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    几种求极限方法及总结

    时间：2021-03-10 12:04:27 来源：蒲公英阅读网 本文已影响人 蒲公英阅读网手机站

    相关热词搜索：几种 极限 方法

    几种求极限方法及总结 本文关键词：几种，极限，方法

    几种求极限方法及总结 本文简介：几种求极限方法的总结摘要极限是数学分析中的重要概念，也是数学分析中最基础最重要的内容.通过对求极限的学习和深入研究，我总结出十二种求极限的方法.关键词定义夹逼定理单调有界无穷小洛必达泰勒公式数列求和定积分定积分数列1用定义求极限根据极限的定义：数列{}收敛a,〉0,N,当n〉N时，有-a〈.例1用定

    几种求极限方法及总结 本文内容：

    几种求极限方法的总结

    摘

    要

    极限是数学分析中的重要概念，也是数学分析中最基础最重要的内容.通过对求极限的学习和深入研究，我总结出十二种求极限的方法.

    关键词

    定义

    夹逼定理

    单调有界

    无穷小

    洛必达

    泰勒公式

    数列求和定积分

    定积分

    数列

    1

    用定义求极限

    根据极限的定义：数列{}收敛a,〉0,N,当n〉N时，有-a〈.

    例1

    用定义证明

    证明：要使不等式=成立：解得n,取N=，于是

    N=，，有即

    2利用两边夹定理求极限

    例2

    求极限

    解：设

    则有：

    同时有：

    ，于是

    由.

    有

    已知：

    ∴=1

    3利用函数的单调有界性求极限

    实数的连续性定理：单调有界数列必有极限.

    例3

    设，，（n=1,2,）(),求

    解：显然是单调增加的。我们来证明它是有界的.易见

    ，

    ，

    ，

    从而

    ，显然是单调增加的，所以

    两段除以，得

    这就证明了的有界性

    设，对等式两边去极限，则有

    解得

    4利用无穷小的性质求极限

    关于无穷小的性质有三个，但应用最多的性质是：若函数f(x)(x是无穷小，函数g(x)在U（有界，则函数f(x)*g(x)(x是无穷小.

    例

    求极限

    解4

    而

    而故

    5

    应用“两个重要极限”求极限

    例5求

    解

    ∴原式=

    6利用洛必达法则求极限

    例6求（

    解：

    =

    例7

    求极限

    （

    解

    =

    7利用泰勒公式求极限

    例8：求极限

    解

    ∵中分子为，∴将各函数展开到含项。

    当时，从而=1-

    ∴原式=

    8利用数列求和来求极限

    有时做一些求极限的题时，若对原函数先做一些变形，化简之后再利用极限性质去求极限过程简便些。

    例9：求极限

    解：令，则

    -=

    从而

    ，∴

    原式=

    9用定积分求和式的极限

    例10

    设函数f(x)在上连续，且f(x),求

    解

    令T=

    于是lnT==

    而

    所以

    =

    10

    利用定积分求极限

    利用定积分求极限可分为以下两种形式

    （1）型.

    定理1

    设f(x)在上可积，则有：

    =

    例12

    求

    解：设f(x)=x,f(x)在上可积。则

    ==

    （2）型.

    定理2

    设f(x)在上可积，则有=epx

    例13

    求

    解：=

    令

    f(x)=x,则有==exp=

    11利用数列的递推公式求极限

    这种方法实际上包含有两种方法

    （1）利用递推关系求出通项公式，然后求极限。这是基本的解法，它把极限的存在性与求极限问题一起解决.

    例14

    设=1，，3（，求

    解：递推公式可化为3（

    设，那么

    所以，=1，

    将以上各式相加得

    （1）

    如果数列极限存在设为A，则根据递推公式求出A.令数列的第n项记为A+，利用无穷小和极限的关系，只需证明（，便可确定数列的极限确实存在且就为A.

    例15

    证明数列

    2，2+，2+，极限存在并求出这个极限.

