一元二次不等式解法教学设计方案

时间：2021-04-14 00:03:57 来源：蒲公英阅读网 本文已影响人

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一元二次不等式的解法教学设计方案 本文简介：1.5一元二次不等式的解法教学设计方案教学目标（1）掌握一元二次不等式的解法；（2）知道一元二次不等式可以转化为一元一次不等式组；（3）了解简单的分式不等式的解法；（4）能利用二次函数与一元二次方程来求解一元二次不等式，理解它们三者之间的内在联系；（5）能够进行较简单的分类讨论，借助于数轴的直观，求

一元二次不等式的解法教学设计方案 本文内容：

1.5

一元二次不等式的解法教学设计方案

教学目标

（1）掌握一元二次不等式的解法；

（2）知道一元二次不等式可以转化为一元一次不等式组；

（3）了解简单的分式不等式的解法；

（4）能利用二次函数与一元二次方程来求解一元二次不等式，理解它们三者之间的内在联系；

（5）能够进行较简单的分类讨论，借助于数轴的直观，求解简单的含字母的一元二次不等式；

（6）通过利用二次函数的图象来求解一元二次不等式的解集，培养学生的数形结合的数学思想；

（7）通过研究函数、方程与不等式之间的内在联系，使学生认识到事物是相互联系、相互转化的，树立辨证的世界观．

教学重点：一元二次不等式的解法；

教学难点：弄清一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系．

教与学过程设计

第一课时

Ⅰ．设置情境

问题：

①解方程

②作函数的图像

③解不等式

【置疑】在解决上述三问题的基础上分析，一元一次函数、一元一次方程、一元一次不等式之间的关系。能通过观察一次函数的图像求得一元一次不等式的解集吗？

【回答】函数图像与x轴的交点横坐标为方程的根，不等式的解集为函数图像落在x轴上方部分对应的横坐标。能。

通过多媒体或其他载体给出下列表格。扼要讲解怎样通过观察一次函数的图像求得一元一次不等式的解集。注意色彩或彩色粉笔的运用

一次函数

的图像

一元一次方程

的解集

一元一次不等式

的解集

一元一次不等式

的解集

在这里我们发现一元一次方程，一次不等式与一次函数三者之间有着密切的联系。利用这种联系（集中反映在相应一次函数的图像上！）我们可以快速准确地求出一元一次不等式的解集，类似地，我们能不能将现在要求解的一元二次不等式与二次函数联系起来讨论找到其求解方法呢？

Ⅱ．探索与研究

我们现在就结合不等式的求解来试一试。（师生共同活动用“特殊点法”而非课本上的“列表描点”的方法作出的图像，然后请一位程度中下的同学写出相应一元二次方程及一元二次不等式的解集。）

【答】方程的解集为

不等式的解集为

【置疑】哪位同学还能写出的解法？（请一程度差的同学回答）

【答】不等式的解集为

我们通过二次函数的图像，不仅求得了开始上课时我们还不知如何求解的那个第（5）小题的解集，还求出了的解集，可见利用二次函数的图像来解一元二次不等式是个十分有效的方法。

下面我们再对一般的一元二次不等式与来进行讨论。为简便起见，暂只考虑的情形。请同学们思考下列问题：

如果相应的一元二次方程分别有两实根、惟一实根，无实根的话，其对应的二次函数的图像与x轴的位置关系如何？（提问程度较好的学生）

【答】二次函数的图像开口向上且分别与x轴交于两点，一点及无交点。

现在请同学们观察表中的二次函数图，并写出相应一元二次不等式的解集。（通过多媒体或其他载体给出以下表格）

二次函数

的图像

的根

的解集

的解集

【答】的解集依次是

的解集依次是

它是我们今后求解一元二次不等式的主要工具。应尽快将表中的结果记住。其关键就是抓住相应二次函数的图像。

课本第19页上的例1．例2．例3．它们均是求解二次项系数的一元二次不等式，却都没有给出相应二次函数的图像。其解答过程虽很简练，却不太直观。现在我们在课本预留的位置上分别给它们补上相应二次函数图像。

