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    专题训练(三),平行四边形中动态问题

    时间：2020-12-18 15:10:29 来源：蒲公英阅读网 本文已影响人 蒲公英阅读网手机站

    相关热词搜索：平行 训练 专题

    　专题训练( ( 三) )

    　平行四边形中得动态问题

    　班别

    　姓名

    　( ( 教材 8 P68 习题第 3 13 题得变式与应用) )

    　【原题】(人教版八年级下册教材第 68 页第 13 题) 如图,在四边形 ABCD 中,AD∥BC,∠B＝90°,AB＝8 cm ,AD＝24 cm ,BC＝26 cm 、点 P从点 A 出发,以 1 cm / s 得速度向点 D 运动;点 Q 从点 C 同时出发,以 3 cm / s 得速度向点 B运动,规定其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止运动.从运动开始,使 PQ＝CD,分别需经过多少时间？为什么？

    　1 1.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD＝6,BC＝16,点E就是 BC 得中点.点 P 以每秒 1 个单位长度得速度从点A 出发,沿 AD 向点 D 运动;点 Q 同时以每秒 2 个单位长度得速度从点C出发,沿CB向点B运动.点P停止运动时,点Q也随之停止运动.求当运动时间t为多少秒时,以点P、Q、E、D为顶点得四边形就是平行四边形.

    　2 2.如图,A,B,C,D 为矩形 ABCD 得四个顶点,AB＝25 cm ,AD＝8 cm ,动点 P,Q 分别从点 A,C 同时出发,点 P 以 3 cm / s得速度向点 B 移动,运动到点 B 为止,点 Q 以 2 cm / s 得速度向点 D 移动. (1)P,Q 两点从出发开始到第几秒时,PQ∥AD? (2)试问:P,Q 两点从出发开始到第几秒时,四边形 PBCQ得面积为 84 平方厘米.

    　3 3.如图,平行四边形 ABCD 中,AC＝6,BD＝8,点 P 从点 A 出发以每秒1 cm 得速度沿射线 AC 移动,点 Q 从点 C 出发以每秒 1 cm 得速度沿射线 CA 移动. (1)经过几秒,以 P,Q,B,D 为顶点得四边形为矩形？ (2)若 BC⊥AC 垂足为 C,求(1)中矩形边 BQ 得长.

    　 4 4.如图,在四边形 ABCD 中,AD∥BC,∠B＝90°,AB＝8 cm ,AD＝12 cm ,BC＝18 cm ,点 P 从点 A 出发以 1 cm / s得速度向点 D 运动;点 Q 从点 C 同时出发,以 2 cm / s 得速度向点 B 运动,当点 Q 到达点 B 时,点 P 也停止运动,设点 P、Q 运动得时间为 t 秒. (1)作 DE⊥BC 于 E,则 CD 边得长度为 10 cm ; (2)从运动开始,当 t 取何值时,四边形 PQBA 就是矩形？ (3)在整个运动过程中就是否存在t值,使得四边形PQCD就是菱形？若存在,请求出t值;若不存在,请说明理由.

    　备用图 5 5.如图,已知矩形 ABCD,AD＝4,CD＝10,P 就是 AB 上一动点,M、N、E 分别就是 PD、PC、CD 得中点. (1)求证:四边形 PMEN 就是平行四边形; (2)请直接写出当 AP 为何值时,四边形 PMEN 就是菱形; (3)四边形PMEN有可能就是矩形吗？若有可能,求出AP得长;若不可能,请说明理由. 参考答案 【例】

