下期班主任工作总结

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下期班主任工作总结 本文简介：班主任工作总结安化一中周跃明过去的一学期里，我班在学校领导的统一组织下，通过任课教师的大力支持和配合，各项工作顺利开展，学习、生活等方面都取得较好的成绩。现将本学期的工作总结如下：一、加强对学生的思想政治工作，培养学生良好的道德品质，净化学生的心灵，努力培养又红又专的合格人才。为了配合学校团委和政教

下期班主任工作总结 本文内容：

班主任工作总结

安化一中

周跃明

过去的一学期里，我班在学校领导的统一组织下，通过任课教师的大力支持和配合，各项工作顺利开展，学习、生活等方面都取得较好的成绩。现将本学期的工作总结如下：

一、加强对学生的思想政治工作，培养学生良好的道德品质，净化学生的心灵，努力培养又红又专的合格人才。

为了配合学校团委和政教处的工作，我们班积极开展了许多有益于学生身心健康发展的活动。例如，

“青年学生应该怎样以实际行动热爱祖国”、“青年学生应该树立远大的理想和报复”等。同时，我也经常利用班会课对学生进行身心教育，帮助学生澄清思想上的模糊认识，提高学生的思想境界。我还充分利用课余时间和有关学生促膝谈心，及时对学生进行针对性的教育。

二、加强班级管理，培养优秀的学风、班风，深入全面地了解学生，努力培养“赤诚、严格、活跃、奋进”的班集体。

高三年级是学生的世界观发展、变化的重要阶段，同时，面临着毕业、升学等实际问题，随着课时和知识复杂程度的加重，容易产生两极分化，有的学生甚至会感到迷惘，对前途失去信心。因此，在学生毕业前夕的思想工作显得更加复杂和重要。在这个学期里，一方面，我主要加大了对学生自治自理能力培养的力度，通过各种方式，既注意指导学生进行自我教育，让学生在自我意识的基础上产生进取心，逐渐形成良好的思想行为品质；又注意指导学生如何进行自我管理，培养他们多方面的能力，放手让他们自我设计、自我组织各种教育活动，在活动中把教育和娱乐融入一体。还注意培养学生的自我服务的能力，让学生学会规划、料理、调整自己，使自己在集体中成为班集体的建设者，而不是“包袱”。另一方面，我有效地利用好每周一的班会课开展一些专题性的活动，例如，学习经验交流会，意志教育，如何做时间的主人，习惯养成教育等，这些活动大大地促进良好的学风、班风的形成。再一方面，我自己也以身作则，努力做学生的榜样，跟班勤，管理方法得力，班风正、学风浓。我班在学校的各项管理评比中都取得了优秀的成绩。本学期的几次月考均能取得进步，各项管理也都取得了好的成绩。这又进一步鼓舞了士气，使班级管理工作向着健康的方向发展。

三、积极抓好后进生的转化工作，努力使后进生以失败者来，以胜利者走。

后进生的教育和管理历来是班主任工作的难点，却又影响班级整体教育教学质量提高的至关重要的一环。在这方面，我作为班主任首先做到了以正确的态度对待他们，深入调查摸底，搞清他们所以成为差生的原因，做到了因材施教，对他们处处真诚相待，时时耐心相帮，真正做他们的知心朋友、最可信赖的朋友。及时对后进生加强心理疏导，帮助他们消除或减轻种种心理担忧，让他们认识到自己的价值。同时，我还创造条件和机会让后进生表现其优点和长处，使他们品尝到成功的欢乐和喜悦。

四、积极开展好文体活动，做好课间操、眼保健操，保护学生视力，增强学生的体质，提高学生的学习效率。高中学生学习任务比较繁重，进行适当的体育活动不仅有利于学生身体素质的提高，而且也有利于学习效率的提高，每次活动我都亲临现场与学生一起活动并适当予以技术性的指导，这样不仅可以防止意外事故的发生，而且也可以加深与学生感情的交流。