（教师巡视，重点关注程度稍差的同学。）

Ⅲ．演练反馈

1．解下列不等式：

（1）

（2）

（3）

（4）

2．若代数式的值恒取非负实数，则实数x的取值范围是

。

3．解不等式

（1）

（2）

参考答案：

1．（1）；（2）；（3）；（4）R

2．

3．（1）

（2）当或时，，当时，

当或时，。

Ⅳ．总结提炼

这节课我们学习了二次项系数的一元二次不等式的解法，其关键是抓住相应二次函数的图像与x轴的交点，再对照课本第39页上表格中的结论给出所求一元二次不等式的解集。

（五）、课时作业

（P20．练习等3、4两题）

（六）、板书设计

1．5

一元二次不等式解法（一）

1．一元二次方程，一元一次不等式及一元一次函数间关系

（有关结论以表格的形式通过多媒休瑾

其他载体给出）

2．“三个二次”间的关系

（有关结论以表格的形式通过多媒体或其他载体给出）

3．讲解例题

例1

例2

例3

4．课堂练习（学生演板）

第二课时

Ⅰ．设置情境

（通过讲评上一节课课后作业中出现的问题，复习利用“三个二次”间的关系求解一元二次不等式的主要操作过程。）

上节课我们只讨论了二次项系数的一元二次不等式的求解问题。肯定有同学会问，那么二次项系数的一元二次不等式如何来求解？咱们班上有谁能解答这个疑问呢？

Ⅱ．探索研究

（学生议论纷纷．有的说仍然利用二次函数的图像，有的说将二次项的系数变为正数后再求解，……．教师分别请持上述见解的学生代表进一步说明各自的见解．）

生甲：只要将课本第39页上表中的二次函数图像次依关于x轴翻转变成开口向下的抛物线，再根据可得的图像便可求得二次项系数的一元二次不等式的解集．

生乙：我觉得先在不等式两边同乘以－1将二次项系数变为正数后直接运用上节课所学的方法求解就可以了．

师：首先，这两种见解都是合乎逻辑和可行的．不过按前一见解来操作的话，同学们则需再记住一张类似于第39页上的表格中的各结论．这不但加重了记忆负担，而且两表中的结论容易搞混导致错误．而按后一种见解来操作时则不存在这个问题，请同学们阅读第19页例4．

（待学生阅读完毕，教师再简要讲解一遍．）

[知识运用与解题研究]

由此例可知，对于二次项系数的一元二次不等式是将其通过同解变形化为的一元二次不等式来求解的，因此只要掌握了上一节课所学过的方法。我们就能求

解任意一个一元二次不等式了，请同学们求解以下两不等式．（调两位程度中等的学生演板）

（1）

（2）

（分别为课本P21习题1．5中1大题（2）、（4）两小题．教师讲评两位同学的解答，注意纠正表述方面存在的问题．）

训练二

可化为一元一次不等式组来求解的不等式．

目前我们熟悉了利用“三个二次”间的关系求解一元二次不等式的方法虽然对任意一元二次不等式都适用，但具体操作起来还是让我们感到有点麻烦．故在求解形如（或）的一元二次不等式时则根据（有理数）乘（除）运算的“符号法则”化为同学们更加熟悉的一元一次不等式组来求解．现在清同学们阅读课本P20上关于不等式求解的内容并思考：原不等式的解集为什么是两个一次不等式组解集的并集？（待学生阅读完毕，请一程度较好，表达能力较强的学生回答该问题．）

【答】因为满足不等式组或的x都能使原不等式成立，且反过来也是对的，故原不等式的解集是两个一元二次不等式组解集的并集．

这个回答说明了原不等式的解集A与两个一次不等式组解集的并集B是互为子集的关系，故它们必相等，现在请同学们求解以下各不等式．（调三位程度各异的学生演板．教师巡视，重点关注程度较差的学生）．

