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    专题14,极坐标与参数方程、不等式选讲（理科专用）（讲）（原卷版）

    时间：2020-10-29 15:17:02 来源：蒲公英阅读网 本文已影响人 蒲公英阅读网手机站

    相关热词搜索：不等式 方程 理科

    　 题 专题 14

    　极坐标与参数方程、不等式选讲

    　1．【2019 年高考全国Ⅰ卷理数】在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为2221141txttyt  ，（t 为参数）．以坐 标 原 点 O 为 极 点 ， x 轴 的 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 ， 直 线 l 的 极 坐 标 方 程 为2 cos 3 sin 11 0        ． （1）求 C 和 l 的直角坐标方程；（2）求 C 上的点到 l 距离的最小值． 2． 【2019年高考江苏卷数学】在极坐标系中，已知两点3, , 2,4 2A B           ，直线l的方程为sin 34      ． （1）求A，B两点间的距离；（2）求点B到直线l的距离． 3．【2019 年高考全国Ⅰ卷文】已知 a，b，c 为正数，且满足 abc=1．证明：

    　（1）2 2 21 1 1a b ca b c     ；（2）3 3 3( ) ( ) ( ) 24 a b b c c a       ． 4．【2019 年高考全国Ⅱ卷理数】在极坐标系中，O 为极点，点0 0 0( , )( 0) M     在曲线 : 4sin C    上，直线 l 过点 (4,0) A 且与 OM 垂直，垂足为 P． （1）当0 =3时，求0 及 l 的极坐标方程； （2）当 M 在 C 上运动且 P 在线段 OM 上时，求 P 点轨迹的极坐标方程． 5. 【2018 年理数全国卷 II】设函数 ． （1）当 时，求不等式 的解集；（2）若 ，求 的取值范围．

    　一、考向分析：

    　 二、考向讲解 考查内容

    　解

    　 题

    　 技

    　巧

    　 极坐标与 参数方程

    　(1)在将直角坐标化为极坐标求极角 θ 时，易忽视判断点所在的象限(即角 θ 的终边的位置)． (2)在极坐标系下，点的极坐标不惟一性易忽视． 注意极坐标(ρ，θ)(ρ，θ＋2kπ)，(－ρ，π＋θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一点的坐标． (3)确定极坐标方程时要注意极坐标系的四要素：极点、极轴、长度单位、角度单位及其正方向，四者缺一不可． (4)研究曲线的极坐标方程往往要与直角坐标方程进行相互转化．当条件涉及“角度”和“到定点距离”时，引入极坐标系将会给问题的解决带来很大的方便． （5）已知直线 l 经过点 M 0 (x 0 ，y 0 )，倾斜角为 α，点 M(x，y)为 l 上任意一点，则直线 l 的参数方程为  x＝x 0 ＋tcosα，y＝y 0 ＋tsinα(t 为参数)。

    　 a.若 M 1 ，M 2 是直线 l 上的两个点，对应的参数分别为 t 1 ，t 2 ，则|M 0 M 1→||M 0 M 2→|＝|t 1 t 2 |，|M 1 M 2→|＝|t 2 －t 1 |＝ t 2 ＋t 12 －4t 1 t 2 。

    　b．若线段 M 1 M 2 的中点为 M 3 ，点 M 1 ，M 2 ，M 3 对应的参数分别为 t 1 ，t 2 ，t 3 ，则 t 3 ＝ t1 ＋t 22。

    　c．若直线 l 上的线段 M 1 M 2 的中点为 M 0 (x 0 ，y 0 )，则 t 1 ＋t 2 ＝0，t 1 t 2 <0。

    　提醒：在使用直线参数方程的几何意义时，要注意参数前面的系数应该是该直线倾斜角的正余弦值，否则参数不具备该几何含义。

    　 不等式证明 的基本方法 1.绝对值不等式的求解方法 (1)|ax+b|≤c,|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法:|ax+b|≤c⇔-c≤ax+b≤c, |ax+b|≥c⇔ax+b≥c 或 ax+b≤-c,然后根据 a,b 的取值求解即可. (2)|x-a|+|x-b|≥c(c>0)和|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法: ①利用绝对值不等式的几何意义求解,体现数形结合思想; ②利用“零点分段法”求解,体现分类讨论思想.