    解：由题意知递推关系为，若数列的极限存在并设为A，则A=2+

    设

    ，有递推关系得1+，即

    因为

    而

    但2=1+，所以

    即

    由此推出数列的极限存在并且就为1+

    12

    利用级数收敛的必要条件求极限

    当计算的题目形式很复杂时，可以作一个级数，看其是否收敛.再根据收敛的必要条件计算极限.

    收敛的必要条件：若级数收敛，则

    例16

    计算

    解：作级数，令

    有达朗贝尔判别法知收敛.又有级数收敛的必要条件=0

    参考文献

    陈传璋

    金福临

    朱学炎

    数学分析（第二版）高等教育出版社

    .1983.7

    解红霞.《浅谈求极限的几种方法》.太原教育学院学报.2001.6

    第19卷第2期

    杨曼英

    《极限的证明与求极限的方法》娄底师专学报

    1994.第2期

    唐守宪

    《几种求极限的方法》沈阳师范学院学报

    2003.1第22卷第1期

    篇2：MATLAB《数学实验》报告9-Matlab及极限和微分运算

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    MATLAB《数学实验》报告9-Matlab及极限和微分运算 本文内容：

    《数学实验》报告

    学号

    姓名

    成绩

    实验内容：Matlab的极限和微分运算。

    一

    实验目的

    熟悉MATLAB软件中关于极限和微分运算的基本命令，掌握利用MATLAB软件求极限和微分运算的方法。

    二

    预备知识

    (1)求函数的极限和微分的运算。

    (2)

    Matlab基本命令limit，初等函数的表示方法。

    三

    实验内容与要求

    1.求下列极限，将完成实验的程序写到文件sy31.m中

    （1）;

    Matlab命令

    结果

    clear%μú?t??·?·¨

    syms

    x

    f=atan(x)/x

    limit(f,x,0)

    =

    atan(x)/x

    ans

    =

    1

    （2）

    Matlab命令

    结果

    clear

    syms

    x

    F2=((1+x)/(1-x))^(1/x)

    limit(F2,x,0)

    F2

    =

    ((1+x)/(1-x))^(1/x)

    ans

    =

    exp(2)

    （3）

    Matlab命令

    结果

    clear

    syms

    x

    F3=x*log(1+x)/sin(x^2)

    limit(F3,x,0)

    F3

    =

    x*log(1+x)/sin(x^2)

    ans

    =

    1

    （4）

    Matlab命令

    结果

    clear

    syms

    x

    F4=atan(x)/x

    limit(F4,x,inf)

    F4

    =

    atan(x)/x

    ans

    =

    0

    （5）

    Matlab命令

    结果

    clear

    syms

    x

    F5=1/(1-x)-1/(1-x^3)

    limit(F5,x,1)

    F5

    =

    1/(1-x)-1/(1-x^3)

    ans

    =

    NaN

    2、求下列函数的倒数，将完成实验的程序写到文件sy32.m中

    （1）；

    Matlab命令

    结果

    clear%diyi

    syms

    x

    y1=(cos(x))^3-cos(3*x)

    diff(y1,x)

    y1

    =

    cos(x)^3-cos(3*x)

    ans

    =

    -3*cos(x)^2*sin(x)+3*sin(3*x)

    （2）

    Matlab命令

    结果

    clear%dier

    syms

    x

    y2=x*sin(x)*log(x)

    diff(y2,x)

    y2

    =

    x*sin(x)*log(x)

    ans

    =

    sin(x)*log(x)+x*cos(x)*log(x)+sin(x)

    （3）

    Matlab命令

    结果

    clear%disan

    syms

    x

    y3=(x*exp(x)-1)/sin(x)

    diff(y3,x)

    y3

    =

    (x*exp(x)-1)/sin(x)

    ans

    =

    (exp(x)+x*exp(x))/sin(x)-(x*exp(x)-1)/sin(x)^2*cos(x)

    （4），计算；

    Matlab命令

    结果

    clear%disi

    syms

    x

    y3=exp(x)*cos(x)

    diff(y3,x,4)

    y3

    =

    exp(x)*cos(x)

    ans

    =

    -4*exp(x)*cos(x)