（1）

［P20练习中第1大题］

（2）

［P20练习中第1大题］

（3）

［P20练习中第2大题］

（老师扼要讲评三位同学的解答．尤其要注意纠正表述方面存在的问题．然后讲解P21例5）．

例5

解不等式

因为（有理数）积与商运算的“符号法则”是一致的，故求解此类不等式时，也可像求解（或）之类的不等式一样，将其化为一元一次不等式组来求解。具体解答过程如下。

解：（略）

现在请同学们完成课本P21练习中第3、4两大题。

（等学生完成后教师给出答案，如有学生对不上答案，由其本人追查原因，自行纠正。）

[训练三]用“符号法则”解不等式的复式训练。

（通过多媒体或其他载体给出下列各题）

1．不等式与的解集相同此说法对吗？为什么[补充]

2．解下列不等式：

（1）

［课本P22第8大题（2）小题］

（2）材

［补充］

（3）

［课本P43第4大题（1）小题］

（4）

［课本P43第5大题（1）小题］

（5）

［补充］

（每题均先由学生说出解题思路，教师扼要板书求解过程）

参考答案：

1．不对。同时前者无意义而后者却能成立，所以它们的解集是不同的。

2．（1）

（2）原不等式可化为：，即

解集为。

（3）原不等式可化为

解集为

（4）原不等式可化为或

解集为

（5）原不等式可化为：或

解集为

Ⅲ．总结提炼

这节课我们重点讲解了利用（有理数）乘除法的符号法则求解左式为若干一次因式的积或商而右式为0的不等式。值得注意的是，这一方法对符合上述形状的高次不等式也是有效的，同学们应掌握好这一方法。

（六）板书设计

1．5

一元二次不等式

[训练一]求解二次项系数的一元二次不等式

课堂练习（调板）

（1）

（2）

[训练二]可化为一元一次不等式组来求解的不等式

特征：左式为若干一次因式的积或商，右式为0

[训练三]用“符号法则”解不等式的变式训练（有关题目通过多媒体或其他载体给出）

题1

题2

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

篇2：20XX届高考数学滚动检测05向量数列不等式和立体几何的综合同步单元双基双测A卷理

2018届高考数学滚动检测05向量数列不等式和立体几何的综合同步单元双基双测A卷理 本文关键词：立体几何，不等式，数列，向量，滚动

2018届高考数学滚动检测05向量数列不等式和立体几何的综合同步单元双基双测A卷理 本文简介：滚动检测05向量数列不等式和立体几何的综合（测试时间：120分钟满分：150分）一、选择题（共12小题，每题5分，共60分）1.设平面、，直线、，，，则“，”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】考点：1.平面与平面平行的判定定理与性质

2018届高考数学滚动检测05向量数列不等式和立体几何的综合同步单元双基双测A卷理 本文内容：

滚动检测05

向量

数列

不等式和立体几何的综合

（测试时间：120分钟

满分：150分）

一、选择题（共12小题，每题5分，共60分）

1.

设平面、，直线、，，，则“，”是“”的（

）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

考点：1.平面与平面平行的判定定理与性质；2.充分必要条件

2.

如果对任意实数x总成立,则a的取值范围是

（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】Ａ

【解析】

试题分析：因为对任意实数x总成立,所以a小于的最小值，由绝对值的几何意义，数轴上到定点-1，-9距离之和的最小值为两定点之间的距离，所以，故选A。

考点：本题主要考查绝对值的几何意义。

3.

【2018河南漯河中格纸上小正方形边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（

）

A.

48

B.

36

C.

32

D.

24

【答案】C

【解析】由三视图可知，该几何体是由一个三棱柱截去一个四棱锥而得到的。

该几何体的体积为：

故选：C

点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.

4.

《庄子·天下篇》中记述了一个著名命题：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”反映这个命题本质的式子是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】

考点：等比数列求和.

5.

【2018湖南五市十校联考】已知某几何体的三视图如图所示，正视图是斜边长为2的等腰直角三角形，侧视图是直角边长为1的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为（

）

A.

