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    考点34,,导数和导数应用学生版

    时间：2020-12-09 20:26:34 来源：蒲公英阅读网 本文已影响人 蒲公英阅读网手机站

    相关热词搜索：导数 考点 学生

    　考点 34

    　导数和导数应用 [玩前必备] 1. 基本初等函数的导数公式 原函数

    　导函数 f ( x )＝ c ( c 为常数)

    　f ′( x )＝0 f ( x )＝ xn ( n ∈Q * )

    　f ′( x )＝ nxn －1

    　f ( x )＝sin x f ′( x )＝cos x

    　f ( x )＝cos x f ′( x )＝－sin x

    　f ( x )＝ ax

    　f ′( x )＝ ax ln a

    　f ( x )＝ex

    　f ′( x )＝ex

    　f ( x )＝log a x f ′( x )＝1x ln a

    　f ( x )＝ln x f ′( x )＝ 1x

    　2．导数的运算法则 （1）

    　[ f ( x )± g ( x )]′＝ f ′( x )± g ′( x )； （2）

    　[ f ( x )· g ( x )]′＝ f ′( x ) g ( x )＋ f ( x ) g ′( x )； （3）2( ) "( ) ( ) "( ) ( )"( ) ( )f x f x g x g x f xg x g x      ( g ( x )≠0)． 3. 函数 y ＝ f ( x )在 x ＝ x 0 处的导数几何意义：

    　函数 ( ) y f x  在点0x 处的导数0"( ) f x 就是曲线 ( ) y f x  在点0 0( , ( )) x f x 处的切线和斜率，即0"( ) k f x  .相应地，切线方程为 y － f ( x 0 )＝ f ′( x 0 )( x － x 0 )． 4．函数的单调性 在某个区间(a，b)内，如果 f′(x)>0，那么函数 y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果 f′(x)<0，那么函数 y＝f(x)在这个区间内单调递减． 5．函数的极值 (1)判断 f(x 0 )是极值的方法 一般地，当函数 f(x)在点 x 0 处连续时， ①如果在 x 0 附近的左侧 f′(x)>0，右侧 f′(x)<0，那么 f(x 0 )是极大值； ②如果在 x 0 附近的左侧 f′(x)<0，右侧 f′(x)>0，那么 f(x 0 )是极小值． (2)求可导函数极值的步骤

    　①求 f′(x)； ②求方程 f′(x)＝0 的根； ③检查 f′(x)在方程 f′(x)＝0 的根附近的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么 f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么 f(x)在这个根处取得极小值． 6．函数的最值 (1)在闭区间[a，b]上连续的函数 f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值． (2)若函数 f(x)在[a，b]上单调递增，则 f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数 f(x)在[a，b]上单调递减，则 f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值． (3)设函数 f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求 f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：

    　①求 f(x)在(a，b)内的极值； ②将 f(x)的各极值与 f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

    　[玩转典例] 题型一 一

    　导数的运算 例 例 1 求下列函数的导数 (1)y＝e x ·ln x；

    　(2)y＝x x 2 ＋ 1x ＋1x 3；

    　(3)y＝ln xx 2 ＋1 ．

    　 [玩转跟踪]求下列函数的导数 (1)y＝(3x 2 －4x)(2x＋1)； (2)y＝x 2 sin x.

    　 题型二 导数求切线方程问题 例 2 （2020•全国 1 卷）函数4 3( ) 2 f x x x   的图像在点 (1 (1)) f ， 处的切线方程为（

    　）

    　A. 2 1 y x  

    　B. 2 1 y x  

    　C. 2 3 y x  

    　D. 2 1 y x  

    　[玩转跟踪]

    　1．(新课标全国Ⅰ，14)已知函数 f(x)＝ax 3 ＋x＋1 的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2，7)，则 a＝________． 2．(广东，11)曲线 y＝－5e x ＋3 在点(0，－2)处的切线方程为______________． 3．(广东，12)若曲线 y＝ax 2 －ln x 在(1，a)处的切线平行于 x 轴，则 a＝________．

