圆锥曲线大题全攻略含答案详解

时间：2020-11-10 05:05:13 来源：蒲公英阅读网 本文已影响人

相关热词搜索：圆锥曲线 全攻略 详解

　《圆锥曲线大题全攻略》系列课程 1. 求轨迹方程问题 2. 圆锥曲线中的定点问题 3. 圆锥曲线中的定值问题 4. 圆锥曲线中的最值问题 5. 点差法解决中点弦问题 6. 常见几何关系的代数化方法 7. 圆锥曲线中的非对称“韦达定理”问题处理技巧 8. 圆锥曲线中的三点共线问题 9. 巧用曲线系方程解决圆锥曲线中的四点共圆问题 10. 抛物线中阿基米德三角形的常见性质及应用 11. 圆锥曲线中的双切线题型

　 圆锥曲线 中的求轨迹方程问题 解题技巧

　求动点的轨迹方程这类问题可难可易是高考中的高频题型，求轨迹方程的主要方法有直译法、相关点法、定义法、参数法等。它们的解题步骤分别如下：

　1. 直译法求轨迹的步骤：

　（1）设求轨迹的点为 ); , ( y x P

　（2）由已知条件建立关于 y x, 的方程； （3）化简整理。

　2. 相关点法求轨迹的步骤：

　（1）设求轨迹的点为 ) , ( y x P ，相关点为 ) , (O Oy x Q ; （2）根据点的产生过程，找到 ) , ( y x 与 ) , (O Oy x 的关系，并将O Oy x , 用 x 和 y 表示； （3）将 ) , (O Oy x 代入相关点的曲线，化简即得所求轨迹方程。

　3. 定义法求轨迹方程：

　（1）分析几何关系； （2）由曲线的定义直接得出轨迹方程。

　4. 参数法求轨迹的步骤：

　（1）引入参数； （2）将求轨迹的点 ) , ( y x 用参数表示； （3）消去参数； （4）研究范围。

　 【例 1.】已知平面上两定点 ), , ( ), , ( 2 0 2 0 N M  点 P 满足 , MN PN MN MP    求点 P 的轨迹方程。

　 【例 2.】已知点 P 在椭圆 1422  yx上运动，过 P 作 y 轴的垂线，垂足为 Q ，点 M 满足, PQ PM31 求动点 M 的轨迹方程。

　【例 3.】已知圆 ), , ( , ) ( : 0 2 36 22 2B y x A    点 P 是圆 A 上的动点，线段 PB 的中垂线交PA 于点 Q ，求动点 Q 的轨迹方程。

　【例 4.】过点 ) , ( 1 0 的直线 l 与椭圆 1422 yx 相交于 B A, 两点，求 AB 中点 M 的轨迹方程。

　专题练习 1. 在平面直角坐标系 xOy 中，点     , , , , 4 0 1 0 B A 若直线 0 2    m y x 上存在点 P ,使得, PB PA21 则实数 m 的取值范围为_________________. 2. 已知   Q P , , 2 4  为圆 42 2  y x O: 上任意一点，线段 PQ 的中点为 , M 则 OM 的取值范围为________________. 3. 抛物线 x y C 42: 的焦点为 , F 点 A 在抛物线上运动，点 P 满足 , FA AP 2   则动点 P 的轨迹方程为_____________________.

　4. 已知定圆 , ) ( : 100 42 2   y x M 定点 ), , ( 4 0 F 动圆 P 过定点 F 且与定圆 M 内切，则动圆圆心 P 的轨迹方程为____________________. 5. 已知定直线 , : 2   x l 定圆 , ) ( : 4 42 2   y x A 动圆 H 与直线 l 相切，与定圆 A 外切，则动圆圆心 H 的轨迹方程为____________________. 6. 直线 0 3 3     t y tx l : 与抛物线 x y 42 的斜率为 1 的平行弦的中点轨迹有公共点，则实数 t 的取值范围为_________________. 7. 抛物线 y x 42 的焦点为 , F 过点 ) , ( 1 0  M 作直线 l 交抛物线于 B A, 两点，以 BF AF, 为邻边作平行四边形 , FARB 求顶点 R 的轨迹方程。

　8. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 与椭圆 112 242 2 y xC : 相交于 B A, 两点，O 为坐标原点。

　（1）若直线 l 的方程为 , 0 6 2    y x 求 OB OA 的值； （2）若 , 12   OB OA 求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程。

　 直线过定点问题 解题技巧 证明动直线在一定的条件下过定点是解析几何中的一类重要题型,这类问题解题一般有两 种解法.

　【法 1】设直线，求解参数，一般的解题步骤为：

　(1).设出直线的方程 b kx y   或 t my x   ； (2).通过题干所给的已知条件,进行正确的运算,找到 k 和 m b, 和 t 的关系，或者解出 t b,

　的值；

　(3) 根据(2)中得出的结果,找出直线过的定点.

　 【法 2】求两点，猜定点，证向量共线。一般的解题步骤为：

　(1) .通过题干条件，求出直线上的两个点 B A, 的坐标(含参)；

　(2).取两个具体的参数值，求出对应的直线 AB ，并求出它们的交点 P ，该点即为直线过的 定点；

　(3)证明 PA 与 PB 共线，得出直线 AB 过定点 P 。

　注：上面的两个解法中，解法 2 的计算量通常要大一些，故一般首选解法 1.当解法 1 失效 或处理起来较为复杂时再考虑解法 2.

