专题07~圆锥曲线概念及其几何性质

时间：2021-01-29 15:20:54 来源：蒲公英阅读网 本文已影响人

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　方法技巧专题 7

　圆锥曲线的概念及其几何性质 解析版一、

　圆锥曲线的概念及其几何性质知识框架

　 二、圆锥曲线的定义、方程

　 【一】圆锥曲线的定义

　1 、椭圆 （1）秒杀思路：动点到两定点(距离为 )距离之和为定值( )的点的轨迹； （2）秒杀公式：过抛圆的一个焦点作弦 ,与另一个焦点 构造 ，则 的周长等于 。

　（3）

　①当 时，表示椭圆；②当 时，表示两定点确定的线段；

　③当 时，表示无轨迹。

　2 、双曲线 （1）秒杀思路：

　①双曲线上任意一点到两焦点距离之差的绝对值是常数 ;

　 ②注意定义中两个加强条件:（I）绝对值; （II）

　； ③加绝对值表示两支(或两条),不加绝对值表示一支(或一条);

　 （2）秒杀公式：过双曲线的一个焦点作弦 （交到同一支上），与另一个焦点 构造 ，则的周长等于 。

　 （3）

　①当 时，表示双曲线；

　②当 时，表示以两定点为端点向两侧的射线；

　 ③当 时，无轨迹；

　④当 时表示两定点的中垂线。

　3 、抛物线 （1）秒杀思路：到定点(焦点)距离等于到定直线(准线)距离。所以，一般情况下,抛物线已知到焦点的距离需转化为到准线的距离,已知到准线的距离需转化为到焦点的距离。

　（2）秒杀公式一：焦点在 轴上的圆锥曲线,曲线上的点到同一个焦点的距离成等差数列，则横坐标成等差数列，反过来也成立。

　（3）秒杀公式二：作过抛物线焦点且倾斜角为 或 的弦,两段焦半径分别为: .

　 1. 例 例 题

　【例 1 1 】设 P 是椭圆2 2125 16x y  上的点,若2 1 ,FF 是椭圆的两个焦点,则1 2PF PF  等于 (

　) A.4

　B.5

　 C.8

　D.10

　【解析】利用椭圆的定义得1 2PF PF  = 10 2  a ,选 D。

　【例 2 2 】已知椭圆 C :2 219 4x y  ,点 M 与 C 的焦点不重合,若 M 关于 C 的焦点的对称点分别为 B A, ,线段MN 的中点在 C 上,则 | | | | AN BN  

　 .

　 【解析】如图,22QF BN  ,12QF AN  , | | | | AN BN   12 4 ) ( 22 1   a QF QF .

　 例 【例 3 3 】已知双曲线 12 2  y x ,点2 1 ,FF 为其两个焦点,点 P 为双曲线上一点,若2 1PF PF  ,则2 1PF PF  的值为_______. 【解析】

　, 8 , 22221 2 1    r r r r 得2 1PF PF  = 3 2 . 【例 4 4 】设椭圆1C 的离心率为135,焦点在 x 轴上且长轴长为 26,若曲线2C 上的点到椭圆1C 的两个焦点的距离的差的绝对值等于 8,则曲线2C 的标准方程为

　 (

　 ) A. 13 42222 y x

　 B. 15 132222 y x

　 C. 14 32222 y x

　 D. 112 132222 y x 【解析】由双曲线定义得 4  a ， 5  c ， 3  b ，选 A。

　【例 5 5 】( (2016 年新课标全国卷 I10)以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 B A, 两点,交 C 的准线于 E D, 两点.已知 AB = 4 2 , DE = 2 5 ,则 C 的焦点到准线的距离为

　(

　) A.2

　B.4

　C.6

　D.8

　【解析】A Apx y AM 2 8 , 2 2    ,px A4 ,24 ppR   =4522 2pON DN    , 4  p ,选 B。

　例 【例 6 6 】已知抛物线22 ( 0) y px p   的焦点为 F ,点  1 1 1, y x P ,  2 2 2, y x P ,  3 3 3, y x P

　在抛物线上,且2 1 32x x x   ,则有

　(

　) A.1 2 3FP FP FP  

　 B.2 2 21 2 3FP FP FP  

　C.2 1 32 FP FP FP  

　 D.22 1 3FP FP FP  ·

　【解析】2 1 32x x x   可知焦半径成等差数列,选 C. 【例 7 7】

　】(2017 年新课标全国卷 II)已知 F 是抛物线 : C 的焦点, M 是 C 上一点, FM 的延长线交 轴于点 N .若 M 为 FN 的中点，则 FN =

　. 【解析】28 y x  则 4 p  ，焦点为   2 0 F ， ，准线 : 2 l x   ，如图， M 为 F 、 N 中点，知线段 BM 为梯形 AFNC 的中位线,∵ 2 CN  , 4 AF  ,∴ 3  MB ,又由定义知 MF MB  ,且 MN NF  , 6  FN 。

　【例 8 8 】

　M 是抛物线24 y x  上一点,F 是抛物线的焦点,以 Fx 为始边、 FM 为终边的角 60 xFM    ,求FM . 【解析】由秒杀公式得 FM = p 2 =4。

　【例 9 9 】抛物线24 y x  的焦点为 F ,准线为 l ,经过 F 且斜率为 3 的直线与抛物线在 x 轴上方的部分相交于点 A , AK l ⊥ ,垂足为 K ,则 AKF △ 的面积是

　(

　) 28 y x  ylFNMCBAOyx

　 A.4

　 B. 3 3

　 C. 4 3

　D. 8

　【解析】由秒杀公式得 4 2    p AF AK ， AKF   是边长为 4 的正三角形， AKFS 4 3 。

　2. 巩固提升综合练习

　【练习 1 1 】(2011 年新课标全国卷 14)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的中心为原点,焦点1 2, F F 在 x 轴上,离心率为22.过1F 的直线 l 交 C 于 , A B 两点,且2ABF  的周长为 16,那么 C 的方程为

　. 【解析】

　4 , 16 4   a a ,得方程为:2 2116 8x y  .

