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    方法技巧专题23,期望、方差及正态分布实际应用（原卷版）

    时间：2020-11-25 15:19:50 来源：蒲公英阅读网 本文已影响人 蒲公英阅读网手机站

    相关热词搜索：正态分布 方差 实际应用

    　方法技巧专题 23

    　期望、方差及正态分布的实际应用 （学生版）

    　 一、

    　期望、方差及正态分布的实际应用知识框架

    　 二、期望与方差的实际应用

    　 1.例题 【例 1】

    　（产品检验问题）已知：甲盒子内有 3 个正品元件和 4 个次品元件，乙盒子内有 5 个正品元件和 4 1 1 、 离散型随机变量的期望：

    　（1）若离散型随机变量  的概率分布为

    　 

    　 1x

    　 2x

    　 ---

    　nx

    　 ---

    　 P

    　 1p

    　 2p

    　 ---

    　np

    　 --- 则称       n n px p x p x E2 2 1 1 为  的数学期望（平均值、均值）简称为期望。

    　 ① 期望反映了离散型随机变量的平均水平；②  E 是一个实数，由  的分布列唯一确定； ③ 随机变量  是可变的，可取不同值；

    　④  E 是不变的，它描述  取值的平均状态. （2）期望的性质：

    　 ① C C E  ) ( 为常数）

    　C (

    　② b aE b a E      ) (

    　为常数）

    　b a, (

    　③ 若 ) , ( ~ p n B  ，则np E  

    　（二项分布）

    　2 ．离散型随机变量的方差 （1）离散型随机变量的方差：设离散型随机变量  可能取的值为 , , , , ,2 1 nx x x

    　且这些值的概率分别为   , , , , ,3 2 1 np p p p ，则称     222 121) ( ) ( p E x p E x D    …   n np E x2) (  …为

    　的方差。

    　① 反映随机变量取值的稳定与波动； ② 反映随机变量取值的集中与离散的程度； ③  D 是一个实数，由  的分布列唯一确定； ④  D 越小，  取值越集中， D 越大，  取值越分散； ⑤  D 的算术平均数 D 叫做随机变量  的标准差，记作  . （2）方差的性质：

    　 ① 0 ) (  C D 为常数）

    　C (

    　②   D a b a D2) (  

    　为常数）

    　b a, (

    　③ 若) , ( ~ p n B ，则 ）

    　（ p np D - 1  

    　（二项分布）

    　④ 2 2) (    E E D  

    　3 、在实际中经常用期望来比较两个类似事件的水平，当水平相近时，再用方差比较两个类似事件的稳定程度。

    　 个次品元件，现从两个盒子内各取出 2 个元件，试求: （Ⅰ）取得的 4 个元件均为正品的概率； （Ⅱ）取得正品元件个数  的数学期望.

    　【例 2】

    　（比赛问题）A、B 两队进行篮球决赛，共五局比赛，先胜三局者夺冠，且比赛结束。根据以往成绩，每场中 A 队胜的概率为32，设各场比赛的胜负相互独立.

    　（1）求 A 队夺冠的概率；

    　（2）设随机变量ξ表示比赛结束时的场数，求 Eξ.

    　【例 3】

    　（射击，投篮问题）甲、乙两人玩投篮游戏，规则如下：两人轮流投篮，每人至多投 2 次，甲先投， 若有人投中即停止投篮，结束游戏，已知甲每次投中的概率为41，乙每次投中的概率为 .31求：

    　（1）乙投篮次数不超过 1 次的概率；

    　（2）记甲、乙两人投篮次数和为ξ，求ξ的分布列和数学期望.

    　【例 4】

    　（选题，选课，做题，考试问题）甲乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为

    　 0.6，被甲或乙解出的概率为 0.92。求：

    　（1）求该题被乙独立解出的概率。

    　 （2）求解出该题的人数ξ的数学期望和方差。

    　【例 5】

    　（试验，游戏，竞赛，研究性问题）某家具城进行促销活动，促销方案是：顾客每消费满 1000 元，便可以获得奖券一张，每张奖券中奖的概率为51，若中奖，则家具城返还顾客现金 1000 元，某顾客购买一张价格为 3400 元的餐桌，得到 3 张奖券，设该顾客购买餐桌的实际支出为ξ元.

