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    题型09,求数列通项（原卷版）

    时间：2020-12-14 10:08:26 来源：蒲公英阅读网 本文已影响人 蒲公英阅读网手机站

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    　 秒杀高考题型之求数列通项 【秒杀题型一】：已知nS ，求na 。

    　『秒杀策略』：分段表示：11( 1)( 2)nn ns nas s n   ，然后验证第一项是否在第二项以后的通项中，如果在则统一写，如果不在则分段写。

    　特殊地：① ① c bn an S n   2，当 0  c 时，na 是等差数列，统一写；当 0  c 时，na 从第二项起是等差数列，分段写。

    　② t kq Snn  ，当 k 、 t 互为相反数时，na 是等比数列，统一写；当 k 、 t 不互为相反数时，na 从第二项起是等比数列，分段写。

    　【秒杀题型二】：由nS 与na 、nT (数列前 n 项乘积。)与na 的关系求通项。

    　『秒杀策略』：nS 与na 采用作差法：nS 与na 的关系 ①，当取 n-1(或 n+1)时，得 ②； ①- ②后求通项。

    　nT 与na 采用作商法：nT 与na 的关系 ①，当取 n-1(或 n+1)时，得 ②； ②/ ①后求通项。

    　1.(2014 年新课标全国卷 I17)已知数列  na 的前 n 项和为nS ， 1 , 0 , 11 1    n n n nS a a a a  ，其中  为常数。

    　（1）证明：

    　   n na a2； （2）是否存在  ，使得  na 为等差数列？并说明理由。

    　 ① B Aa Sn n  ，当 0  B 时，na 是等比数列，统一写；当 0  B 时，na 从第二项起是等比数列，分段写。

    　 ②nS 是关于na 的二次函数，作差后分解因式，得等差数列。

    　【秒杀题型三】：由nS 与na 的关系求nS 的通项。

    　『秒杀策略』：由1  n n nS S a ，转化为nS 的关系。

    　1.(2015 年新课标全国卷 II6)设nS 是数列  na 的前 n 项和，且 11  a ，1 1  n n nS S a ，则nS =

    　。

    　2.(高考题)已知数列  na 的前 n 项和为nS ，11 a  ，nS =12 na ，则nS =

    　 (

    　)

    　 A.12 n

    　B.132n   

    　C.123n   

    　 D.112 n 【秒杀题型四】：累加法求通项。

    　『秒杀策略』：当数列相邻两项之差是一个确定的数列时，利用累加法求通项。

    　设n n nb a a  1，且nb 是已知数列，则求na 步骤为：

    　2 1 2b a a  

    　3 2 3b a a  

    　…… n n nb a a  1 累加得：n nb b b a a     3 2 1，可求出na 。

    　1.(2010 年新课标全国卷 17)设数列  na 满足2 11 12, 3 2nn na a a    。

    　（1）求数列  na 的通项公式； （2）令n nb na  ，求数列的前 n 项和nS 。

    　 【秒杀题型五】：构造数列求通项。

    　 『秒杀策略』：主要有两类，一是显性构造．．．．(即题目中已知构造思路，按给定的思路构造。)，二是隐性构造．．．．(按已知特点构造数列。)。

    　必须掌握的．．．．．1( ,n na ca d c d  为常数，．．．．0, 1, 0) c c d    型线性递推关系。．．．．．．．． 『解题策略』：一般形式：1( ,n na ca d c d  为常数， 0, 1, 0) c c d    ，可以构造一个等比数列，只要在每一项同加上一个常数即可，且常数1dxc，1( )n na x c a x   ，令n nb a x   ，则nb 为等比数列，求出nb ，再还原到na ，11( ).1 1nnd da a cc c   11( ).1 1nnd da a cc c    。

    　此类问题经常以应用题的形式出现，且其构造试题选材背景主要有以下几种：

    　① ①拆建房屋（住房面积）构造的应用题:如每年新增住房面积的比例是一个定值,同时每年要拆除一定面 积的旧房。

    　② ②汽车保有量问题:如每年汽车量按一定增长率增长,而每年同时要报废一定量的汽车。

    　③ ③垃圾堆存量问题:如每年垃圾量按一定增长率增长,而每年同时要处理一定量的垃圾。

    　④ ④森林覆盖面积问题:如新种植面积按一定比例增长,而每年同时要砍伐一定量的树木。

    　1.(2018 年新课标全国卷 I17)已知数列  na满足：n na n na a ) 1 ( 2 , 11 1  ，设nabnn 。

    　（1）求3 2 1, , b b b ； （2）判断数列  nb是否为等比数列，并说明理由； （3）求  na的通项公式。

    　2.(2014 年新课标全国卷 II17)已知数列  na 满足 1 3 , 11 1   n na a a 。

    　（1）证明21na 是等比数列，并求  na 的通项公式；

    　（2）证明：23 1...1 12 1   na a a。

    　 3.(高考题)已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为 a (单位：m 2 )，其中有部分旧住房需要拆除，当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的 10%建设新住房，同事也拆除面积为 b （单位：m 2 ）的旧住房。

    　（1）分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式； （2）如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了 30%，则每年拆除的旧住房面积 b 是多少？（计算时取 6 . 1 1 . 15 ）

    　4.(高考题)数列  na 中，11, a  且12 1,n na a  又设 1n nb a   。

    　（1）求证：数列  nb 是等比数列；

    　 （2）求数列  na 的通项公式；

    　（3）设1,1nnnca求数列  nc 的前 n 项和nS 。

    　 5.(高考题)某公司一下属企业从事某种高科技产品生产，该企业第一年年初有资金 2000 万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了 50％，预计以后每年资金年增长率与第一年的相同，公司要求企业从第一年开始每年年底上缴资金 d 万元，并将剩余资金全部投入下一年生产，设第 n 年年底企业上缴资金后的剩余资金为na万元。

    　（1）用 d 表示1 2, a a ，并写出1 na与na 的关系式； （2）若公司希望经过 ) 3 (  n n 年使企业的剩余资金为 4000 万元，试确定企业每年上缴资金 d 的值（用 n 表示）。

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