　【练习2 2】

　】已知 为椭圆 的两个焦点,过 的直线交椭圆于 , A B 两点, ,则 =

　 . 【解析】

　8 12 4    a AB 。

　【练习 3 3 】已知双曲线 C 的离心率为 2，焦点为1F 、2F ,点 A 在 C 上,若1 22 FA F A  ,则2 1cos AF F  

　 A.14

　B.13

　C.24

　 D.23 【解析】由双曲线定义得：

　a A F A F 22 1  ，1 22 FA F A  ， a A F a A F 2 , 42 1   ， a c F F 4 22 1  ，由余弦定理得：2 1cos AF F  41，选 A。

　【练习 4 4 】若双曲线

　的左、右焦点分别为 ,点 在双曲线 上,且 ,则

　等于

　(

　) A.11

　B.9

　 C.5

　D.3 【解析】由双曲线定义得：

　92 PF ,选 B。

　【练习 5 5 】抛物线24 y x  上的一点 M 到焦点的距离为 1,则点 M 的纵坐标是

　(

　) A.1617

　 B.1615

　 C.87

　D.0 【解析】由抛物线定义得选 B。

　【练习 6 6 】已知 F 是抛物线2y x  的焦点, , A B 是该抛物线上的两点, =3 AF BF  ,则线段 AB 的中点到y 轴的距离为

　(

　) 2 1F F、 19 252 2 y x1F 122 2  B F A FAB2 2: 19 16x yE  1 2, F F P E13 PF 2PF

　 A.34

　B.1

　C.54

　D.74 【解析】由抛物线定义得选 C。

　【练习 7 7 】(2014 年新课标全国卷 I10)已知抛物线 C :28 y x  的焦点为 F ,准线为 l , P 是 l 上一点, Q 是直线PF 与 C 的一个焦点,若 4 FP FQ  ,则 | | QF =

　(

　) A.72

　 B.52

　 C.3

　D.2 【解析】利用相似成比例与抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，得 | | QF =3，选 C。

　【练习 8 8】

　】(2017 年新课标全国卷 II 文 12)过抛物线 x y C 4 :2 的焦点 F ,且斜率为 3 的直线交 C 于点 M( M 在 x 轴上方), l 为 C 的准线,点 N 在 l 上且 l MN  ,则 M 到直线 NF 的距离为

　(

　) A. 5

　B. 2 2

　 C. 3 2

　D. 3 3

　【解析】斜率为 3 可知 MNF  为边长为 4 的等边三角形,则 NF = 3 2 ，选 C。

　【练习 9 9】

　】设抛物线28 y x  的焦点为 F ,准线为 l , P 为抛物线上一点, PA  l , A 为垂足,如果直线 AF 的斜率为 3  ,那么 PF =

　(

　) A. 4 3

　 B.8

　C. 8 3

　D.16 【解析】由秒杀公式得选 B。

　【练习 10 】设 O 是坐标原点, F 是抛物线22 ( 0) y px p   的焦点, A 是抛物线上的一点, FA 与 x 轴正向的夹角为  60 ,则 OA 为

　 ． 【解析】由秒杀公式得212p 。

　【二】圆锥曲线的方程

　1、 、 椭圆( 秒杀方法：分母大的为焦点所在轴)：

　：2 2 2b a c  

　2 22 21( 0)x ya ba b   表示焦点在 x 轴椭圆的标准方程; 2 22 21( 0)y xa ba b   表示焦点在y轴椭圆的标准方程。

　2、 、 双曲线（秒杀方法：系数为正的为焦点所在轴）：2 2 2c a b  

　2 22 21( 0, 0)x ya ba b    表示焦点在 x 轴上双曲线的标准方程; 2 22 21( 0, 0)y xa ba b    表示焦点在y轴上双曲线的标准方程。

　1. 例题

　【例 1 1 】(2012 年新课标全国卷 8)已知等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,C 与抛物线 x y 162 的准线交于 A,B 两点, 3 4  AB ,则 C 的实轴长为

　(

　)

　A. 2

　 B. 2 2

　C.4

　D.8 【解析】设等轴双曲线方程为2 2 2a y x   ,抛物线的准线方程为：

　4  x ，联立解得 2  a ,选 C. 【例 2 2 】“ ”是“方程 ”表示焦点在 y 轴上的椭圆”的 (

　)

　 A.充分而不必要条件

　B.必要而不充分条件

　C.充要条件

　D.既不充分也不必要条件 【解析】椭圆方程可化为：11 12 2 nymx，如焦点在 y 轴上，只需 01 1 m n，即 0   n m ，所以是充要条件，选 C。

