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    课后限时集训55,抛物线

    时间：2020-11-09 15:45:38 来源：蒲公英阅读网 本文已影响人 蒲公英阅读网手机站

    相关热词搜索：抛物线 课后 限时

    　1

    　抛物线 建议用时：45 分钟

    　一、选择题 1．(2019·全国卷Ⅱ)若抛物线 y 2 ＝2px(p＞0)的焦点是椭圆 x23p ＋y 2p ＝1 的一个焦点，则 p＝(

    　) A．2

    　B．3

    　C．4

    　D．8 D [抛物线 y 2 ＝2px(p>0)的焦点坐标为  p2 ，0 ， 椭圆 x23p ＋y 2p ＝1 的焦点坐标为(± 2p，0)． 由题意得 p2 ＝ 2p，∴p＝0(舍去)或 p＝8. 故选 D.] 2．(2019·厦门模拟)已知抛物线 y＝px 2 (其中 p 为常数)过点 A(1,3)，则抛物线的焦点到准线的距离等于(

    　) A. 92

    　B.32

    　C.118

    　 D. 16

    　D [由抛物线 y＝px 2 (其中 p 为常数)过点 A(1,3)，可得 p＝3，则抛物线的标准方程为 x 2 ＝ 13 y，则抛物线的焦点到准线的距离等于16 .故选 D.] 3．顶点在原点，且过点(－4,4)的抛物线的标准方程是(

    　) A．y 2 ＝－4x

    　 B．x 2 ＝4y C．y 2 ＝－4x 或 x 2 ＝4y

    　 D．y 2 ＝4x 或 x 2 ＝－4y C [设所求抛物线方程为 y 2 ＝kx 或 x 2 ＝my，又点(－4,4)在抛物线上，则有－4k＝16 或 4m＝16，解得 k＝－4 或 m＝4，所求抛物线方程为 y 2 ＝－4x 或 x 2＝4y.故选 C.] 4．已知 AB 是抛物线 y 2 ＝8x 的一条焦点弦，|AB|＝16，则 AB 中点 C 的横坐

    　2 标是(

    　) A．3

    　B．4

    　 C．6

    　D．8 C [设 A(x 1 ，y 1 )，B(x 2 ，y 2 )，则|AB|＝x 1 ＋x 2 ＋p＝16，又 p＝4，所以 x 1 ＋x 2＝12，所以点 C 的横坐标是 x1 ＋x 22＝6.] 5．(2019·龙岩模拟)若直线 AB 与抛物线 y 2 ＝4x 交于 A，B 两点，且 AB⊥x轴，|AB|＝4 2，则抛物线的焦点到直线 AB 的距离为(

    　) A．1

    　B．2

    　 C．3

    　 D．5 A [由|AB|＝4 2及 AB⊥x 轴，不妨设点 A 的纵坐标为 2 2，代入 y 2 ＝4x 得点 A 的横坐标为 2，从而直线 AB 的方程为 x＝2.又 y 2 ＝4x 的焦点为(1,0)，所以抛物线的焦点到直线 AB 的距离为 2－1＝1，故选 A.] 二、填空题 6．若抛物线 x 2 ＝4y 上的点 A 到焦点的距离为 10，则点 A 到 x 轴的距离是

    　． 9 [根据题意，抛物线 x 2 ＝4y 的准线方程为 y＝－1，点 A 到准线的距离为10，故点 A 到 x 轴的距离是 9.] 7．已知正三角形 AOB(O 为坐标原点)的顶点 A，B 在抛物线 y 2 ＝3x 上，则△AOB 的边长是

    　． 6 3 [如图，设△AOB 的边长为 a，则 A   32a， 12 a ，∵点 A 在抛物线 y2 ＝3x 上，

    　∴ 14 a2 ＝3×32a，∴a＝6 3.] 8．直线 y＝k(x－1)与抛物线 y 2 ＝4x 交于 A，B 两点，若|AB|＝ 163，则 k＝

    　. ± 3 [设 A(x 1 ，y 1 )，B(x 2 ，y 2 )，因为直线 AB 经过抛物线 y 2 ＝4x 的焦点，所以|AB|＝x 1 ＋x 2 ＋2＝ 163，所以 x 1 ＋x 2 ＝ 103.联立   y 2 ＝4x，y＝kx－1得到 k 2 x 2 －(2k 2 ＋4)x

