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    课时跟踪检测（三十八）,,正弦函数、余弦函数单调性与最值

    时间：2020-11-10 05:02:38 来源：蒲公英阅读网 本文已影响人 蒲公英阅读网手机站

    相关热词搜索：函数 余弦 调性

    　课时跟踪检测（三十八）

    　正弦函数、余弦函数的单调性与最值

    　A 级—— 学考合格性考试达标练 1． ．数 函数 f(x) ＝2sin x 在区间     0， ， 3ππ4上的最大值为(

    　) A ．0

    　 B－ ．－ 2 C． ． 2 D ．2 解析：选 选 D

    　因为 x∈ ∈     0， ， 3ππ4，当 所以当 x ＝ π2时 ，

    　数 函数 f(x) 有最大值 2. 2． ． 下列函 数中 ， 在区间     π2π ，π 上恒正且是增函数的是(

    　) A ．y ＝sin x B ．y ＝cos x C ．y ＝－sin x D ．y ＝－cos x 解析：选 选 D

    　作出四个函数的图象 ，知 知 y ＝sin x ，y ＝cos x 在 在     π2π ，π 上单调递减 ， 不而 符合；而 y ＝－sin x 的图象虽满足在     π2π ，π 上单调递增 ， 但其值为负 ， 故不符合．

    　有 所以只有 D 符合 ，选 故选 D ． 3． ．使 使 y ＝sin x 和 和 y ＝cos x 均为减函数的一个区间是(

    　) A.     0， ， π2

    　 B.     π2π ，π C.     π， 3ππ2

    　 D.     3π π2， ，2π π 解析：选 选 B

    　由 由 y ＝sin x ，x ∈[0 ，2 π]与 与 y ＝cos x ，x ∈[0 ，2 π] 的图象知均为减函数的一个区间是     π2π ，π . 4． ．数 函数 y ＝sin 2 x ＋sin x －1 的值域为(

    　) A ．[ －1 ，1]

    　 B． ．     － 54 ，－ －1 C． ．     － 54 ，，1

    　 D． ．     － －1， ， 54 解析：选 选 C

    　y ＝sin 2 x ＋sin x －1＝ ＝     sin x＋ ＋ 122－ 54 ，当 当 sin x ＝－ 12 时 ，y min ＝－ 54 当；当 sin x＝ ＝1 时 时 ，y max ＝ ＝1.即 即 y∈ ∈     － 54 ，，1 . 5． ． 下列结论正确的是(

    　) A ．sin 400°>sin 50° B ．sin 220°<sin 310° C ．cos 130°>cos 200° D ．cos( －40°)<cos 310°

    　：

    　解析：选 选 C

    　由 由 cos 130° ＝cos(180° －50°) ＝－cos 50°， ，cos 200° ＝cos(180° ＋20°) ＝－cos 20°， ，当 因为当 x ∈(0° ，90°)时 时 ，数 函数 y ＝cos x 是减函数， ，以 所以 cos 50°<cos 20°， ， 所以－cos 50°>－ －cos 20°， ，即 即 cos 130°>cos 200°. 6． ．数 已知函数 y ＝3cos(π π－ －x)， ，当 则当 x ＝________时 时 ， 函数取得最大值． 解析：y ＝3cos(π π－ －x) ＝－3cos x， ，当 当 cos x ＝－1， ，

    　即 即 x ＝2kπ π ＋ π ，k ∈Z Z 时 ，y 有最大值 3.

    　答案：2kπ π ＋ π，k ∈Z Z 7． ．数 函数 f(x) ＝－2sin x ＋1 ，x∈ ∈     － π2π ，π 的值 域为________ ． 解析：∵ ∵x∈ ∈     － π2π ，π ，∴ ∴sin x ∈[ －1 ，1]， ， ∴－ －2sin x ＋1 ∈[ －1 ，3] ． 答案：[ －1 ，3] 8． ．数 函数 y ＝cos     π4－ －2x ，x∈ ∈     π2π ，π 的单调递减区间为________ ． 解析：y ＝cos     π4－ －2x ＝cos     2x－ － π4，

    　由 由 2kπ π≤ ≤2x－ － π4≤ ≤2kπ π ＋π π(k ∈Z Z)， ，

    　得 得 k π ＋ π8≤ ≤x ≤k π＋ 5ππ8(k ∈Z Z)． ．

    　所以函数的单调递减区间为     k π ＋ π8，k π ＋ 5ππ8(k ∈Z Z)， ，为 因为 x∈ ∈     π2π ，π ， 所以函数的单调递减区间为     π2， 5ππ8.