　例 【例 3 3 】设 AB 是椭圆的长轴,点 C 在椭圆上,且4 CBA .若 2 , 4   BC AB ,则椭圆的两个焦点之间的距离为

　 . 【解析】由 4  AB 得 2  a ，由4 CBA 与2  BC得 C   1 , 1 ， 634代入椭圆 1422 2 by x得342 b ，382 c ， c 2 = 634。

　【例 4 4 】已知双曲线 和椭圆 19 162 2 y x有相同的焦点,且双曲线的离心率是 椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为

　 . 【解析】由椭圆方程得 72 c，47 e，所以双曲线的离心率为27，  3 , 42 2  b a ，由双曲线的方程为：

　13 42 2 y x。

　0 m n  2 21 mx ny  2 22 21( 0 b 0)x yaa b  ＞ ， ＞3 、抛物线（秒杀方法：一次项对应焦点所在轴）：

　表示焦点到准线的距离 表示焦点在 轴上抛物线的标准方程;

　 表示焦点在 轴上抛物线的标准方程。

　 【例 5 5 】曲线2 21( 6)10 6x ymm m   与曲线2 21(5 9)5 9x ymm m    的

　(

　)

　A.焦距相等

　B.离心率相等

　C.焦点相同

　 D.准线相同 【解析】2 21( 6)10 6x ymm m   表示焦点在 x 轴上的椭圆,2 21(5 9)5 9x ymm m    表示焦点在 y轴上的双曲线,化简为2 21(5 9)5 9x ymm m     ,可知焦距相等,选 A。

　2. 巩固提升综合练习

　【练习 1 1 】若 R k ,则“ 3  k ”是“方程 13 32 2 kykx表示双曲线”的

　(

　) A.充分不必要条件

　B.必要不充分条件 C.充要条件

　D.既不充分也不必要条件 【解析】方程表示双曲线只需    0 3 3    k k ，即 3  k 或 3   k ，所以是充分不必要条件，选 A. 【练习 2 2 】已知抛物线 x y 82 的准线过双曲线 ) 0 , 0 ( 12222    b abyax的一个焦点,且双曲线的离心率 为 2,则该双曲线的方程为

　 . 【解析】抛物线的准线为 2  x ，所以双曲线中 2  c ，由离心率为 2 得 1  a ，焦点在 x 轴上，所以双曲线的方程为 1322 yx 。

　【练习 3 3】

　】下图是抛物线形拱桥,当水面在 l 时,拱顶离水面 2 米,水面宽 4 米,水位下降 1 米后,水面宽

　米

　【解析】设拱桥所在抛物线的方程为 py x 22  ，将点   2 , 2  代入得 1  p ，转化为求点   3 , x 中的 x ， 将点   3 , x 代入抛物线 y x 22  中可得 6  x ，即水面宽为 6 2 米。

　【练习 4 4 】已知 04   ,则双曲线2 212 2: 1cos sinx yC   与2 222 2 2: 1sin sin tany xC    的

　(

　)

　A.实轴长相等

　B.虚轴长相等

　 C.焦距相等

　 D. 离心率相等

　【解析】由方程得11cose , 2 22sin 1 tan1sin cose    ，选 D.

　三、圆锥曲线的几何性质

　 【一】焦点三角形

　 1. 例题

　【例 1 1】

　】(2017 年新课标全国卷 I 文 12)设 A 、 B 是椭圆 C 132 3 my x长轴的两个端点,若 C 上存在点 M 满1 、椭圆的焦点三角形：椭圆上任意一点 与两焦点 、 构成的三角形: 。

　（1）秒杀题型一：①周长为定值：

　。

　② 当点 靠近短轴端点时 增大，当点 靠近长轴端点时 减小；与短轴端点重合时 最大。

　（2）秒杀题型二：

　， 即 与短轴端点重合时面积最大。

　（3）秒杀题型三：①当 底角为 ， 个数：4 个( 点为通径端点)； ②当 时， 个数：

　。

　。（ 点为以 为直径的圆与椭圆的交点）

　2 、双曲线的焦点三角形：

　（1）焦点直角三角形的个数：一定为八个，顶角为直角与底角为直角的各为四个； （2）

　为焦点三角形的顶角)= 。（等面积思想在解题时非常重要）

　 足    120 AMB ,则 m 的取值范围是

　(

　 ) A.      , 9 1 , 0 

　 B.      , 9 3 , 0 

　C.      , 4 1 , 0 

　D.      , 4 3 , 0 

　【解析】当 0 3 m   时,椭圆的焦点在 x 轴上,要使C上存在点M满足 120 AMB   ,则 tan60 3ab  ,即33m .得 0 1 m   ;当 3 m  时,椭圆的焦点在 y 轴上,要使 C 上存在点 M 满足 120 AMB   ,则tan60 3ab  ,即 33m ,得 9 m ,故 m 的取值范围为      , 9 1 , 0  ,选 A. 【例 2 2 】已知 , 是椭圆 ) 0 (  b a 的两个焦点, 为椭圆 上一点, . 若 的面积为 9,则 =

　 . 【解析】由椭圆焦点三角形面积公式得：

　94tan b2 2  b， 3  b 。

　例 【例 3 3 】设1F 、2F 为椭圆2 219 4x y  的两个焦点, P 为椭圆上的一点.已知 P ,1F ,2F 是一个直角三角形的三个顶点,且1 2PF PF  ,求12PFPF的值. 【解析】

　c b   ，所以顶角为直角与底角为直角的均存在， ⅰ.如果底角为直角，243PF  ，1143PF  ,12PFPF=72； ⅱ.如果顶角为直角，1 26 r r   ，2 21 220 r r   ，1 24, 2 r r   ,12PFPF=2。