　【例一】已知椭圆   0 12222    b abyaxC : 的半焦距为 c ，离心率为21，左顶点 A 到直线cax2 扥距离为 6，点 Q P, 是椭圆上的两个动点。

　（1）求椭圆 C 的方程； （2）若直线 AQ AP ,求证：直线 PQ 过定点 R ，并求出 R 点的坐标。

　【例二.】已知一动圆经过点   0 2, M ,且在 y 轴上截得的弦长为 4，设该动圆圆心的轨迹为曲线 C 。

　（1）求曲线 C 的方程； （2）过点   0 1, N 任意作两条互相垂直的直线2 1l l , ，分别交曲线 C 于不同的两点 B A, 和E D, ,设线段 DE AB, 的中点分别为 Q P, . ①求证：直线 PQ 过定点 R ，并求出定点 R 的坐标； ②求 PQ 的最小值。

　 专题练习 1. 设椭圆     0 12222        b abyaxE: 的右焦点到直线 0 2 2       y x 的距离为 3，且过点           261, 。

　（1）求 E 的方程； （2）设椭圆 E 的左顶点是 A ，直线 0       t my x l : 与椭圆 E 交于不同的两点 N M, （均不与 A 重合），且以 MN 为直径的圆过点 A 。试判断直线 l 是否过定点，若是，求出定点坐标；若否，说明理由。

　 2. 椭圆     0 12222        b abyaxC: 的上顶点为 B ，右焦点为 F ，点 F B, 都在直线0 3 3       y x 上。

　（1）求椭圆 C 的标准方程； （2）

　N M, 为椭圆 C 上的两点，且直线 BN BM, 的斜率之积为41，证明：直线 MN 过定点，并求定点坐标。

　 3. 抛物线     0 22    p px y C: 上一点        0 10 0  y y M , 满足 2   MF ，其中 F 为抛物线的焦点。

　（1）求抛物线 C 的方程； （2）设直线 MA 和 MB 分别与抛物线 C 交于不同于 M 点的 B A, 两点，若 MB MA  ，证明：直线 AB 过定点，并求此定点的坐标。

　 4. 已知直线 l 的方程为 2     x y ，点 P 是抛物线 x y 42  上距离直线 l 最近的点，点 A 是抛物线上异于点 P 的点，直线 AP 与直线 l 交于点 Q ，过点 Q 与 x 轴平行的直线与抛物线交于点 B 。

　（1）求 P 点的坐标； （2）证明：直线 AB 恒过定点，并求这个定点的坐标。

　圆锥曲线中的定值问题 解题技巧 1. 在圆锥曲线问题中,定值问题是常考题型,解题的一般步骤为: （1）设出直线的方程 b kx y   或 t my x   、点的坐标; （2）通过题干所给的已知条件,进行正确的运算,将需要用到的所有中间结果(如弦长、距 离等)表示成直线方程中引入的变量，通过计算得出目标变量为定值

　2. 解析几何大题计算过程中经常用到弦长公式,下面给出常用的计算弦长的公式: (1)若直线 AB 的方程设为   , , ), , ( ,2 2 1 1y x B y x A m kx y   则  ak x x x x k x x k AB           22 122 122 121 4 1 1

　(2)若直线 AB 的方程设为   , , ), , ( ,2 2 1 1y x B y x A t my x   ,则  am y y y y m y y m AB           22 122 122 121 4 1 1

　注:其中 a 指的是将直线的方程代入圆锥曲线方程后,化简得出的关于 x 或 y 的一元二 次方程的平方项系数,  指的是该方程的判别式.通常用ak AB  21 或 am AB  21 计算弦长较为简便

　【例 1.】设抛物线 , :2x y C  直线 l 经过点 ）

　（ 0 , 2 且与抛物线交于 A 、 B 两点，证明：

　OB OA 为定值。

　 【 例 2. 】

　已 知 椭 圆 ) 0 ( 1 :2222    b abyaxC 的 离 心 率 为A O B O b B a A  ), 0 , 0 ( ), 0 ), 0 , (23， （ ， 的面积为 1. （1）求椭圆 C 的方程； （2）

　设 P 为 C 上一点，直线 PA 与 y 轴交于点 , M 直线 PB 与 x 轴交于点 . N 求证：BM AN  为定值。

　专题练习 1. 已知椭圆     0 12222        b abyaxC: 的离心率为22，且过点     1 2, 。

　（1）求椭圆 C 的方程； （2）设 P 是椭圆 C 长轴上的动点，过 P 作斜率为22的直线 l 交椭圆 C 于 B A, 两点，求证：2 2PB PA   为定值。

　 2. 已知点     0 1, F ，直线 P x l , : 1     为平面上的动点，过 P 作直线 l 的垂线，垂足为点 Q ，且 FQ FP QF QP       。

　（1）求动点 P 的轨迹 C 的方程； （2）过点 F 的直线交轨迹 C 与 B A, 两点，交 l 于点 M ，若 BF MB AF MA2 1      , ，求2 1    的值。

