第四章,4.5.3,函数模型应用

时间：2020-11-03 20:56:55 来源：蒲公英阅读网 本文已影响人

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　4 ．5.3

　函数模型的应用 学习目标 1.能利用已知函数模型求解实际问题.2.能自建确定性函数模型解决实际问题.3.了解建立拟合函数模型的步骤，并了解检验和调整的必要性．

　知识点一 几类已知函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b 为常数，a≠0) 反比例函数模型 f(x)＝ kx ＋b(k，b 为常数且 k≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax 2 ＋bx＋c(a，b，c 为常数，a≠0) 指数型函数模型 f(x)＝ba x ＋c(a，b，c 为常数，b≠0，a>0 且 a≠1) 对数型函数模型 f(x)＝blog a x＋c(a，b，c 为常数，b≠0，a>0 且 a≠1) 幂函数型模型 f(x)＝ax n ＋b(a，b 为常数，a≠0)

　知识点二 应用函数模型解决问题的基本过程 1．审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型． 2．建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型． 3．求模——求解数学模型，得出数学模型． 4．还原——将数学结论还原为实际问题．

　1．实际问题中两个变量之间一定有确定的函数关系．( × ) 2．函数模型中，要求定义域只需使函数式有意义．( × ) 3．用函数模型预测的结果和实际结果必须相等，否则函数模型就无存在意义了．( × ) 4．在选择实际问题的函数模型时，必须使所有的数据完全符合该函数模型．( × ) 5．利用函数模型求实际应用问题的最值时，要特别注意取得最值时的自变量与实际意义是否相符．( √ )

　一、指数型函数模型 例 1 一种放射性元素，最初的质量为 500 g，按每年 10%衰减．

　(1)求 t 年后，这种放射性元素的质量 w 的表达式； (2)由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期(结果精确到 0.1)． 解 (1)最初的质量为 500 g. 经过 1 年，w＝500(1－10%)＝500×0.9； 经过 2 年，w＝500×0.9 2 ； 由此推知，t 年后，w＝500×0.9 t . (2)由题意得 500×0.9 t ＝250，即 0.9 t ＝0.5，两边取以 10 为底的对数， 得 lg 0.9 t ＝lg 0.5，即 tlg 0.9＝lg 0.5， ∴t＝ lg 0.5lg 0.9 ≈6.6. 即这种放射性元素的半衰期为 6.6 年． 反思感悟 在实际问题中，有关人口增长、银行复利、细胞分裂等增长率问题常可以用指数型函数模型表示，通常可以表示为 y＝N(1＋p) x (其中 N 为基础数，p 为增长率，x 为时间)的形式． 跟踪训练 1 物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述，设物体的初始温度是 T 0 ，经过一定时间 t 后的温度是 T，则 T－T a ＝(T 0 －T a )×12th   ，其中 T a 表示环境温度，h 称为半衰期，现有一杯用 88 ℃热水冲的速溶咖啡，放在 24 ℃的房间中，如果咖啡降温到 40 ℃需要 20 min，那么降温到 32 ℃时，需要多长时间？ 解 由题意知 40－24＝(88－24)×2012h   ， 即 14 ＝2012h   ， 解得 h＝10， 故原式可化简为 T－24＝(88－24)×1012t   ， 当 T＝32 时，代入上式， 得 32－24＝(88－24)×1012t   ， 即1012t   ＝864 ＝18 ＝ 123 ，∴t＝30. 因此，需要 30 min 可降温到 32 ℃.