　【例4 4】

　】(2015年新课标全国卷I5)已知  0 0 , yx M 是双曲线 12:22  yxC 上的一点,2 1 ,FF 是 C 的两个焦点,若 02 1 MF MF ,则0y 的取值范围是

　(

　) A.33,33

　 B.63,63

　 C.32 2,32 2

　 D.33 2,33 2 【解析】秒杀方法：当2 1MF MF  时，由等面积得：333 12tan2        y y y cbS，选 A。

　 【例 5 5 】已知1F 、2F 为双曲线 C :2 21 x y   的左、右焦点,点 P 在 C 上,2 1 PFF    60 ,则1 2| | | | PF PF  

　 1F2F 1 :2222 byaxC P C2 1PF PF 2 1 FPF  b

　 (

　) A.2

　 B.4

　C.6

　 D.8 【解析】由等面积得：

　43sin2132tan2 1 2 12     PF PF PF PFbS，选 B。

　例 【例 6 6 】双曲线2 219 16x y  的两个焦点为1 2, F F ,点 P 在双曲线上,若1 2PF PF  ,则点 P 到 x 轴的距离为

　 . 【解析】5165 6 12tan2        y y y cbS。

　2. 巩固提升综合练习

　【练习 1 1】

　】已知1 2, F F 是椭圆2 219 5x y  的焦点,点 P 在椭圆上且1 23FPF  ,1 2FPF  的面积为

　.

　 【解析】利用焦点三角形面积公式得33 53352tan2   b S 。

　【练习 2 2 】1F 、2F 是椭圆2 2: 18 4x yC   的焦点,在 C 上满足1 2PF PF  的点 P 的个数为

　. 【解析】

　c b   ，P 点的个数是 2 个。

　【练习 3 3 】已知椭圆 19 162 2 y x的左、右焦点分别为1 2, F F ,点 P 在椭圆上,若1 2, , P F F 是一个直角三角形的三个顶点,则点 P 到 x 轴的距离为

　(

　) A.59

　 B.3

　C.77 9

　 D.49 【解析】

　c b   ，所以顶角为直角的不存在；而底角为直角时，P 到 x 轴的距离为通径，即：492ab，选 D。

　【练习 4 4 】已知1F 、2F 为双曲线 C :2 21 x y   的左、右焦点,点 P 在 C 上,2 1 PFF  =  60 ,则 P 到 x 轴的距离为

　(

　) A.32

　B.62

　 C. 3

　 D. 6

　 【解析】262 32tan2        y y y cbS，选 B。

　习 【练习 5 5 】设 P 为双曲线22112yx   上的一点,2 1 ,FF 是该双曲线的两个焦点,若1 2| |:| | 3:2 PF PF  则1 2PFF  的面积为

　(

　) A. 6 3

　B. 12

　C. 12 3

　 D. 24

　【解析】设 t PF 31 ，则 t PF 22 ，由双曲线的定义得：

　2 2   a t ， 61 PF ， 42 PF ， 13 22 1 F F , 所以由勾股定理得1 2PFF  为焦点直角三角形，所以 122 b S ，选 B。

　习 【练习 6 6 】设2 1 ,FF 分别是双曲线2219yx   的左、右焦点,若点 P 在双曲线上,且1 20 PF PF   ,则1 2PF PF  

　 (

　) A. 10

　 B. 2 10

　C. 5

　D. 2 5

　【解析】由向量中线定理得：1 2PF PF   PO 2 = 10 2 2  c ，选 B。

　【二】离心率

　 1. 例题

　1 1 、 题型一：利用焦点三角形 （1）椭圆：

　（焦点三角形两底角分别为 、 ）； （2）双曲线：

　（焦点三角形两底角 ）。

　2 、题型二：寻找 关系求离心率 （1）秒杀思路：如果建立 或 或 的关系，一般情况要通过平方消去 化简为 关系求离心率。

　（2）特别地：当 成等比数列时，即 ，椭圆: ，叫优美椭圆； 类比：双曲线：

　。

　 例 【例 1 1 】在平面直角坐标系 xOy 中,已知 ABC  顶点 ( 4,0) A  和 (4,0) C ,顶点 B 在椭圆2 2125 9x y  上,则sin sinsinA CB

　 . 【解析】秒杀公式：sin sinsinA CB45 1e。

　【例 2 2 】(2013 年新课标全国卷 II)设椭圆2 22 2: 1x yCa b  ( 0) a b   的左、右焦点分别为1 2, F F , P 是 C 上的点,2 1 2PF FF  ,1 230 PFF   ,则 C 的离心率为

　(

　) A.36

　B.13

　C.12

　D.33 【解析】设 t PF 2， t PF 21 ，则 t F F 32 1 ，即 t a 3 2  ， t c 3 2  ，3322 ace ，选 D。

　秒杀公式： 3330 sin 90 sin30 90 sin     e ，选 D。

　【例 3 3】

　】已知 是双曲线 的左、右焦点,点 在 上, 与 轴垂直, ,则 的离心率为

　(

　) A.

　B.

　 C.

　 D.

