基于冗余偏好关系决策方法探讨

时间：2020-09-24 11:09:08 来源：蒲公英阅读网 本文已影响人

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　 科研项目：国家杰出青年科学基金（70525004）；国家自然科学基金（70121001，70471035）

　 基于广义 Fuzzy 偏好关系的决策方法探讨

　 摘要：本文提出了广义模糊偏好关系的概念。设计了互补化排序和加性一致化排序两种排序方法，讨论了两种排序方法的相关性质。基于这两种排序方法，定义了冗余一致性指标和加性一致性指标，并讨论了采用加权算术平均算子（ WAA 算子）或有序加权平均算子（ OWA 算子）对广义模糊偏好关系进行集结，其群体偏好一致性（包括冗余一致性和加性一致性）的相关性质。本文结果对进一步完善基于模糊偏好关系的群决策模型具有理论和现实意义。

　关键词：广义模糊偏好关系；排序方法；冗余一致；加性一致；信息集成算子

　 中图分类号：C934

　文献标识码：A

　1 引言 偏好关系又称判断矩阵，在多属性决策中被广泛研究。模糊互补偏好关系是最常见的偏好关系 [1-8] 。当决策者在某准则下对 n 个方案进行两两比较构造一个典型的模糊互补偏好关系时，一般需要经过 ( 1)/2 n n 次判断。然而决策者有时可能对某些比较判断缺少把握或不想发表意见，这样就会使偏好关系中的某些项出现空缺，对这类偏好关系一般称为残缺互补偏好关系 [8-9] 。另一方面，决策者也可能作出多达2n 次比较判断，这样就出现了冗余判断，使模糊互补偏好关系失去互补性,我们称这种偏好关系为广义模糊偏好关系。这一新概念引入是基于如下理由：

　1）有些学者 [10-11] 在AHP的研究中，认为放弃乘性偏好关系的互反性是合理的，比如在一场球赛中，球队 A 击败了球队 B ，但是球队 B 同样可以击败了球队A ，这种情形在现实生活中的成对比较判断里很常见。这些研究和分析也完全适合模糊互补偏好关系，它为我们引入广义模糊偏好关系提供了理论支持。

　2）在采用一些最常见信息集成算子对模糊互补偏好关系进行集成时，无法

　保证集成的群体偏好关系的互补性。比如采用有序加权平均算子（ OWA ）

　[12] 对模糊互补偏好关系进行集成后，无法保证集成的群体偏好关系是互补的 [13] 。因此，讨论从广义模糊偏好关系中发展权向量就有了必要性，而这些排序方法也能应用于Chiclana等提出的模糊多人决策模型 [13-16] 。

　本文的主要目的是对基于广义模糊偏好关系的决策方法进行探讨。文章给出了广义模糊偏好关系排序的两种方法；定义了广义模糊偏好关系的冗余一致性和加性一致性，并研究采用加权算术平均算子（ WAA ）或有序加权平均算子（ OWA ）对广义模糊偏好关系进行集成，其群体偏好一致性（包括冗余一致性和加性一致性）的相关性质。本文研究对进一步完善基于模糊偏好关系的群决策模型具有理论和现实意义。

　2 广义模糊偏好关系排序方法 2.1 广义模糊偏好关系的互补化排序 为了叙述方便先给出几个定义：

　定义 1 令 ( )ij n nA a

　是一矩阵，若对任意 , 1,2,..., i j n  有 0 1ija   ，则称 A 为模糊矩阵 [17] 。本文定义为广义模糊偏好关系。

　定 义 2 [6 ， 7]

　令 ( )ij n nA a

　是 一 矩 阵 ， 若 对 任 意 , 1 , 2 , . . . , i j n  有0 1, 1ij ij jia a a     ，则称 A 为模糊互补偏好关系(或称为互补模糊偏好关系)。

　令1nM 是 n 阶广义模糊偏好关系集合，2nM 是 n 阶模糊互补偏好关系集合，由定义知2 1n nM M  。为了通过广义模糊偏好关系对方案进行排序，从中发展权向量，一个直观的方法是采用模糊互补偏好关系去贴近广义模糊偏好关系，然后借助有关模糊互补偏好关系的排序方法 [6-8] ，最终获取权向量。本文采用欧氏距离定义两矩阵 ( )ij n nA a 和 ( )ij n nB b 的贴近程度，即：