　 3.已知抛物线 px y C 22  : 经过点     2 1, P 过点     1 0, Q 的直线 l 与抛物线 C 有两个不同的交点 B A, ，且直线 PA 交 y 轴于 M ，直线 PB 交 y 轴于 N 。

　（1）求直线 l 的斜率的取值范围； （2）设 O 为原点， QO QN QO QM       , ，求证： 1 1  为定值。

　4.已知椭圆     0 12222        b abyaxE: 的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的 3 个顶点，直线 3       x y l : 与椭圆 E 有且只有一个公共点 T 。

　（1）求椭圆 E 的方程及点 T 的坐标； （2）设 O 为坐标原点，直线l 平行于 OT ，与椭圆 E 交于不同的两点 B A, ，且与直线 l 交于点 P ，证明：存在常数  ，使得 PB PA PT     2，并求  的值。

　 5.在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆     0 12222        b abyaxC: 过点       231, ，右焦点为     0 1, F ，过焦点 F 且与 x 轴不重合的直线与椭圆 C 交于 B A, 两点，点 B 关于原点的对称点为 P ，直线 PB PA, 分别交直线 4   x 于 N M, 两点。

　（1）求椭圆 C 的方程； （2）若 B 的坐标为        53 358, ，求直线 PA 的方程； （3）记 N M, 两点的纵坐标分别为N My y , ，问：N M yy 是不是定值？

　 6.过抛物线 x y 42  上一定点     2 2 2, P 作两条直线分别交抛物线于不与 P 重合的       2 2 1 1y x B y x A , , , 两点。

　（1）求该抛物线上纵坐标为 1 的点到其焦点的距离 d ； （2）当 PA 与 PB 的倾斜角互补时，证明直线 AB 的斜率为非零的常数，并求出此常数。

　圆锥曲线中的最值问题 解题技巧 求最值(范围)问题是圆锥曲线常考题型,这类题解题的一般步骤是：

　(1)设出直线的方程 b kx y   或 t my x   、点的坐标； (2)将直线的方程代入圆锥曲线中,计算弦长、点到直线的距离等中间量； (3)将求范围的目标量表示成直线中引入的参数的函数关系式; (4)运用函数、均值不等式等基本方法求出最值(范围).

　【例 1.】已知点 ), 2 , 0 (  A 椭圆 ) 0 ( 1 :2222    b abyaxE 的离线率为 F ，23是椭圆的焦点，直线 AF 的斜率为 O ，33 2为坐标原点。

　（1）求 E 方程； （2）设过点 A 的直线 l 与 E 相交于 Q P, 两点，当 OPQ  的面积最大时，求 l 的方程。

　 专题练习

　1. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知点     B A , , 1 0   点在直线 3     y 上， M 点满足M BA MB AB MA OA MB , , //       点的轨迹为曲线 C 。

　（1）求 C 的方程； （2）

　P 为 C 上的动点， l 为 C 在 P 点处的切线，求 O 点到 l 距离的最小值。

　2. 已知椭圆     0 13222      ayaxM : 的一个焦点为     0 1,   F ，左、右顶点分别为 B A, 经过点 F 的直线 l 与椭圆 M 交于 D C, 两点。

　（1）求椭圆的方程；

　（2）记 ABD  与 ABC  的面积分别为1S 和2S ，求2 1S S   的最大值。

　3. 已知抛物线     0 22    p py x C: ，过其焦点作斜率为 1 的直线 l 与 C 交于 N M, 两点，16   MN 。

　（1）求抛物线 C 的方程； （2）已知动圆 P 的圆心在 C 上，且过定点     4 0, D ，若动圆 P 与 x 轴交于 B A, 两点，DB DA   ，求DBDA的最小值。

　4. 已知椭圆     0 12222        b abyaxC: 的左、右焦点分别为2 1F F , ，左顶点为 A ，离心率为22，点 B 是椭圆上的动点，1ABF  面积的最大值为21 2  。

　（1）求椭圆 C 的方程； （2）设经过点的直线1F 的直线 l 与椭圆 C 相交于不同的两点 N M, ，线段 MN 的中垂线为l ，若直线l 与 l 相交于点 P ，与直线 2   x 相交于点 Q ，求MNPQ的最小值。

　 5. 设圆 0 15 22 2        x y x 的圆心为 A ，直线 l 过点     0 1, B 且与 x 轴不重合， l 交圆 A于 D C, 两点，过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E 。

　（1）证明 EB EA   为定值，并写出点 E 的轨迹方程； （2）设点 E 的轨迹为曲线1C ，直线 l 交1C 于 N M, 两点，过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A交于 Q P, 两点，求四边形 MPNQ 面积的取值范围。

　6. 已知椭圆 1422    yxG : ，过点     0 , m 作圆 12 2    y x 的切线 l 交椭圆 G 与 B A, 两点。

　（1）求椭圆 G 的焦点坐标和离心率； （2）将 AB 表示为 m 的函数，并求 AB 的最大值。

　 7. 如图，已知点     0 1, F 为抛物线     0 22    p py y 的焦点，过 F 的直线交抛物线与 B A, 两点，点 C 在抛物线上，使得 ABC  的重心 G在 x 轴上，直线 AC 交 x 轴于点 Q ，且 Q 在点 F 右侧，记CQG AFG  , 的面积分别为2 1S S , 。

