2、学习直流仪器仪表的测试方法。
【古典文学】 日期:2020-11-12
-
[关于中秋的朗诵诗词] 关于爱国的朗诵诗词
中秋,热闹的街头树起了灯彩,舞起了火龙。你知道多少关于中秋的朗诵诗词?下面小编为你整理了几篇关于中秋的朗诵诗词,希望对你有帮助。 关于中秋的朗诵诗词一 中秋佳节...
【古典文学】 日期:2019-06-06
-
大气唯美黑板报【国庆节大气黑板报】
日本在投降的那一天,再也没有昔日的嚣张,我们中国的屈辱得到洗刷。下面就随小编看看国庆节大气黑板报内容,希望喜欢哦。 国庆节大气黑板报图片欣赏 国庆节大气黑板报...
【古典文学】 日期:2019-05-05
-
恒星英语听力网_普特英语听力网
恒星英语听力网的英语听力材料。下面是小编给大家整理的恒星英语听力网的相关知识,供大家参阅! 恒星英语听力网听力篇1 LessonThirty-Six SectionOne: A Makinga...
【古典文学】 日期:2019-05-30
-
儿童文字睡前故事大全 睡前长篇童话故事大全
睡前故事可以营造温馨的心理环境,帮助孩子把情绪调节到准备入睡的状态。我们应该怎样为孩子选择睡前故事呢?下面是小编为您整理的儿童文字睡前故事大全,希望对你有所帮助! ...
【古典文学】 日期:2019-05-17
-
输血查对制度
输血查对制度依据卫生部《临床输血技术规范》的要求,制订抽血交叉配备查对制度、取血查对制度、输血查对制
【古典文学】 日期:2020-09-24
-
通信技术基础习题答案
通信技术基础习题答案本文关键词:习题,通信技术,答案,基础通信技术基础习题答案本文简介:第一章习题1
【古典文学】 日期:2021-03-10
-
北京最好吃的西餐厅|北京最好吃的牛排餐厅
在北京最好的西餐餐厅有哪些呢?带着你的万贯,“狐假虎威”的来搓一顿!挑战你的视觉,刺激你的味蕾……跟小编来看一看吧。 北京最好吃的西餐厅:马克西姆西餐厅 ▼ ...
【古典文学】 日期:2020-03-02
-
【世界上最大的半岛】阿拉伯半岛
你知道世界上最大的半岛是什么吗?下面由小编来介绍一下。 阿拉伯半岛的简介 阿拉伯半岛(阿拉伯文:)位于亚洲,是世界上最大的半岛。沙特阿拉伯、也门、阿曼、阿拉伯联合...
【中国文学】 日期:2019-05-24
-
2021年超星尔雅学习通《辩论与修养》章节测试试题(共183题附答案)
2021年超星尔雅学习通《辩论与修养》章节测试试题(共183题附答案)1、辩论的目的不是单纯获得某种
【中国文学】 日期:2021-05-12
-
2022年当前世界下中国面临国际形势论文范本
和平与发展仍然是当今时代的主题。谋和平、求合作、促发展是各国人民的共同愿望。为了大家学习方便,下面是小编为大家整理的当前世界下中国面临的国际形势论文范文内容,以供参...
【中国文学】 日期:2022-03-31
-
普通高中通用技术学生设计作品图文材料
普通高中通用技术学生设计作品图文材料 一、基本情况作品名称:竹刻大佛笔筒设计人员:xxx学校班级:海
【中国文学】 日期:2020-09-28
-
爱情的英语作文|关于爱情的英语作文
爱情的英语作文,书写了世界上伟大的爱情。下面是小编给大家整理的爱情的英语作文的相关知识,供大家参阅! 爱情的英语作文篇1 Loveisthemostbeautifulthingintheworld,i...
【中国文学】 日期:2020-03-10
-
古代人物漫画女生唯美图片欣赏 漫画人物图片女孩唯美
中国漫画始于清末民初,而平面设计虽然其名称是在改革开放以后确立的,但设计活动却自古就有,二者的相互影响是本文的主要讨论范围。小编整理了唯美古代女生人物漫画,欢迎阅读!...
【中国文学】 日期:2020-03-19
-
施工现场安全管理目标
施工现场安全管理目标 1、安全教育管理目标:建立健全安全生产教育培训制度,加强对职工安全生产的教育培
【中国文学】 日期:2020-10-22
-
雪天安全行车注意事项_雪天安全行车提示语
维护城市交通秩序,争做河源文明市民。你们想看看雪天安全行车提示语有哪些吗?以下是小编推荐雪天安全行车提示语给大家,欢迎大家阅读! 安全行车温馨提示语【经典篇】 1...