　【解析】设 ，则 32 MF ， 2 2 22 1  C F F ， ， ，选 A。

　秒杀公式： 23232 2311cossin 90 sin90 sin1 21 21 2     F MFF MFF MFe ，选 A。

　【例 4 4 】(2015 年新课标全国卷 II11)已知 B A, 为双曲线 E 的左、右顶点,点 M 在 E 上, 为等腰三角形,且顶角为 ,则 的离心率为

　(

　) A.

　 B.2

　C.

　D.

　【解析】可得 ，代入双曲线得 ，选 D。

　2 1 ,FF2 22 2: 1x yEa b  M E1MF x2 11sin3MF F  E2233 211 MF 2 21 2   MF MF a 2  eABM  120 E5 3 2  a a M 3 , 2  2 ,   e b a

　【例 5 5 】设直线 过双曲线 的一个焦点,且与 的一条对称轴垂直, 与 交于 两点, 为 的实轴长的 2 倍,则 的离心率为

　(

　) A.

　 B.

　C.2

　 D.3 【解析】

　为通径长， = ，即 ，得 ，选 B。

　【例 6 6 】(2017 年新课标全国卷 I15)已知双曲线 ) 0 , 0 ( 1 :2222    b abyaxC 的右顶点为 A ,以 A 为圆心, b为半径作圆 A ,圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M 、 N 两点.若    60 MAN ,则 C 的离心率为

　 . 【解析】可得 MAN  为等边三角形， A 到渐近线的距离为 b23，得 b a 3  ，33 2 e 。

　秒杀方法：由2323 bbca可得(利用焦点到渐近线的距离为．．．．．．．．．．．． b)。

　【例 7 7 】如图, 是椭圆 与双曲线 的公共焦点, 分别是 在第二、四象限的公共点.若四边形 为矩形,则 的离心率为

　 (

　)

　A.

　 B.

　 C.

　D.

　l C C l C , A B AB CC2 3AB AB aab4222 22a b  3  e2 1 ,FF 14:221  yxC2C B A,2 1 ,CC2 1 BFAF2C2 32326O

　x

　y

　A

　B

　F 1 F 2

　 【解析】在双曲线中，可得 ，在椭圆中，利用焦点三角形面积公式得 ，在双曲线中， ， ，

　， ，选 D。

　例 【例 8 8 】已知双曲线 的左,右焦点分别为 ,点 在双曲线的右支上,且,则此双曲线的离心率 的最大值为

　 (

　) A.

　 B.

　C.

　D.

　 【解析】由 得 ，即223PF a c a    ，513e   。

　2. 巩固提升综合练习

　习 【练习 1 1 】双曲线2 22 21x ya b  ( , )的左、右焦点分别是 ,过 作倾斜角为 的直线交双曲线右支于 点,若 垂直于 轴,则双曲线的离心率为

　(

　) A.

　B.

　C.

　D.

　【解析】设 t PF 2， t PF 21 ，则 t F F 32 1 ，即 t a  2 ， t c 3 2  ， 322 ace ，选 B。

　秒杀公式： 330 sin 90 sin30 90 sin     e ，选 B。

　习 【练习 2 2 】椭圆2 22 2: 1( 0)x ya ba b     的左、右焦点分别为1 2, F F ,焦距为 c 2 ,若直线 3( ) y x c   与椭圆  的一个交点 M 满足1 2 2 12 MFF MF F    ,则该椭圆的离心率等于

　. 【解析】秒杀公式： 1 321 3130 sin 0 6 sin90 sin    e 。

　【练习 3 3 】已知椭圆2 22 21( 0)x yM a ba b    ：

　，双曲线2 22 21x yNm n  ：

　．若双曲线 N 的两条渐近线与椭圆 M的四个交点及椭圆 M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆 M 的离心率为

　 ；双曲线 N 的离心率为

　 ． 【解析】设其中一个交点为 P ，则2 1 FPF  为焦点直角三角形，设 11 PF ，则有 2 , 32 1 2  F F PF ，椭圆的离心率为 1 31  e ，双曲线渐近线的倾斜角为  60 ，双曲线的离心率为 2。

　3  c 12tan212 1  b SF AF12tan22222 1   b b SF AF12 b 22 a 26 e2 22 21,( 0, 0)x ya ba b   1 2, F F P1 2| | 4| | PF PF  e43532731 24 PF PF 2 22 4 a PF PF  0 a  0 b 1 2, F F1F  30M2MF x6 3 233

　 【练习 4 4 】1F 和2F 分别是双曲线2 22 21( 0, 0)x ra ba b    的两个焦点, A 和 B 是以 O 为圆心,以1F O 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且 是等边三角形,则双曲线的离心为

　(

　) A.

　 B.

　C.

　D. 3 1

　【解析】取2 1 FAF  ，秒杀公式： 1 321 3130 sin 0 6 sin90 sin    e ，选 D。

　习 【练习 5 5 】在 中, , .若以 为焦点的椭圆经过点 ,则该椭圆的离心率

　 ．

　【解析】：设 ，则 ， ， ， 。

　秒杀公式：

　。

　【练习 6 6】

　】设 是等腰三角形, ,则以 为焦点且过点 的双曲线的离心率为(

　)

　A.

　 B.

　C.

　D.

　【解析】

　c BC AB 2   ， ， ， ，选 B。

　【练习 7 7 】已知 为坐标原点, 是椭圆 的左焦点, 分别为 的左、右顶点.为 上一点,且 轴.过点 的直线 与线段 交于点 ,与 轴交于点 .若直线 经过 的中点,则 的离心率为

　(

　) A.

