第五章,5.2.1,三角函数概念

时间：2020-11-03 20:55:26 来源：蒲公英阅读网 本文已影响人

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　§5.2

　三角函数的概念 5 ．2.1

　三角函数的概念 学习目标 1.理解三角函数的概念，会求给定角的三角函数值.2.掌握任意角三角函数在各象限的符号.3.掌握三角函数诱导公式一并会应用．

　知识点一 任意角的三角函数的定义 条件 如图，设 α 是一个任意角，α∈R，它的终边 OP 与单位圆交于点 P(x，y)

　定义 正弦 点 P 的纵坐标 y 叫做 α 的正弦函数，记作 sin α，即 y＝sin α 余弦 点 P 的横坐标 x 叫做 α 的余弦函数，记作 cos α，即 x＝cos α 正切 点 P 的纵坐标与横坐标的比值 yx 叫做 α 的正切，记作 tan α，即 yx ＝tan α(x≠0) 三角函数 正弦函数 y＝sin x，x∈R 余弦函数 y＝cos x，x∈R 正切函数 y＝tan x，x≠ π2 ＋kπ，k∈Z

　思考 三角函数值的大小与点 P 在角 α 终边上位置是否有关？ 答案 三角函数值是比值，是一个实数，它的大小与点 P 在终边上的位置无关，只与角 α 的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关． 知识点二 正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号 1．图示：

　2．口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．

　知识点三 公式一 终边相同的角的同一三角函数的值相等． 即 (sinα＋2kπ＝sin α， cosα＋2kπ＝cos α， tanα＋2kπ＝tan α， 其中 k∈Z.

　 1．sin α 表示 sin 与 α 的乘积．( × ) 2．设角 α 终边上的点 P(x，y)，r＝|OP|≠0，则 sin α＝ yr ，且 y 越大，sin α 的值越大．( × ) 3．终边相同的角的同一三角函数值相等．( √ ) 4．终边落在 y 轴上的角的正切函数值为 0.( × )

　一、三角函数的定义及应用 例 1 (1)已知角 α 的终边与单位圆的交点为 P 35 ，y (y<0)，则 tan α＝

　. 答案 － 43

　解析 因为点 P 35 ，y (y<0)在单位圆上， 则925 ＋y2 ＝1， 所以 y＝－ 45 ，所以 tan α＝－43 . (2)(多选)若角 α 的终边经过点 P(x，－3)且 sin α＝－31010，则 x 的值为(

　) A．－ 3

　B．－1

　C．1

　D. 3 答案 BC 解析 |OP|＝ x 2 ＋9， ∵sin α＝ －3|OP| ＝－3x 2 ＋9 ＝－31010， 解得 x 2 ＝1，∴x＝±1.

　延伸探究 在本例(2)中，将“sin α＝－31010”改为“cos α＝－1010”求 x 的值． 解 |OP|＝ x 2 ＋9， ∴cos α＝x|OP| ＝xx 2 ＋9 ＝－1010， 解得 x 2 ＝1，又 x<0，∴x＝－1. (学生) 反思感悟 利用三角函数的定义求一个角的三角函数值有以下几种情况 (1)若已知角，则只需确定出该角的终边与单位圆的交点坐标，即可求出各三角函数值． (2)若已知角 α 终边上一点 P(x，y)(x≠0)是单位圆上一点，则 sin α＝y，cos α＝x，tan α＝ yx . (3)若已知角 α 终边上一点 P(x，y)不是单位圆上一点，则先求 r＝ x 2 ＋y 2 ，再求 sin α＝ yr ， cos α＝ xr . (4)若已知角 α 终边上的点的坐标含参数，则需进行分类讨论． 跟踪训练 1 角 θ 的终边落在直线 y＝2x 上，求 sin θ， cos θ 的值． 解 方法一 设角 θ 的终边与单位圆交于点 P(x，y)， 联立  y＝2x，x 2 ＋y 2 ＝1，解得 x＝55，y＝ 2 55或 x＝－55，y＝－ 2 55， 即点 P 坐标为 55， 2 55或 －55，－ 2 55， 当点 P 坐标为 55， 2 55时，sin θ＝ 2 55，cos θ＝55， 当点 P 坐标为 －55，－ 2 55时，sin θ＝－ 2 55， cos θ＝－55. 方法二 ①若 θ 的终边在第一象限内， 设点 P(a,2a)(a>0)是其终边上任意一点， 因为 r＝|OP|＝ a 2 ＋4a 2 ＝ 5a， 所以 sin θ＝ yr ＝2a5a ＝2 55，cos θ＝ xr ＝a5a ＝55. ②若 θ 的终边在第三象限内，

