方法技巧专题09,,直线与圆锥曲线,(解析版)

时间：2020-11-23 15:17:37 来源：蒲公英阅读网 本文已影响人

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　方法技巧专题 9

　直线与圆锥曲线 解析版

　一、

　知识框架

　 二、直线与圆锥曲线的位置关系

　 1. 例题

　【例 1】已知椭圆2 214 3x y  ，直线 l ：

　  1 x my m m R     ，直线 l 与椭圆的位置关系是（

　）

　A．相离 B．相交 C．相切 D．不确定 【解析】直线 l ：

　  1 x my m m R     化为   1 1 0 x m y     ， 可得直线 l 恒过点   1,1 ，由2 21 114 3  可知该点在椭圆内部. 所以直线 l 与椭圆相交， 直线与圆锥曲线的位置关系：

　1.代数法：把圆锥曲线方程 C 与直线方程 l 联立，消去 y (也可以消去 x )，整理得到关于 x （或者 y ）的一元方程 02   c bx ax . （1）当 0  a 时：计算 ac b 42   . 若Δ＞0，则 C 与 l 相交； 若Δ＝0，则 C 与 l 相切； 若Δ＜0，则 C 与 l 相离； （2）当 0  a 且 0  b 时：即得到一个一次方程，则 C 与 l 相交，且只有一个交点。

　若 C 为双曲线，则直线 l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行； 若 C 为抛物线，则直线 l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合． 2.几何法：在同一直角坐标系中画出圆锥曲线和直线的图像，利用图象和性质可判断 C 与 l 的位置关系．

　 故选：B. 【例 2】已知点 , A B 为曲线1yx 上两个不同的点， , A B 的横坐标1 2x x 、 是函数21( ) ln2f x ax ax x   的两个极值点，则直线 AB 与椭圆2214xy   的位置关系是（

　）

　A．相离 B．相切 C．相交 D．位置关系不确定 【解析】由21( ) ln2f x ax ax x    ，得21 1( )ax axf x ax ax x      ， 因为 , A B 的横坐标1 2x x 、 是函数21( ) ln2f x ax ax x    的两个极值点， 所以1 2x x 、 是方程21 0 ax ax   的两根， 因此1 21 2110x xx xaa    ，又点 , A B 为曲线1yx 上两个不同的点， 所以1 21 2 1 21 11ABx xk ax x x x    因此直线 AB 的方程为：111( ) y a x xx- = -， 即1 1 2 1 211( ) ( 1) y ax ax ax ax ax ax a x x ax a a xx= - + = - - = - + = - = -， 即直线 AB 恒过定点 (1,0) ，又点 (1,0) 显然在椭圆2214xy   内， 因此直线 AB 与椭圆2214xy   必相交. 故选：C. 【例 3】已知 是椭圆 的左右焦点，是直线 上一点，若的最小值是 ，则实数 __________. 【解析】依题意椭圆 ，则 ， ，又因为， 是直线 上一点，1 2, F F2 2: 14 3x yC   P:

　( ) l y x m m R   1 2PF PF 4m 2 2: 14 3x yC   2 4 a 2 a  P: ( ) l y x m m R   

　 若 的最小值是 ，则此直线与椭圆相切.由 消去 并化简得，判别式 ，解得 . 故答案为：

　. 【例 4】直线 3 y x = + 与曲线219 4x x y  （

　）

　A．没有交点 B．只有一个交点 C．有两个交点 D．有三个交点 【解析】当 0 x  时，曲线为2 219 4y x  ，与直线方程联立得：213 24 0 x x   解得：10 x  ，22413x  

　  此时直线与曲线有两个交点 当 0 x  时，曲线为2 219 4y x  ，与直线方程联立得：25 24 0 x x   解得：10 x  （舍），2245x 

　  此时直线与曲线有一个交点 综上所述：直线与曲线有三个交点 故选：

　D

　【例 5】已知直线 与双曲线 的右支相交于不同的两点，则 k 的取值范围是（

　）

　A．

　B．

　C．

　D．

　【解析】双曲线渐近线为 ，直线 过定点 .画出双曲线的图像以及双曲线渐近线的图像如下图所示，由图可知，要使直线 与双曲线 的右支相交于不同的两点，则 ，结合选项可知只有 D 选项符合.由 消去 得 ，化简得，因为直线 与双曲线 的右支相交于不同的两点，所以，解得 . 故选：D. 1 2PF PF 42 214 3x yy x m   y2 27 8 4 12 0 x mx m      248 7 0 m    7 m  7 2 y kx  2 24 x y  ( 1,1) ( 2 , 2 )  (1, 2 ) ( 2 , 1)  y x  2 y kx   (0,2)2 y kx  2 24 x y   1 k 2 224y kxx y   y 222 4 x kx    2 21 4 8 0 k x kx     2 y kx  2 24 x y   2 216 32 1 01k kk      2 1 k    

