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    方法技巧专题08,,轨迹方程求法（原卷版）

    时间：2020-11-23 15:15:40 来源：蒲公英阅读网 本文已影响人 蒲公英阅读网手机站

    相关热词搜索：求法 方程 轨迹

    　 方法技巧专题 8

    　轨迹方程问题

    　一、

    　轨迹方程问题知识框架

    　 二、求轨迹方程的常用方法

    　【一】定义法

    　 1. 例题

    　【例 1】

    　】已知 ABC  的顶点 A，B 的坐标分别为（-4，0），（4，0），C 为动点，且满足 , sin45sin sin C A B  求点 C 的轨迹。

    　例 【例 2 】一动圆与圆2 26 5 0 x y x     外切，同时与圆2 26 91 0 x y x     内切，求动圆圆心 M 的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。

    　例 【例 3 】已知 A、B、C 是直线 l 上的三点，且|AB|=|BC|=6，⊙O′切直线 l 于点 A，又过 B、C 作⊙O′异于l 的两切线，设这两切线交于点 P，求点 P 的轨迹方程.

    　2. 巩固提升综合练习

    　定义法：

    　如果动点 P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。

    　 习 【练习 1】

    　】已知圆   25 422   y x 的圆心为 M 1 ，圆   1 422   y x 的圆心为 M 2 ，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心 P 的轨迹方程。

    　 习 【练习 2 】一动圆与圆 O：

    　12 2  y x 外切，而与圆 C：

    　0 8 62 2    x y x 内切，那么动圆的圆心 M的轨迹是（

    　）

    　A. 抛物线

    　B. 圆

    　C. 椭圆

    　D. 双曲线一支

    　【练习3 】已知ΔABC中，A,B,C所对应的边为a,b,c,且a>c>b，a,c,b成等差数列，|AB|=2,求顶点C的轨迹方程

    　【二】直译法

    　 1. 例题

    　【例 1 1】

    　】一条线段 AB 的长等于 2a,两个端点 A 和 B 分别在 x 轴和 y 轴上滑动，求 AB 中点 P 的轨迹方程？

    　例 【例 2 】双曲线的两焦点分别是1F 、2F ，其中1F 是抛物线 1 ) 1 (412    x y 的焦点，两点 A（-3，2）、B（1，2）都在该双曲线上．

    　（1）求点1F 的坐标；

    　（2）求点2F 的轨迹方程，并指出其轨迹表示的曲线．

    　 新疆源头学子小屋特级教师王新敞http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.com直译法：

    　如果动点 P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点 P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点 P 所满足的几何上的等量关系，再用点 P 的坐标（x，y）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。

    　 例 【例 3】

    　】已知点 ) 0 , 2 ( A 、 ). 0 , 3 ( B 动点 ) , ( y x P 满足2x PB PA   ，则点 P 的轨迹为（

    　 ）

    　A．圆

    　B．椭圆

    　C．双曲线

    　D．抛物线

    　2. 巩固 提升综合练习

    　习 【练习 1 】动点 P（x,y）到两定点 A（－3，0）和 B（3，0）的距离的比等于 2（即 2| || |PBPA），求动点 P的轨迹方程？

    　 习 【练习 2】

    　】某检验员通常用一个直径为2 cm和一个直径为1 cm的标准圆柱，检测一个直径为3 cm的圆柱，为保证质量，有人建议再插入两个合适的同号标准圆柱，问这两个标准圆柱的直径为多少？

    　习 【练习 3】

    　】已知平面上两定点 (0, 2) M  、 (0,2) N ， P 为一动点，满足 MP MN PN MN    ． 求动点 P 的轨迹 C 的方程.

    　 【三】参数法

    　 1. 例题

    　例 【例 1 】过点 P（2，4）作两条互相垂直的直线 l 1 ，l 2 ，若 l 1 交 x 轴于 A参数法：

    　如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点 P 运动的某个几何量 t，以此量作为参变数，分别建立 P 点坐标 x，y 与该参数 t 的函数关系 x＝f（t）， y＝g（t），进而通过消参化为轨迹的普通方程 F（x，y）＝0。

    　 点，l 2 交 y 轴于 B 点，求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程。

    　【例 例 2 2】

    　】设点 A 和 B 为抛物线 y 2 =4px(p＞0)上原点以外的两个动点，已知 OA⊥OB，OM⊥AB，求点 M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线。

    　例 【例 3】

    　】

    　过抛物线 px y 22 （ 0  p ）的顶点 O 作两条互相垂直的弦 OA 、 OB ，求弦 AB 的中点 M 的轨迹方程.