　设点 P(a,2a)(a<0)是其终边上任意一点， 因为 r＝|OP|＝ a 2 ＋4a 2 ＝－ 5a(a<0)， 所以 sin θ＝ yr ＝2a－ 5a ＝－2 55， cos θ＝ xr ＝a－ 5a ＝－55. 二、三角函数值符号的应用 例 2 (1)若 sin αtan α<0，且 cos αtan α <0，则角 α 是(

　) A．第一象限角

　 B．第二象限角 C．第三象限角

　 D．第四象限角 答案 C 解析 由 sin αtan α<0 可知 sin α，tan α 异号，从而 α 是第二或第三象限角． 由 cos αtan α <0 可知 cos α，tan α 异号，从而 α 是第三或第四象限角． 综上可知，α 是第三象限角． (2)(多选)下列选项中，符号为负的是(

　) A．sin(－100°)

　 B．cos(－220°) C．tan 10

　 D．cos π 答案 ABD 解析 －100°在第三象限，故 sin(－100°)<0；－220°在第二象限，故 cos(－220°)<0；10∈ 3π， 7π2在第三象限，故 tan 10>0，cos π＝－1<0. 反思感悟 判断三角函数值符号的两个步骤 (1)定象限：确定角 α 所在的象限． (2)定符号：利用三角函数值的符号规律，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”来判断． 跟踪训练 2 已知点 P(sin α，cos α)在第三象限，则角 α 的终边在(

　) A．第一象限

　 B．第二象限 C．第三象限

　 D．第四象限 答案 C 解析 ∵点 P(sin α，cos α)在第三象限， ∴  sin α<0，cos α<0，∴α 为第三象限角． 三、公式一的简单应用 例 3 计算下列各式的值：

　(1)sin(－1 395°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°；

　(2)sin － 11π6＋cos 12π5tan 4π. 解 (1)原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°) ＝sin 45°cos 30°＋cos 60°sin 30° ＝22×32＋ 12 ×12 ＝64＋ 14 ＝1＋ 64. (2)原式＝sin －2π＋ π6＋cos 2π＋ 2π5tan(4π＋0)＝sin π6 ＋cos 2π5×0＝ 12 . 反思感悟 利用诱导公式一进行化简求值的步骤 (1)定形：将已知的任意角写成 2kπ＋α 的形式，其中 α∈[0,2π)，k∈Z. (2)转化：根据诱导公式一，转化为求角 α 的某个三角函数值． (3)求值：若角为特殊角，可直接求出该角的三角函数值． 跟踪训练 3 计算下列各式的值：

　(1)tan 405°－sin 450°＋cos 750°； (2)sin 25π3＋tan － 15π4. 解 (1)原式＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(2×360°＋30°) ＝tan 45°－sin 90°＋cos 30° ＝1－1＋32＝32. (2)sin 25π3＋tan － 15π4 ＝sin π3 ＋8π ＋tan π4 －4π ＝sin π3 ＋tan π4 ＝32＋1.

　1．已知 sin α＝513 ，cos α＝－1213 ，则角 α 的终边与单位圆的交点坐标是(

　) A. 513 ，－1213

　 B. －513 ，1213 C. 1213 ，－513

　 D. － 1213 ，513 答案 D 解析 设交点坐标为 P(x，y)， 则 y＝sin α＝513 ，x＝cos α＝－1213 ，

　∴点 P － 1213 ，513. 2．已知角 α 的终边经过点(－4,3)，则 cos α 等于(

　) A. 45

　 B.35

　 C．－35

　 D．－45

　答案 D 解析 设点 P(－4,3)，则|OP|＝ －4 2 ＋3 2 ＝5， ∴cos α＝ －4|OP| ＝－45 . 3．(多选)若 sin θ·cos θ>0，则 θ 在(

　) A．第一象限

　 B．第二象限 C．第三象限

　 D．第四象限 答案 AC 解析 因为 sin θ·cos θ>0， 所以 sin θ<0，cos θ<0 或 sin θ>0，cos θ>0， 所以 θ 在第一象限或第三象限． 4．计算：sin 25π6＋cos － 17π3＋tan 9π4＝

