对于计算极限几种方法.doc

时间：2020-10-29 20:09:59 来源：蒲公英阅读网 本文已影响人

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　目录

　· 摘要······················································1 1

　· 引言··················································· ····2 2

　一． ． 利用导数定义求极限· ······························· ·····2 2

　二．利用中值定理求极限· ····························· ······2 2

　· 三．利用定积分定义求极限····················· ············3 3

　四．利用施笃兹公式· ···································· ···4 4

　五．利用泰勒公式· ······································ ···5 5

　六．级数法· ································· ··············5 5

　七．结论 ·················································6 6

　参考文献· ····························· ···· ·················6 6

　内容摘要

　 摘要 ：极限是数学分析中最基本、最重要的概念之一,极限是微积分的重要基础，研究函数性质的重要手段.极限是描述函数在无限过程中的变化趋势的重要概念，本文通过典型例题，举一反三，给出几种常用的求极限方法。极限的计算方法很多,并且有一定的规律和技巧性,对此,本文将根据实例进行分析、探讨,并归纳出一些计算方法.

　关键词: :极限；计算；方法

　Abstract: the limit is one of the most basic, the most important concept in mathematical analysis, the limit is an important foundation for the calculus, an important means to study the function of the nature of the concept description. The limit is an important trend in the infinite process function, through typical examples, infer other things from one fact,several commonly used methods for the limits. A lot of calculation method of limit, and there are rules and skills, certain of

　this, this paper will be based on case analysis, discussion, and sums up some calculation method. Key words:

　limit; Calculation; methods

　 引言：

　极限是分析数学中最基本的概念之一，用以描述变量在一定的变化过程中的终极状态。早在中国古代，极限的朴素思想和应用就已在文献中有记载。例如,3世纪中国数学家刘徽的割圆术，就是用圆内接正多边形周长的极限是圆周长这一思想来近似地计算圆周率 的。随着微积分学的诞生，极限作为数学中的一个概念也就明确提出。但最初提出的这一概念是含糊不清的，因此在数学界引起不少争论甚至怀疑。直到 19 世纪，由 A.-L.柯西、K.

　(T.W.)外尔斯特拉斯等人的工作，才将其置于严密的理论基础之上，从而得到举世一致的公认。

　数学分析中的基本概念的表述，都可以用极限来描述。如函数   x f y  在0x x  处导数的定义，定积分的定义，偏导数的定义，二重积分，三重积分的定义，无穷级数收敛的定义，都是用极限来定义的。极限是研究数学分析的基本公具。极限是贯穿数学分析的一条主线。

　一． 利用导数定义求极限

　 据文   1 定理 1 1 导数的定义：函数 ) (x f 在0x 附近有定义，对于任意的 x  ，则 ) ( ) (0 0x f x x f y     

　如果xx f x x fx x     ) ( ) (lim lim0 00 0存在，则此极限值就称函数 ) (x f 在点0x

　的导数记为 ) ( "0x f .即xx f x x fx fx   ) ( ) (lim ) ( "0 000在这种方法的运用过程中。首先要选好 ) (x f ，然后把所求极限。表示成 ) (x f 在定点0x的导数。

　例 1：求a xx aa xx aa aa xlim

　解：原式0 ) (lim lim1lim0     a xx aa xaa xa xx aaa xx aa aax aa aaa xxa xx，令a xx a y   ， 当 a x  时， 0  y ，故原式 a a a aa aayy aln | )" (0   一般地，能直接运用导数定义求的极限就直接用导数定义来求，值得注意的是许多从表面看起来，不能直接用导数定义但经过恒等变形后，都可以利用导数定义来求，如上述例题。

　 二．利用中值定理求极限

　2.1 利用微分中值定理求极限 计算数列和函数的极限时，经常遇到的多是 "00" ， " 0 "   ， " 0 "···的不定形式，其中有时 " 0 " 也以差的形式出现，这就给应用微分中值定理提供了机会，微分中值定理把差化成积之后，就可在积的极限中，用等价无穷小进行代换，从而起到化繁为简的作用，另一方面，微分中值定理把函数差变成其间的导数值这种转化往往能变难为易。

　例 2：求  1lim m mna a n 

　   0  a

　解：因为ma 和1  ma 可以看成指数函数xa 在nx1 和11nx 两点处的函数值，又因 a a ax xln )" (  故由微分中值定理知) 1 (1ln1   n na a a am m ，其中 1    n n  ，于是   an nna a a nm mln) 1 (11   

　故得   a a a nm mnln lim1  

　例 3：求   x xxln sin ) 1 ln( sin lim    解：由微分中值定理知 ln cosln sin ) 1 ln( sin    x x ，其中 1    x x  ，而1 ln cos   ，故   0 ln sin ) 1 ln( sin lim    x xx

