第五章,§5.6,函数y＝Asin(ωx＋φ)(二)

时间：2020-11-03 20:56:14 来源：蒲公英阅读网 本文已影响人

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　§5.6

　函数 y ＝Asin(ωx ＋φ)( 二) 学习目标 1.掌握函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质，并能解决有关问题.2.能够利用函数 y＝Asin(ωx＋φ)解决实际问题．

　一、由图象求三角函数的解析式 例 1 如图是函数 y＝Asin(ωx＋φ) A>0，ω>0，|φ|< π2的图象的一部分，求此函数的解析式．

　解 方法一 逐一定参法 由图象知 A＝3， T＝ 5π6－ － π6＝π， ∴ω＝ 2πT＝2， ∴y＝3sin(2x＋φ)． ∵点 － π6 ，0 在函数图象上， ∴－ π6 ×2＋φ＝0＋2kπ，k∈Z， 又|φ|< π2 ， ∴φ＝ π3 ， ∴y＝3sin 2x＋ π3. 方法二 待定系数法 由图象知 A＝3.∵图象过点 π3 ，0 和 5π6，0 ， ∴ πω3＋φ＝π，5πω6＋φ＝2π，解得 ω＝2，φ＝ π3 .

　∴y＝3sin 2x＋ π3. 方法三 图象变换法 由 A＝3，T＝π，点 － π6 ，0 在图象上， 可知函数图象由 y＝3sin 2x 向左平移 π6 个单位长度而得， ∴y＝3sin 2 x＋ π6，即 y＝3sin 2x＋ π3. (学生留) 反思感悟 给出 y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一部分，确定 A，ω，φ 的方法 (1)逐一定参法：如果从图象可直接确定 A 和 ω，则选取“五点法”中的“第一零点”的数据代入“ωx＋φ＝0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得 φ 或选取最大值点时代入公式 ωx＋φ＝ π2 ＋2kπ，k∈Z，选取最小值点时代入公式 ωx＋φ＝3π2＋2kπ，k∈Z. (2)待定系数法：将若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数 A，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式． (3)图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式 y＝Asin ωx，再根据图象平移、伸缩规律确定相关的参数． 跟踪训练 1 (1)函数 y＝Asin(ωx＋φ) A>0，ω>0，|φ|< π2的部分图象如图所示，则(

　)

　A．y＝2sin 2x－ π6 B．y＝2sin 2x－ π3 C．y＝2sin x＋ π6 D．y＝2sin x＋ π3 答案 A 解析 由题图可知，A＝2，T＝2 π3 － － π6＝π，所以 ω＝2.由函数经过点 π3 ，2 可知2sin 2× π3 ＋φ ＝2，所以 2×π3 ＋φ＝π2 ＋2kπ，k∈Z，所以 φ＝－π6 ＋2kπ，k∈Z，因为|φ|<π2 ，所

　以 φ＝－ π6 ，所以函数的解析式为 y＝2sin 2x－ π6. (2)已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R 其中A>0，ω>0，0<φ< π2的图象与 x 轴的交点中，相邻两个交点的距离为 π2 ，且图象上一个最低点为 M 2π3，－2 ，求 f(x)的解析式． 解 由最低点 M 2π3，－2 ，得 A＝2. 在 x 轴上两相邻交点之间的距离为 π2 ， 故 T2 ＝π2 ，即 T＝π，ω＝2πT＝ 2ππ＝2. 由点 M 2π3，－2 在图象上得 2sin 2× 2π3＋φ ＝－2，即 sin 4π3＋φ ＝－1， 故 4π3＋φ＝ 3π2＋2kπ，k∈Z， ∴φ＝ π6 ＋2kπ，k∈Z， 又 φ∈ 0， π2，∴φ＝ π6 .故 f(x)＝2sin 2x＋ π6. 二、三角函数性质的综合问题 例 2 (1)(多选)将函数 y＝sin(2x＋φ)的图象沿 x 轴向左平移 π8 个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则 φ 的可能取值为(

