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    6.5,平面向量应用—正弦定理、余弦定理（原卷版）

    时间：2021-05-01 10:15:45 来源：蒲公英阅读网 本文已影响人 蒲公英阅读网手机站

    相关热词搜索：定理 余弦 正弦

    　6.5 平面向量的应用 — 正弦定理、余弦定理

    　 1. 已知两角和一边解三角形；2. 已知两边和其中一边的对角解三角形；3. 运用正弦定理求三角形的面积；4. 已知两边及一角解三角形；5. 已知三边解三角形；6. 判断三角形的形状；7. 综合应用正弦、余弦定理求边和角 8.正弦、余弦定理的综合应用；9. 正、余弦定理与三角恒等变换的综合应用；10. 求取值范围问题；11. 不易到达点测量距离问题；12. 正、余弦定理在航海距离测量中的应用；13.平面向量与正弦定理、余弦定理；14. 函数与方程思想在解三角形应用举例中的应用.

    　一、单选题 1．（2020·湖北荆门外语学校期中）在 ABC 中，内角 、 、 A B C 对应的边分别为 a b c 、 、 ，若120 , 2 A b    ，1 c  ，则边长 a 为（

    　）

    　A． 7

    　B． 5

    　C． 3

    　D．2 2. （2020·湖北黄冈·期末）在△ABC中，内角 A，B，C 的对边分别为 a ，b，c，已知3cos5A  ， 8 a ，5 b ，则 B  （

    　）

    　A．4 B．

    　6 C．3 D．56 3．（2020·上海市七宝中学期末）在 ABC 中，“ tan tan A B  ”是“ sin sin A B  ”的（

    　）

    　A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2020·邯郸市永年区第一中学期末）在 ABC  中，若2 2 2sin sin sin A B C  ＜，则 ABC  的形状是(

    　) A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 5.（2020·黑龙江龙凤·大庆四中月考（文））在△ABC 中，a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边，如果 2b=a+c，B=30°，△ABC 的面积是 32 ，则 b=（

    　）

    　 A．1+ 3

    　B． 132 C．223  D．2+ 3

    　6．（2020·全国高三其他（理））设 G 是 ABC 的重心，且满足等式7sin 3sin 3 7sin 0 A GA B GB C GC       ，则 B   （

    　）

    　A．45° B．60° C．90° D．120° 7．（2020·全国高三月考（文））在 OAB  中，已知 2 OB  ， 1 AB  ， 45 AOB    ，点 P 满足  , OP OA OB       R ，其中  ，  满足 23     ，则 OP 的最小值为（

    　）

    　A．3 55 B．2 55 C．63 D．62 8．（2020·内蒙古扎鲁特旗·扎鲁特一中期末（理））在锐角三角形 ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ，b ， c ，且2 2 222cos2a c bAc bc ， 4 c ， ABC 面积的取值范围是（

    　）

    　A．   2 3,8 3

    　B．   2,8

    　C．  2 3,8  D．  2 3,8 9．（2020·内蒙古扎鲁特旗·扎鲁特一中期末（文））在 ABC 中，内角 A 、 B 、 C 所对的边分别是 a ， b ，c 且3 sin sin( )tan a B b B C C   ，则 cosC = （

    　）

    　A．12 B．12

    　C．32 D．32

    　10．（2020·全国高一单元测试）在 ABC 中，角 A B C ， ， 的对边分别为 a b c ， ， ，已知 2 5 c  ，且2 sin cos sin sin a C B a A b B   5sin2b C ，点 O 满足 0 OA OB OC    ，3cos8CAO   ，则ABC 的面积为（

    　）

    　A．553 B． 3 5

    　C． 5 2

    　D．55

    　二、多选题 11．（2020·江苏盱眙·马坝高中期中）（多选）在 ABC 中，内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，若 1 a  ， 3 b  ， 30 A  ，则 B  （

    　）

    　 A． 30°

    　B． 150

    　C． 60

    　D． 120

    　12． （2020·河北月考）

    　a ， b ， c 分别为ABC 内角 A ， B ， C 的对边.已知  sin 3 sin b A b c B  ，且1cos3A ，则（

    　）

    　A． 3 a c b  

    　B．tan 2 2 A C． ABC 的周长为 4c

    　D． ABC 的面积为22 29c

    　13. （2020·江苏镇江·期末）在 ABC 中，a，b，c分别为角 A，B，C 的对边，已知coscos 2B bC a c，3 34ABCS △，且 3 b  ，则（