五、积极主动地和各科教师联系，协调学校各方面的教育力量，发挥好纽带作用。

在与任课教师的交往中，我尊重他们的地位，尊重他们的意见，同时又把他们当作班级的主人，视为自己的良伴、知己。凡事都主动地同任课教师协商，倾听、采纳他们的意见。能够慎重地处理学生和任课教师的关系，在处理师生矛盾时，尽量避免了激化矛盾，在这方面，我平时注意到多教育学生，让学生懂礼貌，尊重老师的劳动，树立老师的威信，增进师生情谊。

总之，在这一个学期里，我通过以上几方面的努力，班级工作的开展有声有色，学生的整体素质在不断的提高。这届学生的高中生涯还有最后一个学期，面临着毕业及升学等实际问题，下学期担子还很重，工作还将更复杂，因此，这就需要我不断的努力、刻苦，及时总结经验教训，争取取得更加辉煌的成绩。

2006年1月15日

篇2：下期德育教学工作总结

下期德育教学工作总结 本文关键词：下期，德育，工作总结，教学

下期德育教学工作总结 本文简介：2009年下期教学工作总结冉智勇本期根据学校工作安排，我担任职高机电二年级，计算机应用专业、国防二年级、和高二六班的《职业生涯设计》教学工作，每班每周3节，共计10节课，另兼任学校招生就业办主任工作。由于本期又是新教材，学生也第一次接触这类型的课程，就教材而言，新颖，形式多样，内容丰富，针对性强，因

下期德育教学工作总结 本文内容：

2009年下期教学工作总结

冉智勇

本期根据学校工作安排，我担任职高机电二年级，计算机应用专业、国防二年级、和高二六班的《职业生涯设计》教学工作，每班每周3节，共计10节课，另兼任学校招生就业办主任工作。由于本期又是新教材，学生也第一次接触这类型的课程，就教材而言，新颖，形式多样，内容丰富，针对性强，因此，我在教学中，抓住这些特点，进行有效性教学，通过一学期的教学实践，从中得到以下几方面的体会，与大家一起分享，敬请提出宝贵意见和建议。

1、认真研究教材，掌握新教材体系，掌握教材结构，进行备课，使自己充分理解教材内容。

2、钻研教学课标，掌握教材的重难点，备课中，要分解难点，突出重点。

3、根据教材的图纹并茂特点，抓住学生好奇心，好学想学的心理：在教学中我主要采用，故事引入，心海导航，人生启迪等方式教学。

4、重点培养学生动手，动脑的能力。如给自己设计职业目标，奋斗措施，时段的划分及何时实现，使学生对自己今后的从业方向做到心中有数，在学习中有动力。

5、在教学中安排学生讨论，辩论，让学生提出自己不同的观点相互进行辩论，通过这一活动,使学生从中得到提高。

6、安排学生参加不同类型的社会实践活动,，培养学生适应社会的能力.利用周末、放假时间可安排学生作社会调查,企业对人才的需求,国家用人制度政策,双向选择等。

7、课堂上要根据不同班级的学生进行教学，对职高就业班学生着重突出如何尽早适应社会，就业时应该注意的问题，如何选择企业，在工作中，应该注意问题；对于高考班的学生，在教学时，重点突出，我国当前的高考制度，高校专业设置，社会所需求的人才，企业对大学生的素质要求，学生在校期间如何抓住学习机遇，，学习各门学科将来去适应国家的选拔。

8、在课堂上，要注意灵活性，联系学生身边或者成功人士的案例，根据教材的内容进行教学，突出课堂的兴趣性，实效性，有用性等原则。让学生学有所获，在课堂上学生不感到学习枯燥，爱学习职业生涯设计课程。

9、平时作业尽量在课堂上完成，不要去占学生平时的时间，考试形式不一定都采取闭卷，应灵活些。

10、存在的问题：教学形式有待进一步研究，教学案例要不断丰富，对不同层次的学生采用多种形式的教学方法，社会实践活动的内容一次不要安排得过多，内容尽要符合学生的特点，活动成果要进行检查，评定学生的成绩。