    　 2. 巩固提升综合练习

    　习 【练习 1 】过圆 O：x 2

    　+y 2 = 4 外一点 A（4，0），作圆的割线，求割线被圆截得的弦 BC 的中点 M 的轨迹。

    　NAMBoyx

    　 习 【练习 2 】过点 A（ － 1，0），斜率为 k 的直线 l 与抛物线 C ：

    　y 2 =4x 交于 P ， Q 两点.若曲线 C 的焦点 F 与P ， Q ， R 三点按如图顺序构成平行四边形 PFQR，求点 R 的轨迹方程。

    　【四】

    　代入法（相关点法）

    　 1. 例题

    　【例 1 1 】

    　的 的中点 求线段 为定点 上的动点 是椭圆 点 M AB ， a ， ，AbyaxB ) 0 2 ( 12222  轨迹方程。

    　【例 2 】双曲线2219xy   有动点 P ，1 2, F F 是曲线的两个焦点，求1 2PFF  的重心 M 的轨迹方程。

    　例 【例 3】

    　】如图，从双曲线 1 :2 2  y x C 上一点 Q 引直线 2 :   y x l 的垂线，垂足为 N ，求线段 QN 的代入法（相关点法）：

    　如果动点 P 的运动是由另外某一点 P"的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出 P（x，y），用（x，y）表示出相关点 P"的坐标，然后把 P"的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点 P 的轨迹方程。

    　 中点 P 的轨迹方程.

    　2. 巩固提升综合练习

    　习 【练习1】

    　】

    　已知抛物线y 2 =x+1，定点A(3，1)、B为抛物线上任意一点，点P在线段AB上，且有BP∶PA=1∶2，当 B 点在抛物线上变动时，求点 P 的轨迹方程．

    　习 【练习 2 】如图所示，已知 P(4，0)是圆 x 2 +y 2 =36 内的一点，A、B 是圆上两动点，且满足∠APB=90°，求矩形 APBQ 的顶点 Q 的轨迹方程

    　【五】交轨 法

    　 1. 例题

    　【例 1 】抛物线 ) 0 ( 42  p px y 的顶点作互相垂直的两弦 OA、OB，求抛物线的顶点 O 在直线 AB 上的新疆源头学子小屋特级教师王新敞http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.comBQRAP oyxy Q O x N P 交轨法：

    　在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这种问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。

    　 射影 M 的轨迹。

    　 【例 2】

    　】已知 MN 是椭圆 12222 byax中垂直于长轴的动弦， A 、 B 是椭圆长轴的两个端点，求直线 MA 和NB 的交点 P 的轨迹方程.

    　 2. 巩固提升综合练习

    　习 【练习 1】

    　】如图，垂直于 x 轴的直线交双曲线 12222 byax于 M 、 N 两点，2 1 , AA 为双曲线的左、右顶点，求直线 M A 1 与 N A 2 的交点 P 的轨迹方程，并指出轨迹的形状.

    　【六】点差 法

    　 1. 例题

    　【例 1 】已知椭圆2212xy   ，求斜率为 2 的平行弦中点的轨迹方程.

    　 【例 2】

    　】抛物线24 x y  的焦点为 F ,过点 (0, 1)  作直线 l 交抛物线 A 、 B 两点,再以 AF 、 BF 为邻边作平行四边形 AFBR ，试求动点 R 的轨迹方程.

    　 2. 巩固提升综合练习

    　 习 【练习 1 】抛物线 y=2x 2 截一组斜率为 2 的平行直线，所得弦中点的轨迹方程是

    　.