    　3 ＋k 2 ＝0， 所以 x 1 ＋x 2 ＝ 2k2 ＋4k 2＝ 103，所以 k＝± 3.] 三、解答题 9．已知抛物线 y 2 ＝2px(p＞0)过点 A(2，y 0 )，且点 A 到其准线的距离为 4. (1)求抛物线的方程； (2)直线 l：y＝x＋m 与抛物线交于两个不同的点 P，Q，若 OP⊥OQ，求实数 m 的值． [解] (1)已知抛物线 y 2 ＝2px(p＞0)过点 A(2，y 0 )，且点 A 到准线的距离为 4， ∴2＋ p2 ＝4，∴p＝4， ∴抛物线的方程为 y 2 ＝8x. (2)由   y＝x＋m，y 2 ＝8x得 x 2 ＋(2m－8)x＋m 2 ＝0. 设 P(x 1 ，y 1 )，Q(x 2 ，y 2 )，则 x 1 ＋x 2 ＝8－2m，x 1 x 2 ＝m 2 ， y 1 ＋y 2 ＝x 1 ＋x 2 ＋2m＝8，y 1 y 2 ＝(x 1 ＋m)(x 2 ＋m)＝x 1 x 2 ＋m(x 1 ＋x 2 )＋m 2 ＝8m. ∵OP⊥OQ，∴x 1 x 2 ＋y 1 y 2 ＝m 2 ＋8m＝0， ∴m＝0 或 m＝－8. 经检验，当 m＝0 时，直线与抛物线交点中有一点与原点 O 重合，不符合题意． 当 m＝－8 时，Δ＝(－24) 2 －4×64＞0，符合题意． 综上，实数 m 的值为－8. 10．如图，已知点 F 为抛物线 E：y 2 ＝2px(p＞0)的焦点，点 A(2，m)在抛物线 E 上，且|AF|＝3.

    　(1)求抛物线 E 的方程； (2)已知点 G(－1,0)，延长 AF 交抛物线 E 于点 B，证明：GF 为∠AGB 的平

    　4 分线． [解] (1)由抛物线定义可得|AF|＝2＋ p2 ＝3，解得 p＝2. ∴抛物线 E 的方程为 y 2 ＝4x. (2)证明：∵点 A(2，m)在抛物线 E 上， ∴m 2 ＝4×2，解得 m＝±2 2，由抛物线的对称性，不妨设 A(2,2 2)，由A(2,2 2)，F(1,0)， ∴直线 AF 的方程为 y＝2 2(x－1)， 由   y＝2 2x－1，y 2 ＝4x，得 2x 2 －5x＋2＝0，解得 x＝2 或 12 ，∴B 12 ，－ 2 . 又 G(－1,0)，∴k GA ＝ 2 23，k GB ＝－ 2 23， ∴k GA ＋k GB ＝0， ∴∠AGF＝∠BGF. ∴GF 为∠AGB 的平分线．

    　1．已知抛物线 C：y 2 ＝2px(p＞0)的焦点为 F，准线方程为 x＝－2，过点 F的直线与抛物线 C 交于 M(x 1 ，y 1 )，N(x 2 ，y 2 )两点，若|MN|＝8，则 y 2 1 ＋y 2 2 ＝(

    　) A．16

    　 B．32

    　C．24

    　 D．48 B [由准线方程为 x＝－2，可知 p＝4，则抛物线 C 的方程为 y 2 ＝8x.由抛物线的定义可知，|MN|＝|MF|＋|NF|＝x 1 ＋x 2 ＋4＝8，则 x 1 ＋x 2 ＝4，即 y218 ＋y 2 28 ＝4，故 y 2 1 ＋y 2 2 ＝32.故选 B.] 2．(2019·大庆模拟)已知 F 是抛物线 C：y 2 ＝2px(p＞0)的焦点，过点 R(2,1)的直线 l 与抛物线 C 交于 A，B 两点，R 为线段 AB 的中点．若|FA|＋|FB|＝5，则直线 l 的斜率为(

    　) A．3

    　 B．1

    　C．2

    　 D. 12

    　B [由于 R(2,1)为 AB 中点，设 A(x A ，y A )，B(x B ，y B )．根据抛物线的定义|FA|＋|FB|＝x A ＋x B ＋p＝2×2＋p＝5，解得 p＝1，抛物线方程为 y 2 ＝2x.y 2 A ＝2x A ，y 2 B ＝