重庆市鱼嘴高级中学

政治教研组

2010年1月26日

2

篇3：上海高一下期末数学复习全总结_教师版_LyleRen

上海高一下期末数学复习全总结_教师版_LyleRen 本文关键词：高一，上海，期末，复习，数学

上海高一下期末数学复习全总结_教师版_LyleRen 本文简介：高一下期末复习资料板块一指对幂函数【知识要求】（1）指对幂运算：指数运算、对数运算、指对互换。1.1对数恒等式：1.2对数公式：（2）指对幂函数图像：基本初等函数图像、图像变换。（3）指对幂函数性质：奇偶、单调、对称、周期。【经典例题】【例1】（1）【2010湖北文03】已知函数，则。．．．．【解析

上海高一下期末数学复习全总结_教师版_LyleRen 本文内容：

高一下期末复习资料

板块一指对幂函数

【知识要求】

（1）指对幂运算：指数运算、对数运算、指对互换。

1.1对数恒等式：

1.2对数公式：

（2）指对幂函数图像：基本初等函数图像、图像变换。

（3）指对幂函数性质：奇偶、单调、对称、周期。

【经典例题】

【例1】（1）【2010湖北文03】已知函数，则。

．．．．

【解析】；，。

（2）【2010湖北文05】函数的定义域为。

．．．．

【解析】；。

（3）【2010重庆文04】函数的值域是。

．．．．

【解析】；，

。

【例2】【2010北京文06】给定函数①，②，③，④，其中在区间上单调递减的函数的序号是。

．①②．②③．③④．①④

【解析】；根据函数图像可得②③满足题意。

【例3】【2010全国Ⅰ文10理08】设，，，则。

．．

．．

【解析】；∵，，，∴，又∵，，∴。综上，。

板块二三角比

【知识要求】

（1）角的定义与表示

1.1任意角的定义：平面内由一条射线绕着其端点从初始位置（始边）旋转到终止位置（终边）所形成的图形。（动态的定义）

1.2分类：正角、负角、零角；象限角、轴线角。

1.3表示：与角终边一致的角：

1.4弧度制

1.4.1为什么引进弧度制？:以实现角度与实数的一一对应，为三角函数“正名”。

1.4.2弧度制与角度制（六十进制）的互换：采用比例式互换。

把弧长等于半径的弧所对的圆心角叫做。圆心角；扇形面积。

；。

（2）三角比的定义

2.1三角比的定义

①用直角三角形边之比定义锐角三角比；

，，，，

正割：，余割：

②用终边上点的坐标定义任意角的三角比；

在任意角的终边上任取一点。设点的坐标为，则。

，，。

由以上定义可得任意角在各个象限中对应的三角比的正负：

一全正、二正弦（余割）、三两切、四余弦（正割）。

③用单位圆上的有向线段定义任意角的三角比。

，，

2.2特殊角的三角比

（）

（）

（）

（）

（）

不存在

不存在

速记口诀如下：

0

30

45

60

90度，正余弦及正切值。

数字0

1

2

3

4

，除以4求算术根；

计算结果都存在，对应五角正弦值。

数字4

3

2

1

0，除以4求算术根；

计算结果都存在，对应五角余弦值。

数字0

1

2

3

4

，数字4

3

2

1

0，

对应相除若有商，算术根乃正切值。

（3）同角三角恒等式

【注】、、、、、以上表达式只需知其一，其余的必可求解！

（4）诱导公式

口诀：奇变偶不变，符号看象限。将所需化简的角化成的形式，然后用口诀。

（5）两角和差展开公式

（6）二倍角公式

半角公式

（7）辅助角公式（提携公式）

，，

，，

【经典例题】