　从以上两例可以看出，当不定式中的 " 0 " 以同一函数在不同的两点之差的形式出现时，利用微分中值定理求极限，有统一简便且易于掌握的优点。

　2.2 利用积分中值定理求极限

　据文   1 定理 7 9.7 积分中值定理：如果函数   x f 在闭区间   b a, 上连续，那么一定存在   b a,   ，使        f a b dx x fba  如果某些数列含有带参数的定积分，并且定积分不易计算，那么在求这类数列的极限时应当首先考虑利用积分中值定理脱去积分符号，然后再作进一步的处理。

　例 4:求 dxxxIp nn n2sinlim  

　 （ 0  p ）

　解：利用积分中值定理，得22sin sin p dxxxp nn （ p n n     ）

　因为无穷小与有界量的乘积还是无穷小，所以 0 sin1limsinlimsinlim222 2          n 故所求极限 0sinlim2 np I

　例 5：求  21 arctanlim nxdx In 解：作变量代换: nx u  则 ndx du  于是          nnnn nnn nudu udunudunI2 2arctan arctan1lim arctan1lim

　  nn nudun2arctan1lim （利用定积分的对称性，第一项积分为零）

　=    arctan 21lim n nnn 

　（ n n 2    ）（利用积分中值定理）

　=2arctan lim arctan lim      n 所以原式  21 arctanlim nxdx In=2 三． 利用定积分定义求极限

　据文   1 理 定理 2 2 ：

　设 f 是定义在   b a, 上的一个函数， J 是一个确定的实数，

　若对任给的正数  ，总存在某一正数  ，使得对   b a, 的任何分割 T ，以及在其上任意选取的点集i ，只要   T ，就有    nii iJ x f1) (，则称函数 f 在区间  b a, 上可积或黎曼可积，数 J 称为 f 在   b a, 上的定积分或黎曼积分，记作 dxxfJba)(

　 例 6:       2 2 212111limn n n nnn 解：记 f （ x ）=  2 11x ， x   1 , 0  ，则   x f 在   1 , 0 上连续，所以可积，取 T ={0，n1，n2，nn,  }，i =ix =ini  ， i =1，2，  ，n 则

　 1021 xdx=  iniiTf 10lim  = ninnin12_ 11 1lim

　=       2 2 212111limn n n nn =-10|11x =（- 21）-（-1）

　=21

　例 7：41limnn  （1+3 32 n   ）

　解：记   x f =3x ，则   x f 在   1 , 0 上连续且可积，取 T ={0， n1， n2，  ， nn}  i ix 

　inii ,  =1，2，  ，n 则 dx x103=  iniiTf  1lim  =311lim ninnin=  3 3 343 2 11lim nnn     =41|4110 

　 运用该方法时，通常是将所求式转化成和式na bni a ba fni 1)) (( 的极限，相当于定积分中的na bx i  ，ni a bai) (   也就是将区间   b a, 等分，每个小区间的长度为na b，取每个小区间的右断点为ni a bai) (    ，这样就可以将和

　式的极限na bni a ba fnin  1)) (( lim 写成定积分 dx x fba ) ( 形式。

　四．利用施笃兹公式

　 据文   2 7 117 页定理 6 6 ：设数列  nx 及  ny 满足：

　（1）n ny y 1 （n=1,2,3，····）； （2）

　  nny lim ； （3）n nn nny yx x 11lim 存在（有理数或者是   ）则n nn nnnnny yx xyx   11lim lim

　例 5：求 nnn1 11lim   （ 0   ）

　解:利用施笃兹公式

　原式=      nnn nnn n11 11lim1lim1 =nnnnenn n n 11lim11 ln1lim11lim11 ln      =1 例 8：求nnnln1211lim    解：因为    nn n,11111 ln

　利用施笃兹公式，便有 原式=     111 ln1lim1 ln ln1limnnn nnn n=nnn1lim =1

　推论 1 1：若存在（有限数或者是   ），则其算术平均值数列

　nx x xn   2 1 （n=1,2,3,····）的极限也存在，并且 nnnnxnx x x    lim lim2 1 推论 2 2：若 0 nx 且nnx lim 存在（有限数或者是   ），则其几何平均值数列 nnx x x 2 1（n=1,2,3···）的极限也存在，并且 nnnnnx x x x    lim lim2 1

　例 9：设 0 nx ，并且   0 lim1  lxxnnn，证明 l xnnn lim

　证明：由条件   0 lim1  lxxnnn，即正项数列   , , , ,123121nnxxxxxxx 当   n 时，有极限 l ，于是根据推论 2，应有 l xxxxxxxxnnnnnnn     lim lim1 23121 

　例 10：求nnnn!1lim  解：设 0! nnnnx 则    ! 1! 1lim lim11nnnnxxnnxnnx  =nnnnnnn    111lim1lim

　=e1 由例 9 便得ennxnnnnn1!1lim lim      在数列极限中，有一类数列极限用常规方法，是不容易解决或者是相当困难的，比如求109 9 943 3 32 1lim ,2 1limnnnnn n         按通常的方法是先求和式 nii13和nii19再求极限，显然第一步是困难的，对于这类型不定式nnyx 极限，如果运用施笃兹定理将会得到一种简便的方法。