　) A. 5π4

　B. π4

　 C．0

　D．－3π4 答案 ABD 解析 将函数 y＝sin(2x＋φ)的图象向左平移 π8 个单位长度后，得到 y＝sin 2x＋φ＋ π4的图象，因为它是偶函数，所以 φ＋ π4 ＝π2 ＋kπ，k∈Z，即 φ＝π4 ＋kπ，k∈Z，当 k＝0 时，φ＝π4 .当 k＝－1 时，φ＝－ 3π4.当 k＝1 时，φ＝ 54 π，故选 ABD. (2)若 f(x)＝ 3sin 2ωx＋1(ω>0)在区间 － 3π2， π2上单调递增，则 ω 的最大值为________． 答案 16

　解析 因为 f(x)＝ 3sin 2ωx＋1(ω>0)在区间 － 3π2， π2上单调递增，可得－ 3π2·2ω≥－ π2 ，且π2 ·2ω≤π2 ，求得 ω≤16 ，故 ω 的最大值为16 .

　反思感悟 (1)正弦、余弦型函数奇偶性的判断方法 正弦型函数 y＝Asin(ωx＋φ)和余弦型函数 y＝Acos(ωx＋φ)不一定具备奇偶性．对于函数 y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数，当φ＝kπ＋ π2 (k∈Z)时为偶函数；对于函数y＝Acos(ωx＋φ)，当 φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数，当 φ＝kπ＋ π2 (k∈Z)时为奇函数． (2)与正弦、余弦型函数有关的单调区间的求解技巧 ①结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间． ②确定函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)单调区间的方法：采用“换元”法整体代换，将 ωx＋φ 看作一个整体，可令“z＝ωx＋φ”，即通过求 y＝Asin z 的单调区间而求出函数的单调区间．若 ω<0，则可利用诱导公式先将 x 的系数转变为正数，再求单调区间． 跟踪训练 2 已知函数 f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0,0≤φ<π)是 R 上的偶函数，其图象关于点M 3π4，0 对称，且在区间 0， π2上具有单调性，求 φ 和 ω 的值． 解 由 f(x)是偶函数，得 f(－x)＝f(x)， 即函数 f(x)的图象关于 y 轴对称， ∴f(x)在 x＝0 时取得最值，即 sin φ＝1 或－1. 依题设 0≤φ<π，∴φ＝ π2 . 由 f(x)的图象关于点 M 对称，可知 sin 3π4ω＋ π2＝0，即 3π4ω＋ π2 ＝kπ，k∈Z， 解得 ω＝ 4k3－ 23 ，k∈Z. 又 f(x)在 0， π2上具有单调性，∴T≥π，即 2πω ≥π. ∴ω≤2，又 ω>0，∴k＝1 时，ω＝ 23 ；k＝2 时，ω＝2. 故 φ＝ π2 ，ω＝2 或23 . 三、三角函数的实际应用 例 3 已知某海滨浴场的海浪高度 y(米)是时间 t(时)的函数，其中 0≤t≤24，记 y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：