　二、对数型函数模型 例 2 2018 年 12 月 8 日，我国的“长征”三号火箭成功发射了嫦娥四号探测器，这标志着中国人民又迈出了具有历史意义的一步．火箭的起飞质量 M 是箭体(包括搭载的飞行器)的质量m(吨)和燃料质量 x(吨)之和．在不考虑空气阻力的条件下，假设火箭的最大速度 y(km/s)关于x(吨)的函数关系式为 y＝k[ln(m＋x)－ln( 2m)]＋4ln 2(其中 k≠0)．当燃料质量为( e－1)m 吨时，该火箭的最大速度为 4 km/s. (1)求“长征”三号系列火箭的最大速度 y 与燃料质量 x 之间的函数关系式； (2)已知“长征”三号火箭的起飞质量 M 是 479.8 吨，则应装载多少吨燃料才能使火箭的最大飞行速度达到 8 km/s？(结果精确到 0.1 吨，e 取 2.718) 解 (1)由题意得 4＝k{ln [m＋( e－1)m]－ln( 2m)}＋4ln 2，解得 k＝8， 所以 y＝8[ln(m＋x)－ln( 2m)]＋4ln 2＝8ln m＋xm. (2)由已知得 M＝m＋x＝479.8，则 m＝479.8－x， 又 y＝8，则 8＝8ln479.8479.8－x ，解得 x≈303.3. 故应装载大约 303.3 吨燃料，才能使火箭的最大飞行速度达到 8 km/s. 反思感悟 对数函数应用题的基本类型和求解策略 (1)基本类型：有关对数函数的应用题一般都会给出函数的解析式，然后根据实际问题求解． (2)求解策略：首先根据实际情况求出函数解析式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据数值回答其实际意义． 跟踪训练 2 “学习曲线”可以用来描述学习某一任务的速度，假设函数 t＝－144lg 1－N90中，t 表示达到某一英文打字水平所需的学习时间，N 表示每分钟打出的字数．则当 N＝40时，t＝________.(已知 lg 5≈0.699，lg 3≈0.477) 答案 36.72 解析 当 N＝40 时，t＝－144lg 1－ 4090＝－144lg 59

　＝－144(lg 5－2lg 3)≈36.72. 三、建立拟合函数模型解决实际问题 例 3 某企业常年生产一种出口产品，自 2017 年以来，每年在正常情况下，该产品产量平稳增长．已知 2017 年为第 1 年，前 4 年年产量 f(x)(万件)如下表所示：

　x 1 2 3 4 f(x) 4.00 5.58 7.00 8.44

　(1)画出 2017～2020 年该企业年产量的散点图； (2)建立一个能基本反映(误差小于 0.1)这一时期该企业年产量变化的函数模型，并求出函数解

　析式； (3)2021 年(即 x＝5)因受到某国对我国该产品反倾销的影响，年产量减少 30%，试根据所建立的函数模型，确定 2021 年的年产量为多少？ 解 (1)画出散点图，如图所示．

　(2)由散点图知，可选用一次函数模型． 设 f(x)＝ax＋b(a≠0)．由已知得  a＋b＝4，3a＋b＝7， 解得  a＝1.5，b＝2.5， 所以 f(x)＝1.5x＋2.5.检验：

　f(2)＝5.5，且|5.58－5.5|＝0.08<0.1. f(4)＝8.5，且|8.44－8.5|＝0.06<0.1. 所以一次函数模型 f(x)＝1.5x＋2.5 能基本反映年产量的变化． (3)根据所建的函数模型，预计 2021 年的年产量为 f(5)＝1.5×5＋2.5＝10(万件)， 又年产量减少 30%， 即 10×70%＝7(万件)，即 2021 年的年产量为 7 万件． 反思感悟 建立拟合函数与预测的基本步骤

　跟踪训练 3 水葫芦原产于巴西，1901 年作为观赏植物引入我国．现在南方一些水域中水葫芦已泛滥成灾，严重影响航道安全和水生动物生长．某科研团队在某水域放入一定量的水葫芦进行研究，发现其蔓延速度越来越快，经过 2 个月其覆盖面积为 18 m 2 ，经过 3 个月其覆盖面积为 27 m 2 .现水葫芦的覆盖面积 y(单位：m 2 )与经过的时间 x(单位：月，x∈N)的关系有两个函数模型 y＝ka x (k>0，a>1)与 y＝12px ＋q(p>0)可供选择． (1)试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；