　  21 11,n nij ijj id A B a bn  。那么这种方法可归纳为寻找一最贴近的模糊互补偏好关系。数学模型如下：设

　1( )ij n n nA a M  ，2( )ij n n nX x M  。令    2 22*1 11( ) min , minn nn nij ijX M X Mj if X d A X a xn         

　 （1）

　其中，*X 即为 A 最贴近模糊互补偏好关系。通过模糊互补偏好关系的排序方法 [6-8] （本文采用最小方差法，具体见文献[7]）对*X 进行排序，其排序向量可以近似作为 A 的排序向量。

　定理 1 设1( )ij n n nA a M  ，* * 2( )ij n n nX x M  为 A 最贴近模糊互补偏好关系，那么 *1 /2ij ij jix a a    。

　 证明：（1）等价如下优化问题     2 2* 21 1 11( ) min ( ). 1 , 1,2,...,ijn n nij ij ji ji ii iixj i i iij jif X a x a x a xnst x x i j n           

　 （2）

　（2）等价于（3）

　    2 2* 21 1 1( ) min 1 ( 1/2)ijn n nij ij ji ij iixj i i if X a x a x a           

　 （3）

　令 / 0ijf x    得    * *1 0ij ij ji ija x a x       ， , 1,2,..., i j n  ，化简得  *1 /2ij ij jix a a   

　 （4）

　令1 21{ ( , ,..., ) | 1, 0}nTn n i iiQ w w w w w w   ，令  1 2, ,...,Tn nw w w w Q   为采用最小方差法排序公式 [7] 对*X 进行排序的权向量，那么 *1112ni ijjnw xn     

　 （5）

　把（4）代入（5）得  11 11 12 2ni ij jijnw a an       

　 （6）

　把  1 2, ,...,Tnw w w w  近似作为 A 的排序权向量，我们称该排序方法为广义模糊偏好关系互补化排序。

　2.2 广义模糊偏好关系的加性一致化排序 定义 3

　令 ( )ij n nA a 是一模糊互补偏好关系，若对任意 , 1,2,..., i j n  有0.5ij ik jka a a    ，则称 A 是加性一致模糊互补偏好关系。

　令3nM 是 n 阶加性一致模糊互补偏好关系集合，由定义知3 2 1n n nM M M   。在这一节，我们考虑通过寻找一个最贴近广义模糊偏好关系的加性一致模糊互补偏好关系，从而直接获取权向量。

　数学模型如下：设1( )ij n n nA a M  ，3( )ij n n nY y M  ，令    3 32*1 11( ) min , minn nn nij ijY M Y Mj if Y d A Y a yn         

　（7）

　称*Y 为 A 的最贴近加性一致模糊互补偏好关系。令1 21{ ( , ,..., ) | 1, 0}nTn n i iiQ w w w w w w   ，记  1 2, ,...,Tn nw w w w Q   为 Y 对应的权向量。因为 Y 是模糊加性一致偏好关系，我们有 [6-8]

　0.5ij i jy w w   

　（8）

　由（8）代入（7）有    2*1 11( ) min 0.5n nij i jw Qj if w a w wn         

　 （9）

　称*w 为 A 的排序向量。

　定理 2 设1( )ij n n nA a M  。* * 3( )ij n n nY y M  为 A 的最贴近模糊互补偏好关系， * * * *1 2, ,...,Tnw w w w nQ  为 采 用 加 性 一 致 化 排 序 方 法 获 取 的 权 向 量 。

　那 么 *112nij ik jkkny a an     ，*1 1 111 /n n ni ij ijj i jw a a nn               。

