第四章,4.4.3,不同函数增长差异

时间：2020-11-03 20:56:15 来源：蒲公英阅读网 本文已影响人

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　4 ．4.3

　不同函数增长的差异 学习目标 1.了解常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型.2.了解直线上升、指数爆炸、对数增长等增长含义.3.能根据具体问题选择合适函数模型．

　知识点 三种常见函数模型的增长差异 函数

　 性质 y＝a x (a>1) y＝log a x (a>1) y＝kx (k>0) 在(0，＋∞) 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 图象的变化 随 x 的增大逐渐变“陡” 随 x 的增大逐渐趋于稳定 随 x 的增大匀速上升 增长速度 y＝a x 的增长快于 y＝kx 的增长，y＝kx 的增长快于 y＝log a x 的增长 增长后果 会存在一个 x 0 ，当 x>x 0 时，有 a x >kx>log a x

　思考 在区间(0，＋∞)上，当 a>1，n>0 时，是否总有 log a x<x n <a x 成立？ 答案 不是，但总存在 x 0 ，使得当 a>1，n>0，x>x 0 时，log a x<x n <a x 成立．

　1．当 x 每增加一个单位时，y 增加或减少的量为定值(不为 0)，则 y 是 x 的一次函数．( √ ) 2．函数 y＝log 2 x 增长的速度越来越慢．( √ ) 3．不存在一个实数 m，使得当 x>m 时，1.1 x >x 100 .( × ) 4．由于指数函数模型增长速度最快，所以对于任意 x∈R 恒有 a x >2x(a>1)．( × )

　一、几个函数模型增长差异的比较 例 1 (1)下列函数中，增长速度最快的是(

　) A．y＝2 020 x

　B．y＝x 2 020

　C．y＝log 2 020 x

　 D．y＝2 020x 答案 A 解析 比较一次函数、幂函数、指数函数与对数函数可知，指数函数增长速度最快． (2)四个变量 y 1 ，y 2 ，y 3 ，y 4 随变量 x 变化的数据如下表：

　x 1 5 10 15 20 25 30

　y 1

　2 26 101 226 401 626 901 y 2

　2 32 1 024 32 768 1.05×10 6

　3.36×10 7

　1.07×10 9

　y 3

　2 10 20 30 40 50 60 y 4

　2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907

　则关于 x 呈指数型函数变化的变量是________． 答案 y 2

　解析 以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，四个变量 y 1 ，y 2 ，y 3 ，y 4均是从 2 开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量 y 2 的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量 y 2 关于 x 呈指数型函数变化． 反思感悟 常见的函数模型及增长特点 (1)线性函数模型 线性函数模型 y＝kx＋b(k>0)的增长特点是“直线上升”，其增长速度不变． (2)指数函数模型 指数函数模型 y＝a x (a>1)的增长特点是随着变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”． (3)对数函数模型 对数函数模型 y＝log a x(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓．可称为“对数增长”． 跟踪训练 1 下列函数中，增长速度越来越慢的是(

　) A．y＝6 x

　B．y＝log 6 x C．y＝x 2

　D．y＝6x 答案 B 解析 D 中一次函数的增长速度不变，A，C 中函数的增长速度越来越快，只有 B 中对数函数的增长速度越来越慢，符合题意． 二、函数模型的选择问题 例 2 某化工厂开发研制了一种新产品，在前三个月的月生产量依次为 100 t,120 t,130 t．为了预测今后各个月的生产量，需要以这三个月的月产量为依据，用一个函数来模拟月产量 y与月序数 x 之间的关系．对此模拟函数可选用二次函数 y＝f(x)＝ax 2 ＋bx＋c(a，b，c 均为待定系数，x∈N * )或函数 y＝g(x)＝pq x ＋r(p，q，r 均为待定系数，x∈N * )，现在已知该厂这种新产品在第四个月的月产量为 137 t，则选用这两个函数中的哪一个作为模拟函数较好？ 解 根据题意可列方程组 f1＝a＋b＋c＝100，f2＝4a＋2b＋c＝120，f3＝9a＋3b＋c＝130.