　 五．利用泰勒公式求极限

　泰勒展开式：若 f(x)在 x=0 点有直到 n+1 阶连续导数,    /// 2( ) ( )(0) (0) ( )2! !nnnf x f xf x f f x x x R xn     

　   11( )( )( 1)!nnnfR x xn

　(其中  在 0 与 1 之间)

　几个重要的泰勒公式 （1）

　 nnxx onx xx e      ! ! 212 ； （2）   mmmx omx x xx x21 215 3! 1 21! 5 ! 3sin      ； （3）

　   1 22 4 2! 21! 4 ! 21 cos      mmmx omx x xx  ； （4）

　     nnnx onx x xx x        13 213 21 ln  ； （5）

　       n nnx o xnnx x x       !1 1! 211 12     . 例 11：求 nn nnnlnlim  解：因为   22ln1lnln11nno nne nnnn  1ln1 limln1lim     nnonn nnnn 例 12：求极限30cos sinlimxx x xx 解 ：

　分 析 ：

　将 x sin 和 x xcos 分 别 按 x 的 幂 展 开 成 三 阶 泰 勒 公 式) (! 31sin3 3x o x x x    ， ) (! 2cos33x oxx x x    将上两式代入原式，因为泰勒公式是 恒 等 式 ， 所 以 相 当 于 把 自 己 代 进 去 了 ， 结 果 仍 然 不 变 。

　即33 3 3 3030)) (! 21( ) (! 31limcos sinlimxx o x x x o x xxx x xx x     

　由于分母已经是一个简单的多项式，所以不用再做什么变化，分子整理得到 ) (31) (! 21( ) (! 313 3 3 3 3 3x o x x o x x x o x x       

　，这里要注意，第一个 ) (3x o 和第二个 ) (3x o 只是一个代号，二者不一定完全相等。所以相减后的结果不一定是 0，,但可以肯定的是它们的差一定是的高阶无穷小，所以二者的差用 ) (3x o 代替，即原式31) (31lim33 30xx o xx 由上述例题可以看出，使用泰勒公式展到几阶由分母的最低次数来决定。

　六． 利用级数法求极限 6.1 利用收敛级数的和求极限

　 根据数项与数列其内在的联系，利用递推形式把一些极限转化为一些已知收敛且易于求和的数项级数来求。

　例 13：设 b a, 为正数，且 b a  ，而 b x a x  1 0, 令22 1  n nnx xx 求nnx lim

　解：由已知条件知 ) (212 22 121 11       n nn nnn nn nx xx xxx xx x

　nnnnn na bx x x x2) 1 ( ) (21) 1 ( ) (210 1 3 23        

　因而有1111111 0 12) 1 ( ) (      iininii i na bx x x x111)21( ) (  inia b

　因为级数nn0)21( 收敛，且其和为32，故 ) (32) ( lim a b a x nn    所以 ) 2 (31lim a b x nn  

　2 6.2 利 用级数的性质

　（1）级数收敛的必要条件：如果级数 1 nnu 收敛，则 0 lim  nnu

　例 14：计算nnnnn! 2lim  解：因为   121lim 2! 21! 1 2lim11    e nnnnnnnnnnnnn

　根据正项级数的比式判别法可知级数nnnnn! 2lim 收敛，再利用级数收敛的必要条件可知 0! 2lim  nnnnn （2）级数收敛的柯西准则：

　1 nnu 收敛 0     ，总存在正整数 N ，当 N n  及任意正整数 p ，有        p n n nu u u 2 1 例 15：设 1  p ，计算       p p pnn n n 212111lim 

　解：因为 1  p 时，级数 11npn收敛，再利用级数收敛的柯西准则知

　     0212111lim   p p pnn n n

　七． 结论

　 以上内容简单归纳了计算极限的几种特殊方法，并举出了相关方法的示例。求解极限的方法很多，而且非常灵活，因此对于找到解决问题的方法是至关重要的，每种方法都是有局限的，都不是万能的，因此在遇到比较复杂的题时，我们首先考虑应用导数定义和中值定理来求极限，当题中出现带有 "!" 的形式时可以用级数收敛的必要性求极限。总之解决的办法并不是一成不变的,这需要自身努力,从而能灵活掌握和运用.总之,在求极限时,要认真审题,认真分析解题思路,寻找解题途径。

　 参考文献

　[1]华东师范大学数学系编，数学分析（上册）第四版[M]，高等教育出版社，2010.07.01 [2]华东师范大学数学系编，数学分析（下册）第四版[M]，高等教育出版社, 2010.06 [3]郝梅编，求函数极限的方法[J]，福建教育学校学报，2006.10 [4] 邓乐斌编，数学分析的理论、方法与技巧[M]，华中科技大学出版社,2005.12 [5] 徐利治编，大学数学解题法诠释[M]，安徽教育出版社，2001.12 [6] 樊启斌编，数学综合复习解题指南[M]，武汉大学出版社,2003.06 [7]钱吉林编，数学分析题解精粹（第二版）[M]，高等教育出版社，2009

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