B.

C.

D.

【答案】B

【解析】几何体如图：

为外接球的球心，表面积为，选B.

点睛:空间几何体与球接、切问题的求解方法

(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．

(2)若球面上四点构成的三条线段两两互相垂直，且，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用求解．

6.

设等比数列中，前n项和为,已知，则

（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】

试题分析：由题意可知成等比数列，即8，-1，成等比数列，

可得

，故选A

考点：本题考查等比数列的性质

7.

【2018云南昆明一中检测】已知数列的前项和为，且，

，则数列中的为（

）

A.

B.

C.

D.

【答案】B

【方法点晴】本题主要考查等差数列的定义以及已知数列的递推公式求通项，属于中档题.由数列的递推公式求通项常用的方法有：累加法、累乘法、构造法，

已知数列前项和与第项关系，求数列通项公式，常用公式，将所给条件化为关于前项和的递推关系或是关于第项的递推关系，若满足等比数列或等差数列定义，用等比数列或等差数列通项公式求出数列的通项公式，否则适当变形构造等比或等数列求通项公式.

在利用与通项的关系求的过程中，一定要注意

的情况.，进而得出的通项公式.

8.

是边长为1的等比三角形，已知向量满足，，则下列结论正确的是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】

考点：平面向量数量积运算.

【方法点睛】平面向量数量积的类型及求法

(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式a·b＝|a||b|cos

θ；二是坐标公式a·b＝x1x2＋y1y2；三是利用数量积的几何意义.

(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.

9.

【2018江西宜春调研】如图（1），五边形是由一个正方形与一个等腰三角形拼接而成，其中，

，现将进行翻折，使得平面平面，连接，所得四棱锥如图（2）所示，则四棱锥的外接球的表面积为（

）

A.

B.

C.

D.

【答案】C

【解析】对四棱锥进行补型，得到三棱柱如下所示，故四棱锥的外接球球心即为三棱柱的外接球球心；故其外接球半径

，故表面积

故选C.

点睛：本题考查了多面体的外接球，把不易求其外接球半径的几何体转化为易求半径的几何体是解题的关键，体现了补体的方法.

10.

若不等式在区间上有解，则a的取值范围为（

）

A．（,）

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】

试题分析：，设在上是减函数，所以最小值为，所以

考点：不等式与函数问题

11.

【2018辽宁凌源两校联考】若实数，

满足不等式组

，

，则的取值范围为（

）

A.

B.

C.

D.

【答案】A

12.

已知边长为的菱形中，，现沿对角线折起，使得二面角为120°，此时点在同一个球面上，则该球的表面积为（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】

考点：多面体的外接球及表面面积公式的运用．

二．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）

13.

已知向量，，则__________．

【答案】5

【解析】

试题分析：因为又，所以．

考点：平面向量的数量积．

14.

设数列前项和为，如果那么_____________．

【答案】

【解析】

考点：数列通项公式的应用．

【方法点晴】本题主要考查了数列通项公式的应用，其中解答中涉及数列的递推关系式的应用、数列的累积法等知识点的综合考查，着重考查学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，试题有一定的难度，属于中档试题，本题的解答中，利用数列的递推关系式，得到，进而得到是解答的关键．

15.

【2018江苏溧阳调研】给出下列命题：

（1）若两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面；

（2）若两个平面垂直，那么平行于其中一个平面的直线一定平行于另一个平面；

（3）若两个平面平行，那么垂直于其中一个平面的直线一定垂直于另一个平面；

（4）若两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面．

则其中所有真命题的序号是___________________．

【答案】（1）（3）

【解析】逐一考查所给的命题：

（1）若两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面；

（2）若两个平面垂直，那么平行于其中一个平面的直线一定垂直于另一个平面；

（3）若两个平面平行，那么垂直于其中一个平面的直线一定垂直于另一个平面；

（4）若两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线不一定垂直于另一个平面．

综上可得：真命题的序号是（1）（3）.

16.