　【例 6】已知双曲线 C ： 2 22 21 0, 0x ya ba b    的左右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线 l 与圆 2 2 2x y a  相切于点 T ，且直线 l 与双曲线 C 的右支交于点 P ，若T F P F1 14 ，则双曲线 C 的离心率为______. 【解析】

　如图，由题可知1 2OF OF c   ， OT a  ，则1FT b  ， 又 T F P F1 14  ，3 TP b  ，14 FP b  ， 又1 22 PF PF a   ，24 2 PF b a   

　作2/ / F M OT ，可得22 F M a  ， TM b  ，则 2 PM b 

　在2MPF  ，2 2 22 2PM MF PF   ，即  222 c b a   ， 2b a c  

　又2 2 2c a b  ，化简可得2 23 2 5 0 c ac a   ，同除以2a ，得23 2 5 0 e e    解得53e  ，双曲线的离心率为53 【例 7】若直线 21 0 x cy   是抛物线2x y 的一条切线，则 c  _________ 【解析】联立直线和抛物线得到22 1 0 x cyx y   22 1 0 cx x     0 1 c    ． 故答案为：

　1  .

　 【例 8】已知抛物线 C 的方程为212x y  ，过点 (0, 1) A  和点 ( 3) B t， 的直线与抛物线 C 没有公共点，则实数 t 的取值范围是（ ）

　A． ( , 1)(1, )    

　B．2 2( , ) ( , )2 2   

　C． ( , 2 2) (2 2, )     D． ( , 2) ( 2, )    

　【解析】据已知可得直线 AB 的方程为41 y xt  ， 联立直线与抛物线方程，得241{12y xtx y ，消元整理，得242 1 0 x xt   ， 由于直线与抛物线无公共点，即方程242 1 0 x xt   无解， 故有24( ) 8 0t   ，解得2 t 或2 t  . 【例 9】过点 (0,2) P 且与抛物线22 ( 0) y px p   只有一个公共点的直线有（ ）

　A．1 条 B．2 条 C．3 条 D．4 条 【解析】画出图像如下图所示，由图可知， 2, 0 y x   这两条直线与抛物线只有一个公共点，另外过 P点还可以作出一条与抛物线相切的直线 PA ，故符合题意的直线有 3 条，故选 C.

　 2. 巩固提升综合练习

　【练习 1】已知曲线1 :2 C y x   与曲线2 22 :4 C x y    怡好有两个不同的公共点，则实数  的取值范围是（

　）

　A．     , 1 0,1  

　 B．  1, 1  

　C．   1,1 

　 D．     1,0 1,  

　 【解析】双曲线1C 的方程为2, 022, 0y yx yy y       ， 所以，曲线1C 的图象与曲线2C 的图象必相交于点   0, 2  ， 为了使曲线1C 与曲线2C 恰好有两个公共点， 将2 x y  代入方程2 24 y x    ，整理可得  21 4 4 4 0 y y         . ①当 1   时，2 y  满足题意； ②当 1   时，由于曲线1C 与曲线2C 恰好有两个公共点，   216 16 1 1 16 0          ，且 2 是方程  21 4 4 4 0 y y         的根， 则  4 101，解得 1 1     . 所以，当 0 y≥ 时， 1 1     . 根据对称性可知，当 0 y  时，可求得 1 1     . 因此，实数  的取值范围是   1,1  . 故选：C. 【练习 2】对不同的实数值 m ,讨论直线 yx m  与椭圆2214xy   的位置关系. 【解析】由2214y x mxy   消去 y 得，2 25 8 4 4 0 x mx m        2 2 264 4 5 4 4 16 5 m m m        

　当 0   时，25, 5 5 m m     ，此时直线与椭圆相交； 当 0  

　25, 5 m m     ，此时直线与椭圆相切； 当 0   ，25, 5 5 m m m      或 此时直线与椭圆相离. 【练习 3】过点   3,0 和双曲线  2 21 0 x ay a    仅有一交点的直线有（