    （5），计算

    Matlab命令

    结果

    clear%diwu

    syms

    x

    y5=x^2*sin(2*x)

    diff(y5,x,20)

    y5

    =

    x^2*sin(2*x)

    ans

    =

    -99614720*sin(2*x)-20971520*x*cos(2*x)+1048576*x^2*sin(2*x)

    3

    篇3：2020年6月大学生积极分子思想汇报：爱无极限

    20XX年6月大学生积极分子思想汇报：爱无极限 本文关键词：积极分子，思想汇报，无极限，大学生，XX

    20XX年6月大学生积极分子思想汇报：爱无极限 本文简介：20XX年6月大学生积极分子思想汇报：爱，无极限敬爱的党组织:“为人民服务是真诚地投入，为人民服务是忘我地付出，为人民服务是用心灵开拓的路，为人民服务是用生命注解的书。”这是电视剧《孔繁森》中的一首歌的歌词。当你走进这部电视剧，走进孔繁森，走进他那些身在西藏的日子，如果你是一个够感性的人，我想你甚至

    20XX年6月大学生积极分子思想汇报：爱无极限 本文内容：

    20XX年6月大学生积极分子思想汇报：爱，无极限

    敬爱的党组织:

    “为人民服务是真诚地投入，为人民服务是忘我地付出，为人民服务是用心灵开拓的路，为人民服务是用生命注解的书。”这是电视剧《孔繁森》中的一首歌的歌词。当你走进这部电视剧，走进孔繁森，走进他那些身在西藏的日子，如果你是一个够感性的人，我想你甚至会怆然而泣下，那是真正的、用生命和灵魂去为人民服务的故事，他把自己对中国人民的热爱全部投入于他所工作的西藏。也只有当你走进他，你才深刻体会到这个词的内在含义，体会到孔繁森对于西藏人民的恩爱有多深。不是不觉已感人肺腑，不经意间眼眶已溢满不知哪来的泪水。

    为人民服务，这是中国***的根本宗旨。不是纸上谈兵，不是空头口号，是代表工人阶级和广大人民利益的党维系与广大群众关系的纽带。一个真正的中国***党员，他对中国人民乃至中华民族的爱是犹如滚滚东流的长江之水，永无止境，未曾停息。他的爱博大而光荣，并且他把他的爱注入了他的实际行动中，注入了人民群众的心田，注入了历史的长河。

    有些人一谈到焦裕禄、孔繁森等优秀的***党员的光荣事迹就觉得腻了，说句心里话，我想那一代代受到他们照顾的父老乡亲会是多么的愤恨，我也感到失望和惆怅。你有忍着肝病每日走访父老乡亲吗？你有亲自嘴对嘴为老人吸喉咙中的痰吗？如果不是对中国人民有着深厚的爱，他们为人民服务怎么会做到如此呢？他们的爱，是伟大的，是无极限的，是用心灵开拓、用生命注解的。我想，新一辈的我们，未曾经历过那样的艰辛吧，在他们的面前，我们是自愧不如、自惭形秽的。一些人从小就受这些感人故事的熏陶，可是最终只是觉得腻了烦了，并未从中领悟到什么，这是何等的而令人伤心。这些人的心太窄了，博爱如何能装得下？

    但是，人心就像海，爱就是河流之水，注入的水越多，海越宽阔。爱，没有极限！它总可以越过千山万水，到达人的心田。上了党的宗旨这一堂课，让我感受到中国***党员对中国人民的爱，并把这种博爱凝聚于他们的生活和工作中，散发给了人民群众，真正做到了为人民服务。

    因为爱，因为***员真心实意地为人民服务，中华民族凝结在一起，筑成坚固的城墙，屹立在亚洲东方。我亦有充满爱的心怀，亦有把爱撒向人间的意愿和实际行动，相信我的爱没有终点，期待着有一天有能力肩负中国***的使命，成为中国***的一员！

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