　(2)求原先投放的水葫芦的面积，并求约经过几个月该水域中水葫芦的面积是当初投入的 1 000 倍． (参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1) 解 (1)∵y＝ka x (k>0，a>1)的增长速度越来越快，y＝12px ＋q(p>0)的增长速度越来越慢， ∴函数模型 y＝ka x (k>0，a>1)更合适， 则有  ka 2 ＝18，ka 3 ＝27，解得 a＝ 32 ，k＝8， ∴y＝8× 32x (x∈N * )． (2)设经过 x 个月该水域中水葫芦的面积是当初投放的 1 000 倍． 当 x＝0 时，y＝8，则有 8× 32x ＝8×1 000， ∴x＝32log 1000 ＝ lg 1 000lg 32＝3lg 3－lg 2 ≈17.04. ∴原先投放的水葫芦的面积为 8 m 2 ，约经过 17 个月该水域中水葫芦的面积是当初投入的 1 000 倍．

　1．一辆汽车在某段路途中的行驶路程 s 关于时间 t 变化的图象如图所示，那么图象所对应的函数模型是(

　)

　A．分段函数

　 B．二次函数 C．指数型函数

　 D．对数型函数 答案 A 2．某种植物生长发育的数量 y 与时间 x 的关系如下表：

　x 1 2 3 … y 1 3 8 …

　则下面的函数关系式中，拟合效果最好的是(

　) A．y＝2x－1

　 B．y＝x 2 －1

　C．y＝2 x －1

　 D．y＝1.5x 2 －2.5x＋2 答案 D 3．某位股民购进某只股票，在接下来的交易时间内，他的这只股票先经历了 3 次涨停(每次上涨 10%)，又经历了 3 次跌停(每次下降 10%)，则该股民这只股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为(

　) A．略有亏损

　 B．略有盈利 C．没有盈利也没有亏损

　 D．无法判断盈亏情况 答案 A 解析 由题意可得(1＋10%) 3 (1－10%) 3 ＝0.970 299 ≈0.97<1. 因此该股民这只股票的盈亏情况为略有亏损． 4．某商人将电视机先按原价提高 40%，然后在广告上写上“大酬宾，八折优惠”，结果是每台电视机比原价多赚了 270 元，则每台电视机的原价为________元． 答案 2 250 解析 设电视机的原价为 a 元， ∴a(1＋0.4)·80%－a＝270， ∴0.12a＝270，解得 a＝2 250. ∴每台电视机的原价为 2 250 元． 5．一个模具厂一年中 12 月份的产量是 1 月份产量的 m 倍，那么该模具厂这一年中产量的月平均增长率是________． 答案 11m－1 解析 设每月的产量增长率为 x,1 月份产量为 a， 则 a(1＋x) 11 ＝ma， 所以 1＋x＝ 11 m，即 x＝ 11 m－1.

　1．知识清单：

　(1)指数型函数模型． (2)对数型函数模型． (3)建立拟合函数模型解决实际问题． 2．方法归纳：转化法． 3．常见误区：实际应用题易忘定义域和作答．

　1．某研究小组在一项实验中获得一组关于 y，t 的数据，将其整理得到如图所示的图形．下列函数中，最能近似刻画 y 与 t 之间关系的是(

　)

　A．y＝2 t

　B．y＝2t 2

　C．y＝t 3

　D．y＝log 2 t 答案 D 2．某市家庭煤气的使用量 x(m 3 )和煤气费 f(x)(元)满足关系 f(x)＝  C，0<x≤A，C＋Bx－A，x>A.已知某家庭 2020 年前三个月的煤气费如表：