　）

　A．1 条 B．2 条 C．4 条 D．不确定 【解析】直线斜率不存在时,不满足条件； 直线斜率存在时,与渐近线平行的直线,满足题意

　 ∴ 过点   3,0 和双曲线  2 21 0 x ay a    仅有一交点的直线有 2 条 故选:B． 【练习 4】已知双曲线 2 22 21 0, 0x ya ba b    的右焦点为 F，过点 F 且倾斜角为 45°的直线与双曲线的右支一定有两个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是（

　）

　A． (1, 2]

　B． (1,2)

　C． (1, 2)

　D． ( 2, ) 

　【解析】双曲线2 22 21x ya b  的渐近线方程为by xa  ， 由题意可知，双曲线渐近线的倾斜角范围是 0,4    ， 渐近线斜率 1 ( ) 0, k ，而2 2b c aka a ， 由此得不等式2 221c aa ，即2 22 c a ， 故2222cea  ，所以 1 2 e   ， 故选：C． 【练习 5】已知抛物线24 y x  ，直线 l 过定点(-1,0)，直线 l 与抛物线只有一个公共点时，直线 l 的斜率是__________. 【解析】由题意可设直线方程为：y＝k（x+1）， 联立方程可得， 214y k xy x  ，整理可得 k 2 x 2 +（2k 2 ﹣4）x+k 2 ＝0（*）

　直线与抛物线只有一个公共点⇔（*）只有一个根 ①k＝0 时，y＝0 符合题意 ②k≠0 时，△ ＝（2k 2 ﹣4）

　2 ﹣4k 4 ＝0 整理，得 k 2 ＝1， 解得 1 k  或 k＝﹣1． 综上可得， 1 k  或k＝﹣1 或 k＝0． 故答案为﹣1 或 0 或 1

　【练习 6】已知抛物线21 :2 C y px  的焦点 F 与椭圆2 218 4x y  的右焦点重合，抛物线1C 的准线与 x 轴的交点为 K ，过 K 作直线 l 与抛物线1C 相切，切点为 A ，则AFK △ 的面积为（

　）

　A．32 B．16 C．8 D．4 【解析】抛物线1C 的焦点为 ,02p    ,椭圆的焦点为   2,0 ,所以 22p ,即 4 p  , 所以抛物线方程为:28 y x  ,则 K 为   2,0  , 设直线 l 为   2 y k x   ,则联立 228y k xy x  ,消去 y ,可得  2 2 2 24 8 4 0 k x k x k     , 因为直线 l 与抛物线1C 相切,所以 22 2 24 8 4 4 0 k k k       ,则 1 k  , 当 1 k  时,直线 l 为 2 y x   ,则点 A 为   2,4 ,则1 14 4 82 2AFK AS AF y       , 由抛物线的对称性,当 1 k  时, 8AFKS  ,故选:C

　 三、直线与圆锥曲线中的弦长与面积问题

　 【一】弦长公式

　1. 例题

　【例 1 1】

　】斜率为 1 的直线 l 与椭圆 x24 ＋y2 ＝1 相交于 A，B 两点，则|AB|的最大值为(

　) A．2

　 B. 4 55

　 C. 4 105

　 D. 8 105 【解析】选 C 设 A，B 两点的坐标分别为(x 1 ，y 1 )，(x 2 ，y 2 )，直线 l 的方程为 y＝x＋t， 由  x 2 ＋4y 2 ＝4，y＝x＋t消去 y，得 5x 2 ＋8tx＋4(t 2 －1)＝0， 则 x 1 ＋x 2 ＝－ 85 t，x 1 x 2 ＝4t 2 －15. ∴|AB|＝ 1＋k 2 |x 1 －x 2 |＝ 1＋k 2 · x 1 ＋x 2  2 －4x 1 x 2 ＝ 2·－ 85 t2 －4× 4t2 －15＝ 4 25· 5－t 2 ， 当 t＝0 时，|AB| max ＝ 4 105. 【例 2 2 】已知椭圆 M ：

　x2a2 ＋ y2b2 ＝1( a > b >0)的离心率为63，焦距为 2 2.斜率为 k 的直线 l 与椭圆 M 有两个不同的交点 A ， B . (1)求椭圆 M 的方程； (2)若 k ＝1，求| AB |的最大值． 弦长公式：