    　答案：

    　    π2， 5ππ8 9． ．数 求函数 y ＝log 12sin     2x＋ ＋ π4的单调递增区间． 解：

    　由对数函数的定义域和复合函数的单调性 ，

    　可知    sin     2x＋ ＋ π4>0， ，2kπ π ＋ π2≤ ≤2x＋ ＋ π4≤ ≤2kπ π ＋ 3ππ2（k ∈Z Z ）

    　，

    　得 解得 2kπ π ＋ π2≤ ≤2x＋ ＋ π4＜ ＜2kπ π ＋π π(k ∈Z Z)， ，

    　即 即 k π ＋ π8≤ ≤x ＜k π ＋ 3ππ8(k ∈Z Z)， ，

    　故所求函数的单调递增区间为     k π ＋ π8，k π ＋ 3ππ8(k ∈Z Z) ．

    　10． ．数 求函数 y ＝3 －4cos     2x＋ ＋ π3， ，x∈ ∈     － π3， π6的的 最大值、最小值及相应的 x 值． 解：为 因为 x∈ ∈     － π3， π6，以 所以 2x＋ ＋ π3∈     － π3， 2ππ3，

    　从而－ 12 ≤≤cos     2x＋ ＋ π3≤ ≤1.

    　当 所以当 cos     2x＋ ＋ π3＝ ＝1， ，即 即 2x＋ ＋ π3＝ ＝0， ，

    　即 即 x ＝－ π6时 ，y min ＝ ＝3 －4 ＝－1.

    　当 当 cos     2x＋ ＋ π3＝－ 12 ，即 即 2x＋ ＋ π3＝ 2ππ3，

    　即 即 x ＝ π6时 ，y max ＝ ＝3 －4× ×     － 12＝ ＝5. B 级—— 面向全国卷高考高分练 1． ．数 函数 y ＝|sin x| ＋sin x 的值域为(

    　) A ．[ －1 ，1]

    　 B ．[ －2 ，2] C ．[ －2 ，0] D ．[0 ，2] 解析：选 选 D

    　∵y ＝|sin x| ＋sin x

    　＝       2sin x ，sin x ≥0， ，0 ，

    　sin x ＜0.

    　又 ∵－ －1 ≤sin x ≤1， ， ∴y ∈[0 ，2]， ，

    　即函数的值域为[0 ，2] ． 2． ．数 函数 y ＝2sin     ω ωx＋ ＋ π4(ω ω＞ ＞0) 的周期为 π， 则其单调递增区间为(

    　) A.     kπ π － 3ππ4， ，kπ π ＋ π4(k ∈Z Z) B.     2kπ π － 3ππ4， ，2kπ π ＋ π4(k ∈Z Z) C.     kπ π － 3ππ8， ，kπ π ＋ π8(k ∈Z Z) D.     2kπ π － 3ππ8， ，2kπ π ＋ π8(k ∈Z Z) 解析：选 选 C

    　∵ ∵期 周期 T ＝ π ， ∴ 2ππω＝ π ， ∴ ω＝ ＝2， ， ∴y ＝2sin     2x＋ ＋ π4. 由－ π2＋ ＋2kπ π≤ ≤2x＋ ＋ π4≤ ≤2kπ π ＋ π2， ，k ∈Z Z ，得 得 k π － 3ππ8≤ ≤x ≤k π ＋ π8，k ∈Z Z. 3． ．数 函数 y ＝sin x 的定义域为[a ，b]， ， 值域为     － －1， ， 12，则 则 b －a 的最大值和最小值之和

    　等于(

    　) A． ． 4ππ3

    　 B． ． 8ππ3 C ．2 π D ．4 π 解析：选 选 C

    　如图 ，当 当 x ∈[a 1 ， ，b]时 时 ， 值域为     － －1， ， 12，且 且 b －a 最大．当 x ∈[a 2 ， ，b]时 ， 值域为     － －1， ， 12，且 且 b －a 最小．

    　 ∴ 最大值与最小 值之和为(b －a 1 ) ＋(b －a 2 ) ＝2b －(a 1 ＋a 2 ) )＝ ＝2× × π6＋ π2＋ 7ππ6＝ ＝2 π. 4． ．数 已知函数 f(x) ＝2sin ω x(ω>0) 在区间     － π3， π4上的最小值是－2， ，则 则 ω 的最小值等于(

    　) A． ． 23

    　B． ． 32

    　C ．2 D ．3 解析：选 选 B

    　由 由 x∈ ∈     － π3， π4，得 得 ωx ∈     － π3ω ， π4ω ，数 要使函数 f(x)在 在     － π3， π4上取得最小值－2， ， 则－ π3ω ≤ － π2或 π4ω ≥ 3ππ2，得 ω ≥ 32 ，故 故 ω 的最小值为 32 . 5． ．数 函数 f(x) ＝3sin     2x－ － π6在区间     0， ， π2上的值域为________ ． 解析：由 由 0 ≤x≤ ≤ π2， 得－ π6≤ ≤2x－ － π6≤ 5ππ6， 所以－ 12 ≤≤sin     2x－ － π6≤ ≤1， ， 即－ 32 ≤3sin     2x－ － π6≤ ≤3， ，以 所以 f(x)∈ ∈     － 32 ，，3 .