　解得 a＝－5，b＝35，c＝70. 所以 y＝f(x)＝－5x 2 ＋35x＋70.① 同理 y＝g(x)＝－80×0.5 x ＋140.② 再将 x＝4 分别代入①式与②式得 f(4)＝－5×4 2 ＋35×4＋70＝130(t)， g(4)＝－80×0.5 4 ＋140＝135(t)． 与 f(4)相比，g(4)在数值上更为接近第四个月的实际月产量，所以②式作为模拟函数比①式更好，故选用函数 y＝g(x)＝pq x ＋r 作为模拟函数较好． 反思感悟 建立函数模型应遵循的三个原则 (1)简化原则：建立函数模型，原型一定要简化，抓主要因素、主要变量，尽量建立较低阶、较简便的模型． (2)可推演原则：建立模型，一定要有意义，既能作理论分析，又能计算、推理，且能得出正确结论． (3)反映性原则：建立模型，应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明问题的功能，能回到具体问题中解决问题． 跟踪训练 2 某地区植被被破坏，土地沙漠化越来越严重，测得最近三年沙漠增加值分别为0.2 万公顷、0.4 万公顷和 0.76 万公顷，则沙漠增加值 y 万公顷关于年数 x 的函数关系式大致可以是(

　) A．y＝0.2x

　 B．y＝110 (x2 ＋2x) C．y＝ 2x10

　D．y＝0.2＋log 16 x 答案 C 解析 对于 A，x＝1,2 时，符合题意，x＝3 时，y＝0.6，与 0.76 相差 0.16； 对于 B，x＝1 时，y＝0.3；x＝2 时，y＝0.8；x＝3 时，y＝1.5，相差较大，不符合题意； 对于 C，x＝1,2 时，符合题意，x＝3 时，y＝0.8，与 0.76 相差 0.04，与 A 比较，更符合题意； 对于 D，x＝1 时，y＝0.2；x＝2 时，y＝0.45；x＝3 时，y≈0.6<0.7，相差较大，不符合题意． 三、指数函数、对数函数与幂函数模型的比较 例 3 函数 f(x)＝2 x 和 g(x)＝x 3 的图象如图所示．设两函数的图象交于点 A(x 1 ，y 1 )，B(x 2 ，y 2 )，且 x 1 <x 2 .

　 (1)请指出图中曲线 C 1 ，C 2 分别对应的函数； (2)结合函数图象，判断 f(6)， g(6)，f(2 020)，g(2 020)的大小． 解 (1)C 1 对应的函数为 g(x)＝x 3 ，C 2 对应的函数为 f(x)＝2 x . (2)因为 f(1)>g(1)，f(2)<g(2)，f(9)<g(9)，f(10)>g(10)， 所以 1<x 1 <2,9<x 2 <10， 所以 x 1 <6<x 2 ,2 020>x 2 ， 从图象上可以看出，当 x 1 <x<x 2 时，f(x)<g(x)， 所以 f(6)<g(6)． 当 x>x 2 时，f(x)>g(x)， 所以 f(2 020)>g(2 020)． 又因为 g(2 020)>g(6)， 所以 f(2 020)>g(2 020)>g(6)>f(6)． 反思感悟 指数函数、对数函数和二次函数增长差异的判断方法 (1)根据函数的变化量的情况对函数增长模型进行判断． (2)根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和二次函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数． 跟踪训练 3 甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动，其路程 f i (x)(i＝1,2,3,4)关于时间 x(x≥0)的函数关系式分别为 f 1 (x)＝2 x －1，f 2 (x)＝x 2 ，f 3 (x)＝x，f 4 (x)＝log 2 (x＋1)．有以下结论：

　①当 x>1 时，甲走在最前面； ②当 x>1 时，乙走在最前面； ③当 0<x<1 时，丁走在最前面，当 x>1 时，丁走在最后面； ④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面； ⑤如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲． 其中，正确结论的序号为________． 答案 ③④⑤ 解析 四个函数的大致图象如图所示，根据图象易知，③④⑤正确．