　. 答案 2 解析 原式＝sin 4π＋ π6＋cos －6π＋ π3＋ tan 2π＋ π4 ＝sin π6 ＋cos π3 ＋tan π4

　＝ 12 ＋12 ＋1 ＝2. 5．已知角 α 的终边过点 P(－3a,4a)(a≠0)，则 2sin α＋cos α＝

　. 答案 1 或－1 解析 因为 r＝ －3a 2 ＋4a 2 ＝5|a|， ①若 a>0，则 r＝5a，角 α 在第二象限． sin α＝ yr ＝4a5a ＝45 ，cos α＝xr ＝－3a5a＝－ 35 ， 所以 2sin α＋cos α＝ 85 －35 ＝1. ②若 a<0，则 r＝－5a，角 α 在第四象限，

　sin α＝4a－5a ＝－45 ，cos α＝－3a－5a ＝35 . 所以 2sin α＋cos α＝－ 85 ＋35 ＝－1.

　1．知识清单：

　(1)三角函数的定义及求法． (2)三角函数在各象限内的符号． (3)公式一． 2．方法归纳：转化与化归、分类讨论． 3．常见误区：三角函数值的大小只与角的大小有关，与终边上的点无关；正切函数的定义域为  x  x≠ π2 ＋kπ，k∈Z.

　 1．点 A(x，y)是 60°角的终边与单位圆的交点，则 yx 的值为(

　) A. 3

　B．－ 3

　C.33

　D．－33 答案 A 解析 由三角函数定义知 yx ＝tan 60°＝ 3. 2．代数式 sin(－330°)cos 390°的值为(

　) A．－ 34

　 B.34

　C．－ 32

　 D.14

　答案 B 解析 由诱导公式－可得， sin(－330°)cos 390°＝sin 30°×cos 30° ＝ 12 ×32＝34. 3．若 cos α＝－32，且角 α 的终边经过点 P(x,2)，则 P 点的横坐标 x 是(

　) A．2 3

　B．±2 3

　C．－2 2

　D．－2 3 答案 D 解析 因为 cos α＝－32<0，所以 x<0，

　又 r＝ x 2 ＋2 2 ，由题意得xx 2 ＋2 2 ＝－32， 所以 x＝－2 3. 4．(多选)下列三角函数值的符号判断正确的是(

　) A．cos(－280°)<0

　 B．sin 500°>0 C．tan － 7π8>0

　 D．tan 53π12>0 答案 BCD 解析 cos(－280°)＝cos(－360°＋80°)＝cos 80°>0； sin 500°＝sin(360°＋140°)＝sin 140°，90°<140°<180°， ∴sin 140°>0； tan － 7π8＝tan －2π＋ 9π8＝tan 9π8， 9π8∈ π， 3π2， ∴tan 98 π>0； tan 5312 π＝tan 4π＋ 5π12＝tan 5π12 ，5π12 ∈ 0， π2， ∴tan 5π12 >0. 5．已知 sin θcos θ<0，且|cos θ|＝cos θ，则角 θ 是(

　) A．第一象限角

　 B．第二象限角 C．第三象限角

　 D．第四象限角 答案 D 解析 ∵sin θcos θ<0，∴sin θ，cos θ 是一正一负， 又|cos θ|＝cos θ，∴cos θ≥0， 综上有 sin θ<0，cos θ>0， 即 θ 为第四象限角． 6．已知角 α 终边与单位圆交于点 P －32，y ，则 cos α＝

　，sin α＝

　. 答案 －32 ±12

　解析 点 P －32，y 满足单位圆 x 2 ＋y 2 ＝1， 则 34 ＋y2 ＝1，∴y＝± 12 ， ∴cos α＝－32，sin α＝±12 . 7．点 P(tan 2 020°，cos 2 020°)位于第

　象限．

　答案 四 解析 因为 2 020°＝5×360°＋220°， 所以 2 020°的终边与 220°的终边相同， 又 220°是第三象限角， 所以 tan 2 020°>0，cos 2 020°<0， 即点 P 位于第四象限． 8．已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a的取值范围是