　t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5

　经长期观测，y＝f(t)的图象可近似地看成是函数 y＝Acos ωt＋b 的图象． (1)根据以上数据，求其最小正周期和函数解析式；

　(2)根据规定，当海浪高度大于 1 米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的8：00 到 20：00 之间，有多少时间可供冲浪者进行活动？ 解 (1)由表中数据可知，T＝12，∴ω＝ π6 . 又 t＝0 时，y＝1.5，∴A＋b＝1.5； t＝3 时，y＝1.0，得 b＝1.0，∴A＝ 12 ， 函数解析式为 y＝ 12 cos π6 t＋1(0≤t≤24)． (2)∵y>1 时，才对冲浪爱好者开放， ∴y＝ 12 cos π6 t＋1>1，cos π6 t>0， 2kπ－ π2 <π6 t<2kπ＋π2 ，k∈Z， 即 12k－3<t<12k＋3(k∈Z)． 又 0≤t≤24，∴0≤t<3 或 9<t<15 或 21<t≤24， ∴在规定时间内冲浪爱好者只有 6 个小时可以进行活动，即 9<t<15. 反思感悟 解决三角函数的实际应用问题必须按照一般应用题的解题步骤执行 (1)认真审题，理清问题中的已知条件与所求结论． (2)建立三角函数模型，将实际问题数学化． (3)利用三角函数的有关知识解决关于三角函数的问题，求得数学模型的解． (4)根据实际问题的意义，得出实际问题的解． (5)将所得结论返回、转译成实际问题的答案． 跟踪训练 3 如图，某动物种群数量 1 月 1 日低至 700,7 月 1 日高至 900，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化．

　(1)求出种群数量 y 关于时间 t 的函数表达式(其中 t 以年初以来的月为计量单位)； (2)估计当年 3 月 1 日动物种群数量． 解 (1)设种群数量 y 关于 t 的解析式为 y＝Asin(ωt＋φ)＋b(A>0，ω>0)， 则  －A＋b＝700，A＋b＝900，解得 A＝100，b＝800. 又周期 T＝2×(6－0)＝12，∴ω＝ 2πT＝ π6 ， ∴y＝100sin π6 t＋φ ＋800.

　又当 t＝6 时，y＝900， ∴900＝100sin π6 ×6＋φ ＋800， ∴sin(π＋φ)＝1，∴sin φ＝－1，取 φ＝－ π2 ， ∴y＝100sin π6 t－π2＋800. (2)当 t＝2 时， y＝100sin π6 ×2－π2＋800＝750， 即当年 3 月 1 日动物种群数量约是 750.

　1．将函数 y＝sin 2x＋ π4的图象向左平移 π8 个单位长度，所得图象所对应的函数是(

　) A．非奇非偶函数

　 B．既奇又偶函数 C．奇函数

　 D．偶函数 答案 D 解析 y＝sin 2x＋ π4―――――――――→向左平移π 8

　个单位长度 y＝sin 2 x＋ π8＋ π4 ＝sin 2x＋ π2 ＝cos 2x，为偶函数． 2．若函数 f(x)＝2sin 2x－ π3 ＋φ 是偶函数，则 φ 的值可以是(

　) A. 5π6

　B. π2

　 C.π3

　 D．－π2

　答案 A 解析 令 x＝0 得 f(0)＝2sin － π3 ＋φ ＝±2， ∴sin φ－ π3＝±1，把 φ＝ 5π6代入，符合上式．故选 A. 3．同时具有性质“(1)最小正周期是 π；(2)图象关于直线 x＝ π3 对称；(3)在 － π6 ，π3上单调递增”的一个函数是(

　) A．y＝sin x2 ＋π6

　 B．y＝cos 2x＋ π3

　C．y＝sin 2x－ π6

　 D．y＝cos 2x－ π6 答案 C 解析 由(1)知 T＝π＝ 2πω ，ω＝2，排除 A. 由(2)(3)知 x＝ π3 时，f(x)取最大值， 验证知只有 C 符合要求． 4.如图为函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－π<φ<0)的图象的一部分，则函数的解析式为________．

　答案 y＝ 3sin 2x－ 2π3 解析 由图象，可得 A＝ 3， 12 ·2πω ＝5π6－ π3 ，∴ω＝2. ∵函数图象过点 π3 ，0 ，∴ 3sin 2π3＋φ ＝0， ∴ 2π3＋φ＝2π＋2kπ，k∈Z， ∴φ＝ 4π3＋2kπ，k∈Z，又∵－π<φ<0，∴φ＝－ 2π3， 故函数的解析式为 y＝ 3sin 2x－ 2π3. 5．已知函数 f(x)＝sin(2x＋φ)(－π<φ<0)图象的一条对称轴是直线 x＝ π6 ，则 φ 的值为________． 答案 － 56 π 解析 由题意知 2× π6 ＋φ＝π2 ＋kπ，k∈Z， 所以 φ＝ π6 ＋kπ，k∈Z， 又－π<φ<0， 所以 φ＝－ 56 π.