　1．下列函数中，在(0，＋∞)上增长速度最快的是(

　) A．y＝x 2

　B．y＝log 2 x C．y＝2x

　 D．y＝2 x

　答案 D 2．在一次数学试验中，采集到如下一组数据：

　x －2.0 －1.0 0 1.00 2.00 3.00 y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02

　则 x，y 的函数关系与下列哪类函数最接近？(其中 a，b 为待定系数)(

　) A．y＝a＋bx

　 B．y＝a＋b x

　C．y＝ax 2 ＋b

　 D．y＝a＋ bx

　答案 B 解析 在坐标系中描出各点，知模拟函数为 y＝a＋b x . 3．甲从 A 地到 B 地，途中前一半路程的行驶速度是 v 1 ，后一半路程的行驶速度是 v 2 (v 1 <v 2 )，则下图中能正确反映甲从 A 地到 B 地走过的路程 s 与时间 t 的关系的是(

　)

　答案 B 4．现测得(x，y)的两组对应值分别为(1,2)，(2,5)，现有两个待选模型：甲：y＝x 2 ＋1，乙：y＝3x－1，若又测得(x，y)的一组对应值为(3,10.2)，则应选用________作为函数模型． 答案 甲 解析 把 x＝1,2,3 分别代入甲、乙两个函数模型，经比较发现模型甲较好．

　5．随着我国经济的不断发展，2014 年年底某偏远地区农民人均年收入为 3 000 元，预计该地区今后农民的人均年收入将以每年 6%的年平均增长率增长，那么 2021 年年底该地区的农民人均年收入约为________元．(精确到个位) (附：1.06 6 ≈1.42,1.06 7 ≈1.50,1.06 8 ≈1.59) 答案 4 500 解析 根据题意，逐年归纳，总结规律建立关于年份的指数型函数模型，设经过 x 年，该地区的农民人均年收入为 y 元，依题意有 y＝3 000×1.06 x ，因为 2014 年年底到 2021 年年底经过了 7 年，故把 x＝7 代入，即可求得 y＝3 000×1.06 7 ≈4 500.

　1．知识清单：

　三种函数模型：线性函数增长模型、指数型函数增长模型、对数型函数增长模型． 2．方法归纳：转化法． 3．常见误区：不理解三种函数增长的差异．

　 1．(多选)当 a>1 时，下列结论正确的有(

　) A．指数函数 y＝a x ，当 a 越大时，其函数值增长越快 B．指数函数 y＝a x ，当 a 越小时，其函数值增长越快 C．对数函数 y＝log a x，当 a 越大时，其函数值增长越快 D．对数函数 y＝log a x，当 a 越小时，其函数值增长越快 答案 AD 解析 结合指数函数及对数函数的图象可知 AD 正确． 2．三个变量 y 1 ，y 2 ，y 3 随着变量 x 的变化情况如下表：

　x 1 3 5 7 9 11 y 1

　5 25 45 65 85 105 y 2

　5 29 245 2 189 19 685 177 149 y 3

　5 6.10 6.61 6.95 7.2 7.4

　则关于 x 分别呈对数型函数、指数型函数、直线型函数变化的变量依次为(

　) A．y 1 ，y 2 ，y 3

　B．y 2 ，y 1 ，y 3

　C．y 3 ，y 2 ，y 1

　D．y 1 ，y 3 ，y 2

　答案 C 解析 通过指数型函数、对数型函数、直线型函数的增长规律比较可知，对数型函数的增长

　速度越来越慢，变量 y 3 随 x 的变化符合此规律；指数型函数的增长是爆炸式增长，y 2 随 x 的变化符合此规律；直线型函数的增长速度稳定不变，y 1 随 x 的变化符合此规律． 3．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是(

　)