如图是某几何体的三视图（单位：cm），则该几何体的表面积是__

___cm2，体积为_

__

cm3．

【答案】

【解析】

考点：空间几何体的三视图．

三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17.

【2018河南漯河中学四模】如图，四棱锥中，底面是的菱形，侧面是边长为2的正三角形，且与底面垂直，

为的中点.

（1）求证：

平面；

（2）求二面角的余弦值.

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】试题分析：（1）要证平面，转证线线垂直即可；（2）分别求出两个平面的法向量，利用向量间的运算关系求出两个向量的夹角，再转化为二面角的平面角．

试题解析：

（1）法一：作于，连接

由侧面与底面垂直，则面

所以，又由，

，

，

则，即

取的中点，连接，

由为的中点，

则四边形为平行四边形，

所以，又在中，

，

为中点，所以，

所以，又由所以面.

法二:

作于，连接

由侧面与底面垂直，则面

所以，又由，

，

，

则，即

分别以，

，

所在直线为轴，

轴，

轴建立空间直角坐标系，

由已知，

，

，

，

，

，

，

所以，

，

又由所以面.

（2）设面的法向量为

由，

，

由（I）知面，取面的法向量为

所以，设二面角大小为，由为钝角得

点睛：利用法向量求解空间二面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.

18.

已知函数其中在中，分别是角的对边，且．

（1）求的对称中心；

（2）若，，求的面积．

【答案】（1）

对称中心为（2）

【解析】

试题分析：（1）利用向量数量积公式，结合辅助角公式化简函数，利用f（A）=1，结合A的范围，可得结论；（2）先利用余弦定理，结合条件可求bc的值，从而可求△ABC的面积．

试题解析：

(1）因为，

所以对称中心

考点：解三角形；三角形中的恒等变换

【名师点睛】数学问题中的条件和结论，很多都是以数式的结构形式进行搭配和呈现的．在这些问题的数式结构中，往往都隐含着某种特殊关系，认真审视数式的结构特征，对数式结构进行深入分析，加工转化，可以寻找到突破问题的方案．

19.

已知函数

（1）若对于任意的，都有成立，求实数的取值范围；

（2）如果关于x的不等式f（x）￡m有解，求实数m的取值范围．

【答案】（1）（2）

【解析】

试题分析：（1）结合二次函数图像，当在区间两端点处函数值满足成立成立时，则有在区间上成立，将相应的自变量值代入可求得实数的不等式，得到其取值范围；（2）由不等式有解转化为求函数的最小值问题，从而得到关于实数m的不等式，求得其范围

试题解析：（1）

（2）

，

法二：

有解

∴

考点：1．二次函数图像及性质；2．不等式与函数的转化

20.

已知数列的首项且．

（1）求证：数列是等比数列，求出它的通项公式；

（2）求数列的前项和．

【答案】（1）证明见解析，；（2）.

【解析】

试题解析：

（1），即，

∴，又，

∴数列是首项为4，公比为2的等比数列，

，．

（2）由（1）得，

∴，

，,相减得，

∴．

考点：递推数列求通项，错位相减法．

【方法点晴】错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和即可用此法来求，如等比数列的前项和公式就是用此法推导的．若，其中是等差数列，是公比为等比数列，令，则两式错位相减并整理即得.

21.

如图，在四棱锥中，为正三角形，，平面平面．

（1）点在棱上，试确定点的位置，使得平面；

（2）求二面角的余弦值．

【【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）借助题设条件运用线面垂直的判定定理推证；（2）借助题设运用空间向量的数量积求解.

（1），故；

设，若，则，即，

即，即，即当为的中点时，，

则平面，所以当为的中点时平面．

（2）设平面的一个法向量，，则且，即且，令，则，则，

再取平面的一个法向量为

则，

故二面角的余弦值为

考点：线面垂直的判定定理及空间向量的数量积公式等有关知识的综合运用.