　（1）求 p 的值及抛物线的准线方程； （2）求21SS的最小值及此时点 G 的坐标。

　常见几何关系的代数化方法

　 解题技巧

　解析几何的基本思想是用代数的方法研究几何问题，因此，积累一些常见的几何关系的代数化方法是有必要的，本专题归纳了一些常见的几何关系的处理方法：

　（1）以 AB 为直径的圆过点 0    PB PA P ; （2）点 P 在以 AB 为直径的圆内 0    PB PA ; （3）点 P 在以 AB 为直径的圆外 0    PB PA ; （4）四边形 PQRS 为平行四边形  对角线 PR 与 QS 互相平分; （5）四边形 PQRS 为菱形  对角线 PR 与 QS 互相垂直平分； （6）四边形 PQRS 为矩形  对角线 PR 与 QS 互相平分且相等； （7）

　0     AB PM PB PA ,其中 M 为 AB 的中点； （8）直线 AB 与直线 MN 关于水平线或竖直线对称 0   MN ABk k ; （9）F 为 PQM  的垂心 0    QM PF、0  PM QF且0  PQ MF.

　 【例一】已知圆 C：

　  12 122   y x 及点 F（1，0），点 P 在圆上，M,N 分别为 PF，PC 上的点，且满足 0    PF MN MF PM , . （1）求 N 的轨迹 W 的方程； （2）是否存在过点 F（1，0）的直线 l 与曲线 W 相交于 A,B 两点，并且与曲线 W上一点 Q，使得四边形 OAQB 为平行四边形？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，说明理由。

　 【例二】在直角坐标系 xOy 中，曲线42xy C  : 与直线 ) ( : 0    a a kx y l 交于 M,N两点。

　（1）当 0  k 时，分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程； （2）在 y 轴上是否存在点 P，使得当 k 变动时，总有 ? OPN OPM    说明理由。

　专题练习

　1. 已知 A,B,C 是椭圆 1422  yxW : 上的三个点， O 是坐标原点。

　（1）当点 B 是 W 的右顶点，且四边形 OABC 为菱形时，求此菱形的面积； （2）当点 B 不是 W 的顶点，判断四边形 OABC 是否可能为菱形，并说明理由；

　2. 已知椭圆   0 12222    b abyax的右焦点为 F ,上顶点为 O M, 为坐标原点，若OMF  的面积为21，且椭圆的离心率为22。

　（1）求椭圆的方程； （2）是否存在直线 l 交椭圆于 Q P, 两点，且 F 点恰为 PQM  的垂心？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，说明理由。

　3. 直 线 , : 0 8   y x l 圆 , : 362 2  y x O 其 中 O 是 坐 标 原 点 ， 椭 圆  0 12222    b abyax的离心率为 ,23 e 直线 l 被圆 O 截得的弦长与椭圆 C 的长轴长相等。

　（1）求椭圆 C 的方程； （2）过点（3，0）的直线l与椭圆 C 交于 B A, 两点，设 . OB OA OS   是否存在直线l，使 ? AB OS  若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由。

　4. 设2 1F F , 分别是椭圆  0 12222    b abyaxE : 的左、右焦点，过1F 作斜率为 1 的直线 l 与 E 相交于 B A, 两点，且2 2BF AB AF , , 成等差数列。

　（1）求椭圆 E 的离心率； （2）设点 ) , ( 1 0  P 满足 , PB PA  求 E 的方程。

　5. 已知椭圆 ), ( : 0 92 2 2   m m y x C 直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴， l 与 C有两个交点 B A, ，线段 AB 的中点为 M . （1）证明：直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值； （2）若 l 过点 mm,3，延长线段 OM 与 C 交于点 P 四边形 OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时 l 的斜率；若不能，说明理由。

　 6. 设 B A, 分别为椭圆   0 12222    b abyax的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且过点 . ,262

　（1）求椭圆的方程； （2）设 P 为直线 4  x 上不同于点（4，0）的任意一点，若直线 BP AP, 分别与椭圆相交于异于 B A, 的点 N M, ,证明：点 B 在以 MN 为直径的圆内。

　 点差法解决中点弦问题 解析技巧 设直线与圆锥曲线交于 B A, 两点， AB 中点为 M ，这类与圆锥曲线的弦和弦中点有关的问题，一般叫做中点弦问题，点差法是解决中点弦问题的重要方法。其解题的一般步骤是：

　（1）设 B A, 两点的坐标分别为    1 1y x A , 、    2 2y x B , ； （2）代入圆锥曲线的方程； （3）将所得方程作差，结合中点公式         222 12 1y xxy yyMM、斜率公式2 12 1x xy yk AB    等化简，得出结果。

　 【例一】已知双曲线 1422    yxC : ，点     1 4, P 是双曲线一条弦的中点，则该弦所在直线的方程为________________.