    　a.令每个绝对值符号的代数式为零，并求出相应的根； b.将这些根按从小到大排列，把实数集分为若干个区间； c.由所分区间去掉绝对值符号得若干个不等式，解这些不等式，求出解集； d.取各个不等式解集的并集就是原不等式的解集． ③通过构建函数,利用函数图象求解,体现函数与方程思想. 2.解决绝对值不等式的参数范围问题常用以下两种方法: (1)将参数分类讨论,将其转化为分段函数解决; (2)借助于绝对值的几何意义,先求出含参数的绝对值表达式的最值或取值范围,再根据题目要求,求解参数的取值范围. 由于|x－a|＋|x－b|与|x－a|－|x－b|分别表示数轴上与 x 对应的点到a，b 对应的点的距离之和与距离之差，因此对形如|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)或|x－a|－|x－b|≥c(c＞0)的不等式，利用绝对值的几何意义求解更直观． (3)应熟记以下转化:f(x)>a 恒成立⇔f(x)min >a;f(x)<a 恒成立⇔f(x) max <a;f(x)>a 有解⇔f(x)max >a;f(x)<a 有解⇔f(x) min <a;f(x)>a 无解⇔f(x) max ≤a;f(x)<a 无解⇔f(x) min ≥a. 3.绝对值不等式的综合应用 a．研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，

    　 考查绝对值不等式的证明：

    　【例】已知 0 a  ， 0 b ，3 32 a b   ，证明：(1)5 5( )( ) 4 a b a b   ≥ ；(2) 2 a b  ≤ ．

    　【例】已知 a ， b ， c ， d 为实数，且2 24 a b   ，2 216 c d   ，证明：

    　8 ac bd  ≤ ．

    　【例】设 , , a b c 均为正数，且 1 a b c    ，证明：（Ⅰ）13ab bc ca    ；（Ⅱ）2 2 21a b cb c a  

    　考查绝对值不等式的解法：

    　将原函数转化为分段函数，然后利用数形结合解决问题，这是常用的思想方法． b．f(x)＜a 恒成立⇔f(x) max ＜a.

    　 f(x)>a 恒成立⇔f(x) min ＞a. 4.利用综合法证明不等式时，应注意对已证不等式的使用，常用的不等式有：

    　(1)a 2 ≥0；(2)|a|≥0； （3）a 2 ＋b 2 ≥2ab；它的变形形式又有(a＋b) 2 ≥4ab， a2 ＋b 22≥ a＋b22 等； (4) a＋b2≥ ab(a≥0，b≥0)，它的变形形式又有 a＋ 1a ≥2(a>0)，ba ＋ab ≥2(ab>0)， ba ＋ab ≤－2(ab<0)等． 5.分析法证明不等式的注意事项：用分析法证明不等式时，不要把“逆求”错误地作为“逆推”，分析法的过程仅需要寻求充分条件即可，而不是充要条件，也就是说，分析法的思维是逆向思维，因此在证题时，应正确使用“要证”、“只需证”这样的连接“关键词”． 6、证明绝对值不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.主要的三种方法：

    　（1）利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明． （2）利用三角不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|进行证明． （3）转化为函数问题，数形结合进行证明． 7、当 x 的系数相等或相反时，可以利用绝对值不等式求解析式形如 ( ) f x x a x b     的函数的最小值，以及解析式形如 ( ) f x x a x b     的函数的最小值和最大值，否则去绝对号，利用分段函数的图象求最值．利用柯西不等式求最值时，要注意其公式的特征，以出现定值为目标．

    　 【例】设 xR ，解不等式 | |+|2 1|>2 x x ．

    　 考查不等式恒成立问题：

    　【例】已知函数 f(x)＝|x＋1|－|x－2|。

    　(1)求不等式 f(x)≥1 的解集。

    　(2)若不等式 f(x)≥x 2 －x＋m 的解集非空，求 m 的取值范围。

    　【例】已知函数     1, 2 f x x g x t x     .

    　（1）解关于 x 的不等式   2 1 f x x   . （2）若不等式     f x g x  对任意的 x R  恒成立，求 t 的取值范围.