【例4】（1）若是第二象限角，那么和都不是。

．第一象限角

．第二象限角

．第三象限角．第四象限角

【解析】；∵是第二象限角，∴是第一或三象限角，为第三象限角，∴为第四象限角，故和都不是第二象限角。

（2）扇形的中心角为，则此扇形的面积与其内切圆的面积之比为。

【解析】；设扇形半径为，内切圆半径为。，∴。

【例5】（1）【2010山东明天中学】已知角的终边过点，且，则的值为。

．

．

．

．

【解析】；∵，即，∴，∴，又∵，，∴角的终边应在第三象限，∴，∴。

（2）【2009重庆文06】下列关系式中正确的是。

．

．

．

．

【解析】；在单位圆中画出、、分别所对应的三角函数线可得。

【例6】（1）【2009山东临沂】已知，，则的值是。

【解析】；法一：∵，∴，∴，∴，又∵，，∴，∴，∴。则。

法二：∵，∴，∴，∴，∴，即，∴或，又∵，，，∴，∴。

（2）【2009安徽合肥】已知，则。

．

．

．

．

【解析】；∵，∴，∴

。

【例7】（1）【2010全国Ⅰ02】记，那么

。

．．．

．

【解析】；，则，故。

（2）【2009安徽皖北】若，则

。

．．．

．

【解析】；。

【例8】（1）已知，则。

【解析】；∵，∴

∴。

（2）已知为锐角，且，则。

【解析】；∵为锐角，∴，∴

，∴

。

【例9】（1）已知，则

。

【解析】；。

（2）已知，则

。

【解析】；

，∴。

【例10】（1）【2008四川非延考理05】若，，则的取值范围是。

．

．

．

．

【解析】；

，，，又∵，∴。

（2）若，且，则。

【解析】；

，又∵，∴，∴。∴

。

板块三三角函数

【知识要求】

（1）定义：一般地，形如，，的函数称为三角函数。

（2）图像

①由单位圆上的有向线段平移所得

②五点法

（3）图像变换

①同名函数之间进行变换；

②所有变换必须针对或；

③左加右减，“上正下负”。

（4）三角函数性质：奇偶、单调、周期、对称

【经典例题】

【例11】（1）作出函数的图像。

【解析】法一：用“五点法”

法二：通过图像变换绘制。由的图像，向左平移个单位，纵坐标不变横坐标变为原来的，横坐标不变纵坐标变为原来的倍。

（2）【2010江苏10】定义在区间上的函数的图像与的图像的交点为，过点作轴于点，直线与的图像交于点，则线段的长为。

【解析】；根据题意画出函数图像，显然线段的长度为在点处所对应的函数值。记点处的横坐标为，则。又有，又因为，所以（舍）或。

【例12】（1）【2010天津文08】右图是函数在区间上的图像，为了得到这个函数的图像，只要将的图像上所有的点。

(A)向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变

(B)

向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变

(C)

向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变

(D)

向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变

【解析】；由图像可知函数的周期为，振幅为，所以函数的表达式可以是。代入可得的一个值为，故函数的一个表达式为，所以只需将的图像上所有的点向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变。