　 答案 C 解析 小明匀速运动时，所得图象为一条直线，且距离学校越来越近，故排除 A.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，故排除 D.后来为了赶时间加快速度行驶，故排除 B. 4.如图所示，向放在水槽底部的烧杯注水(流量一定)，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽，水槽中水面上升高度 h 与注水时间 t 之间的函数关系大致是(

　)

　 答案 B 解析 开始的一段时间，水槽底部没有水，烧杯满了之后水槽中水面上升速度先快后慢，与B 图象相吻合． 5．渔民出海打鱼，为了保证获得的鱼新鲜，鱼被打上岸后，要在最短的时间内将其分拣、冷藏，若不及时处理，打上来的鱼很快地失去新鲜度(以鱼肉内的三甲胺量的多少来确定鱼的新鲜度．三甲胺是一种挥发性碱性氨，是氨的衍生物，它是由细菌分解产生的．三甲胺量积聚就表明鱼的新鲜度下降，鱼体开始变质进而腐败)．已知某种鱼失去的新鲜度 h 与其出海后时间 t(分)满足的函数关系式为 h(t)＝m·a t .若出海后 10 分钟，这种鱼失去的新鲜度为 10%，出海后 20 分钟，这种鱼失去的新鲜度为 20%，那么若不及时处理，打上来的这种鱼在多长时间后开始失去全部新鲜度(已知 lg 2≈0.3，结果取整数)(

　)

　A．33 分钟

　 B．40 分钟 C．43 分钟

　 D．50 分钟 答案 C 解析 由题意得  h10＝ma 10 ＝0.1，h20＝ma 20 ＝0.2， 解得 a＝1102 ，m＝0.05， 故 h(t)＝0.05×1102t   ， 令 h(t)＝0.05×1102t   ＝1，得1102t   ＝20， 故 t＝110lg20lg2＝ 1＋lg 2110 lg 2≈ 101＋0.30.3≈43(分钟)． 6．函数 y＝x 2 与函数 y＝xln x 在区间(0，＋∞)上增长较快的一个是________． 答案 y＝x 2

　解析 当 x 增加时，x 比 ln x 增长要快， ∴x 2 要比 xln x 增长的要快． 7．已知函数 f(x)＝3 x ，g(x)＝x，当 x∈R 时，f(x)与 g(x)的大小关系为________． 答案 f(x)>g(x) 解析 在同一直角坐标系中画出函数 f(x)＝3 x ，g(x)＝x 的图象，如图所示，

　由于函数 f(x)＝3 x 的图象在函数 g(x)＝x 图象的上方，则 f(x)>g(x)． 8．生活经验告诉我们，当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时，水的高度随着时间的变化而变化，在图中请选择与容器相匹配的图象，A 对应________；B 对应________；C 对应________；D 对应________．

　 答案 (4) (1) (3) (2) 解析 A 容器下粗上细，水高度的变化先慢后快，故与(4)对应；B 容器为球形，水高度变化为快—慢—快，应与(1)对应；C，D 容器都是柱形的，水高度的变化速度都应是直线型，但C 容器细，D 容器粗，故水高度的变化为：C 容器快，与(3)对应，D 容器慢，与(2)对应． 9．同一坐标系中，画出函数 y＝x＋5(x≥0)和 y＝2 x (x≥0)的图象，并比较当 x≥0 时，x＋5与 2 x 的大小． 解 函数图象如图所示，

　根据函数 y＝x＋5 与 y＝2 x 的图象增长差异得：

　当 0≤x<3 时，x＋5>2 x ， 当 x＝3 时，x＋5＝2 x ， 当 x>3 时，x＋5<2 x . 10．某债券市场发行三种债券，A 种面值为 100 元，一年到期本息和为 103 元；B 种面值为50 元，半年到期本息和为 51.4 元；C 种面值为 100 元，但买入价为 97 元，一年到期本息和为 100 元．作为购买者，分析这三种债券的收益，如果只能购买一种债券，你认为应购买哪种？ 解 A 种债券的收益是每 100 元一年到期收益 3 元；B 种债券的半年利率为 51.4－5050，所以100 元一年到期的本息和为 100 1＋ 51.4－50502 ≈105.68(元)，收益为 5.68 元；C 种债券的利率为 100－9797，100 元一年到期的本息和为 100 1＋ 100－9797≈103.09(元)，收益为 3.09 元．通过以上分析，应购买 B 种债券．