    　答案：

    　    － 32 ，，3 6． ．数 函数 y＝ ＝ 2 ＋cos x2 －cos x 的最大值为________ ． ：

    　解析：由 由 y ＝ 2 ＋cos x2 －cos x ，，得 得 y(2 －cos x) ＝2 ＋cos x， ，即 即 cos x＝ ＝ 2y －2y ＋1(y≠ ≠－ －1)， ， 因为－1 ≤cos x ≤1， ， 所以－1≤ ≤ 2y －2y ＋1≤ ≤1， ， 解 得 13 ≤≤y ≤3， ，数 所以函数 y ＝ 2 ＋cos x2 －cos x 为的最大值为 3.

    　答案：3 7． ．数 已知函数 f(x) ＝cos     2x－ － π6， ，x∈ ∈     0， ， π2， 求：

    　(1)f(x) 的最大值和最小值； (2)f(x) 的单调递减区间． 解：当 当 x∈ ∈     0， ， π2时， ，2x－ － π6∈     － π6， 5ππ6，出 作出 y ＝cos t 的图象 ， 如图所示：

    　 (1) 由函数 y ＝cos t 的图象知 ，

    　f(x) ＝cos     2x－ － π6∈     cos     5π π6， ，cos 0 ＝ ＝     －32， ，1 .

    　则 则 f(x) 的最大值为 1， ， 最小值为－32.

    　(2) 由函数 y ＝cos t 的图象知 ，y ＝cos t 在 在     － π6， 5ππ6上的递减区间为     0， ， 5ππ6.

    　令 令 0 ≤2x－ － π6≤ 5ππ6， 解得 π12 ≤≤x≤ ≤ π2，故 故 f(x) 的单调递减区间为     π12 ， π2. 8． ．数 已知函数 f(x) ＝sin     2x－ － π6. (1) 求函数 f(x) 图象的对称轴方程； (2) 解不等式：f     x＋ ＋ π12≥32. 解：(1)由 由 2x－ － π6＝k π ＋ π2(k ∈Z Z)， ，

    　得 得 x ＝ k π2＋ π3(k ∈Z Z)． ．

    　∴ 函数为 图象的对称轴方程为 x ＝ k π2＋ π3(k ∈Z Z)． ．

    　(2)由 由 f     x ＋ π12＝ ＝sin 2x≥ ≥32，

    　得 得 2kπ π ＋ π3≤ ≤2x ≤2kπ π ＋ 2ππ3，k ∈Z Z ，

    　得 解得 k π ＋ π6≤ ≤x ≤k π ＋ π3，k ∈Z Z ，

    　故不等式的解集是        x    k π ＋ π6≤ ≤x ≤k π ＋ π3，k ∈Z Z .

    　C 级—— 拓展探索性题目应用练 数 已知函数 f(x) ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0， ，0≤ ≤ φ ≤π π)为 为 R R 上的偶函数， ，点 其图象关于点 M     34 π，0

    　对称 ， 且在区间     0， ， π2上是单调函数 ，求 求 φ 和 和 ω 的值． 解：由 由 f(x) 是偶函数 ，得 得 sin φ ＝ ＝±1， ， ∴ φ ＝k π ＋ π2，k ∈Z Z.

    　∵ ∵0 ≤φ ≤ π ， ∴ φ ＝ π2.

    　由 由 f(x) 的图象关于点 M     34 π， ，0 对称 ，得 得 f     3π π4＝ ＝0.

    　∵ ∵f     3π π4＝ ＝sin     3 ω π4＋ π2＝ ＝cos 3ωπ π4，∴ ∴cos 3 ω π4＝ ＝0.

    　又∵ ∵ω>0， ， ∴ 3 ω π4＝ π2＋k π ，k ∈N， ，即 即 ω ＝ 23 ＋ 43 k ，k ∈N N.

    　当 当 k ＝0 时 时 ， ω ＝ 23 ，时 此时 f(x) ＝sin     23 x ＋ π2在     0， ， π2上是减函数；

    　当 当 k ＝1 时 时 ， ω ＝ ＝2， ，时 此时 f(x) ＝sin     2x＋ ＋ π2在     0， ， π2上是减函数；

    　当 当 k ≥2 时 时 ， ω ≥ 103，时 此时 f(x) ＝sin     ω x ＋ π2在     0， ， π2上不是单调函数．

    　综上 ， ω ＝ 23 或或 ω＝ ＝2.

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