（2）【2005天津理08】要得到的图像，只需将函数的图像上所有的点的。

A、横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）,再向左平行移动个单位长度

B、横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度

C、横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度

D、横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度

【解析】

；的周期是的周期的2倍，从周期的变化上知道横坐标应该伸长。排除A、B。的横坐标伸长2倍后变成了，将化成正弦形式为，根据口诀“左加右减”得由向右移动。

【例13】（1）【2010重庆理06】已知函数的部分图像如图所示，则。

A．

B．

C．

D．

【解析】；，所以，又因为，所以。

（2）【2009浙江理08】已知是实数，则函数的图像不可能是。

【解析】；选项：，而由图像的振幅可得两者相互矛盾。

【例14】（1）【2010浙江理11】函数的最小正周期是______。

【解析】；

，故最小正周期为。

（2）【2010北京理15改编】函数的最大值为______，最小值为______。

【解析】，；

，。因为，所以，当时，取最大值；当时，取最小值。

（3）【自编】函数，的值域为______。

【解析】；令，当时，，则。

又有，

则原函数可化为，当时，，故函数的值域为。

【例15】（1）【自编】已知函数，

（ⅰ）求函数的值域；

（ⅱ）求函数的最小正周期；

（ⅲ）求函数的单调性；

（ⅳ）求函数的对称轴和对称中心；

【解析】

（ⅰ），，，，即值域为。

（ⅱ），即最小正周期为。

（ⅲ）函数的增区间为

函数的减区间为

【注】在下列区间内函数单调递减的是______。

A．B．C．D．

【解析】；此题的函数为复合函数，在考查单调性时严格采用“同增异减”的口诀。特别需要注意函数的复合形式。

令，，，可见函数单调递减，单调递增，则要求整个函数的减区间，只要单调递增即可。所以，即，。显然备选答案是上述区间的一个子区间。

（ⅳ）对称轴：，

对称中心：，所以对称中心为，。

（2）【自编】下列命题

①函数的最小正周期是；

②函数在（，）上是递增的；

③函数的图像关于点中心对称；

④函数是奇函数。

其中正确命题的序号为。

【解析】①③④；

①，故最小正周期；②，函数的递增区间为，即，，而，；③对称中心：，，当，，所以点为函数的对称中心；④，所以函数为奇函数。

【例16】（1）【2003天津文21】已知函数是上的偶函数，其图像关于点对称，且在区间上是单调函数。求的值。

【解析】函数是上的偶函数，∴，即，又，则；

函数关于点对称，∴

函数，；

在区间上是单调函数，∴，又，∴；

综上，，或，经检验以上两组答案均满足题意。

【注】此题为逆向问题，告诉三角函数的相关性质，求解参量。对于此类问题总结如下：

1、

已知直接代入；

2、

已知奇偶性：

3、

已知对称

轴对称：关于轴对称或

在同一周期内

中心对称：关于点中心对称或

在同一周期内

4、

已知周期

5、

已知单调特性

6、

已知最值或最值分布情况振幅或周期

提醒：因为以上结论均非充要条件，故解完此类问题，需代回原函数进行检验。

（2）【2008辽宁理16】已知，且在区间有最小值，无最大值，则＝__________。

【解析】；因为，且在区间有最小值，无最大值，所以

，；

进一步挖掘函数在区间有最小值，无最大值，有，又因为，所以；

综上，。经检验满足题意。

板块四反函数

【知识要求】

1.1定义：若函数的定义域为，值域为，对于中每一个元素在中有唯一确定的元素与之对应，则函数存在反函数，即为，否则不存在反函数。

1.2存在反函数的前提条件：一一映射。

1.3求反函数的步骤：①求值域；②反解；③互换

1.4互为反函数的两函数的性质：

①奇偶性：原函数奇函数，反函数奇函数；原函数偶函数，反函数一般情况下不存在，但若为单点函数可存在反函数。

②单调性：原函数在某一区间上的增减性与反函数在对应区间上的增减性一致。

③原函数与反函数关于直线对称。

1.5反三角：

①反三角公式：，

，

当时，当时，

当时，当时，

②反三角函数的图像和性质

名称

定

义

定义域

值

域

图

像

x

y

1

O5

-1

反正弦

函数

y=arcsinx

(y=sinx,x?[-,]

的反函数)

[-1,1]

[-,]

x

y

1

O5

-1

p

反余弦

函数

y=arccosx

(y=cosx,x?[0,p]的反

函数)

[-1,1]

[0,p]

x

y

O5

反正切

函数

y=arctanx

(y=tanx,x?(-,)

的反函数)

(-￥,+￥)

(-,)