    　(人教版八年级下册教材第 68 页第 13 题) 如图,在四边形 ABCD 中,AD∥BC,∠B＝90°,AB＝8 cm ,AD＝24 cm ,BC＝26 cm 、点 P 从点 A 出发,以 1 cm / s 得速度向点 D 运动;点 Q 从点 C 同时出发,以 3 cm / s 得速度向点 B 运动,规定其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止运动.从运动开始,使 PQ＝CD,分别需经过多少时间？为什么？ 【解答】①设经过 t s 时,四边形 PQCD 就是平行四边形, ∵AP＝t,CQ＝3t,DP＝24－t, ∴DP＝CQ、∴24－t＝3t、 ∴t＝6,即经过 6s 时,四边形 PQCD 就是平行四边形,此时 PQ∥CD,且 PQ＝CD、 ②设经过 t s 时,PQ＝CD,即四边形 PQCD 就是等腰梯形, ∵AP＝t,BQ＝26－3t, ∴t＝26－3t＋2,t＝7、 综上所述当 t＝6 s 或 7 s 时,PQ＝CD、 【方法归纳】

    　根据动点运动过程中构造得特殊四边形得性质列方程求解.

    　1 1.如图,在四边形 ABCD 中,AD∥BC,AD＝6,BC＝16,点 E 就是 BC 得中点.点 P 以每秒 1 个单位长度得速度从点 A 出发,沿 AD 向点 D 运动;点 Q 同时以每秒 2 个单位长度得速度从点 C 出发,沿 CB 向点 B 运动.点 P 停止运动时,点 Q 也随之停止运动.求当运动时间 t 为多少秒时,以点 P、Q、E、D 为顶点得四边形就是平行四边形. 解:由题意可知,AP＝t,CQ＝2t,CE＝ 12 BC＝8、∵AD∥BC,∴当 PD＝EQ 时,以点 P、Q、E、D 为顶点得四边形就是平行四边形. 当 2t＜8,即 t＜4 时,点 Q 在 C、E 之间,如图甲.此时,PD＝AD－AP＝6－t,EQ＝CE－CQ＝8－2t, 由 6－t＝8－2t 得 t＝2、

    　当 8<2t<16,且 t<6,即 4<t<6 时,点 Q 在 B、E 之间,如图乙.此时,PD＝AD－AP＝6－t,EQ＝CQ－CE＝2t－8,由 6－t＝2t－8 得 t＝ 143、 ∴当运动时间为 2 s 或 143s 时,以点 P、Q、E、D 为顶点得四边形就是平行四边形. 图甲

    　 图乙 2 2.如图,A,B,C,D 为矩形 ABCD 得四个顶点,AB＝25 cm ,AD＝8 cm ,动点 P,Q 分别从点 A,C同时出发,点 P 以 3 cm / s 得速度向点 B 移动,运动到点 B 为止,点 Q 以 2 cm / s 得速度向点 D 移动. (1)P,Q 两点从出发开始到第几秒时,PQ∥AD? (2)试问:P,Q 两点从出发开始到第几秒时,四边形 PBCQ 得面积为 84 平方厘米. 解:(1)设 P,Q 两点从出发开始到第 x 秒时,PQ∥AD, ∵四边形 ABCD 就是平行四边形, ∴AB∥CD,即 AP∥DQ、 ∵PQ∥AD, ∴四边形 APQD 就是平行四边形. ∴AP＝DQ、 ∴3x＝25－2x、解得 x＝5、 答:P,Q 两点从出发开始到第 5 秒时,PQ∥AD、 (2)设 P,Q 两点从出发开始到第 a 秒时,四边形 PBCQ 得面积为 84 平方厘米, ∵BP＝25－3a,CQ＝2a, ∴根据梯形面积公式得: 12 (25－3a＋2a)·8＝84、解得 a＝4、 答:P,Q 两点从出发开始到第 4 秒时,四边形 PBCQ 得面积为 84 平方厘米. 3 3.如图,平行四边形 ABCD 中,AC＝6,BD＝8,点 P 从点 A 出发以每秒 1 cm 得速度沿射线AC 移动,点 Q 从点 C 出发以每秒 1 cm 得速度沿射线 CA 移动. (1)经过几秒,以 P,Q,B,D 为顶点得四边形为矩形？ (2)若 BC⊥AC 垂足为 C,求(1)中矩形边 BQ 得长. 解:(1)当 t＝7 秒时,四边形 BPDQ 为矩形. 理由如下:当t＝7 秒时,PA＝QC＝7, ∵AC＝6, ∴CP＝AQ＝1、 ∴PQ＝BD＝8、 ∵四边形 ABCD 为平行四边形,BD＝8,AC＝6, ∴AO＝CO＝3、 ∴BO＝DO＝4、 ∴OQ＝OP＝4、 ∴四边形 BPDQ 为平形四边形. ∵PQ＝BD＝8, ∴四边形 BPDQ 为矩形.

