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    第8节,空间直角坐标系与空间向量

    时间：2020-09-30 15:15:39 来源：蒲公英阅读网 本文已影响人 蒲公英阅读网手机站

    相关热词搜索：坐标系 向量 直角

    　第 第 8 节 节

    　空间直角坐标系与空间向量

    　课标要求 1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置；2.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；3.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；4.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直；5.理解直线的方向向量及平面的法向量；6.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系；7.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理.

    　知 识 梳 理 1.空间向量的有关概念 名称 定义 空间向量 在空间中，具有

    　和

    　的量 相等向量 方向

    　且模

    　的向量 相反向量 方向

    　且模

    　的向量 共线向量 (或平行向量) 表示空间向量的有向线段所在的直线互相

    　或

    　的向量 共面向量 平行于

    　的向量 2.空间向量的有关定理 (1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得

    　. (2)共面向量定理：如果两个向量 a，b 不共线，那么向量 p 与向量 a，b 共面的充要条件是存在

    　的有序实数对(x，y)，使 p＝

    　. (3)空间向量基本定理：如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对空间任一向量 p，存在有序实数组{x，y，z}，使得 p＝

    　，其中，{a，b，c}叫做空间的一个基底. 3.空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角：已知两个非零向量 a，b，在空间任取一点 O，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB叫做向量 a 与 b 的夹角，记作〈a， ，b〉，其范围是

    　，若〈a， ，b〉＝ π2 ，则称 a 与 b

    　，记作 a⊥b. ②非零向量 a ，b 的数量积 a·b＝|a||b|cos〈a ，b〉. (2)空间向量数量积的运算律：

    　①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；

    　②交换律：a·b＝b·a； ③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c. 4.空间向量的坐标表示及其应用 设 a＝(a 1 ，a 2 ，a 3 )，b＝(b 1 ，b 2 ，b 3 ).

    　向量表示 坐标表示 数量积 a·b

    　共线 a＝λb(b≠0，λ∈R)

    　垂直 a·b＝0(a≠0，b≠0)

    　模 |a|

    　夹角 〈a ，b〉(a≠0，b≠0) cos〈a ，b〉＝ 错误! ! 5.直线的方向向量和平面的法向量 (1)直线的方向向量：如果表示非零向量 a 的有向线段所在直线与直线 l

    　，则称此向量 a 为直线 l 的方向向量. (2)平面的法向量：直线 l⊥α，取直线 l 的方向向量 a，则向量 a 叫做平面 α 的法向量. 6.空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 直线 l 1 ，l 2 的方向向量分别为n 1 ，n 2

    　l 1 ∥l 2

    　n 1 ∥n 2 ⇔n 1 ＝λn 2

    　l 1 ⊥l 2

    　n 1 ⊥n 2 ⇔

    　 直线 l 的方向向量为 n，平面α 的法向量为 m l∥α n⊥m⇔

    　 l⊥α n∥m⇔n＝λm 平面 α，β 的法向量分别为 n，m α∥β n∥m⇔n＝λm α⊥β n⊥m⇔

    　 [微点提醒] 1.在平面中 A，B，C 三点共线的充要条件是：OA→＝xOB→＋yOC→(其中 x＋y＝1)，O 为平面内任意一点. 2.在空间中 P，A，B，C 四点共面的充要条件是：OP→＝xOA→＋yOB→＋zOC→(其中 x＋y＋z＝1)，O 为空间任意一点. 3.向量的数量积满足交换律、分配律，即 a·b＝b·a，a·(b＋c)＝a·b＋a·c 成立，但不满足结合律，即(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立.

    　4.用向量知识证明立体几何问题，仍离不开立体几何中的定理.若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外. 基 础 自 测

    　1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)直线的方向向量是唯一确定的.(

    　) (2)若直线 a 的方向向量和平面 α 的法向量平行，则 a∥α.(

    　) (3)若{a，b，c}是空间的一个基底，则 a，b，c 中至多有一个零向量.(

    　) (4)若 a·b<0，则〈a，b〉是钝角.(

    　) (5)若两平面的法向量平行，则两平面平行.(

    　)

    　2.

    　(选修 2－1P104 练习 2 改编)已知平面 α，β 的法向量分别为 n 1 ＝(2，3，5)，n 2 ＝(－3，1，－4)，则(

    　) A.α∥β

    　B.α⊥β C.α，β 相交但不垂直

    　 D.以上均不对 3.

    　(选修 2－1P118A6 改编)已知 a＝(cos θ，1，sin θ)，b＝(sin θ，1，cos θ)，则向量 a＋b 与 a－b 的夹角是________.

    　4.已知 A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则下列向量是平面 ABC 法向量的是(

    　) A.(－1，1，1)

    　B.(1，－1，1) C. －33，－33，－33

    　 D. 33，33，－33 5.如图所示，在正方体 ABCD－A 1 B 1 C 1 D 1 中，O 是底面正方形 ABCD 的中心，M 是 D 1 D 的中点，N 是 A 1 B 1 的中点，则直线 ON，AM 的位置关系是________.

    　6.如图所示，在四面体 OABC 中，OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，D 为 BC 的中点，E 为 AD 的中点，则OE→＝________(用 a，b，c 表示).