【经典例题】

【例17】（1）函数的反函数为。

【解析】，；，当时，函数的值域为。∴，则，∴反函数为，。

（2）【1992全国理】函数的反函数为。

．奇函数，且在单调递减．偶函数，且在单调递

．奇函数，且在单调递增．偶函数，且在单调递增

【解析】；原函数定义域为关于原点对称，且有，故原函数为奇函数，∴反函数也为奇函数。∵函数在单调递增，函数在单调递减，∴函数在在单调递增，∴反函数在上也单调递增。

（3）【2004全国理15】已知函数是奇函数。当时，，设的反函数是，则。

【解析】；原函数为奇函数，则反函数也为奇函数，故，令，解得，∴。

【例18】（1）【2008上海第三女子中学高一下期末试题13】已知：，，则等于。

．．．．

【解析】；

（2）【2008上海南模中学高一下期末试题05】若，则的取值范围是。

【解析】；∵，∴，根据的图像可得。

板块五解三角

【知识要求】

（1）解三角工具

1.1解三角问题：、、、、、、、，已知部分量，求解其它量的问题

1.2解三角工具

①，

②

为内切圆半径，

③正弦定理：，为外接圆半径

变形：1）

2）

适用情况：1）两角一边；2）两边一对角

④余弦定理：，，

变形：，，

适用情况：1）三边；2）两边一夹角

⑤三角形内的诱导公式

，，

，，，

⑥三角形内的不等关系：

1）大边对大角，大角对大边；

2）三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；

3），；

4）锐角三角形任一角的余弦值大于；钝角三角形最大角的余弦值小于；

；

；

；

5）；

6）在中，给定、的正弦或余弦值，则有解的充要条件为。

（2）解三角思想

2.1、、、、、、、，个量其中知三，必可求其余量（三角除外）；

2.2边角，角边

【经典例题】

【例19】（1）【2010山东文15理15】在中，角、、对应的边分别为、、，若，，，则角的大小为。

【解析】；∵，∴，又∵，∴。又∵，∴，又∵，∴或（舍）

（2）【2009湖南文14】在锐角中，，，则的值等于，的取值范围为。

【解析】；；由正弦定理可得，∵，∴，∴。又∵锐角，∴

，∴。

（3）在中，下列结论：①若，则此三角形为钝角三角形；②若，则此三角形为等腰三角形；③若，则；④，其中正确的个数为。

．个．个．个．个

【解析】；，故此三角形为钝角三角形，①正确；

，又∵，∴，故②正确；∵，∴，又∵，∴，故③正确；∵，即，∴，即，故④正确。

【例20】（1）【2008浙江文14理13】在中，角、、对应的边分别为、、，若，则。

【解析】；法一：

。

法二：

，则。

（2）【2010江苏13】在锐角中，角、、对应的边分别为、、，若，则的值是。

【解析】；∵，∴，则。。

【例21】【2010陕西理17】如图，，是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于点北偏东，点北偏西的点有一艘轮船发出求救信号，位于点南偏西且与点相距海里的点的救援船立即前往营救，其航行速度为海里/小时，该救援船到达点需要多长时间？