    　4.（2020•全国 3 卷）若直线 l 与曲线 y=x 和 x 2 +y 2 =15都相切，则 l 的方程为（

    　）

    　A. y=2x+1 B. y=2x+12 C. y=12x+1 D. y=12x+12 题型三 导数求函数单调性 例 3

    　已知函数 f(x)＝ ln x＋ke x(k 为常数，e＝2.718 28…是自然对数的底数)，曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与 x 轴平行． (1)求 k 的值； (2)求 f(x)的单调区间；

    　 [玩转跟踪]

    　1．(陕西，9)设 f(x)＝x－sin x，则 f(x)(

    　) A．既是奇函数又是减函数

    　B．既是奇函数又是增函数 C．是有零点的减函数

    　 D．是没有零点的奇函数 2．(新课标全国Ⅱ，11)若函数 f(x)＝kx－ln x 在区间(1，＋∞)单调递增，则 k 的取值范围是(

    　) A．(－∞，－2]

    　 B．(－∞，－1] C．[2，＋∞)

    　D．[1，＋∞) 3．(新课标全国Ⅱ，21)已知 f(x)＝ln x＋a(1－x)． (1)讨论 f(x)的单调性； (2)当 f(x)有最大值，且最大值大于 2a－2 时，求 a 的取值范围．

    　题型四 四

    　导数求函数的极值和最值 例 4 (天津，19)已知函数 f(x)＝x 2 － 23 ax3 (a＞0)，x∈R. (1)求 f(x)的单调区间和极值；

    　 [玩转跟踪]

    　1．(陕西，9)设函数 f(x)＝ 2x ＋ln x，则(

    　) A．x＝ 12 为 f(x)的极大值点 B．x＝ 12 为 f(x)的极小值点 C．x＝2 为 f(x)的极大值点 D．x＝2 为 f(x)的极小值点 2．(陕西，21)设函数 f(x)＝ln x＋ mx ，m∈R. (1)当 m＝e(e 为自然对数的底数)时，求 f(x)的极小值；

    　 [玩转高考] 1.(2015·新课标全国Ⅰ，14)已知函数f(x)＝ax 3 ＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2，7)，则a＝________． 2.(2016·新课标全国Ⅰ，21)已知函数f(x) = (x − 2)e x + a(x − 1) 2 . (I)讨论f(x)的单调性； (II)若f(x)有两个零点，求 的取值范围.

    　 3.(2017·新课标全国Ⅰ，14)曲线21y xx  在点（1，2）处的切线方程为_________________________ 4.(2017·新课标全国Ⅰ，21)已知函数 ( ) f x =e x (e x ﹣a)﹣a 2 x． （1）讨论 ( ) f x 的单调性； （2）若 ( ) 0 f x  ，求 a 的取值范围．

    　5．(2018 全国卷Ⅰ)设函数3 2( ) ( 1) f x x a x ax     ，若( ) f x 为奇函数，则曲线 ( ) y f x  在点 (0,0) 处的切线方程为 a

    　A． 2 y x  

    　B． yx  

    　C． 2 y x 

    　D． yx  6.（2019 全国Ⅰ理 13）曲线 在点 处的切线方程为____________． 7.（2019 全国Ⅲ理 6）已知曲线 在点 处的切线方程为 y=2x+b，则 A．

    　 B．a=e，b=1

    　C．

    　 D．

    　， 8.(2018 全国卷Ⅰ)已知函数1( ) ln f x x a xx   ． (1)讨论 ( ) f x 的单调性； (2)若 ( ) f x 存在两个极值点1 2, x x ，证明：1 21 2( ) ( )2 f x f xax x．

    　9.（2019 全国Ⅰ理 20）已知函数 ， 为 的导数．证明：

    　（1）

    　在区间 存在唯一极大值点； （2）

    　有且仅有 2 个零点．

    　23( )e x y x x   (0 ) 0 ，e lnxy a x x   1 e a （， ）e 1 a b    ，1e 1 a b  ，1e a 1 b  ( ) sin ln(1 ) f x x x    ( ) f x  ( ) f x( ) f x  ( 1, )2( ) f x

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