　 1．知识清单：

　(1)由图象求三角函数的解析式． (2)三角函数的性质的综合问题． (3)三角函数的实际应用． 2．方法归纳：特殊点法、数形结合法． 3．常见误区：求 φ 值时递增区间上的零点和递减区间上的零点的区别．

　 1．(多选)若函数 f(x)＝3sin(ωx＋φ)对任意 x 有 f π6 ＋x ＝f π6 －x ，则 f π6等于(

　) A．－3

　B．－1

　C．0

　D．3 答案 AD 解析 由于函数 f(x)＝3sin(ωx＋φ)对任意 x 都有 f π6 ＋x ＝f π6 －x ，则函数 f(x)的图象关于直线 x＝ π6 对称，则 f

　π6是函数 f(x)的最大值或最小值，则 f

　π6＝－3 或 3. 2.函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的部分图象如图，则其解析式为(

　)

　A．f(x)＝2sin x＋ π4 B．f(x)＝sin 2x＋ π4 C．f(x)＝2sin 2x＋ π4 D．f(x)＝2sin 2x－ π4 答案 C 解析 由图象知，A＝2，T＝ 7π8－ － π8＝π， 所以 ω＝2，又函数图象过点 － π8 ，0 ， 所以 2sin － π4 ＋φ ＝0，

　所以－ π4 ＋φ＝2kπ，k∈Z， 所以 φ＝ π4 ＋2kπ，k∈Z，φ 可取π4 ， 所以 f(x)＝2sin 2x＋ π4. 3．已知函数 f(x)＝cos ωx－ π6(ω>0)的相邻两个零点的距离为 π2 ，要得到 y＝f(x)的图象，只需把 y＝cos ωx 的图象(

　) A．向右平移π12 个单位长度 B．向左平移π12 个单位长度 C．向右平移 π6 个单位长度 D．向左平移 π6 个单位长度 答案 A 解析 由已知得 2πω ＝2×π2 ，故 ω＝2. y＝cos 2x 向右平移π12 个单位长度可得 y＝cos 2 x－π12＝cos 2x－ π6的图象． 4．(多选)函数 f(x)＝cos(2x＋φ) |φ|< π2的图象向右平移 π6 个单位长度后得到的函数是奇函数，则关于函数 f(x)的图象，下列说法不正确的是(

　) A．关于点 － π3 ，0 对称 B．关于直线 x＝－ π6 对称 C．关于点 π12 ，0 对称 D．关于直线 x＝π12 对称 答案 ABC 解析 将函数 f(x)＝cos(2x＋φ) |φ|< π2的图象向右平移 π6 个单位长度后，可得 y＝cos 2x－ π3 ＋φ的图象，根据得到的函数是奇函数，可得－ π3 ＋φ＝kπ＋π2 ，k∈Z，又|φ|<π2 ，所以 φ＝－π6 ，所以 f(x)＝cos 2x－ π6.

　令 x＝－ π3 ，求得 f(x)＝cos － 5π6＝－32，故 A 不正确． 令 x＝－ π6 ，求得 f(x)＝cos － π2＝0，故 B 不正确．令 x＝π12 ，求得 f(x)＝cos 0＝1，为函数的最大值，故 C 不正确，D 正确． 5．f(x)＝sin x＋acos x 关于点 π3 ，0 对称，则 a 的值为________． 答案 － 3 解析 f(x)＝ a 2 ＋1sin(x＋φ)，tan φ＝a， ∵ π3 ，0 为 f(x)的对称中心， ∴f

　π3＝0，即 sin π3 ＋acos π3 ＝0， 即32＋ 12 a＝0，∴a＝－ 3. 6．已知函数 y＝2sin(ωx＋φ) ω>0，|φ|≤ π2在一个周期内，当 x＝π12 时有最大值 2，当 x＝7π12 时有最小值－2，则 ω＝________，φ＝________. 答案 2 π3