【解析】，

又∵，∴（海里），∴

，∴（海里），

∴时间（小时）。答：救援船到达点需要小时。

板块六方程

【知识要求】

（1）“8”字环思想

【经典例题】

【例22】【2009闸北高一下期末考试】已知函数。

（1）求方程的所有解；

（2）若方程在范围内有两个不同的解，求实数的取值范围。

【解析】（1）

由题意，有，得

。

（2）当时，方程有两个不同解，

等价于函数与（）的图像有两个不同的交点。

由函数的图像性质得。

【例23】（1）【2010浙江文09】已知是函数的一个零点。若，，则。

．，．，

．，．，

【解析】；根据图像可得，当幂函数图像在指数函数图像上方，故；当指数函数图像在幂函数图像上方，故。

（2）【2010上海文17】若是方程的解，则属于区间。

．．

．．

【解析】；令，，，，则，所以两图像的交点位于之间。

板块七数列通论

【知识要求】

1.1定义

1）定义：按照一定次序排列起来的一列数。

【注】数列是一个定义域为正整数集（或它的有限子集）的特殊函数。

2）通项公式：数列的第项与之间的关系。即，。

3）前项和：。前项和也可写成关于的函数，即，。

4）递推公式：已知数列的第项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，此公式即为递推公式。

【注】通项公式、前项和以及递推公式（包括第项或前几项）都是给出数列的方式。

1.2表示

1）列举；2）解析（通项、前项和、递推三种形式）；3）图象（孤立的点（离散的点））；

1.3分类

1）有穷数列、无穷数列；

2）递增数列、递减数列、摆动数列、常数列；

3）有界数列、无界数列。

1.4等差数列

1）

定义：从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数的数列。即。

【注】证明等差数列的两种方法：

①；②。

2）

通项公式：，（累加）

3）

前项和：，（倒序相加）

4）

、、、、中知三求二。

1.5等比数列

1）定义：从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数的数列。即

【注】证明等比数列的两种方法：

①

；②。

2）通项公式：，（累乘）

3）前项和：，当时，也可写成（错位相减）

4）、、、、中知三求二。

1.6用函数观点来分析等差、等比

1）等差：（一次型函数），

（没有常数项的二次型函数）

2）等比：（指数型函数），

（分段函数，分别为一次型和指数型函数）

1.7等差数列性质

1）【拓展】

2）等差中项：

【拓展】①当时，有；

【注】等差数列，若，则不一定成立。

②【注】

3）衍生等差数列：

①为等差数列，公差；

②为等差数列，公差；

③（其中为间距，为起始项，）为等差数列，即等距项为等差数列，公差；

④，，，，…为等差数列，公差；

⑤为等差数列，公差；

⑥其它：

1）项数为奇数的等差数列，有：，；

项数为偶数的等差数列，有：，；

2）等差数列中，若，，则；

等差数列中，若，，则；

等差数列中，若，，则；

等差数列中，若，则，；

等差数列中，若，则，。

1.8等比数列性质

1）【拓展】

2）等比中项：

【拓展】①当时，有；

【注】等比数列，若，则不一定成立。

②

3）衍生等比数列：

①对任意非零实数，为等比数列，公比为；

②为等比数列，公比为；为等比数列，公比为；

③，，，，…依然成等比数列，公比为。

【注】若，，则，，，…就不成等比数列。

【经典例题】

【例24】（1）【2008北京理06】已知数列对任意、满足，且，那么等于。

．．．．

【解析】；法一：。

法二：令，则，故数列的所有偶数项和奇数项分别成等差数列，所以。

（2）数列满足：，若，则数列的第2010项为。

【解析】；∵，∴，，。∴数列的周期为，。

【例25】（1）已知，则在数列中最大项为。

【解析】；，令，则当时，函数取最小值。而，则当或或其中之一时，，取得最小值，，，所以当或时，有。

（2）已知数列中，，且是递增数列，则实数的取值范围为。

【解析】；法一：∵是递增数列，∴对任意的，有，即，令，则，又∵当时，，∴。

法二：，则其图象为抛物线上离散的点。又∵是递增数列，∴只要对称轴小于，即。

【例26】（1）已知等比数列中，，，则。

【解析】或；

（2）已知，，成等差数列，，，，，成等比数列，则。

【解析】；

（3）已知数列的通项为，，数列的每一项都有，则数列的前项和。

【解析】

令，所以当时，，所以此时；当时，，所以此时。综上，

（4）【2006北京理07】设，则等于。

．．．．

【解析】；法一：赋值。令，则；法二：；法三：

【例27】（1）【2009全国Ⅰ文14理14】设等差数列的前项和为，若，则。

【解析】；，。

（2）【2009辽宁理06】设等比数列的前项和为，若，则。

．．．．

【解析】；由等比数列性质：、、仍成等比数列，又因为，所以，则。

（3）等差数列、的前项和分别为、，且，则。

【解析】；∵等差数列、，∴，则。

（4）【2010广东四校联考】等比数列的公比为，其前项的积为，并且满足条件，，，给出下列结论：

①；

②；

③的值是中最大的；

④使成立的最大自然数等于。

其中正确的结论是。

【解析】①②④；∵，即，∴与同号，即，又∵且，∴（可用反证法），故①正确；∵且，，则故②正确；∵且，故中最大的是，故③错误；∵，，故④正确。

板块八通项、前项和、递推公式之间的推导

【知识要求】

数列中的核心问题：

1.1

通法：

（1）公式求和：

①：

②：

③

（2）裂项相消

①分式：

②根式：

③对数：

④指数：

⑤其它：

（3）错位相减

错位相减用于差比数列（）求和；

（4）倒序相加

主要用在类似于（与指数相关函数，其中定值）以及组合数问题上；

（5）分组求和

通项由多成分构成，可单独求和再相加。

【注】在选用方法时，可按公式、错位相减、倒序相加、裂项的次序选择。

1.2

通法：

1.3递推关系式、

（1）递推关系式的形式

递推关系式的三种形式：①只含；②只含；③同时含有和

将第三种情况向第一种或第二种转化

转化的工具：采用，可以消，也可消。但无论采用哪种都需要分类讨论。

方法的选择取决于以下两点：①谁比较好消；②问题求什么。前者作为主导因素。

(2)