    　习 【练习 2 】已知抛物线 y 2 =2x 的弦 AB 所在直线过定点 P(-2，0)，则弦 AB 中点的轨迹方程是

    　. 三、 四、阿波罗尼斯圆及其应用 点差法：

    　圆锥曲线中与弦的中点有关的轨迹问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点1 1 2 2( , ), ( , ) A x y B x y的坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得1 2x x  ，1 2y y  ，1 2x x  ，1 2y y  等关系式，由于弦 AB 的中点 ( , ) P x y 的坐标满足1 22x x x   ，1 22y y y   且直线AB 的斜率为2 12 1y yx x，由此可求得弦 AB 中点的轨迹方程.

    　 1. 例题

    　【例 1 】如图，圆 C 与 x 轴相切于点 (1, 0) T ，与 y 轴正半轴交于两点 , A B （B 在 A 的上方），且 2 AB  ． （Ⅰ）圆 C 的标准．．方程为

    　；（Ⅱ）过点 A 任作一条直线与圆2 2: 1 O x y   相交于 , M N 两点，下列三个结论：①NA MANB MB ；② 2NB MANA MB  ；③ 2 2NB MANA MB  ． 其中正确结论的序号是

    　 .（写出所有正确结论的序号）

    　 2. 巩固提升综合练习

    　习 【练习 1】

    　】若 BC AC AB 2 2   ， ，则ABCS  的最大值为

    　四、课后自我检测

    　阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一 .

    　求证：到两定点的距离的比值是不等于 1 1 的常数的点的轨迹是圆. . 如图，点 B A, 为两定点，动点 P 满足 PB PA   ， 则 1   时，动点 P 的轨迹为直线；当 1   时，动点 P 的轨迹为圆， 后世称之为 阿波罗尼斯圆． 证明：设 PB PA m m AB     , 0 2 ）

    　（ ．以 AB 中点为原点，直线 AB 为 x 轴建立平面直角坐标系，则 ）， ， （ 0 m A  ）

    　， （ 0 m B ． 又设 ）

    　， （ y x C ，则由 PB PA   得:2 2 2 2) ( ) ( y m x y m x       ，

    　 两边平方并化简整理得: ）

    　（ ）

    　（ ）

    　（ ）

    　（2 2 2 2 2 2 21 1 1 2 1            m y x m x ，

    　当 1   时， 0  x ，轨迹为线段 AB 的垂直平分线； 当 1   时，2 22 22 222) 1 (4)11(  my m x ，轨迹为以点 ) 0 ,11(22m为圆心，以122  m长为半径的圆．

    　APB

    　 1．在 ABC  中，B，C 坐标分别为（-3，0），（3，0），且三角形周长为 16，则点 A 的轨迹方 程是_______________________________.

    　2．两条直线 0 1  my x 与 0 1   y mx 的交点的轨迹方程是

    　 .

    　3．已知圆的方程为(x-1) 2 +y 2 =1,过原点 O 作圆的弦 0A，则弦的中点 M 的轨迹方程是

    　 . 4．当参数 m 随意变化时，则抛物线   y x m x m     2 22 1 1 的顶点的轨迹方程为

    　 . 5．点 M 到点 F（4，0）的距离比它到直线 x   5 0 的距离小 1，则点 M 的轨迹方程为

    　 . 6．求与两定点     O O A10 3 0 ， 、 ， 距离的比为 1：2 的点的轨迹方程为_________ 7．抛物线 x y 42 的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）与抛物线交于 A、B 两点，动点 C 在抛物线上，求△ ABC 重心 P 的轨迹方程。

    　 8．已知动点 P 到定点 F（1，0）和直线 x=3 的距离之和等于 4，求点 P 的轨迹方程。

    　9．过原点作直线 l 和抛物线 6 42   x x y 交于 A、B 两点，求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程。

    　 10． 已知 ABC  中， A  、 B  、 C  的对边分别为 a 、 b 、 c ，若 b c a , , 依次构成等差数列，且 b c a   ，

    　 2  AB ，求顶点 C 的轨迹方程.

    　11．已知点 P 到两定点 ) 0 , 1 ( M 、 ) 0 , 1 ( N 距离的比为 2 ，点 N 到直线 PM 的距离为 1，求直线 PN 的方程.

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