　． 答案 (－2,3] 解析 由 cos α≤0，sin α>0 可知，  3a－9≤0，a＋2>0， 解得－2<a≤3. 9．化简下列各式：

　(1)sin 7π2＋cos 5π2＋cos(－5π)＋tan π4 ； (2)a 2 sin 810°－b 2 cos 900°＋2abtan 1 125°. 解 (1)原式＝sin 3π2＋cos π2 ＋cos π＋1 ＝－1＋0－1＋1＝－1. (2)原式＝a 2 sin 90°－b 2 cos 180°＋2abtan 45° ＝a 2 ＋b 2 ＋2ab＝(a＋b) 2 . 10．已知 θ 终边上一点 P(x,3)(x≠0)，且 cos θ＝1010x，求 sin θ，tan θ. 解 由题意知 r＝|OP|＝ x 2 ＋9， 由三角函数定义得 cos θ＝ xr ＝xx 2 ＋9 ， 又因为 cos θ＝1010x， 所以xx 2 ＋9 ＝1010x. 因为 x≠0，所以 x＝±1. 当 x＝1 时，P(1,3)， 此时 sin θ＝31 2 ＋3 2 ＝3 1010，tan θ＝ 31 ＝3. 当 x＝－1 时，P(－1,3)， 此时 sin θ＝3－1 2 ＋3 2 ＝3 1010，tan θ＝3－1 ＝－3.

　 11．函数 y＝ sin x＋ －cos x的定义域是(

　) A．{x|2kπ<x<2kπ＋π，k∈Z} B.  x  2kπ＋ π2 ≤x≤2kπ＋π，k∈Z C.  x  kπ＋ π2 ≤x≤kπ＋π，k∈Z D．{x|2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z} 答案 B 解析 由 sin x≥0，－cos x≥0， 得 x 为第二象限角或 y 轴正半轴上的角或 x 轴负半轴上的角， 所以 2kπ＋ π2 ≤x≤2kπ＋π，k∈Z. 12．在△ABC 中，若 sin Acos Btan C<0，则△ABC 是(

　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．锐角三角形或钝角三角形 答案 C 解析 在△ABC 中，A，B，C∈(0，π)， ∵sin A>0，∴cos B·tan C<0， ∴B，C 一个为锐角，另一个为钝角， ∴△ABC 为钝角三角形． 13．函数 y＝sin x|sin x| ＋|cos x|cos x＋tan x|tan x| 的值域是(

　) A．{－1,0,1,3}

　 B．{－1,0,3} C．{－1,3}

　 D．{－1,1} 答案 C 解析 依题意，角 x 的终边不在坐标轴上， 当 x 为第一象限角时，y＝1＋1＋1＝3， 当 x 为第二象限角时，y＝1－1－1＝－1， 当 x 为第三象限角时，y＝－1－1＋1＝－1， 当 x 为第四象限角时，y＝－1＋1－1＝－1， 综上有值域为{－1,3}． 14．若－300°角的终边所在直线上有一点(－4，a)，则 a 的值为

　．

　答案 －4 3 解析 由三角函数定义知，tan(－300°)＝－ a4 ， 又 tan(－300°)＝tan(－360°＋60°)＝tan 60°＝ 3， ∴－ a4 ＝ 3，∴a＝－4 3.

　15．(多选)已知 α 是第一象限角，则下列结论中正确的是(

　) A．sin 2α>0

　 B．cos 2α>0 C．cos α2 >0

　 D．tan α2 >0 答案 AD 解析 由 α 是第一象限角，2kπ<α< π2 ＋2kπ，k∈Z，得 4kπ<2α<π＋4kπ，k∈Z,2α 的终边在 x轴上方，则 sin 2α>0.cos 2α 的正负不确定；又因为 kπ< α2 <π4 ＋kπ，k∈Z，所以α2 是第一或第三象限角，则 tan α2 >0，cos α2 的正负不确定． 16．已知1|sin α| ＝－1sin α ，且 lg(cos α)有意义． (1)试判断角 α 所在的象限； (2)若角 α 的终边上一点是 M 35 ，m ，且|OM|＝1(O 为坐标原点)，求 m 的值及 sin α 的值． 解 (1)由1|sin α| ＝－1sin α ，可知 sin α<0， 由 lg(cos α)有意义可知 cos α>0， ∴角 α 是第四象限角． (2)∵|OM|＝1，∴ 352 ＋m 2 ＝1， 解得 m＝±45 . 又 α 是第四象限角，故 m<0，从而 m＝－ 45 . 由正弦函数的定义可知 sin α＝ yr ＝m|OM|

　＝－ 451＝－ 45 .