　解析 由题意知，T＝2× 7π12 －π12＝π， 所以 ω＝ 2πT＝2； 又因为当 x＝π12 时有最大值 2. f

　π12＝2sin 2×π12 ＋φ ＝2sin π6 ＋φ ＝2， 所以 π6 ＋φ＝π2 ＋2kπ，k∈Z，且|φ|≤π2 ， 所以 φ＝ π3 . 7．函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ 为常数，A>0，ω>0)的部分图象如图所示，则 f(0)＝________.

　答案 62 解析 由图象可得 A＝ 2，周期为 4× 7π12 －π3＝π，所以 ω＝2，将 7π12 ，－ 2 代入得 2×7π12

　＋φ＝2kπ＋ 3π2，k∈Z，即 φ＝2kπ＋ π3 ，k∈Z，所以 f(0)＝ 2sin φ＝ 2sin π3 ＝62. 8.已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ) A>0，ω>0，－ π2 <φ<π2的部分图象如图所示．

　(1)求 f(x)的解析式； (2)写出 f(x)的单调递增区间． 解 (1)易知 A＝ 2，T＝4×[2－(－2)]＝16， 所以 ω＝ 2πT＝ π8 ，所以 f(x)＝ 2sin π8 x＋φ ， 将点(－2,0)代入得 sin － π4 ＋φ ＝0， 所以－ π4 ＋φ＝0＋2kπ，k∈Z， 所以 φ＝ π4 ＋2kπ，k∈Z， 因为－ π2 <φ<π2 ，所以 φ＝π4 ， 所以 f(x)＝ 2sin π8 x＋π4. (2)由－ π2 ＋2kπ≤π8 x＋π4 ≤π2 ＋2kπ，k∈Z， 解得 16k－6≤x≤16k＋2，k∈Z， 所以 f(x)的单调递增区间为[16k－6,16k＋2]，k∈Z. 9．已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ) A>0，ω>0，|φ|< π2的一段图象如图所示．

　(1)求 f(x)的解析式； (2)把 f(x)的图象向左至少平移多少个单位长度，才能使得到的图象对应的函数为偶函数？ 解 (1)由题意知 A＝3，T＝ 2πω ＝43 4π－ π4＝5π， 所以 ω＝ 25 . 由 f(x)＝3sin 25 x＋φ 的图象过点 π4 ，0 ，

　得 sin π10 ＋φ ＝0， 又|φ|< π2 ，所以 φ＝－π10 ， 所以 f(x)＝3sin 25 x－π10. (2)由 f(x＋m)＝3sin 25 x＋m－π10 ＝3sin 25 x＋2m5－π10为偶函数(m>0)， 知 2m5－π10 ＝kπ＋π2 (k∈Z)， 即 m＝ 52 kπ＋3π2(k∈Z)． 因为 m>0，所以 m min ＝ 3π2. 故至少把 f(x)的图象向左平移 3π2个单位长度，才能使得到的图象对应的函数是偶函数．

　10．已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B 的一部分图象如图所示，若 A>0，ω>0，|φ|< π2 ，则(

　)

　A．B＝4

　B．φ＝ π6

　 C．ω＝1

　D．A＝4 答案 B 解析 由函数图象可知 f(x) min ＝0，f(x) max ＝4. 所以 A＝ 4－02＝2，B＝ 4＋02＝2. 由周期 T＝ 2πω ＝4 5π12 －π6知 ω＝2. 由 f π6＝4 得 2sin 2× π6 ＋φ ＋2＝4， sin π3 ＋φ ＝1， 又|φ|< π2 ，故 φ＝π6 . 11．如果函数 y＝sin 2x＋acos 2x 的图象关于直线 x＝－ π8 对称，那么 a 的值为(

　)