　月份 用气量 煤气费 一月份 4 m 3

　4 元 二月份 25 m 3

　14 元 三月份 35 m 3

　19 元

　若四月份该家庭使用了 20 m 3 的煤气，则其煤气费为(

　) A．11.5 元

　B．11 元

　C．10.5 元

　D．10 元 答案 A 解析 根据题意可知 f(4)＝C＝4， f(25)＝C＋B(25－A)＝14， f(35)＝C＋B(35－A)＝19， 解得 A＝5，B＝ 12 ，C＝4， 所以 f(x)＝ 4，0<x≤5，4＋ 12 x－5，x>5， 所以 f(20)＝4＋ 12 ×(20－5)＝11.5. 3．一种放射性元素，每年的衰减率是 8%，那么 a 千克的这种物质的半衰期(剩余量为原来的一半)t 等于(

　)

　A．lg0.50.92

　B．lg 0.920.5 C.lg 0.5lg 0.92

　D. lg 0.92lg 0.5 答案 C 解析 由题意知 a(1－8%) t ＝ a2 ， 即(1－8%) t ＝ 12 ， 等式两边取常用对数得 lg 0.92 t ＝lg 0.5， 即 tlg 0.92＝lg 0.5， ∴t＝lg 0.5lg 0.92 ，故 C 选项是正确的． 4．某新款电视投放市场后第一个月销售了 100 台，第二个月销售了 200 台，第三个月销售了400 台，第四个月销售了 790 台，则下列函数模型中能较好地反映销量 y 与投放市场的月数x(1≤x≤4，x∈N * )之间关系的是(

　) A．y＝100x

　 B．y＝50x 2 －50x＋100 C．y＝50×2 x

　D．y＝100 x

　答案 C 解析 将题目中的数据代入各函数中，易知指数型函数能较好地与题中的数据相对应． 5．某地固定电话市话收费规定：前三分钟 0.20 元(不满三分钟按三分钟计算)，以后每加一分钟增收 0.10 元(不满一分钟按一分钟计算)，那么某人打市话 550 秒，应支付电话费(

　) A．1.00 元

　 B．0.90 元 C．1.20 元

　 D．0.80 元 答案 B 解析 当 x>3 时，y＝0.2＋0.1×([x]－3)([x]是不小于 x 的最小整数)， 令 x＝ 55060，故[x]＝10，则 y＝0.9. 6．计算机成本不断降低，若每隔 3 年计算机价格降低 13 ，现在价格为 8 100 元的计算机 9 年后的价格为________元． 答案 2 400 解析 依题意得，所求价格为 8 100× 1－ 133 ＝8 100×  233 ＝2 400(元)． 7．一个驾驶员喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到 0.3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时 25%的速度减少．为了保障交通安全，规定驾驶员血液中的酒精含

　量不得超过 0.09 mg/mL，那么这个驾驶员至少要经过________小时才能开车．(精确到 1 小时，参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48) 答案 5 解析 设经过 n 小时后才能开车， 此时酒精含量为 0.3(1－0.25) n . 根据题意，有 0.3(1－0.25) n ≤0.09， 即(1－0.25) n ≤0.3，在不等式两边取常用对数， 则有 n lg 34 ＝n(lg 3－2lg 2)≤lg 0.3＝lg 3－1， 将已知数据代入，得 n(0.48－0.6)≤0.48－1， 解得 n≥ 133＝4 13 ，故至少经过 5 小时才能开车． 8．某种细菌经 30 分钟数量变为原来的 2 倍，且该种细菌的繁殖规律为 y＝e kt ，其中 k 为常数，t 表示时间(单位：小时)，y 表示 1 个细菌经繁殖后的总个数，则 k＝________，经过 5小时，1 个细菌通过繁殖个数变为________． 答案 2ln 2 1 024 解析 由题意知，当 t＝ 12 时，y＝2，即 2＝12ek， ∴k＝2ln 2，∴y＝e 2tln 2 . 当 t＝5 时，y＝e 2× 5 × ln 2 ＝2 10 ＝1 024. 即经过 5 小时，1 个细菌通过繁殖个数变为 1 024. 9．我们知道，燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数 v＝5log 2O10 ，单位是 m/s，其中 O 表示燕子的耗氧量． (1)计算当燕子静止时的耗氧量是多少个单位？ (2)当一只燕子的耗氧量是 40 个单位时，它的飞行速度是多少？ 解 (1)由题意知，当燕子静止时，它的速度 v＝0，代入题中公式，可得 0＝5log 2O10 ，解得 O＝10 个单位． (2)将耗氧量 O＝40 代入题中公式， 得 v＝5log 2 4010 ＝5log 2 4＝10(m/s)． 10．目前某县有 100 万人，经过 x 年后为 y 万人．如果年平均增长率是 1.2%，请回答下列问题：(已知：1.012 10 ≈1.126 7，1.012 11 ≈1.140 2，lg 1.2≈0.079，lg 1.012≈0.005) (1)写出 y 关于 x 的函数解析式； (2)计算 10 年后该县的人口总数(精确到 0.1 万人)；