　（1）题设：若斜率为 k 的直线 l 与圆锥曲线方程 C 有两个不同的交点 ）

　（ ）、 （2 2 1 1, , y x N y x M，则

　或 ； （2）通径：①过椭圆的一个焦点且与焦点所在轴垂直的弦，长度为：

　2b2a； ②过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦，长度为：

　2b2a； （3）题设：若斜率为 k 的直线 l 经过抛物线 px y C 22  ：

　的焦点 F ，且与 C 交于两点）

　（ ）、 （2 2 1 1, , y x N y x M ，其中  tan  k，则

　 ① 22 1sin2pp x x MN     ；

　 ② pp pNF MF2cos 11cos - 11 1 1   ； （4）题设：若斜率为 k 的直线 l 经过抛物线 py x C 22  ：

　的焦点 F ，且与 C 交于两点）

　（ ）、 （2 2 1 1, , y x N y x M ，其中  tan  k，则

　 ① 222 1cos2)2( sin2 p pp y y MN     ；

　② p NF MF2 1 1  ； MN ＝2 21 2 1 2(1 )[( ) 4 ] k x x x x    MN ＝21 2 1 221(1 )[(y ) 4 ] y y yk  

　 【解析】(1)由题意得 a 2 ＝b 2 ＋c 2 ，ca ＝63，2c＝2 2，解得 a＝ 3，b＝1. 所以椭圆 M 的方程为 x23 ＋y2 ＝1. (2)设直线 l 的方程为 y＝x＋m，A(x 1 ，y 1 )，B(x 2 ，y 2 )． 由 y＝x＋m，x 23 ＋y2 ＝1，得 4x 2 ＋6mx＋3m 2 －3＝0， 所以 x 1 ＋x 2 ＝－ 3m2，x 1 x 2 ＝ 3m2 －34. 所以|AB|＝ x 2 －x 1  2 ＋y 2 －y 1  2 ＝ 2x 2 －x 1  2 ＝ 2[x 1 ＋x 2  2 －4x 1 x 2 ]＝ 12－3m 22. 当 m＝0，即直线 l 过原点时，|AB|最大，最大值为 6. 【例 3 3 】椭圆 E：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a＞b＞0)的左焦点为 F 1 ，右焦点为 F 2 ，离心率 e＝12 ，过 F 1 的直线交椭圆于 A，B 两点，且△ABF 2 的周长为 8. (1)求椭圆 E 的方程； (2)若直线 AB 的斜率为 3，求△ABF 2 的面积． 【解析】(1)由题意知，4a＝8，所以 a＝2， 又 e＝ 12 ，所以ca ＝12 ，c＝1， 所以 b 2 ＝2 2 －1＝3， 所以椭圆 E 的方程为 x24 ＋y 23 ＝1. (2)设直线 AB 的方程为 y＝ 3(x＋1)， 由 y＝ 3x＋1，x 24 ＋y 23 ＝1，得 5x 2 ＋8x＝0， 解得 x 1 ＝0，x 2 ＝－ 85 ， 所以 y 1 ＝ 3，y 2 ＝－ 3 35. 所以 S△ABF 2 ＝c·|y 1 －y 2 |＝1× 3＋ 3 35＝ 8 35. 【例 4 4】

　】已知 是抛物线 的焦点，则过 作倾斜角为 的直线分别交抛物线于 （ 在 轴上方）两点，则 的值为(

　) F24 y x   F 60, A BAx| || |AFBF

　 A．

　B．

　C．

　D．

　【解析】

　，

　∴ . 【例 5 5 】设抛物线 C ：

　y2 ＝4 x的焦点为 F ，过 F 且斜率为 k ( k >0)的直线 l 与 C 交于 A ， B 两点，| AB |＝8. (1)求 l 的方程； (2)求过点 A ， B 且与 C 的准线相切的圆的方程． 【解析】(1)由题意得 F(1,0)，l 的方程为 y＝k(x－1)(k>0)． 设 A(x 1 ，y 1 )，B(x 2 ，y 2 )， 由  y＝kx－1，y 2 ＝4x得 k 2 x 2 －(2k 2 ＋4)x＋k 2 ＝0. Δ＝16k 2 ＋16>0，故 x 1 ＋x 2 ＝ 2k2 ＋4k 2. 所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x 1 ＋1)＋(x 2 ＋1)＝ 4k2 ＋4k 2. 由题设知 4k2 ＋4k 2＝8，解得 k＝1 或 k＝－1(舍去)．