　A. 2

　B．－ 2

　C．1

　D．－1 答案 D 解析 根据对称轴的定义， 因为函数 y＝f(x)＝sin 2x＋acos 2x 的图象以直线 x＝－ π8 为对称轴，那么到 x＝－π8 距离相等的x 值对应的函数值应相等， 所以 f

　x－ π8＝f －x－ π8对任意 x∈R 成立． 令 x＝ π8 ，得 f π8 －π8＝f(0)＝sin 0＋acos 0＝a， f

　－ π8 －π8＝f

　－ π4＝sin － π2＋acos － π2＝－1， 所以 a＝－1. 12.设偶函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML＝90°，|KL|＝1，则 f 16的值为________．

　答案 34 解析 取 K，L 的中点 N，则|MN|＝ 12 ，∴A＝12 . 由 T＝2，得 ω＝π. ∵函数为偶函数，0<φ<π，∴φ＝ π2 ， ∴f(x)＝ 12 cos πx，∴f

　16＝ 12 cos π6 ＝34. 13．已知函数 f(x)＝sin ωx＋ π3(ω>0)，f π6＝f π3，且 f(x)在区间 π6 ，π3上有最小值，无最大值，则 ω＝________. 答案 143 解析 依题意知 f(x)＝sin ωx＋ π3(ω>0)，f π6＝f π3，且 f(x)在区间 π6 ，π3上有最小值，无最大值， ∴f(x)图象关于直线 x＝π6 ＋π32对称，

　即关于直线 x＝ π4 对称，且π3 －π6 <T＝2πω ， ∴ π4 ·ω＋π3 ＝3π2＋2kπ，k∈Z，且 0<ω<12，∴ω＝ 143.

　14．函数 y＝2sin πx－11－x (x∈[－2,1)∪(1,4])的所有零点之和为________． 答案 8 解析 函数 y＝2sin πx－11－x (x∈[－2,1)∪(1,4])的零点即方程 2sin πx＝11－x 的根， 作函数 y＝2sin πx 与 y＝11－x 的图象如图所示：

　由图可知共有 8 个公共点，所以原函数有 8 个零点． y＝2sin πx－11－x ＝2sin π(1－x)－11－x ， 令 t＝1－x，则 y＝2sin πt－ 1t ，t∈[－3,0)∪(0,3]， 该函数是奇函数，故零点之和为 0.即 t 1 ＋t 2 ＋…＋t 8 ＝0， 从而 x 1 ＋x 2 ＋…＋x 8 ＝8， 所以原函数的零点之和为 8. 15．已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ) A>0，ω>0，|φ|< π2在一个周期内的图象如图所示．

　(1)求函数 f(x)的解析式； (2)求方程 f(x)－lg x＝0 的解的个数． 解 (1)由题图，知 A＝2， 由函数图象过点(0,1)，得 f(0)＝1，即 sin φ＝ 12 ， 又|φ|< π2 ，所以 φ＝π6 . 易知点 11π12，0 是五点作图法中的第五点，

　所以 11π12ω＋ π6 ＝2π，所以 ω＝2. 因此所求函数的解析式为 f(x)＝2sin 2x＋ π6. (2)在同一平面直角坐标系中作函数 y＝f(x)和函数 y＝lg x 的图象如图所示．

　因为 f(x)的最大值为 2， 令 lg x＝2，得 x＝100， 令 11π12＋kπ<100(k∈Z)， 得 k≤30(k∈Z)． 而 11π12＋31π>100， 且 11π12＋30π＋ π2 <100， 所以在区间(0,100]内有 31 个形如 11π12＋kπ， 17π12＋kπ (k∈Z,0≤k≤30)的区间． 在每个区间上 y＝f(x)与 y＝lg x 的图象都有两个交点，故这两个函数的图象在 11π12，100 上有2×31＝62(个)交点． 另外，两函数的图象在 0， 11π12上还有一个交点， 所以方程 f(x)－lg x＝0 共有 63 个实数解．