　 【例二】已知椭圆 1222    yx上两个不同的点 B A, 关于直线21    mx y 对称，求实数m 的取值范围。

　专题练习 1. 过椭圆 14 162 2   y x内一点     1 2, M 引一条弦 AB ，使弦 AB 被 M 点平分，则直线 AB 的方程为_____________. 2. 已知抛物线 x y C 62  : ，过点     1 4, P 引抛物线 C 的一条弦 AB ，使该弦被 P 点平分，则这条弦所在直线的方程为______________. 3. 已知抛物线 C 的顶点在原点，准线方程为 1     x ，直线 l 与抛物线 C 交于 N M, 两点，线段 MN 的中点为     1 1, ，则直线 l 的方程为_____________. 4. 椭圆 36 42 2    y x 的弦 AB 被点     2 4, 平分，则直线 AB 的方程为____________. 5. 已知抛物线     0 22    p px y C: 的焦点为 F ，过点     1 2, R 的直线 l 与抛物线 C 交于B A, 两点，且 5       FB FA RB RA , ，则直线 l 的斜率为

　（

　）

　23. A

　 1 . B

　 2 . C

　21. D

　6. 椭圆 12 42 2   y xC : 的斜率为 3 的弦 AB 的中点 M 的轨迹方程为___________. 7. 抛物线 x y C  2: 上存在不同的两点 B A, 关于直线     3     x m y l : 对称，则实数 m 的

　取值范围为__________. 8. 已知椭圆     0 92 2 2      m m y x C: ，直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴， l 与 C 有两个交点 B A, ，线段 AB 的中点为 M 。证明：直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值。

　 9.已知双曲线 1222   yx ，是否存在过点     1 1, P 的直线 l 与双曲线交于 B A, 两点，且 P恰为 AB 的中点？

　 10.已知椭圆     0 12222        b abyaxE: 的半焦距为 c ，原点 O 到经过两点         b c , , , 0 0 的直线的距离为2c。

　（1）求椭圆 E 的离心率； （2）如图， AB 是圆        251 22 2        y x M : 的一条直径，若椭圆 E 经过 B A, 两点，求椭圆 E 的方程。

　圆锥曲线中的非对称韦达定理问题处理技巧

　解析技巧

　在圆锥曲线问题中，将直线的方程与圆锥曲线方程联立，消去 x 或y，得到关键方程（不妨设方程的两根为1x和2x），结合韦达定理来进行其他的运算是常见的解题方法。能够利用韦达定理计算的量一般有2 12 12221 2 1 2 11 1x xx x x x x x x x         , , , ,等，但在某些问题中，可能会涉及需计算两根系数不相同的代数式，例如，运算过程中出现了2 1 2 13 2 2 x x x x     ,等结构，且无法直线通过合并同类项化为系数相同的情况处理，像这种非对称的韦达定理结构，通常是无法根据韦达定理直接求出的，那么一般的处理方法是局部计算、整体约分。需要通过适当的配凑，将分子和分母这种非对称的结构凑成一致的，剩下的一般可以转化为对称的韦达定理加以计算，最后通过计算，发现分子、分母可以整体约分，从而解决问题。下面通过几个例题来详细介绍这类的解题方法。

　1. 平面内有两定点 ), 1 , 0 ( ), 1 , 0 ( B A  曲线 C 上任意一点 ) , ( y x M 都满足直线 AM 与直线BM 的斜率之积为 ,21 过点 ) 0 , 1 ( F 的直线 l 与椭圆交于 D C, 两点，并与 y 轴交于点 P ,直线 AC 与 BD 交于点 . Q

　（1）求曲线 C 的轨迹方程； （2）当点 P 异于 B A, 两点时，求证：

　OQ OP 为定值。

　【例 1.】已知椭圆 ) 0 ( 1 :2222    b abyaxC 过点 ）， ， （ 2 , 2 P 且离心率为 .22 （1）求椭圆 C 的方程； （2）设椭圆 C 的上、下顶点分别为 , ,B A 过点 ）

　（ 4 , 0 斜率为 k 的直线与椭圆 C 交于 N M,两点。求证：直线 BM 与 AN 的交点 G 在定直线上。

　 【例 2.】椭圆有两个顶点 ), 0 , 1 ( ), 0 , 1 ( B A  过其焦点 ) 1 , 0 ( F 的直线 l 与椭圆交于 D C, 两点，并与 x 轴交于点 P ,直线 AC 与 BD 交于点 Q . （1）当22 3 CD 时，求直线 l 的方程； （2）当 P 点异于 B A, 两点时，证明：

　OQ OP 为定值。

　 专题练习

　 1. 已知 B A, 分别是椭圆 1222    yx的右顶点和上顶点， D C, 在椭圆上，且 AB CD// ，设直线 BD AC, 的斜率分别为1k 和2k ，证明：2 1 kk 为定值。

　 2. 已知椭圆     0 12222        b abyaxC: 的左、右焦点分别为         N M c F c F , , , , , 0 02 1  分别为左、右顶点，直线 1     ty x l : 与椭圆 C 交于 B A, 两点，当33    t 时， A 是椭圆 C的上顶点，且2 1 FAF  的周长为 6. （1）求椭圆 C 的方程； （2）设直线 BN AM, 交于点 T ，求证：点 T 的横坐标Tx 为定值。

　 3.已知 F 为椭圆 13 42 2   y x的右焦点， B A, 分别为其左、右顶点，过 F 作直线 l 交椭圆于不与 B A, 重合的 N M, 两点，设直线 BN AM, 的斜率分别为1k 和2k ，求证：21kk为