    　（I）求ξ的所有可能取值；

    　（II）求ξ的分布列；

    　（III）求ξ的期望 Eξ.

    　2.巩固提升综合练习 【练习 1】

    　（旅游，交通问题）春节期间，小王用私家车送 4 位朋友到三个旅游景点去游玩，每位朋友在每一个景点下车的概率均为31，用  表示 4 位朋友在第三个景点下车的人数，求：

    　（Ⅰ）随机变量  的分布列；

    　 （Ⅱ）随机变量  的期望.

    　【练习 2】

    　（摸球问题）甲盒有标号分别为 1、2、3 的 3 个红球；乙盒有标号分别为 1、2…、n（n≥2）的

    　 n 个黑球，从甲、乙两盒中各抽取一个小球，抽取的标号恰好分别为 1 和 n 的概率为.121

    　 （1）求 n 的值；

    　 （2）现从甲、乙两盒各随机抽取 1 个小球，抽得红球的得分为其标号数；抽得黑球，若标号数为奇数， 则得分为 1，若标号数为偶数，则得分为零，设被抽取的 2 个小球得分之和为  ，求  的数学期望 E  .

    　 【练习 3】

    　（摸卡片，数字问题）在一个盒子里放有 6 张卡片，上面标有数字 1，2，3，4，5，6，现在从盒子里每次任意取出一张卡片，取两片.

    　 （I）若每次取出后不再放回，求取到的两张卡片上数字之积大于 12 的概率；

    　 （II）在每次取出后再放回和每次取出后不再放回这两种取法中，得到的两张卡片上的最大数字的期望值 是否相等？请说明理由.

    　 【练习 4】

    　（入座问题）编号 1，2，3 的三位学生随意入坐编号为 1，2，3 的三个座位，每位学生坐一 个座位，设与座位编号相同的学生的个数是  . （1）求随机变量  的概率分布； （2）求随机变量  的数学期望和方差.

    　 【练习 5】

    　（信息问题）如图，A、B 两点由 5 条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为 2，

    　3，4，3，2，现记从中任取三条线且在单位时间内都通过的最大信息总量为  .

    　（Ⅰ）写出最大信息总量  的分布列；

    　（Ⅱ）求最大信息总量  的数学期望.

    　【练习 6】

    　（路线问题）如图所示，质点 P 在正方形 ABCD 的四个顶点上按逆时针方向前进. 现在投掷一个质地均匀、每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面上分别写有两个 1、两个 2、两个 3 一共六个数字. 质点 P 从 A 点出发，规则如下：当正方体上底面出现的数字是 1，质点 P 前进一步（如由 A 到 B）；当正方体上底面出现的数字是 2，质点 P 前两步（如由 A 到 C），当正方体上底面出现的数字是 3，质点 P前进三步（如由 A 到 D）. 在质点 P 转一圈之前连续投掷，若超过一圈，则投掷终止.

    　（I）求点 P 恰好返回到 A 点的概率；

    　（II）在点 P 转一圈恰能返回到 A 点的所有结果中，用随机变量ξ表示点 P 恰能返回到 A 点的投掷次数， 求ξ的数学期望.

    　 三、正态分布的实际应用

    　 C D A B

    　1.例题 【例 1】假设每天从甲地去乙地的旅客人数 X 是服从正态分布 2800,50 N 的随机变量．记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过 900 的概率为0p ，则0p 的值为（

    　）

    　(参考数据：若2 ), ( X N   ～ ，则 0 ( ) .6826 P X          ； 2 ( ) 2 P X          0.9544 ；3 3 0 9 ( ) .9 74 P X          .) A．0.9544

    　B．0.6826

    　 C．0.9974

    　 D．0.9772 【例 2】设随机变量

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