　因此 l 的方程为 y＝x－1. (2)由(1)得 AB 的中点坐标为(3,2)， 所以 AB 的垂直平分线方程为 y－2＝－(x－3)， 即 y＝－x＋5. 设所求圆的圆心坐标为(x 0 ，y 0 )， 则 y 0 ＝－x 0 ＋5，x 0 ＋1 2 ＝ y0 －x 0 ＋1 22＋16. 解得  x 0 ＝3，y 0 ＝2或  x 0 ＝11，y 0 ＝－6. 因此所求圆的方程为(x－3) 2 ＋(y－2) 2 ＝16 或(x－11) 2 ＋(y＋6) 2 ＝144. 【例6 6】

　】已知抛物线y 2 ＝16x的焦点为F，过F作一条直线交抛物线于A，B两点，若|AF|＝6，则|BF|＝________. 【解析】不妨设 A(x 1 ，y 1 )，B(x 2 ，y 2 )(A 在 B 上方)，根据焦半径公式|AF|＝x 1 ＋ p2 ＝x 1 ＋4＝6，所以 x 1 ＝2，y 1 ＝4 2，所以直线 AB 的斜率为 k＝4 22－4 ＝－2 2，所以直线方程为 y＝－2 2(x－4)，与抛物线方程联立得 x 2 －10x＋16＝0，即(x－2)(x－8)＝0，所以 x 2 ＝8，故|BF|＝8＋4＝12. 答案：12 3 2 3 4| |1 cos60pAF   | |1 cos60pBF   | | 1 0.53| | 1 0.5AFBF   

　 【例 7 7 】已知斜率为 1 的直线 l 与双曲线24x y 2 ＝1 的右支交于 A，B 两点，若|AB|＝8，则直线 l 的方程为（

　）

　A．y＝x21  B．y＝x21  C．y＝x3 55 D．y＝x3 55 【解析】设斜率为 1 的直线 l 的方程为 yx t  ， 联立双曲线方程2214xy   ，可得2 23 8 4 4 0 x tx t     ， 设1( A x ，1 )y ，2( B x ，2 )y ，可得1 283tx x    ，21 24 43tx x ， 则2 2 221 2 1 264 16 16 4 3| | 1 1 ( ) 4 2 2 89 3 3t t tAB x x x x         ， 解得21 t  ，由于直线 l 与双曲线的右支交于两点，可得21 t  ， 则直线 l 的方程为 21 y x   ． 故选：

　B ． 【例 8 8 】过双曲线2 219 4x y  的左焦点作弦 AB ，使 AB 4  ，则这样的直线 AB 的条数为______. 【解析】2 213 c a b    当直线 AB 不存在斜率时，直线方程为 13 x   ，此时把 13 x   代入双曲线方程中可得：43y   ，此时4 4 8( ) 43 3 3AB      ，这样有两条直线过左焦点作弦 AB 只与双曲线左支相交，使 AB 4  ； 直线 AB 与双曲线左右两支都相交时，弦 AB 的最小值为 2 6 a  ，所以过左焦点作弦 AB 与左右两支都相交，使 AB 4  的直线是不存在的. 故答案为：2 【例 9 9 】已知双曲线2212yx  

　（1）求直线1 y x   被双曲线截得的弦长； （2）过点   1,1 P 能否作一条直线 l 与双曲线交于 , A B 两点,且点 P 是线段 AB 的中点？ 【解析】（1）设直线1 y x   与2212yx   的交点    3 3 4 4, , , P x y Q x y

　 联立方程组22121 y xyx  ，化简得：22 3 0 x x   ， 解得3 41, 3 x x    ，所以     1,0 , 3,4 P Q  ， 所以弦长   2 21 3 0 4 4 2 PQ       （2）假设存在直线 l 与双曲线交于 , A B 两点,且点 P 是线段 AB 的中点. 设  1 1, A x y ,  2 2, B x y ,易知1 2x x  ,由221122221212yxyx   两式相减得    1 2 1 21 2 1 202y y y yx x x x     , 又1 212x x  ,1 212y y  ，所以    1 2 1 22 0 x x y y     ,所以1 21 22ABy ykx x , 故直线 l 的方程为   1 2 1 y x    ,即 2 1 y x   . 由222 112y xyx   ,消去 y 得22 4 3 0 x x   ＋, 因为 16 24 8 0     ,方程无解, 故不存在一条直线 l 与双曲线交于 , A B 两点,且点 P 是线段 AB 的中点.