【中国文学】 日期:2020-03-15
-
2023年度廉洁典型故事素材5篇
2023年度廉洁典型故事素材5篇廉洁最早出现在战国时期伟大的诗人屈原的《楚辞·招魂》中朕幼清以廉洁兮,身服义尔未沫。东汉著名学者王
【中国文学】 日期:2023-10-09
-
光纤通信实验报告2-光发射机消光比测试
告《光纤通信》实验报告2实验室名称:光纤通信实验室 ﻩﻩ :期日验实ﻩ2014年12月11日学 院信
【中国文学】 日期:2020-09-14
-
改革开放大事记简表(改革开放新时期1978-2012年)
改革开放大事记简表 (1978-2012年) 时间1978年12月18日至22日地点北京事件党的十一
【外国名著】 日期:2021-06-17
-
[10.1旅游去哪里好玩] 旅游去哪里好玩
十月一到,秋意已在一个我们不经意的黎明走来,习习凉风,却是最适合出门游行。小编为您整理了10 1旅游去哪里好玩,秋天,我们一起出发吧。 1、云南建水古城 建水古城...
【外国名著】 日期:2020-03-01
-
非政府组织管理
第一章:绪论第一节非政府组织的界定与特征联合国的NGO是指,在地方,国家或国际级别上组织起来的非营利
【外国名著】 日期:2020-09-13
-
梦见打官司 [解梦梦见在打官司]
梦见打官司:解梦查询梦见打官司的吉凶,梦见打官司的解梦建议,运势,运气指数等内容,梦见打官司的人都可以来看看。 梦见打官司的周公解梦: 梦见打官司,预示会有意外之财...
【外国名著】 日期:2020-02-26
-
时尚餐厅店面装修图片_餐厅店面装修效果图
餐饮业是通过即时加工制作、商业销售和服务性劳动于一体,向消费者专门提供各种酒水、食品,消费场所和设施的食品生产经营行业。下面小编就为大家解开时尚餐厅店面装修图片,...
【外国名著】 日期:2019-05-16
-
山东省生产经营单位安全生产主体责任规定(303号令)
山东省生产经营单位安全生产主体责任规定(2013年2月2日山东省人民政府令第260号公布根据2016
【外国名著】 日期:2020-10-22
-
材料力学金属扭转实验报告
材料力学金属扭转实验报告 【实验目的】 1、验证扭转变形公式,测定低碳钢的切变模量G。;测定低碳钢和
【外国名著】 日期:2020-11-27
-
手机大尺度直播平台 [尺度最大的手机直播有哪些]
现在哪个手机直播平台尺度大?尺度大的手机直播App有哪些?小编为您介绍一下尺度最大的手机直播。 尺度最大的手机直播有哪些? 第一坊 第一坊视频平台是一款优质美女直...
【外国名著】 日期:2020-03-07
-
《怦然心动(2010)》电影完整中英文对照剧本
我最大的愿望就是朱莉·贝克能离我远点AllIeverwantedwasforJuliB
【外国名著】 日期:2020-07-27
-
小型服装店装修效果图【小服装店店面装修效果图】
当前在服装店室内设计中,存在着几种不良的倾向,有碍于服装店装修体现的顾客满意气氛。下面小编就为大家解开小服装店店面装修效果图,希望能帮到你。 小服装店店面装修效果...
【外国名著】 日期:2019-05-28
-
梧桐花的花语|梧桐花的功效与作用
梧桐花为梧桐科植物梧桐的花,植物形态详梧桐子条。今天小编为你整理了梧桐花的花语,欢迎阅读。 梧桐花的花语是:情窦初开 在春季里晚开的花朵,有着恬淡的气息。 ...
【寓言童话】 日期:2020-03-03
-
西部计划笔试题库(99题含答案)
西部计划笔试题库(99题含答案) 1 第十三届全国人大三次会议表决通过了《中华人民共和国民法典》,自
【寓言童话】 日期:2021-06-16
-
油管、套管规格尺寸对照表
API油管规格及尺寸 公称尺寸(in) 不加厚外径(mm) 不加厚内径(mm) 加厚外径(mm) 加
【寓言童话】 日期:2020-08-31
-
淀粉糊化度测定方法
颗粒饲料中淀粉糊化度的测定 一、淀粉糊化度说明: 饲料配方中玉米的用量一般在45%以上,而玉米中淀粉
【寓言童话】 日期:2020-12-14
-
大学生音乐欣赏论文 大学音乐鉴赏论文3000
今天小编就为你介绍关于大学生音乐欣赏论文,下面是!小编给你搜集了相关资料!希望可以能帮助到大家。 大学生音乐欣赏论文—第一篇 音乐是生活不可缺少的一部分,学会欣...