递推、

①累加法

遇到；；用累加法。

②累乘法

遇到（）；；用累乘法。

③构造熟悉数列

▲公式法

1）

当时，用累加；当时，采用待定系数法或两边同除以求解。

当时，用待定系数法或两边同除以。

2）非线性问题

ⅰ）问题，可考虑两边取对数。

ⅱ）或，可考虑取倒数或两边同除以。

3）多项递推问题

ⅰ）问题，可考虑采用特征方程，但在高考中试题往往有所提示。

ⅱ）无穷多项递推，可多些一项或少写一项，然后作差或作商。

④数学归纳法

【经典例题】

【例28】【2010山东理18】已知等差数列满足：，。的前项和为。

（Ⅰ）求及；

（Ⅱ）令，求数列的前项和。

【解析】（Ⅰ）∵，，∴，∴，；，。

（Ⅱ），∴，故，即数列的前项和

，。

【例29】【2010全国新课标理17】设数列满足，。

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）令，求数列的前项和。

【解析】（Ⅰ）当时，

，而，所以数列的通项公式为，。

（Ⅱ）由，得——①，从而——②

由①—②得，所以，。

【例30】（1）已知数列的前项和，则此数列的通项公式为。

【解析】

（2）已知数列的前项和，。求。

【解析】当时，；当时，不满足前式。所以综上，

【例31】已知数列的前项和为，其中，，求。

【解析】当时，，两边同时除以，可得，所以数列是以为公差的等差数列，首项为，

所以，即，则

，显然当时，不满足上式。综上，

【例32】已知数列中，，，求。

【解析】∵，∴当时，，则，显然，也满足上式。综上，通项，。

【例33】（1）已知数列中，，，。求数列的通项。

（2）已知数列中，，，。求数列的通项。

（3）已知数列中，，，。求数列的通项。

（4）已知数列中，，，。求数列的通项。

【解析】（1）法一：当时，。设，则，可得。即。令，则，，∴，则，显然也满足上式。∴综上，，。

法二：当时，，两边同时除以，则。令，则，。∴

，∴，显然也满足上式。∴综上，，。

（2）当时，。设，则，可得，。∴，令，则，，∴，则，显然也满足上式。∴综上，，。

【注】此题也可两边同除以求解，但相对计算量要大一些。

（3）法一：当时，。设，则，可得，，∴，令，则，，∴，则，显然也满足上式。∴综上，，。

法二：两边同除以可得，令，则，，∴

，

则，，∴，

显然也满足上式。∴综上，，。

（4）两边同除以可得，令，则，，∴，，∴，。

显然也满足上式。∴综上，，。

【例44】（1）已知数列中，，。求数列的通项。

【解析】根据题意可知数列中每一项均为正数，则，即，∴，∴，。则，。显然也满足上式。综上，通项，。

（2）已知数列中，，。求数列的通项。

【解析】法一：对递推关系式两边同时取倒数，可得，即，∴数列为等差数列。。则，。

法二：，两边同除以，可得，接下来解析同上。

【例45】（1）已知数列，，且，求通项公式。

【解析】设，∴

令

可得

于是…，

∴，即是以为首项、为公差的等差数列，

∴，从而，。

（2）数列满足，求数列的通项公式和前项和。

【解析】∵，∴，两式作差可得，；当时，显然不满足上式。∴。当时，；当时，，显然也满足上式，∴综上，，。

【例46】【2006全国Ⅱ理22】设数列的前项和为，且方程有一根为，

（Ⅰ）求，；

（Ⅱ）求的通项公式。

【解析】（Ⅰ）当时，有一根为，则，解得；

当时，有一根为，则，解得。

（Ⅱ）有题设，即。

当时，代入上式可得，进而，∵，，，∴猜测，。

当时，命题显然成立；

假设当，时，命题也成立。即。

当时，由得

，也满足命题。

综上，。

∴当时，；

当时，显然也满足上通项。

∴综上，，。

【例47】【2010安徽理20】设数列，，…，，…中的每一项都不为。

证明：为等差数列的充分必要条件是：对任何，都有。

【解析】必要性证明：

①当公差时，为常数列，显然成立。

②当公差时，

充分性证明：

∵，∴，两式作差可得，化简得。同理可得，，两式作差可得，即，∴数列是等差数列。

【注】充分性的证明也可采用数学归纳法。

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