　定值。

　圆锥曲线中的三点共线问题 解题技巧

　平面解析几何中三点共线相关问题

　三点共线问题是高考的热点问题，大题小题都有涉及。这类题处理的方法一般来说有两个：①斜率相等；②向量共线。

　证明三点共线问题的解题步骤：

　（1）求出要证明共线的三点的坐标；（如果已给出，则无需这一步）

　（2）运用斜率相等或向量共线来证明三点共线。

　特别提醒：三点共线问题的两个处理方法中，向量共线往往更方便，因为无需考虑斜率不存在的情形，所以大题一般用向量共线，小题用斜率相等。

　【例 1.】抛物线 ) ( : 02121  p xpy C 的焦点与双曲线 13222  yxC : 的右焦点的连线交1C 于第一象限的点 M ，若1C 在点 M 处的切线平行于2C 的一条渐近线，则  p （

　）

　63. A

　 83. B

　 33 2. C

　 33 4. D

　【例 2.】已知抛物线 x y 42 的焦点为 F ，过 F 的直线交抛物线于 B A, 两点，设 AB 中点为 M B A M , , , 在抛物线的准线上的射影分别为 . , , N D C

　（1）求直线 FN 与直线 AB 所成的夹角  的大小； （2）证明：

　C O B , , 三点共线。

　专题习题

　1. 抛物线 y x C3821 : 的焦点 F 与双曲线 ) ( : 0 1322 22   bby xC 的右焦点 T 的连线交1C 于第一象限的点 M ，若1C 在点 M 处的切线平行于2C 的一条渐近线，则  b （

　）

　2 . A

　3 . B

　 2 . C

　1 . D

　2. 已知椭圆 14 52 2 y x的右焦点为 F ，设直线 5  x l: 与 x 轴的交点为 E ，过点 F 的直线1l 与椭圆交于 B A, 两点， M 为线段 EF 的中点。

　（1）若直线1l 的倾斜角为  45 ，求 ABM  的面积 S ； （2）过点 B 作直线 l BN  与点 N ,证明：

　N M A , , 三点共线。

　3. 已知椭圆 ) ( : 0 12222    b abyaxE 的右焦点为 F ，椭圆的上顶点和两焦点的连线构成一个等边三角形，且面积为 . 3

　（1）求椭圆 E 的标准方程； （2）若直线 ) ( : 0    m q my x l 与椭圆 E 交于不同的两点 B A, ，设点 A 关于椭圆长轴的对称点为1A ,试求 B F A , ,1三点共线的充要条件。

　4. 已知椭圆 ) ( : 0 12222    b abyaxM 的离心率为 ,36焦距为 . 2 2 斜率为 k 的直线 l 与椭圆 M 有两个不同的交点 B A, 。

　（1）求椭圆 M 的方程； （2）若 , 1  k 求 AB 的最大值； （3）设 ), , ( 0 2  P 直线 PA 与椭圆 M 的另一个交点为 , C 直线 PB 与椭圆 M 的另一个交点为 , D 若 D C, 和点 ) , (4147 Q 共线，求 . k

　5. 已知曲线 ) ( ) ( ) ( : R m y m x m C      8 2 52 2. （1）若曲线 C 是焦点在 x 轴上的椭圆，求 m 的取值范围； （2）设 , 4  m 曲线 C 与 y 轴的交点分别为 B A, （点 A 位于点 B 的上方），直线 4   kx y与曲线 C 交于不同的两点 , ,N M 直线 1  y 与直线 BM 交于点 , G 求证：

　N G A , , 三点共线。

　 6. 已知两个定点         0 1 0 1 , , , N M   ，动点 P 满足 PN PM 2   。

　（1）求动点 P 的轨迹 C 的方程； （2）过点 M 的直线 l 与曲线 C 交于不同的两点 B A, ，设点 A 关于 x 轴的对称点为 Q（ Q A, 两点不重合），证明：

　Q N B , , 三点在同一直线上。

　 巧用曲线系方程解决圆锥曲线中的四点共圆问题 解题技巧 圆锥曲线中的四点共圆问题在高考中是一大难点，应用曲线系方程可以很好地解决这类问题。

　1. 曲线系方程：设 0  ) , ( y x f 和 0  ) , ( y x g 分别表示平面上的两条曲线，则经过两曲线交

　点的曲线系方程可以为 . ) , ( ) , ( 0   y x g y x f 

　2. 高考中常见的四点共圆问题是两条直线与圆锥曲线交于不同的四点，判断四点是否在同一圆上，如果是，需求出圆的方程。应用曲线系方程求解这类四点共圆问题的解题步骤是：（1）设经过圆锥曲线和两直线交点的曲线系方程为 . ) , ( ) , ( 0   y x g y x f  ，其中0  ) , ( y x f 表示圆锥曲线方程， 0  ) , ( y x g 表示两直线构成的曲线的方程； （2）将 . ) , ( ) , ( 0   y x g y x f  展 开 ， 合 并 同 类 项 ， 与 圆 的 一 般 方 程02 2     F Ey Dx y x 比较系数，求出  的值； （3）将  反代回方程 . ) , ( ) , ( 0   y x g y x f  的展开式，化为圆的标准方程，从而得出四点共圆且求出了圆的方程。

　3. 圆锥曲线中四点共圆问题的结论：设两条直线和圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）交于四点，则四个交点在同一个圆上的充要条件是两直线的倾斜角互补。