　证明：（9）等价如下优化问题    21 11( ) min 0.5. 1n nij i jwi jniif w a w wst w    

　（10）

　构造拉格朗日函数  1, ( ) 1niiL w f w w       ，令 / 0iL w    ， / 0 L     得

　   * *12 0.5 0 1,2,...,nij i jja w w i n      

　（11）

　*11 0niiw 

　 （12）

　联立（11）（12）得 *1 1 111 /n n ni ij ijj i jw a a nn               

　 （13）

　联立（8）（13）得  *112nij ik jkkny a an     

　（14）

　3 进一步讨论 3.1 两种排序方法的相关性质 一种广义模糊偏好关系的排序方法可以看作由1nM 到nQ

　的一个映射, 记为( ) w A  。并称 w 是广义模糊偏好关系 A 的排序向量。下面讨论两种排序方法的一些性质。

　定理 3

　当 ( )ij n nA a 是模糊互补偏好关系（即2nA M  ）时，本文两种排序方法（公式（6）和公式（13））等价于模糊互补偏好关系排序的最小方差法。

　证明：因为2( )ij n n nA a M  ，所以 1ij jia a  

　，21 12n niji jna ，把这两式分别代入（6）和（13），都可得1112nijjnw an     ，这即为模糊互补偏好关系的最小方差法排序公式。得证。

　定理 3 显示本文两种排序方法是广义最小方差排序法。

　定义 4 一种排序方法称为强条件下保序的，如果对任意 1,2,..., k m  ，有ik jka a  和ki kja a  ，则i jw w  , 且当前者所有等式成立时, 有i jw w  。

　定义4 推广了模糊互补偏好关系强条件保序的概念。定理4将证明两种排序

　方法是强条件保序的。

　定理 4 广义模糊偏好关系互补化排序方法（公式（6））和加性一致化排序方法（公式（13））是强条件下保序的。

　证明：对任意 1,2,..., k m  ，有ik jka a  和ki kja a  ，将其代入（6）或者（13），有i jw w  , 且当前者所有等式成立时, 有i jw w  。所以得证。

　类似模糊互补偏好关系，定义广义模糊偏好关系排序方法的置换不变性。

　定义 5 设     是一种排序方法， A 是任一个给定的广义模糊偏好关系，记 A的排序权向量为   w A  。

　如果对于任一置换不变矩阵 P ,均有 TPw APA  ，则称这种排序方法是置换不变的。

　定理 5 广义模糊偏好关系互补化排序（公式（6））和加性一致化排序（公式（13））是置换不变的。

　证明：设1( )ij n n nA a M  ，且设 P 是置换不变矩阵， ( )Tij n nB b PAP  。

　令1 2( , ,..., ) Tnw w w w  ，1 2( , ,..., ) Tnv v v v  分别是 A 和 B 在公式（6）下的排序向量, 经置换后, A 的第 i 行成了 B

　的第 l 行, A

　的第 i 列成了 B 的第 l 列, 因此 1 11 11 11 12 2 2 2n nij ji lj jli lj ja a b bn nw vn n                                  类似若1 2( , ,..., ) Tnw w w w  ，1 2( , ,..., ) Tnv v v v  分别是 A 和 B 在公式（9）下的排序向量，则有 1 1 1 1 1 11 11 / 1 /n n n n n ni ij ij lj ij lj i j j i jw a a n b b n vn n                                       所以两种排序方法具有置换不变性。

　3.2 群决策与一致性 偏好关系一致性测量一般包括两个问题 [3] ：（1）什么时候决策者提供的个体偏好关系是一致的；（2）什么时候，一群人提供的偏好关系是一致的。对于第（2）个问题一般讨论两个方面：（a）群体偏好关系的一致性 [13, 18-19] ；（b）群体决策的共识测量 [ 20] 。基于本文两种排序方法，我们给出广义模糊偏好关系的冗余一致性指标 ( ) RCI A 和加性一致性指标（ ( ) JCI A ）（见定义 6）。基于这些一致

　性指标，集中讨论一致性测量的第（2）个问题的第（a）方面（注：广义模糊偏好关系一致性测量的其它相关问题我们在今后的研究中讨论），即采用 WAA 算子和 OWA 算子对广义模糊偏好关系进行群集成后群体偏好关系的一致性问题。关于无冗余判断的乘性偏好关系和模糊互补偏好关系的群体一致性问题，文献[13，18-19]作过一些讨论，本节研究可以认为是这些讨论的继续。

　定义 6 设1( )ij n n nA a M  。定义  2( ) min ,nX MRCI A d A X 为 A 的冗余一致性指标。定义  3( ) min ,nY MJCI A d A Y 为 A 的加性一致性指标。