【寓言童话】 日期:2020-03-12
-
北京最好吃的自助餐厅 北京高档自助餐排名
自助餐简直就是拯救大胃王的最佳饮食!没有之一!世界上没有什么事情是吃一顿自助餐解决不了的,如果有,那就吃两顿!下面小编给大家推荐北京几家好吃的自助餐。 北京最好吃的...
【寓言童话】 日期:2020-02-25
-
【古代男生漫画图片大全】男生漫画头像
漫画和动画组成了动漫产业的两大支柱。然而,与动画相比,漫画在业界和学界皆相对冷清。小编整理了古代男生漫画,欢迎阅读! 古代男生漫画图片展示 古代男生漫画图片1 ...
【寓言童话】 日期:2019-05-27
-
水文灾害
水文灾害 中国的水文灾害 11、 洪涝灾害 ⑴分布特点:东多西少;沿海多,内陆少;平原低地多,高原山
【寓言童话】 日期:2020-09-23
-
读谢觉哉家书心得体会
读谢觉哉家书心得体会 谢觉哉,“延安五老”之一,严于律己、清正廉洁,一生奋斗
【寓言童话】 日期:2021-05-17
-
100元钱折纸大全 图解 100元人民币折纸
折纸也是一门艺术,大家知道怎么用100元人民币折纸吗?今天,小编为大家带来了100元人民币折纸,希望大家喜欢! 100元人民币折纸方法 步骤1 步骤2 步骤3 步骤4 ...
【寓言童话】 日期:2020-03-12
-
学生高考动员演讲稿
学生高考动员演讲稿3篇高考动员演讲稿11 老师们、同学们: 大家下午好!漫漫高考长征路已经进入尾声了
【百家讲坛】 日期:2021-09-22
-
企业安全演讲稿2021
最新企业安全的演讲稿5篇 演讲稿是作为在特定的情境中供口语表达使用的文稿。在充满活力,日益开放的今天
【百家讲坛】 日期:2021-09-22
-
XX镇扶贫项目实施专项整治工作总结_1
XX镇扶贫项目实施专项整治工作总结 为深入贯彻精准扶贫精准脱贫基本方略,认真落实党中央、国务院,省委
【百家讲坛】 日期:2021-09-22
-
对乡镇领导班子干部成员批评意见例文
对乡镇领导班子干部成员的批评看法范文 一、对党委书记XXX同志的批评看法〔3条〕 1、与干部交流偏少
【百家讲坛】 日期:2021-09-22
-
群英乡扶贫资金项目芬坡村祖埇村生产道路硬化工程绩效自评报告
群英乡扶贫资金项目((芬坡村祖埇村生产道路硬化工程))绩效自评报告 一、基本情况(一)群英乡扶贫资金
【百家讲坛】 日期:2021-09-22
-
党委书记警示教育大会上讲话2021汇编
党委书记在警示教育大会上的讲话55篇汇编 党委书记在警示教育大会上的讲话(一) 同志们: 根据省州委
【百家讲坛】 日期:2021-09-22
-
对于2021年召开巡视整改专题民主生活会对照检查材料
关于12021年召开巡视整改专题民主生活会对照检查材料 按照中央巡视组要求和省、市、区委统一部署,区
【百家讲坛】 日期:2021-08-14
-
消防安全知识培训试题.doc
消防安全知识培训试题姓名: 部门班组: 成绩: 一:填空题,每空4分,共44分。 1、灭火剂是通过隔
【百家讲坛】 日期:2021-08-14
-
涉疫重点人员“五包一”居家隔离医学观察工作流程
涉疫重点人员“五包一”居家隔离医学观察工作流程 目前,全球疫情仍处于大流行状
【百家讲坛】 日期:2021-08-14
-
疫情防控致全体师生员工及家长一封信
疫情防控致全体师生员工及家长的一封信 各位师生员工及全体家长朋友: 暑假已至,近期我省部分地方发现确
【百家讲坛】 日期:2021-08-14