    　）

    　A．1cos2B 

    　B．3cos2B  C．3 a c   D． ac 3 2   14．（2020·山东潍坊·高一期末）在 ABC 中， a ， b ， c 分别是内角 A ， B ， C 所对的边， 3 2 sin a c A  ，且 02C  ， 4 b  ，则以下说法正确的是（

    　）

    　A．3C

    　B．若72c  ，则1cos7B 

    　C．若 sin 2cos sin A B C  ，则 ABC 是等边三角形 D．若 ABC 的面积是 2 3 ，则该三角形外接圆半径为 4 三、填空题 15．（2020·江苏南通·高三其他）在平面四边形 ABCD 中，已知点 E，F 分別在边 AD，BC 上，3 AD AE ，3 BC BF ， 3 AB  ， 2 EF  ， 3 DC  ，则向量 AB 与 DC 的夹角的余弦值为________． 16．（2020·湖北蔡甸·汉阳一中高一期中）已知 , , a b c 分别为 ABC 的三个内角 , , A B C 的对边， 8 b ，且2 23cos5ac B a b bc    ， O 为 ABC 内一点，且满足0 OA OB OC   ， 30 BAO    ，则 OA __________． 17.（2020·四川省武胜烈面中学校高一期中）在 ABC 中，已知   2 3 cos cos b b C c B   ，点 M，N 在边AC ， BC 上，满足13AM AC  ，12BN BC  ， BM 与 AN 交于点 P，则CPAB的取值范围是________.

    　 四、双空题 18．（2020·浙江高三月考）在锐角 ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别是 a ， b ， c ，3A ，7 a  ，3 c ，则 b ______， sin sin B C   ______. 19.（2020·夏津第一中学高一月考）在△ABC 中，角 A，B，C 所对应的边分别为 a，b，c，已知 b＝1，c＝2且 2cosA（bcosC+ccosB）＝a，则 A＝__________；若 M 为边 BC 的中点，则|AM|＝__________ 20．（2020·浙江省东阳中学高一期中）在 ABC 中， A ， B ， C 所对的边为 a ， b ， c ，点 D 为边 AC 上的中点，已知 5 a  ， 7 b  ， 8 c ，则 B  ______； BD ______． 21．（2020·湖南岳阳·期末）已知锐角 ABC ，同时满足下列四个条件中的三个：①3A ；② 13 a ；③15 c  ；④1sin3C  .则这三个条件是________（只填写序号）， ABC 的面积是________ 五、解答题 22．（2020·上海高三专题练习）用向量的方法证明：

    　（1）正弦定理； （2）余弦定理． 23．（2020·辽宁和平·沈阳铁路实验中学高一期中）已知 ABC  的三个内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ，c ，且满足 2 coscos cos b A a C c A   . （1）求角 A 的大小；

    　（2）若 3 b ， 4 c ，2 BD DC ，求 AD 的长 24．（2020·新乡市第一中学高三二模（理））

    　ABC  的内角 , , A B C 的对边分别为 , , a b c ，且(sin sin )( ) sin sin A B a b b C c C     . （1）求 A ； （2）若 2 b c  ，点 D 为边 BC 的中点，且 7 AD  ，求 ABC  的面积. 25．（2020·江苏镇江·期末）在 ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，在①1cos cos sin sin2b A C a B C b   ；②1cos cos sin2 3 cos2b B C c B a B   ；③cos2cosb Aa cB  这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.已知 D 是 BC 上的一点， 2 BC BD AB   ， 2 7 AD  ，6 AB  ，若_______，求 ACD △ 的面积. 26．（2020·山东泰安·期末）请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答.①

    　 sin sin sin sin A C A Bb a c ；② 2 cos cos cos c C a B b A   ；③ ABC 的面积为1( sin sin sin )2c a A b B c C   .已知 ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，且________. （1）求 C ； （2）若 D 为 AB 中点，且 2 c ， 3 CD  ，求 a ， b . 27．（2020·湖北硚口·武汉市第十一中学高一期中）如图，摄影爱好者在某公园 A 处，发现正前方 B 处有一立柱，测得立柱顶端 O 的仰角和立柱底部 B 的俯角均为 30° ，已知摄影爱好者的身高约为 3 米（将眼睛 S距地面的距离 SA 按 3 米处理）．

    　（1）求摄影爱好者到立柱的水平距离 AB 和立柱的高度 OB ； （2）立柱的顶端有一长为 2 米的彩杆 MN ，且 MN 绕其中点 O 在摄影爱好者与立柱所在的平面内旋转．在彩杆转动的任意时刻，摄影爱好者观察彩杆 MN 的视角 MSN  （设为  ）是否存在最大值？若存在，请求出MSN  取最大值时 cos  的值；若不存在，请说明理由．

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