　由互补化排序方法原理（公式（4））可知        2221 1 1 11 1( ) min , 1 /2 12 nn n n nij ij ji ij jiX Mj i j iRCI A d A X a a a a an n           

　 （15）

　由加性一致化排序方法原理（公式（14））可知  321 1 1 11 1( ) min ,2 nn n n nij ik jkY Mj i k knJCI A d A Y a a an n                  

　 （16）

　显然 ( ) RCI A 越大，则 A 中冗余判断越多，当 ( ) 0 RCI A  ，则认为 A 是冗余一致的（即是模糊互补偏好关系）。同样 ( ) JCI A 越大，则 A 加性一致性越差，当( ) 0 JCI A  ，则认为 A 是加性一致的（即是加性一致模糊互补偏好关系）。可以分别为 ( ) RCI A 和 ( ) JCI A 设定临界值 ( ) RCI A 和 ( ) JCI A 。当 ( ) ( ) RCI A RCI A  则认为广义模糊偏好关系 A 是冗余一致可接受；当 ( ) ( ) JCI A JCI A  可认为 A 是加性一致可接受。当 ( ) ( ) RCI A RCI A  和 ( ) ( ) JCI A JCI A  同时成立，则认为 A 是一致可接受，此时从 A 中发展的权向量才认为是可靠和有效的。对临界值的设定，AHP 的一致性检验可以给我们启示：

　(1)类似 Saaty [21] 在 AHP 中使用的方法，通过使用平均随机一致性指标对一致性指标标准化，然后经验性的去设定临界值；(2) 也可类似采用 P. Jong [22]

　的统计方法，把临界值设定归结为卡方检验。限于本文篇幅，作者在今后研究中详细讨论该问题。

　（1）

　用 WAA 算子进行群决策 设   , 1,2,...,k kijn nA a k m  为决策者给出的 m 个广义模糊偏好关系。采用加权

　算术平均算子（ WAA 算子）对kA 进行集成，得到群体模糊偏好关系记为 ijn nA a 。其中 1mkij k ijka a   ，k 为专家 k 的权重且10, 1mk kk  。

　定理 6 设 1 ,1,2,...,k kij nn nA a M k m   。（a）若 ( )kRCI A  

　  1,2,..., k m  ，那么( ) RCI A   ；（b）若 ( )kJCI A  

　  1,2,..., k m  ，那么 ( ) JCI A   。

　证明：我们仅证明（a）。（b）可以完全类似证明，限于篇幅省略。因为( )kRCI A   ，所以    221 11 2 1,2,...,n nk kij jij ia a n k m     

　 （17）

　               21 121 1 121 1 1221 11( ) 1211211 2 1 121( ) 1 2 12n nij jij in n mk kk ij jij i kn n m mk k k k l lk ij ji k l ij ji ij jij i k k ln nk k k k lk ij ji k l ij ji ijj iRCI A a ana ana a a a a ana a a a an                                                    1 1 12 2 221 1 1 1 1111 1 12m m n nljik k l j im n n m n nk k k k l lk ij ji k l ij ji ij jik j i k l j iaa a a a a an                                   （18）

　联立（17）和（18）得      2 21 11( ) 2 2 22m m mk k l kk k l kRCI A n nn              

　（19）

　从定理 6 可得：采用 WAA 算子进行集成，若个体广义模糊偏好关系的一致性水平（包括冗余一致性和加性一致性）都是可接受的，那么群体偏好必然是一致可接受的。

　（2）用 OWA 算子进行群决策 采用有序加权算术平均算子（ OWA 算子）对   , 1,2,...,k kijn nA a k m  进行集成，

　得到群体广义模糊偏好关系记为  ijn nA a 。其中  1mkij k ijka b   ，且kijb 为  1,2,...,kija k m  中第 k 大的元素。k 为 OWA 算子相关联的加权向量，其中10, 1mk kk  。