　(3)计算大约多少年后该县的人口总数将达到 120 万(精确到 1 年)． 解 (1)当 x＝1 时， y＝100＋100×1.2%＝100(1＋1.2%)； 当 x＝2 时， y＝100(1＋1.2%)＋100(1＋1.2%)×1.2% ＝100(1＋1.2%) 2 ； 当 x＝3 时， y＝100(1＋1.2%) 2 ＋100(1＋1.2%) 2 ×1.2% ＝100(1＋1.2%) 3 ；…. 故 y 关于 x 的函数解析式为 y＝100(1＋1.2%) x (x∈N * )． (2)当 x＝10 时，y＝100×(1＋1.2%) 10

　＝100×1.012 10 ≈112.7. 故 10 年后该县约有 112.7 万人． (3)设 x 年后该县的人口总数为 120 万， 即 100×(1＋1.2%) x ＝120， 解得 x＝log 1.012 120100 ≈16. 故大约 16 年后该县的人口总数将达到 120 万．

　11．某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入．若该公司 2017 年全年投入研发奖金130 万元．在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长 12%，则该公司全年投入的研发奖金开始超过 200 万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)(

　) A．2018 年

　 B．2019 年 C．2020 年

　 D．2021 年 答案 D 解析 设第 x 年的研发奖金为 200 万元， 则由题意可得 130×(1＋12%) x ＝200， ∴1.12 x ＝ 2013 ，∴x＝log 1.122013 ＝log 1.12 20－log 1.12 13 ＝lg 20lg 1.12 －lg 13lg 1.12 ＝lg 2＋lg 10－lg 1.3＋lg 10lg 1.12 ≈ 0.3＋1－0.11－10.05＝3.8. 即 3 年后不到 200 万元，第 4 年超过 200 万元，

　即 2021 年超过 200 万元． 12．根据统计，一名工人组装第 x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为 f(x)＝ cx ，x<A，cA ，x≥A(A，c 为常数)．已知工人组装第 4 件产品用时 30 min，组装第 A 件产品用时 15 min，那么 c和 A 的值分别是(

　) A．75,25

　 B．75,16 C．60,25

　 D．60,16 答案 D 解析 由题意知，组装第 A 件产品所需时间为cA ＝15，故组装第 4 件产品所需时间为c4 ＝30，解得 c＝60. 将 c＝60 代入cA ＝15，得 A＝16. 13．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是 θ 1