    　考查柯西不等式：

    　【例】已知 x，y，z 均为实数，若 x＋y＋z＝1，求证：

    　3x＋1＋ 3y＋2＋ 3z＋3≤3 3。

    　 【例】已知 a，b，c，d 为实数，且 a 2 ＋b 2 ＝4，c 2 ＋d 2 ＝16，证明：ac＋bd≤8。

    　 【例】已知|x＋2|＋|6－x|≥k 恒成立，求实数 k 的最大值。

    　考查最值问题：

    　【例】设函数 ( ) |2 1| | 1| f x x x     ． (1)画出 ( ) y f x  的图像；(2)当 [0, ) x  时， ( ) f x ax b  ≤ ，求 a b  的最小值．

    　【例】若 x ， y ， z 为实数，且 2 2 6 x y z    ，求2 2 2x y z   的最小值．

    　考查参数范围问题：

    　【例】已知函数2( ) 4 f x x ax     ， ( ) | 1| | 1| g x x x     ． (1)当 1 a 时，求不等式 ( ) ( ) f x g x ≥ 的解集； (2)若不等式 ( ) ( ) f x g x ≥ 的解集包含 [ 1,1]  ，求 a 的取值范围． 【例】已知函数 ( ) | 1| | 2| f x x x     ． (1)求不等式 ( ) 1 f x ≥ 的解集； (2)若不等式2( ) f x x x m   ≥ 的解集非空，求 m 的取值范围．

    　考查极坐标方程：

    　【例】【四川省绵阳市 2020 届高三诊断】在平面直角坐标系 xoy 中，曲线 C 的参数方程是 （θ为参数）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为：

    　（1）求曲线 C 的极坐标方程； （2）设直线 θ＝ 与直线 l 交于点 M，与曲线 C 交于 P，Q 两点，已知｜OM｜•｜OP｜•｜OQ）＝10，求 t 的值.

    　 【例】在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为 cos 4    . （1）M 为曲线1C 上的动点，点 P 在线段 OM 上，且满足 | | | | 16 OM OP   ,求点 P 的轨迹2C 的极坐标方程； （2）设点 A 的极坐标为 (2, )3，点 B 在曲线2C 上，求 OAB △ 面积的最大值.

    　考查参数方程：

    　【例】在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为3cos ,sin ,xy （θ 为参数），直线 l 的参数方程为 4 ,1 ,x a tty t   （ 为参数）

    　. （1）若 a=−1，求 C 与 l 的交点坐标；（2）若 C 上的点到 l 的距离的最大值为 17 ，求 a. 考查参数方程与极坐标互化：

    　【例】【河南省开封市 2020 届高三模拟考试】在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程是1x ty t （t 为参数），曲线 C 的参数方程是2 2cos2sinxy  （  为参数），以 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求直线 l 和曲线 C 的极坐标方程； （2）已知射线1OP    ：

    　（其中π02   ）与曲线 C 交于 O P ， 两点，射线2π2OQ     ：

    　与直线 l 交于 Q 点，若 OPQ  的面积为 1，求  的值和弦长 OP ．

    　【例】将圆2 21 x y   上每个点的横坐标变为原来的 4 倍，纵坐标变为原来的 3 倍，得曲线 C ，以坐标原点为极点， x 轴的非负轴分别交于 , A B 半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为：

    　sin 3 24     ，且直线 l 在直角坐标系中与 , x y 轴分别交于 , A B 两点. （1）写出曲线 C 的参数方程，直线 l 的普通方程；

    　 （2）问在曲线 C 上是否存在点 P ，使得 ABP 的面积 3ABPS  ，若存在，求出点 P 的坐标，若不存在，请说明理由.

    　【例】已知在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 t yt x33，（ t 为参数），以坐标原点为

    　极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 0 3 cos 42      ．

    　 （Ⅰ）求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程；

    　 （Ⅱ）设点 P 是曲线 C 上的一个动点，求它到直线 l 的距离 d 的取值范围．

    　绝对值不等式的解法 在解决有关绝对值不等式的问题时，充分利用绝对值不等式的几何意义解决问题能有效避免分类讨 论不全面的问题。若用零点分段法求解，要掌握分类讨论的标准，做到不重不漏。

    　【例】解不等式|2x－1|＋|2x＋1|≤6。

    　【例】已知函数   2 5 f x x a x    ，其中实数 0 a  ． （1）当 3 a 时，求不等式   5 1 f x x   的解集； （2）若不等式   0 f x  的解集为 { | 1} x x   ，求 a 的值．

    　 点评：解含绝对值的不等式时，若两个绝对值中 x 的系数为 1(或可化为 1)，可选用几何法或图象法求解较为简洁。若 x 的系数不全为 1，则选用零点分段讨论法求解，同时注意端点值的取舍。

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