　 2. 巩固提升综合练习 【练习 1 1】

　】已知椭圆 C 的两个焦点为 F 1 (－1,0)，F 2 (1,0)，且经过点 E 3，32. (1)求椭圆 C 的方程； (2)过 F 1 的直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点(点 A 位于 x 轴上方)，若AF 1―→ ＝2F1 B―→ ，求直线 l 的斜率 k 的值． 【解析】(1)设椭圆 C 的方程为 x2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a＞b＞0)， 由 2a＝|EF 1 |＋|EF 2 |＝4，a 2 ＝b 2 ＋c 2 ，c＝1，解得 a＝2，c＝1，b＝ 3，

　 所以椭圆 C 的方程为 x24 ＋y 23 ＝1. (2)由题意得直线 l 的方程为 y＝k(x＋1)(k＞0)， 联立 y＝kx＋1，x 24 ＋y 23 ＝1，整理得 3k 2 ＋4 y2 － 6k y－9＝0， 则 Δ＝ 144k 2＋144＞0， 设 A(x 1 ，y 1 )，B(x 2 ，y 2 )， 则 y 1 ＋y 2 ＝6k3＋4k 2 ，y 1 y 2 ＝－9k 23＋4k 2 ， 又AF 1―→ ＝2F1 B―→ ，所以 y1 ＝－2y 2 ， 所以 y 1 y 2 ＝－2(y 1 ＋y 2 ) 2 ， 则 3＋4k 2 ＝8，解得 k＝±52， 又 k＞0，所以 k＝52. 【练习 2 2 】已知椭圆 : 2 22 21x ya b  （ 0 a b   ）的半焦距为 c ，原点  到经过两点   ,0 c ，   0,b 的直线的距离为12c ． （Ⅰ）求椭圆  的离心率； （Ⅱ）如图，  是圆 :     2 2 52 12x y     的一条直径，若椭圆  经过  ，  两点，求椭圆  的方程．

　【答案】（Ⅰ）32；（Ⅱ）2 2112 3x y  ． 【解析】（Ⅰ）过点     ,0 , 0, c b 的直线方程为 0 bx cy bc    ， 则原点 O 到直线的距离2 2bc bcdab c ，

　 由12d c  ，得2 22 2 a b a c   ，解得离心率32cea  . （Ⅱ）由（1）知，椭圆 E 的方程为2 2 24 4 x y b   . 依题意，圆心   2,1 M  是线段 AB 的中点，且 10 AB  . 易知， AB 不与 x 轴垂直. 设其直线方程为   2 1 y k x    ，代入（1）得      22 2 21 4 8 2 1 4 2 1 4 0 k x k k x k b        . 设    1 1 2 2, , , A x y B x y ，则 1 228 2 11 4k kx xk  ， 221 224 2 1 41 4k bx xk  . 由1 24 x x    ，得 28 2 1= 41 4k kk ，解得12k  . 从而21 28 2 x x b   . 于是   2221 2 1 2 1 21 51 4 10 22 2AB x x x x x x b          .

　由 10 AB  ，得 210 2 10 b   ，解得23 b . 故椭圆 E 的方程为2 2112 3x y  . 【练习 3 3】

　】已知抛物线 x y C 3 :2 的焦点为 F ，斜率为 的直线 l 与 C 的交点为 B A, ，与 x 轴的交点为 P ． （1）若 4   BF AF ，求 l 的方程； （2）若 ，求 AB ． 【答案】（1）

　；（2）

　. 【解析】设直线 ． （1）由题设得 ，故 ，由题设可得 ． 323 AP PB 3 72 8y x  4 133   1 1 2 23: , , , ,2l y x t A x y B x y  3,04F   1 23| | | |2AF BF x x    1 252x x  

　 由 ，可得 ，则 ． 从而 ，得 ． 所以 的方程为 ． （2）由 可得 ． 由 ，可得 ． 所以 ．从而 ，故 ． 代入 的方程得 ．故 ． 【练习 4 4 】如图，过抛物线22 ( 0) y px p   的焦点 F 的直线 l 交抛物线于点 , A B ，交其准线于点 C ，若4 BC BF  ，且 6 AF  ，则 p 为（

　 ）

　A．94 B．92 C． 9

　D． 18

　【解析】设准线与 x 轴交于点 P ，作 BH 垂直于准线，垂足为 H .