　℃，空气的温度是 θ 0

　℃，t min 后物体的温度 θ ℃可由公式 θ＝θ 0 ＋(θ 1 －θ 0 )e－ 0.24t求得，且把温度是 100 ℃的物体放在 10 ℃的空气中冷却t min后，物体的温度是40 ℃，那么t的值约等于________．(参考数据：ln 3≈1.099，ln 2≈0.693，精确到 0.01) 答案 4.58 解析 由题意可得 40＝10＋(100－10)e－ 0.24t ， 化简可得 e－ 0.24t ＝ 13 ， ∴－0.24t＝ln 13 ＝－ln 3， ∴0.24t＝ln 3≈1.099，∴t≈4.58. 14．某地区发生里氏 8.0 级特大地震．地震专家对发生的余震进行了监测，记录的部分数据如下表：

　强度(J) 1.6×10 19

　3.2×10 19

　4.5×10 19

　6.4×10 19

　震级(里氏) 5.0 5.2 5.3 5.4

　注：地震强度是指地震时释放的能量． 地震强度(x)和震级(y)的模拟函数关系可以选用 y＝alg x＋b(其中 a，b 为常数)．利用散点图(如图)可知 a 的值等于________．(取 lg 2≈0.3 进行计算)

　 答案 23

　解析 由记录的部分数据可知 x＝1.6×10 19 时， y＝5.0，x＝3.2×10 19 时，y＝5.2. 所以 5.0＝alg(1.6×10 19 )＋b，① 5．2＝alg(3.2×10 19 )＋b，② ②－①得 0.2＝alg 3.2×10191.6×10 19 ，0.2＝alg 2. 所以 a＝0.2lg 2 ≈0.20.3 ＝23 .

　15．某公司为了实现 1 000 万元的利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：销售利润达到 10 万元时，按销售利润进行奖励，且奖金数额 y(单位：万元)随销售利润 x(单位：万元)的增加而增加，但奖金数额不超过 5 万元，同时奖金数额不超过利润的 25%，其中下列模型中能符合公司要求的是________．(参考数据：1.003 600 ≈6，lg 7≈0.845) ①y＝0.025x；②y＝1.003 x ； ③y＝1＋log 7 x；④y＝14 000 x2 . 答案 ③ 解析 由题意知，符合公司要求的模型只需满足：

　当 x∈[10,1 000]时， (1)函数为增函数； (2)函数的最大值不超过 5； (3)y≤x·25%＝ 14 x， ①中，函数 y＝0.025x，易知满足(1)，但当 x>200 时，y>5 不满足公司要求； ②中，函数 y＝1.003 x ，易知满足(1)，但当 x>600 时，y>5 不满足公司要求； ③中，函数 y＝1＋log 7 x，易知满足(1)，且当 x＝1 000 时，y 取最大值 1＋log 7 1 000＝1＋3lg 7 <5，且 1＋log 7 x≤ 14 x 恒成立，故满足公司要求； ④中，函数 y＝14 000 x2 ，易知满足(1)，但当 x＝400 时，y>5 不满足公司要求．

　16．某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表：

　身高/cm 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 体重/kg 6.13 7.90 9.90 12.15 15.02 17.50 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05

　(1)根据表中提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重 y kg 与身高 x cm 的函数关系？试写出这个函数模型的解析式； (2)若体重超过相同身高男性体重平均值的 1.2 倍为偏胖，低于 0.8 倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为 175 cm，体重为 78 kg 的在校男生的体重是否正常？ 解 (1)以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图．

　根据点的分布特征，可考虑以 y＝a·b x 作为刻画这个地区未成年男性的体重与身高关系的函数模型．取其中的两组数据(70,7.90)，(160,47.25)，代入 y＝a·b x 得：

　  7.9＝a·b 70 ，47.25＝a·b 160 ，用计算器算得 a≈2，b≈1.02. 这样，我们就得到一个函数模型：y＝2×1.02 x . 将已知数据代入上述函数解析式，或作出上述函数的图象，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与身高的关系． (2)将 x＝175 代入 y＝2×1.02 x 得 y＝2×1.02 175 ， 由计算器算得 y≈63.98. 由于 78÷63.98≈1.22>1.2， 所以，这个男生偏胖．