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    考研,线性代数,笔记精华,行列式和矩阵

    时间：2021-04-02 06:04:52 来源：蒲公英阅读网 本文已影响人 蒲公英阅读网手机站

    相关热词搜索：行列式 线性代数 矩阵

    考研 线性代数 笔记精华 行列式和矩阵 本文关键词：行列式，线性代数，矩阵，考研，精华

    考研 线性代数 笔记精华 行列式和矩阵 本文简介：线代框架之行列式和矩阵注：全体维实向量构成的集合叫做维向量空间.注：√关于：①称为的标准基，中的自然基，单位坐标向量；②线性无关；③；④；⑤任意一个维向量都可以用线性表示.行列式的定义√行列式的计算：①行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和.推论：

    考研 线性代数 笔记精华 行列式和矩阵 本文内容：

    线代框架之行列式和矩阵

    注：全体维实向量构成的集合叫做维向量空间.

    注：

    √

    关于：

    ①称为的标准基，中的自然基，单位坐标向量；

    ②线性无关；

    ③；

    ④；

    ⑤任意一个维向量都可以用线性表示.

    行列式的定义

    √

    行列式的计算：

    ①行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和.

    推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.

    ②若都是方阵（不必同阶）,则

    ③上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.

    ④关于副对角线：

    ⑤范德蒙德行列式：

    矩阵的定义

    由个数排成的行列的表称为矩阵.记作：或

    伴随矩阵

    ，为中各个元素的代数余子式.

    √

    逆矩阵的求法:

    ①

    注：

    ②

    ③

    √

    方阵的幂的性质：

    √

    设的列向量为,的列向量为，

    则

    ，为的解可由线性表示.

    同理：的行向量能由的行向量线性表示，为系数矩阵.

    √

    用对角矩阵左乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量；

    用对角矩阵右乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量.

    √

    两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘.

    √

    分块矩阵的转置矩阵：

    分块矩阵的逆矩阵：

    分块对角阵相乘：

    分块对角阵的伴随矩阵：

    √

    矩阵方程的解法()：设法化成

    矩阵与的列向量组等价（右乘可逆矩阵）.

    √

    判断是的基础解系的条件：

    ①

    线性无关；

    ②

    都是的解；

    ③

    .

    ①

    零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交.

    ②

    单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关.

    ③

    部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关.

    ④

    原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关.

    ⑤

    两个向量线性相关对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关.

    ⑥

    向量组中任一向量≤≤都是此向量组的线性组合.

    ⑦

    向量组线性相关向量组中至少有一个向量可由其余个向量线性表示.

    向量组线性无关向量组中每一个向量都不能由其余个向量线性表示.

    ⑧

    维列向量组线性相关；

    维列向量组线性无关.

    ⑨

    .

    ⑩

    若线性无关，而线性相关,则可由线性表示,且表示法唯一.

    ?

    矩阵的行向量组的秩列向量组的秩矩阵的秩.

    行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.

    行阶梯形矩阵

    可画出一条阶梯线，线的下方全为；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素非零.当非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在列的其他元素都是时，称为行最简形矩阵

    ?

    矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系；

    矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系.

    即：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩.

    √

    矩阵的初等变换和初等矩阵的关系：

    对施行一次初等行变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵左乘；

    对施行一次初等列变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵右乘.

    若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等.

    ?

    若是矩阵,则,若，的行向量线性无关；

    若，的列向量线性无关,即：线性无关.

    √

    初等矩阵的性质：

    9

    矩阵转置的性质：

    矩阵可逆的性质：

    伴随矩阵的性质：

    （无条件恒成立）

    标准正交基

    个维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为1.

    .

    是单位向量

    .

    √

    内积的性质：

    ①

    正定性：

    ②

    对称性：

    ③

    双线性：

    正交矩阵

    √

    为正交矩阵的个行（列）向量构成的一组标准正交基.

    √

    正交矩阵的性质：①

    ；

    ②

    ；

    ③

    正交阵的行列式等于1或-1；

    ④

    是正交阵,则，也是正交阵；

    ⑤

    两个正交阵之积仍是正交阵；

    ⑥

    的行（列）向量都是单位正交向量组.

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