　 B.21

　C.32

　D.43

　【解析】由线段成比例得：ac aOEMF  ，c aaMFOE21，得31 e ，选 A。

　习 【练习 8 8 】(2017 年新课标全国卷 II9)若双曲线 C : （ ， ）的一条渐近线被圆AB F 2 3 525ABC △ 90 A  3tan4B  , A B Ce t AC 3  t BC 5  t c AB 4 2   t a 8 2 218422  ttace2153154 eABC  120 ABC   , A B C22 123 12 1 3 1 c AC 3 2  c c a 2 3 2 2  21 32 3 2222  c ccaceO F ) 0 ( 1 :2222    b abyaxC B A, CP C  PF x A l PF M yE BM OE C312 22 21x ya b  0 a  0 b 

　 所截得的弦长为 2,则 C 的离心率为

　(

　) A.2

　B.

　 C.

　 D.

　【解析】由圆心到渐近线的距离为 3 ，即 32 22 2 cbb ab，平方得 2  e ； 秒杀方法：画图可得渐近线的倾斜角为3，即 3 ab，平方得 2  e 。

　【练习 9 9 】(2017 年新课标全国卷 III10)已知椭圆 C :2 22 21x ya b  ( 0 , 0   b a )的左、右顶点分别为2 1 ,AA ,且以线段2 1 AA 为直径的圆与直线 2 0 bx ay ab    相切,则 C 的离心率为

　(

　) A.63

　 B.33

　 C.23

　 D.13 【解析】因为圆与直线相切，即圆心到直线距离等于 a 得：

　acabb aab 2 22 2，即 b c 2  ， b a 3  ，36 e ，选 A。

　【练习 10】

　】过双曲线 的左焦点且垂直于 轴的直线与双曲线相交于 两点,以 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点,则双曲线的离心率等于

　. 【解析】设右顶点为 ，左焦点为 ，则 为等腰直角三角形，可得 ，即，得 ， ， （舍去）。

　习 【练习 11 】从椭圆2 22 21( 0)x ya ba b    上一点 P 向 x 轴作垂线,垂足恰为左焦点1F , A 是椭圆与 x 轴正半轴的交点, B 是椭圆与 y 轴正半轴的交点,且 OP AB // ( O 是坐标原点),则该椭圆的离心率是 (

　) A.24

　 B.12

　C.22

　 D.32 【解析】

　OP AB//  ， O PF1  ≌ BOA  ，babac2  ，  c b  ，22 e ，选 C。

　 222 4 x y   3 22 332 22 21x ya b    0, 0 a b   x , M NMN2A1F2 1 AMF  c aab 20 22 2   a ac c 0 22  e e 2  e 1   e

　 【练习 12 】(2017 年新课标全国卷 II)若 1  a ,则双曲线 1222  yax的离心率的取值范围是

　(

　) A. 2 + （ ， ）

　B. 2 2 （ ，）

　C. 2 （1， ）

　 D. 12 （，）

　【解析】

　21112 22  a aae ，选 C。

　 【三】双曲线的渐近线

　1. 例题

　【例 1 1 】已知双曲线 C :2 22 21x ya b  ( 0, 0 a b   )的离心率为52,则 C 的渐近线方程为

　(

　) A.14y x  

　B.13y x  

　C.12y x  

　D. y x  

　【解析】由25 ace ，得21ab，选 C。

　例 【例 2 2 】已知 0 , 0   b a ,椭圆1C 的方程为 12222 byax,双曲线2C 的方程为 12222 byax,1C 与2C 的离心2 2mx ny   2 20 mx ny   xaby   xbay  2 2 2 22 2 2 21x y x ya b a b     2 20 ( ) ( ) ax by ax by      b

　 率之积为23,则2C 的渐近线方程为

　(

　) A.

　B.

　C.

　D. 0 y 2x   【解析】

　232 2 2 2ab aab a，得22ab，选 A。

　【例 3 3 】设双曲线 C 经过点   2,2 ,且与2214yx   具有相同渐近线,则 C 的方程为

　；渐近线方程 为

　. 【解析】设双曲线方程为：

　  224xy，代入点   2,2 得  =-3，双曲线的方程为：

　112 32 2 y x，渐近线方程为 x y 2   。

　【例 4 4 】(2015 年新课标全国卷 II)已知双曲线过点 ,且渐近线方程为 ,则该双曲线的标准方程为

　 ． 【解析】设双曲线方程为：

　  224yx，将点   3 4， 代入得 1   ，所以双曲线方程为 1422  yx。

　【例 5 5 】已知双曲线2 22 21( 0, 0)x ya ba b    的离心率为 2，过右焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于B A, 两点. 设 B A, 到双曲线同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且1 26 d d   ，则双曲线的方程为

　 (

　 ) A.2 214 12x y 

　 B.2 2112 4x y 

　C.2 213 9x y 

　D.2 219 3x y 

　【解析】秒杀方法：由梯形中位线知,焦点到此渐近线的距离为 3，即 3  b ，选 C。

　【例 6 6 】(2018 年新课标全国卷 III)设1 2F F ， 是双曲线 ) 0 , 0 ( 1 :2222    b abyaxC 的左，右焦点， O 是坐标原点.过2F 作 C 的一条渐近线的垂线,垂足为 P .若 OP PF 61 ,则 C 的离心率为