    　5 2x B ，两式相减并化简得 yB －y Ax B －x A ＝2y A ＋y B ＝22×1 ＝1，即直线 l 的斜率为 1.故选 B.] 3．已知抛物线 y 2 ＝2px(p＞0)的焦点 F 与双曲线 x23 －y2 ＝1 的右焦点重合，若A 为抛物线在第一象限上的一点，且|AF|＝3，则直线 AF 的斜率为

    　． －2 2 [∵双曲线 x23 －y2 ＝1 的右焦点为(2,0)，∴抛物线方程为 y 2 ＝8x.∵|AF|＝3，∴x A ＋2＝3，得 x A ＝1，代入抛物线方程可得 y A ＝±2 2.∵点 A 在第一象限， ∴A(1,2 2)， ∴直线 AF 的斜率为2 21－2 ＝－2 2.] 4．已知抛物线 y 2 ＝2px(p＞0)的焦点为 F，A 是抛物线上横坐标为 4，且位于 x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于 5，过 A 作 AB 垂直于 y 轴，垂足为 B，OB 的中点为 M. (1)求抛物线的方程； (2)若过 M 作 MN⊥FA，垂足为 N，求点 N 的坐标． [解] (1)抛物线 y 2 ＝2px(p＞0)的准线为 x＝－ p2 ，于是 4＋p2 ＝5，∴p＝2. ∴抛物线方程为 y 2 ＝4x. (2)∵点 A 的坐标是(4,4)， 由题意得 B(0,4)，M(0,2)． 又∵F(1,0)，∴k FA ＝ 43 ， ∵MN⊥FA，∴k MN ＝－ 34 . ∴FA 的方程为 y＝ 43 (x－1)， ① MN 的方程为 y－2＝－ 34 x， ② 联立①②，解得 x＝ 85 ，y＝45 ， ∴点 N 的坐标为  85 ，45.

    　6 1．已知直线 l：y＝k(x＋2)(k＞0)与抛物线 C：y 2 ＝8x 相交于 A，B 两点，F为 C 的焦点．若|FA|＝2|FB|，则 k＝(

    　) A. 13

    　 B.23

    　C. 23

    　 D.2 23 D [由   y＝kx＋2，y 2 ＝8x，消去 y 得 k 2 x 2 ＋(4k 2 －8)x＋4k 2 ＝0.Δ＝(4k 2 －8) 2 －16k 4＞0，解得－1＜k＜1.设 A(x 1 ，y 1 )，B(x 2 ，y 2 )．x 1 ＋x 2 ＝8k 2 －4.① x 1 x 2 ＝4.② 根据抛物线的定义及|FA|＝2|FB|，得 x 1 ＋2＝2(x 2 ＋2)，即 x 1 ＝2x 2 ＋2，③且 x 1 ＞0，x 2 ＞0，由②③解得 x 1 ＝4，x 2 ＝1，代入①得 k 2 ＝ 89 ，k＞0，∴k＝2 23.故选 D.] 2．已知抛物线 C：x 2 ＝2py(p＞0)，过焦点 F 的直线交 C 于 A，B 两点，D是抛物线的准线 l 与 y 轴的交点． (1)若 AB∥l，且△ABD 的面积为 1，求抛物线的方程； (2)设 M 为 AB 的中点，过 M 作 l 的垂线，垂足为 N. 证明：直线 AN 与抛物线相切． [解] (1)∵AB∥l，∴|FD|＝p，|AB|＝2p. ∴S △ ABD ＝p 2 ，∴p＝1， 故抛物线 C 的方程为 x 2 ＝2y. (2)设直线 AB 的方程为 y＝kx＋ p2 ， 由 y＝kx＋ p2 ，x 2 ＝2py得 x 2 －2kpx－p 2 ＝0. ∴x 1 ＋x 2 ＝2kp，x 1 x 2 ＝－p 2 . 其中 A  x 1 ， x212p，B  x 2 ， x222p. ∴M  kp，k 2 p＋ p2，N  kp，－ p2. ∴k AN ＝x 2 12p ＋p2x 1 －kp ＝x 2 12p ＋p2x 1 － x1 ＋x 22＝x 2 1 ＋p 22px 1 －x 22＝x 2 1 －x 1 x 22px 1 －x 22＝ x1p .

    　7 又 x 2 ＝2py，∴y′＝ xp . ∴抛物线 x 2 ＝2py 在点 A 处的切线斜率 k＝ x1p . ∴直线 AN 与抛物线相切．

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