　【例 1.】已知抛物线 x y C 42 : 的焦点为 F ,经过点 F 且斜率为 1 的直线 l 与抛物线 C 交于 B A, 两点，线段 AB 的中垂线和抛物线 C 交于 N M, 两点，证明 N M B A , , , 四点共圆，并求出该圆的方程。

　 【例 2.】设椭圆 1222  yxE : 的右焦点为 F ，经过点 F 且斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C 交于 B A, 两点，直线 x y 2  与椭圆 E 交于 D C, 两点，若 D C B A , , , 四点共圆，求 k 的值以及该圆的方程。

　 【例 3.】已知 Q T ), , ( 0 3 是圆 16 32 2   y x P ) ( : 上一动点，线段 QT 的中垂线与直线PQ 交于点 S . （1）求动点 S 的轨迹的 E 方程； （2）过点   0 1, 且斜率为2的直线1l 与轨迹 E 交于 B A, 两点，过原点且斜率为-2的直线2l 与轨迹 E 交于 N M, 两点，判断 N M B A , , , 四点是否在同一圆上，若是，求出圆的方程。

　专题练习

　1. 已知抛物线 x y E 82 : 的焦点为 , F 过 F 作两条互相垂直的直线分别与抛物线 E 交于C A, 和 . ,D B 问：

　D C B A , , , 四点是否共圆？若是，求出圆的方程；若不是，说明理由。

　2. 已知双曲线   0 0 12222    b abyaxC , : 的一条渐近线方程为 , 0 2 3   y x 且过点  . ,3 4

　（1）求双曲线 C 的方程； （2）斜率为21 的直线1l 过点   0 1,  且与双曲线 C 交于 B A, 两点，斜率为 k 的直线2l 过原点且与双曲线 C 交于 N M, 两点，若 N M B A , , , 四点是否在同一圆上，求 k 的值及该圆的方程。

　3. 已知抛物线 ) ( : 0 22  p px y C 的焦点为 F ,直线 4  y 与 y 轴的交点为 , P 与 C 的交点为 , Q 且 . PQ QF45

　（1）求 C 的方程； （2）过 F 的直线 l 与 C 相交于 B A, 两点，若 AB 的垂直平分线与 C 相交于 N M, 两点，且N B M A , , , 四点在同一圆上，求 l 的方程。

　抛物线中的阿基米德三角形 解题技巧 阿基米德三角形：如图，抛物线的一条弦以及弦端点处的两条切线所围成的三角形，叫做抛

　物线中的阿基米德三角形。下面给出阿基米德三角形的一些常见性质。

　如图，不妨设抛物线为     0 22    p py x ，抛物线上 B A, 两点处的切线交于点 P ，则 （1）设 AB 中点为 M ，则 PM 平行（或重合）于抛物线的对称轴； （2）

　PM 的中点 S 在抛物线上，且抛物线在 S 处的切线平行于弦 AB ； （3）若弦 AB 过抛物线内的定点 Q ，则点 P 的轨迹是直线；特别地，若弦 AB 过定点       0 0   m m , ，则点 P 的轨迹是直线 m y     ； （4）若弦 AB 过抛物线内的定点 Q ，则以 Q 为中点的弦与（3）中 P 点的轨迹平行； （5）若直线 l 与抛物线没有交点，点 P 在直线 l 上运动，则以 P 为顶点的阿基米德三角形的底边过定点； （6）若 AB 过焦点 F ，则 P 点的轨迹为抛物线准线， , , AB PF PB PA     且 PAB  面积的最小值为2p ； （7）

　PFB PFA     ； （8）2PF BF AF     。

　 很多高考试题都以阿基米德三角形为背景命制，熟悉这些性质对解题是有必要的，下面通过

　实例来证明上面的部分结论。

　 【例一】已知抛物线 y x C 42  : 的焦点为 F ，抛物线上 B A, 两点处的切线交于点 P ， AB中点为 M 。

　（1）证明：

　x PM   轴； （2）设 PM 的中点为 S ，证明：

　S 在抛物线上，且抛物线在 S 处的切线平行于直线 AB ； （3）证明：

　PFB PFA     ； （4）证明：2PF BF AF    

　（5）若 AB 过点     1 1, Q ，求点 P 的轨迹 E 的方程；当 Q 恰为 AB 中点时，判断 AB 与轨迹E 的位置关系； （6）若 AB 过点 F ，求点 P 的轨迹方程，并证明 , , AB PF PB PA     求出 PAB  面积的最小值。

　【例二】已知抛物线 y x C 42  : 的焦点为 F ，点 P 是直线 2     x y l : 上的动点，过 P 作抛物线的两条切线，切点分别为 A 和 B ，证明：直线 AB 过定点，并求出定点的坐标。

　专题练习 1. 已知点     1 1,   M 和抛物线 x y C 42  : ，过 C 的焦点 F 且斜率为 k 的直线与 C 交于 B A,两点，若       90 AMB ，则   k __________. 2. 已知抛物线 y x 42  的焦点为 F ， B A, 是抛物线上两动点，且     0       FB AF ，过B A, 两点分别作抛物线的切线，设其交点为 M ，则 AB FM   的值（