　(

　) A. 5

　B.2

　C. 3

　D. 2

　 【解析】：

　2| | PF b  , | | PO a  ，又因为1| | 6| | PF OP  ，所以1| | 6 PF a  ，在2Rt POF  中， 0 2 x   y 0 2   y x 0 2y x   4, 312y x  

　 22| |cos| |PF bOF c   ，∵在2 1 FPF  中，2 2 22 1 2 12 1 2| | | | | |cos2 | | | |PF FF PF bPF FF c   ， ∴2 2 22 2 2 2 2 2 2 24 ( 6 )4 6 4 4 6 3 32 2b c a bb c a b c a c ab c c         2 23 c a   3 e   。

　 2. 巩固提升综合练习

　【练习 1 1 】若双曲线2 22 21x ya b  的离心率为 3 ,则其渐近线方程为

　(

　) A. x y 2  

　B. x y 2  

　 C.12y x  

　D.22y x  

　【解析】由 3  ace ，得 2 ab，选 B。

　【练习 2 2 】求与双曲线2 219 16x y  有公共的渐近线,且经过点 A 3,2 3  的双曲线的方程. 【解析】设双曲线方程为：

　  16 92 2y x，代入点 A 得41  ，双曲线方程为：2 2419 4x y  。

　【练习 3 3 】若双曲线的渐近线方程为 x y 3   ,它的一个焦点是 ( 10,0) ,则双曲线的方程是

　 . 【解析】设双曲线方程为：

　  2 29 y x ，因为焦点在 x 轴上，化简为 192 2 y x， 109  得 9   ，双曲线方程为：

　1922 yx 。

　【练习 4 4 】已知 F 是双曲线 C :2 23 ( 0) x my m m    的一个焦点,则点 F 到 C 的一条渐近线的距离为

　(

　) A. 3

　 B.3

　 C. 3m

　D. 3m

　【解析】由秒杀公式得 3  b ，选 A。

　【练习 5 5 】已知双曲线2 2214x yb  的右焦点与抛物线 x y 122 的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线 的距离等于

　(

　) A. 5

　B. 4 2

　 C.3

　 D.5

　【解析】抛物线与双曲线的焦点为   0 3， ，则 b= 5 ，双曲线的焦点到其渐近线的距离为 5 ，选 A 【练习 6 6 】在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线2 22 21( 0, 0)x ya ba b    的右焦点 ( ,0) F c 到一条渐近线的距离为23c，则其离心率的值是

　． 【解析】

　 bc23，设 1 , 3 , 2    a b c ，所以离心率为 2。

　【练习 7 7 】双曲线 ) 0 , 0 ( 12222    b abyax的渐近线为正方形 OABC 的边 OC OA, 所在的直线，点 B 为该双曲线的焦点.若正方形 OABC 的边长为 2,则 a =

　. 【解析】

　OC OA   ， 2  e ，即 b a  ，而 2  b ， 2  a 。

　 三、课后自我检测

　1．已知 ABC  的顶点 , B C 在椭圆2213xy   上,顶点 A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在 BC边上,则 ABC  的周长是

　(

　) A. 2 3

　 B.6

　C. 4 3

　D.12 【解析】周长为：

　3 4 4  a ，选 C。

　2．已知椭圆 C :2 22 21x ya b  ( 0) a b   的左、右焦点为1F 、2F ,离心率为33,过2F 的直线 l 交 C

　于 B A, 两点,若1AF B  的周长为 4 3 ,则 C 的方程为

　(

　) A.2 213 2x y 

　 B.2213xy  

　C.2 2112 8x y 

　 D.2 2112 4x y 

　【解析】

　3 4 4  a ， 3  a ， 2 , 1   b c ，选 A。

　3．已知经过椭圆2 2125 16x y  的右焦点2F 作垂直于 x 轴的直线 AB ,交椭圆于 B A, 两点,1F 是椭圆的左焦点.（1）求1AFB  的周长; （2）如果 AB 不垂直于 x 轴,1AFB  的周长有变化吗?为什么?

　 【解析】（1）20；（2）不变。

　4．已知 F 为双曲线 116 9:2 2 y xC 的左焦点, Q P, 为 C 上的点,若 PQ 的长等于虚轴长的 2 倍,点   0 , 5 A 在线段 PQ 上,则 PQF  的周长为

　 . 【解析】

　44 2 4   PQ a . 5 ． 过 双 曲 线2 214 3x y  左 焦 点1F 的 直 线 交 双 曲 线 的 左 支 于 N M, 两 点 ,2F 为 其 右 焦 点 , 则2 2MF NF MN   的值为

　 ． 【解析】2 12 MF MF a   ①，2 12 NF NF a   ②， ①+②可得2 2MF NF MN   = 4a ，而 2 a  ， 等于 8。

　6．设抛物线28 y x  上一点 P 到 y 轴的距离是 4,则点 P 到该抛物线焦点的距离是

　(

　) A.4

　 B.6

　C.8

　D.12 【解析】由抛物线定义得选 B。

　7. 抛物线22 ( 0) x py p   的焦点为 F ,其准线与双曲线2 213 3x y  相交于 , A B 两点,若 ABF  为等边三 角形,则 p =

　 . 【解析】抛物线的准线为2py   ，与双曲线联立得332px   ，由等边三角形得pp 33 32，解得 6  p 。

　8．若实数 k 满足 ，则曲线 与曲线 的

　(

　)