　11．函数 y＝2 x －x 2 的图象大致是(

　)

　 答案 A 解析 分别画出 y＝2 x ，y＝x 2 的图象， 由图象可知(图略)，有 3 个交点， ∴函数 y＝2 x －x 2 的图象与 x 轴有 3 个交点，故排除 B，C； 当 x<－1 时，y<0，故排除 D. 12．近几年由于北京房价的上涨，引起二手房市场交易火爆，房子几乎没有变化，但价格却上涨了，小张在 2013 年以 180 万的价格购得一套新房子，假设这 10 年来价格年膨胀率不变，那么到 2023 年，这套房子的价格 y(万元)与价格年膨胀率 x 之间的函数关系式是______________． 答案 y＝180(1＋x) 10

　解析 1 年后的价格为 180＋180·x＝180(1＋x)(万元)， 2 年后的价格为 180(1＋x)＋180(1＋x)·x＝180(1＋x)·(1＋x)＝180(1＋x) 2 (万元)， 由此可推得 10 年后的价格为 180(1＋x) 10 万元． 13．若已知 16<x<20，利用图象可判断出12x 和 log 2 x 的大小关系为________． 答案 12x >log 2 x 解析 作出 f(x)＝12x 和 g(x)＝log 2 x 的图象，如图所示：

　由图象可知，在(0,4)内，12x >log 2 x； x＝4 或 x＝16 时，12x ＝log 2 x； 在(4,16)内，12x <log 2 x；在(16,20)内，12x >log 2 x. 14．将甲桶中的 a 升水缓慢注入空桶乙中，t 秒后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线 y＝ae nt ，假设 5 秒后甲桶和乙桶的水量相等，则 n＝________；若再过 m 秒甲桶中的水量只有 a4 升，则m＝________. 答案 － 15 ln 2 5 解析 ∵5 秒后两桶的水量相等，

　则 ae 5n ＝ a2 ⇒e5n ＝ 12 ⇒n＝15 ln 12 ＝－15 ln 2， 若 k 秒后甲桶水量为 a4 ， 则 ae nk ＝ a4 ，enk ＝ 14 ⇒nk＝ln 14 ⇒－15 ln 2·k＝－2ln 2， ∴k＝10，∴m＝10－5＝5.

　15．函数 f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1 的图象如图所示．

　(1)指出曲线 C 1 ，C 2 分别对应哪一个函数； (2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对 f(x)，g(x)的大小进行比较)． 解 (1)由题图知，C 1 对应的函数为 g(x)＝0.3x－1，C 2 对应的函数为 f(x)＝lg x. (2)当 x∈(0，x 1 )时，g(x)>f(x)； 当 x∈(x 1 ，x 2 )时，g(x)<f(x)； 当 x∈(x 2 ，＋∞)时，g(x)>f(x)． 16．已知函数 y＝f(x)是函数 y＝log 2 x 的反函数． (1)求 y＝f(x)的解析式； (2)若 x∈(0，＋∞)，试分别写出使不等式成立的自变量 x 的取值范围：

　①log 2 x<2 x <x 2 ； ②log 2 x<x 2 <2 x . 解 (1)∵函数 y＝f(x)是函数 y＝log 2 x 的反函数， ∴f(x)＝2 x . (2)作出函数 y＝2 x ，y＝x 2 ，y＝log 2 x 在同一直角坐标系中的图象，可得：2 2 ＝4,2 4 ＝4 2 ＝16，下面借助图象解决问题．

　 ①∵log 2 x<2 x <x 2 ，∴2<x<4，即 x 的取值范围为(2,4)； ②∵log 2 x<x 2 <2 x ，∴0<x<2 或 x>4， 即 x 的取值范围为(0,2)∪(4，＋∞)．