【易错点晴】立体几何是中学数学中的重要内容之一,也高考和各级各类考试的重要内容和考点.本题以四棱锥为背景考查的是空间的直线与平面的位置关系及二面角的平面角等有关知识的综合运用.解答本题第一问时,要掌握线面垂直判定定理中的条件,设法找出面内的两条相交直线与已知直线垂直；第二问中计算问题先建立空间直角坐标系,运用空间向量的有关知识先确定平面的一个法向量,再运用空间向量的数量积公式求解出二面角的余弦值为.

22.

【2018江西宜春调研】已知多面体如图所示，底面为矩形，其中平面，

，若分别是的中心，其中.

（1）证明：

；

（2）若二面角的余弦值为，求的长.

【答案】(1)见解析(2)

SD=2

【解析】试题分析：

利用题意证得平面，然后利用线面垂直的性质和直线平行的结论可得

（2）如图，以D为原点，射线DA，DC，DS分别为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系；设，则．

因为⊥底面，所以平面的一个法向量为.

设平面SRB的一个法向量为，

，

，则

即

令x=1，得，所以，

由已知，二面角的余弦值为，

所以得

，解得a

=2，所以SD=2．

篇3：不等式中恒成立问题总结

不等式中恒成立问题总结 本文关键词：不等式，中恒，成立

不等式中恒成立问题总结 本文简介：不等式中恒成立问题在不等式的综合题中，经常会遇到当一个结论对于某一个字母的某一个取值范围内所有值都成立的恒成立问题。恒成立问题的基本类型：类型1：设，（1）上恒成立；（2）上恒成立。类型2：设（1）当时，上恒成立，上恒成立（2）当时，上恒成立上恒成立类型3：。类型4：恒成立问题的解题的基本思路是：根

不等式中恒成立问题总结 本文内容：

不等式中恒成立问题

在不等式的综合题中，经常会遇到当一个结论对于某一个字母的某一个取值范围内所有值都成立的恒成立问题。

恒成立问题的基本类型：

类型1：设，（1）上恒成立；（2）上恒成立。

类型2：设

（1）当时，上恒成立，

上恒成立

（2）当时，上恒成立

上恒成立

类型3：

。

类型4：

恒成立问题的解题的基本思路是：根据已知条件将恒成立问题向基本类型转化，正确选用函数法、最小值法、数形结合等解题方法求解。

一、用一次函数的性质

对于一次函数有：

一．利用一元二次函数的判别式

对于一元二次函数有：

（1）上恒成立；

（2）上恒成立

例1：若不等式的解集是R，求m的范围。

例2.已知函数的定义域为R，求实数的取值范围。

二．最值法

将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有：

1）恒成立

2）恒成立

例3．已知，当时，恒成立，求实数的取值范围。

例4．函数，若对任意，恒成立，求实数的取值范围。

注：本题还可将变形为，讨论其单调性从而求出最小值。

三、分离变量法

若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。一般地有：

1）恒成立

2）恒成立

实际上，上题就可利用此法解决。

略解：在时恒成立，只要在时恒成立。而易求得二次函数在上的最大值为，所以。

例5．已知函数时恒成立，求实数的取值范围。

注：分离参数后，方向明确，思路清晰能使问题顺利得到解决。

四．若二次不等式中的取值范围有限制，则可利用根的分布解决问题。

例6．设，当时，恒成立，求实数的取值范围。

五．、变换主元法

处理含参不等式恒成立的某些问题时，若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思考，往往会使问题降次、简化。

例7．对任意，不等式恒成立，求的取值范围。

注：一般地，一次函数在上恒有的充要条件为。

六、数形结合法

数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，这充分说明了数形结合思想的妙处，在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用。我们知道，函数图象和不等式有着密切的联系：

1）函数图象恒在函数图象上方；

2）函数图象恒在函数图象下上方。

x

-2

-4

y

O

-4

例8．设,,若恒有成立,求实数的取值范围.

由上可见，含参不等式恒成立问题因其覆盖知识点多，方法也多种多样，但其核心思想还是等价转化，抓住了这点，才能以“不变应万变”，当然这需要我们不断的去领悟、体会和总结。