　）

　. A 大于 0

　. B 等于 0

　. C 小于 0

　 . D 无法判断 3. 已知抛物线 x y 42  的焦点为 F ，点 M 为直线 2     x 上的一动点，过点 M 向抛物线x y 42  作切线，切点为 C B, ，以点 F 为圆心的圆恰与直线 BC 相切，则该圆面积的取值范围为（

　 ）

　     , . 0 A

　      , . 0 B

　      4 0, . C

　     4 0, . D

　4. 已知抛物线 x y C 42  : 与点     1 1,   M ，过抛物线 C 的焦点 F 且斜率为 k 的直线与 C 交于 B A, 两点，若 0    MB MA ，则   k （

　）

　2 . A

　 23. B

　1 . C

　4 . D

　5. 已知 F 为抛物线 y x C 42  : 的焦点，过点 F 的直线 l 与抛物线 C 交于不同的两点 A 和B ，抛物线 C 在 B A, 两点处的切线交于点 P ，设 m AB   ，则 PF 的值为_________.（结果用 m 表示）

　6. 已知 F 为抛物线 y x C 42  : 的焦点，过点 F 的直线 l 与抛物线 C 交于不同的两点 A 和B ，抛物线 C 在 B A, 两点处的切线交于点 P ，则ABPF32  的最小值为_________. 7. 已知抛物线 y x 42  的焦点为 F ， B A, 是抛物线上的两动点，且     0       FB AF ，过 B A, 两点分别作抛物线的切线，设其交点为 M 。

　（1）证明：

　AB FM   为定值；

　（2）设 ABM  的面积为 S ，写出      f S   的表达式，并求 S 的最小值。

　 圆锥曲线中的双切线题型 解题技巧 过圆锥曲线外一点 P ，作圆锥曲线的两条切线，由此衍生的一系列问题，一般称之为双切线问题。这类问题一般的处理步骤是：

　（1）设切线的斜率为 k ，写出切线的方程； （2）将切线的方程代入圆锥曲线方程，化简得出关键方程； （3）由（2）中方程满足判别式 0    ，建立关于 k 的一元二次方程，两切线的斜率2 1k k , 为方程的两根； （4）结合韦达定理，计算2 1 2 1k k k k ,   等，并将之用于其他量的计算。

　 【例一】设椭圆     0 12222        b abyaxE: 的左、右焦点分别为2 1F F , ，其离心率21  e ，且点2F 到直线 1    byax的距离为721。

　（1）求椭圆 E 的方程； （2）设点    0 0y x P , 是椭圆 E 上一点     10  x ，过点 P 作圆     1 12 2      y x 的两条切线，切线与 y 轴交于 B A, 两点，求 AB 的取值范围。

　 专题练习 1. 已知椭圆     0 12222        b abyaxC: 的一个焦点为     0 5, ，离心率为35。

　（1）求椭圆 C 的标准方程； （2）若动点    0 0y x P , 为椭圆外一点，且点 P 到椭圆 C 的两条切线相互垂直，求点 P 的轨迹方程。

　 2. 设椭圆                233 2142222bby xC : ，动圆        342020        y y x x P: ，其中   0 0y x P , 是椭圆 C 上异于左、右顶点的任意一点，过原点 O 作两条射线与圆 P 相切，分别交椭圆于 N M, 两点，且切线长的最小值为36。

　（1）求椭圆 C 的方程； （2）求证：

　MON  的面积为定值。

　 3. 已知圆 12 2    y x O: 和抛物线 O x y E , : 22    为坐标原点。

　（1）若直线 l 与圆 O 相切，与抛物线 E 交于 N M, 两点，且满足 ON OM   ，求直线 l 的方程； （2）过抛物线 E 上一点    0 0y x P , 作两条直线 PR PQ, 与圆 O 相切，且分别交抛物线 E交于 R Q, 两点，若直线 QR 的斜率为 3   ，求点 P 的坐标。

　4. 已知圆         M F y x C , , , : 0 1 16 12 2        是圆 C 上的一个动点，线段 MF 的垂直平分线与线段 MC 相交于点 P 。

　（1）求动点 P 的轨迹方程； （2）记 P 点的轨迹为 B A C , ,1是直线 2     x 上的两点，满足 BF AF   ，曲线1C 的过点 B A, 的两条切线（异于 2     x ）交于点 Q ，求四边形 AQBF 的面积的取值范围。

　 解析几何中的求轨迹方程问题 解析 例题 【例一】

　【例二】

　【例三】

　【例四】

　专题练习

　 直线过定点问题 解析 例题

　【例一】

　 【例二】

　专题练习

　圆锥曲线中的定值问题 答案

　圆锥曲线中的最值问题

　答案 例题

　专题练习

　 常见几何关系的代数化方法 解析 例题 【例一】

　【例二】

　专题练习

　 点差法解决中点弦问题解析 例题

　【例一】

　 【例二】

　 专题练习

　圆锥曲线中的非对称韦达定理问题处理技巧解析 例题 【例二】

　【例三】

　 专题练习

　圆锥曲线中的三点共线问题 解析 例题 【例一】

　【例二】

　专题练习

　 巧用曲线系方程解决圆锥曲线中的四点共圆问题 解析 例题 【例三】

　 专题练习

　抛物线中的阿基米德三角形 解析 例题 【例一】

　 【例二】

　专题练习

　 圆锥曲线中的双切线题型 例题 【例一】

　 专题练习