    　 考点一 空间向量的线性运算 【例 1】如图所示，在空间几何体 ABCD－A 1 B 1 C 1 D 1 中，各面为平行四边形，设AA 1→＝a，AB→ ＝b，AD→＝c，M，N，P 分别是 AA 1 ，BC，C 1 D 1 的中点，试用 a，b，c 表示以下各向量：

    　(1)AP→ ； (2)MP→＋NC 1→.

    　 规律方法 用基向量表示指定向量的方法 (1)结合已知向量和所求向量观察图形． (2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中． (3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来． 【训练 1】(1)如图所示，在长方体 ABCD－A 1 B 1 C 1 D 1 中，O 为 AC 的中点．用AB→ ，AD →，AA 1→表示OC 1→，则OC 1→＝________________.

    　(2)如图，在三棱锥 O —ABC 中，M，N 分别是 AB，OC 的中点，设OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，用 a，b，c 表示NM→，则NM→等于(

    　)

    　A. 12 (－a＋b＋c)

    　B.12 (a＋b－c) C. 12 (a－b＋c)

    　D.12 (－a－b＋c)

    　 考点二 用空间向量证明平行和垂直问题 【例 2】

    　如图正方形 ABCD 的边长为 2 2，四边形 BDEF 是平行四边形，BD 与 AC 交于点G，O 为 GC 的中点，FO＝ 3，且 FO⊥平面 ABCD.

    　(1)求证：AE∥平面 BCF； (2)求证：CF⊥平面 AEF.

    　 规律方法 1.证明直线与平面平行，只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可.这样就把几何的证明问题转化为向量运算. 2.用向量证明垂直的方法 (1)线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零. (2)线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示. (3)面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示. 【训练 2】

    　如图，在多面体 ABC－A 1 B 1 C 1 中，四边形 A 1 ABB 1 是正方形，AB＝AC，BC＝ 2AB，B 1 C 1 / /12 BC，二面角 A 1 －AB－C 是直二面角.

    　 求证：(1)A 1 B 1 ⊥平面 AA 1 C； (2)AB 1 ∥平面 A 1 C 1 C.

    　考点三 用空间向量解决有关位置关系的探索性问题 角度 1 与平行有关的探索性问题 【例 3－1】

    　如图，在多面体 ABCC 1 B 1 N 中，BC⊥平面 ABB 1 N，四边形 ABB 1 N 为直角梯形，∠BAN＝∠ABB 1 ＝90°，AN＝AB＝BC＝4，BB 1 ＝8.M 为 AB 的中点，在线段 CB 上是否存在一点 P，使得 MP∥平面 CNB 1 ？若存在，求出 BP 的长；若不存在，请说明理由.

    　 角度 2 与垂直有关的探索性问题 【例 3－2】

    　如图，正方形 ADEF 所在平面和等腰梯形 ABCD 所在的平面互相垂直，已知 BC＝4，AB＝AD＝2.

    　(1)求证：AC⊥BF； (2)在线段 BE 上是否存在一点 P，使得平面 PAC⊥平面 BCEF？若存在，求出 |BP||PE| 的值；若不

    　存在，请说明理由.

    　 规律方法 解决立体几何中探索性问题的基本方法 (1)通常假设题中的数学对象存在(或结论成立)，然后在这个前提下进行逻辑推理. (2)探索性问题的关键是设点：①空间中的点可设为(x，y，z)；②坐标平面内的点其中一个坐标为 0，如 xOy 面上的点为(x，y，0)；③坐标轴上的点两个坐标为 0，如 z 轴上的点为(0，0，z)；④直线(线段)AB 上的点 P，可设为AP→ ＝ λ AB → ，表示出点 P 的坐标，或直接利用向量运算. 【训练 3】

    　如图，棱柱 ABCD－A 1 B 1 C 1 D 1 的所有棱长都等于 2，∠ABC 和∠A 1 AC 均为 60°，平面 AA 1 C 1 C⊥平面 ABCD.

    　(1)求证：BD⊥AA 1 ； (2)在直线 CC 1 上是否存在点 P，使 BP∥平面 DA 1 C 1 ，若存在，求出点 P 的位置，若不存在，请说明理由.

    　[思维升华] 1.利用向量的线性运算和空间向量基本定理表示向量是向量应用的基础. 2.利用共线向量定理、共面向量定理可以证明一些平行、共面问题；利用数量积运算可以解决一些距离、夹角问题. 3.利用向量解立体几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算或证明去解决问题.其中合理选取基底是优化运算的关键. 4.向量的运算有线性运算和数量积运算两大类，运算方法有两种，一种是建立空间坐标系，

    　用坐标表示向量，向量运算转化为坐标运算，另一种是选择一组基向量，用基向量表示其它向量，向量运算转化为基向量的运算. 5.用向量的坐标法证明几何问题，建立空间直角坐标系是关键，以下三种情况都容易建系：(1)有三条两两垂直的直线；(2)有线面垂直；(3)有两面垂直. [易错防范] 1.在利用MN→＝xAB→ ＋yAC → ①证明 MN∥平面 ABC 时，必须说明 M 点或 N 点不在面 ABC 内(因为①式只表示MN→与AB→ ，AC → 共面). 2.找两个向量的夹角，应使两个向量具有同一起点，不要误找成它的补角. 3.用向量证明立体几何问题，写准点的坐标是关键，要充分利用中点、向量共线、向量相等来确定点的坐标.

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