    　(2)由(1)得 BO＝4,CQ＝7, ∵BC⊥AC, ∴∠BCA＝90°、 ∴BC2 ＋CQ 2 ＝BQ 2 、 ∴BQ＝ 56＝2 14、 4 4.如图,在四边形 ABCD 中,AD∥BC,∠B＝90°,AB＝8 cm ,AD＝12 cm ,BC＝18 cm ,点 P 从点 A 出发以 1 cm / s 得速度向点 D 运动;点 Q 从点 C 同时出发,以 2 cm / s 得速度向点 B 运动,当点 Q 到达点 B 时,点 P 也停止运动,设点 P、Q 运动得时间为 t 秒. (1)作 DE⊥BC 于 E,则 CD 边得长度为 10 cm ; (2)从运动开始,当 t 取何值时,四边形 PQRA 就是矩形？ (3)在整个运动过程中就是否存在 t值,使得四边形PQCD 就是菱形？若存在,请求出t 值;若不存在,请说明理由.

    　 备用图 解:(2)如图 1,由题意得:AP＝t,DP＝12－t,CQ＝2t,BQ＝18－2t、 要使四边形PQBA就是矩形,已有∠B＝90°,AD∥BC即AP∥BP,只需满足AP＝BQ即t＝18－2t,解得 t＝6,因此,当 t＝6 秒时,四边形 PQBA 就是矩形. (3)不存在,理由: 如图 2,要使四边形 PQCD 就是平行四边形,已有 AD∥BC 即 DP∥CQ, 只需满足 DP＝CQ 即 12－t＝2t, ∴t＝4 时,四边形 PQCD 就是平行四边形, 但 DP＝12－t＝8≠10,即 DP≠DC, ∴按已经速度运动,四边形 PQCD 只能就是平行四边形,但不可能就是菱形.

    　5 5.如图,已 知 矩形 ABCD,AD ＝4,CD ＝ 10,P就是 AB 上 一 动点,M、N、 E 分别就是 PD、 PC 、CD 得中点. (1)求证:四边形 PMEN 就是平行四边形; (2)请直接写出当 AP 为何值时,四边形 PMEN 就是菱形; (3)四边形 PMEN 有可能就是矩形吗？若有可能,求出AP 得长;若不可能,请说明理由. 解:(1)∵M、N、E 分别就是 PD、PC、CD 得中点, ∴ME 就是 PC 得中位线,NE 就是 PD 得中位线. ∴ME∥PC,EN∥PD、

    　∴四边形 PMEN 就是平行四边形. (2)当 AP＝5 时, 在 Rt △PAD 与 Rt △PBC 中, AP＝BP∠A＝∠BAD＝BC ∴△PAD≌△PBC( SAS ). ∴PD＝PC、 ∵M、N、E 分别就是 PD、PC、CD 得中点, ∴NE＝PM＝ 12 PD,ME＝PN＝12 PC、 ∴PM＝ME＝EN＝PN、 ∴四边形 PMEN 就是菱形. (3)四边形 PMEN 可能就是矩形. 若四边形 PMEN 就是矩形,则∠DPC＝90°、 设 PA＝x,PB＝10－x, 则 DP＝ 42 ＋x 2 ,CP＝ 4 2 ＋(10－x) 2 、 ∵DP2 ＋CP 2 ＝DC 2 , 即 16＋x2 ＋16＋(10－x) 2 ＝10 2 , ∴x2 －10x＋16＝0、 解得 x＝2 或 x＝8、 故当 AP＝2 或 AP＝8 时,四边形 PMEN 就是矩形.

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