　A.焦距相等

　 B.实半轴长相等

　 C.虚半轴长相等

　D.离心率相等 【解析】

　表示焦点在 x 轴上的双曲线, 表示焦点在 x 轴上的双曲线,,可知焦距相等,选 A。

　9．已知双曲线2 2: 19 16x yC   的左,右焦点分别为1 2, F F , P 为 C 的右支上一点,且2 1 2PF FF  ,则1 2PFF 的面积等于

　(

　) 0 9 k  2 2125 9x yk 2 2125 9x yk 2 2125 9x yk 2 2125 9x yk 

　 A. 24

　B. 36

　 C. 48

　D. 96

　【解析】2 1 2PF FF  =10，由双曲线定义得：

　161 PF ，1 2PFF  是等腰三角形，底边上的高为 6，所以面积为 48，选 C。

　10．设双曲线 1322 yx 的左、右焦点分别为1F ,2F .若点 P 在双曲线上,且2 1 PFF  为锐角三角形,则2 1PF PF  的取值范围是_______． 【解析】当顶角为直角时，2 1PF PF  = 7 2 ， 当底角为直角时，2 1PF PF  =8，所以2 1PF PF  的取值范围是   8 , 7 2 。

　11．设椭圆的两个焦点分别为1 2, F F ,过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P ,若1 2FPF  为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是

　(

　) A.22

　 B.2 12

　 C. 2 2 

　D. 2 1 

　【解析】方法一：

　c PF 22 ， c PF 2 21 ，则 c F F 22 1 ， 即 c c a 2 2 2 2   ， 1 22 2 2222  c ccace ，选 D。

　方法二：秒杀公式： 1 22212245 sin 90 sin45 90 sin      e ，选 D。

　12．已知正方形 ABCD ,则以 , A B 为焦点,且过 , C D 两点的椭圆的离心率为

　. 【解析】取一个焦点三角形 ABD ，， 1 24s i n2s i n)4 2s i n(   e 。

　13．已知1 2, F F 是双曲线 ) 0 , 0 ( 12222    b abyax的两个焦点,以线段1 2FF 为边作正三角形1 2MFF ,若边1MF 的中点在双曲线上,则双曲线的离心率为

　(

　)

　A. 3 2 4

　 B. 1 3 

　 C.21 3 

　D. 1 3 

　【解析】方法一：设中点为 P(右）， 12 PF ， 31 PF ， 2 22 1  c F F ，

　 1 3 2   a ， 1 31 3222  ace ，选 D。

　方法二：秒杀公式： 1 321 3130 sin 0 6 sin90 sin    e ，选 D。

　14．设1 2, F F 是双曲线2 22 2: 1( 0, 0)x yC a ba b    的两个焦点, P 是 C 上一点，若216 , PF PF a   且1 2PFF  的最小内角为 30 ,则 C 的离心率为

　. 【解析】设 P 在双曲线右支上，由双曲线定义得 a PF PF 22 1  ，  a PF 41 ， a PF 22 ，  c a 2 2  ，且 a a 4 2  ， 2 1 FPF  最小，    302 1 FPF ，由余弦定理：

　      30 cos ) 2 ( ) 4 ( 2 ) 2 ( ) 4 ( ) 2 (2 2 2c a c a a , c a c a a 2 4 3 4 16 42 2 2     ， 3  e 。

　15．已知 是椭圆 的左,右焦点， 是的左顶点,点 在过 且斜率为的直线上, 为等腰三角形, ,则 的离心率为 (

　) A.32

　B.21

　 C.31

　 D.41 【解析】可得   c c P 3 , 2 ， ， ，得 ，选 D。

　16．已知双曲线 13:22  yxC , O 为坐标原点, F 为 C 的右焦点,过 F 的直线与 C 的两条渐近线的交点分别为 N M, .若 OMN  为直角三角形,则 MN =

　(

　) A.23

　B.3

　C. 3 2

　 D.4 2 1 ,FF ) 0 ( 1 :2222    b abyaxC ACP A631 2PFF △1 2120 FF P    C  0 , a A 6323a cck PA41 ace

　 【解析】渐近线方程为33y x  ，∵ OMN  为直角三角形，假设2ONM  ，3 ON , ∴3MON  ，∴ 3 MN  ，选 B。

　17．双曲线 的渐近线与圆 相切,则 r =

　(

　) A.

　 B.2

　 C.3

　 D.6 【解析】因为圆心恰为双曲线的右焦点，所以 r=b= 3 ，选 A。

　18．设 P 是椭圆2 219 5x y  上一点，, M N 分别是两圆   221 :2 1 C x y    和   222 :2 1 C x y    上的点，则 PM PN  的最小值和最大值分别为（

　 ）

　A．4，8 B．2，6 C．6，8 D．8，12 【答案】A 【解析】根据题意作出如下图像，其中1 2, F F 是椭圆的左，右焦点，

　在1PMF 中可得：1 11 1 PF PM PF     …①, 当且仅当1, , P M F 三点共线时，等号成立， 在2PNF 中可得：2 21 1 PF PN PF     …②，当且仅当2, , P N F 三点共线时，等号成立， 由①+②得：1 2 1 21 1 1 1 PF PF PM PN PF PF          ， 由椭圆方程2 219 5x y  可得：29 a  ，即 3 a 

　由椭圆定义可得：1 22 6 PF PF a    ， 所以1 2 1 21 1 1 1 PF PF PM PF PF         可化为：

　4 8 PM   . 故选：A. 13 62 2 y x) 0 ( ) 3 (2 2 2    r r y x3