　定义 7 设 , 1,2,...,k kijn nA a k m  是一组广义模糊偏好关系，定义  k kijn nB b为其第 k 次序广义模糊偏好关系。

　定理 7 设 1 ,1,2,...,k kij nn nA a M k m   。（a）若 ( )kRCI B  

　  1,2,..., k m  ，那么( ) RCI A   ；（b）若 ( )kJCI B  

　  1,2,..., k m  ，那么 ( ) JCI A   。

　证明：由定理 6 和定义 7 可直接得证。

　从定理 7 可知：采用 OWA 算子进行集成，若次序广义模糊偏好关系的一致性水平（包括冗余一致性和加性一致性）都是可接受的，那么群体偏好必然是一致可接受的。

　4 算例 为了叙述方便，记1 ( )w A ，2 ( )w A 为采用本文第一种排序方法（公式 6）和第二种排序方法（公式 13）从广义模糊偏好关系 A 中获取的权向量。记 ( ) RCI A , ( ) JCI A 为 A 的冗余一致性指标和加性一致性指标的值。现考虑有两个决策者对四个方案进行评估，分别给出自己的广义模糊偏好关系1 2, A A 。

　1 20.5 0.6 0.8 0.9 0.4 0.7 0.7 0.90.3 0.5 0.6 0.9 0.4 0.5 0.6 0.80.3 0.3 0.5 0.7 0.3 0.4 0.5 0.60.2 0.2 0.5 0.5 0.2 0.1 0.5 0.5A A                    按照本文方法计算出1 1( ) w A ，2 1( ) w A ，1 2( ) w A ，2 2( ) w A ，1( ) RCI A ，1( ) JCI A ，2( ) RCI A ，2( ) JCI A 的值，具体如下。

　 1 1( )

　0.4375 0.3375 0.175 0.05Tw A  ,  2 1( )

　0.4313 0.3062 0.1812 0.0812Tw A 

　 1 2( ) 0.425 0.325 0.1875 0.0625Tw A  ，  2 2( ) 0.4188 0.3187 0.1937 0.0687Tw A 

　1( ) 0.01125 RCI A  , 1( ) 0.0197 JCI A  , 2( ) 0.0075 RCI A  , 2( ) 0.0172 JCI A 

　如按 WAA 算子对1 2, A A 进行集成，加权向量设为1 20.5     ，得到群体偏好关

　系为 A 。并计算出 ( ) RCI A ， ( ) JCI A 。可以看出1 2( ) max{ ( ), ( )} RCI A RCI A RCI A  ，1 2( ) max{ ( ), ( )} JCI A JCI A JCI A  ，这与定理 6 相符合。

　0.45

　0.65

　0.75

　0.900.35

　0.50

　0.60

　0.850.30

　0.35

　0.50

　0.650.20

　0.15

　0.50

　0.50A       ( ) 0.0053 RCI A  ，1( )

　0.0131 JCI A 

　如按 OWA 算子对1 2, A A 进行集成，加权向量不妨设为1 20.5     ，得到群体偏好关系为 A 。1 2, B B 为1 2, A A 的次序广义模糊偏好关系。并计算出 ( ) RCI A ， ( ) JCI A ，1( ) RCI B ，1( ) JCI B ，2( ) RCI B ，2( ) JCI B 的值。可以看出1 2( ) max{ ( ), ( )} RCI A RCI B RCI B  ，1 2( ) max{ ( ), ( )} JCI A JCI B JCI B  ，这与定理 7 相符合。

　1 20.4 0.6 0.7 0.9 0.5 0.7 0.8 0.90.3 0.5 0.6 0.8 0.4 0.5 0.6 0.90.3 0.3 0.5 0.6 0.3 0.4 0.5 0.70.2 0.1 0.5 0.5 0.2 0.2 0.5 0.5A A B B                     1( ) 0.00875 RCI B  ，1( ) 0.0200 JCI B  ，2( ) 0.0100 RCI B  ，2( ) 0.0163 JCI B 

　5 结论 本文主要做了如下工作：（1）提出了广义模糊偏好关系的概念，并设计了互补化排序和加性一致化排序两种排序方法；（2）讨论了两种排序方法的一些相关性质；（3）给出了冗余一致性指标和加性一致性指标的公式，并讨论了采用加权算术平均算子（ WAA 算子）和有序加权平均算子（ OWA 算子）对广义模糊偏好关系进行集结，其群体偏好一致性（包括冗余一致性和加性一致性）的一些性质。本文结果对完善基于模糊偏好关系的群决策模型具有理论和现实意义。在今后的研究中，我们将进一步探讨这些问题。