　2323y x ty x 2 29 12( 1) 4 0 x t x t    1 212( 1)9tx x  12( 1) 59 2t  78t  l3 72 8y x  3 AP PB 1 23 y y  2323y x ty x 22 2 0 y y t   1 22 y y  2 23 2 y y   2 11, 3 y y   C1 213,3x x  4 13| |3AB 

　 由 4 BC BF  ，得：45BH BCPF CF  ， 由抛物线定义可知：

　BF BH  ，设直线 l 的倾斜角为  ， 由抛物线焦半径公式可得：41 cos5pBF BFPF p p   ，解得：1cos4  ， 461 31 cos 314 4p p pAF p     ，解得：92p  ， 本题正确选项为 B. 【练习 5 5 】已知复数   , z x yi x y R    满足：

　5 5 2 z z a     （ 0 2 2 5 a   ），且 z 在复平面上的对应点 P 的轨迹 C 经过点   4, 3 . （1）求 C 的轨迹； （2）若过点   4,0 A ，倾斜角为4的直线 l 交轨迹 C 于 M 、 N 两点，求 OMN  的面积 S . 【解析】（1）由于复数   , z x yi x y R    满足：

　5 5 2 z z a     （ 0 2 2 5 a   ），所以 z 在复平面上的对应点 P 到   5,0  、   5,0 两点的距离之差为常数 2a ，且 0 2 2 5 a   .所以 P 的轨迹是双曲线的右支.且 5 c  .设轨迹 C 的方程为 2 22 21 25x yxa a  ，将点   4, 3 代入上式得2 216 315 a a ，解得24 a 或220 a （舍去），所以 C 的轨迹方程为 221 24xy x    . （2）依题意，直线 l 的方程为4 y x  ，由22414y xxy   消去 y 得23 32 68 0 x x   . 设    1 1 2 2, , , M x y N x y ，则1 2 1 232 68,3 3x x x x     . 所以 21 2 1 22 4 MN x x x x    1024 68 4 208 4 262 29 3 9 3      . O 到直线 l 的距离为42 22d  . 所以1 1 4 26 8 132 22 2 3 3S MN d       .

　 【练习 6 6 】已知双曲线 C：2 22 21( 0, 0)x ya ba b    与双曲线2 2116 4x y  有相同的渐近线，且双曲线 C 过点   4, 3 ． (1)若双曲线 C 的左、右焦点分别为1F ，2F ，双曲线 C 上有一点 P，使得1 260 FPF    ，求△1 2FPF 的面积； (2)过双曲线 C 的右焦点2F 作直线 l 与双曲线右支交于 A，B 两点，若△1F AB 的周长是403，求直线 l 的方程． 【解析】(1) 设双曲线 C：2 216 4x y   ，点  4, 3 代入得：14 

　∴ 双曲线 C：2214xy  

　在△ PF 1 F 2 中，设1 2, PF m PF n  

　， ∴2 21 2420 1cos2 2m nm nFPFmn     ①② ，由②得：

　 22 20 m n mn mn     ， 16 2 20 mn mn    ， 4 mn 

　， ∴1 21sin60 32PF FS mn    ；

　(2) ∵11 1 2 240+ 2 2 8 23F ABC AF BF AB AF a BF a AB AB          

　 ∴83AB 

　， 1°当直线 AB 斜率不存在时， 1 AB  ，不符合题意（舍）

　2°当直线 AB 斜率存在时，设 AB：

　  5 y k x  

　， 联立： 22514y k xxy    ，  2 2 2 24 1 8 5 20 4 0 k x k x k     

　∴ 22 221 22 24 11 16 16 813 4 1 4 1kk kAB k x xk k        ， 解得：

　1 k  ，此时  

　， ∴ 直线 l 方程：

　5 y x   或 5 y x    .

　 【二】面积问题

　 1. 例题

　【例 1】

　】过抛物线24 y x  的焦点 F 的直线交抛物线于 , A B 两点,点 O 是原点,若 3 AF  ;则 AOB  的面积面积问题：

　涉及面积的计算问题，常用到三角形面积公式、焦点三角形面积公式、点到直线的距离公式，或把待求面积分解成两个易于求和的三角形面积之和. (1)椭圆焦点三角形面积：

　）

　在椭圆上， （点2 1222tan1PF F P b SPF F   (2)双曲线焦点三角形面积：）

　在双曲线上， （点2 1222tan1PF F PbSPF F  

　 (3)抛物线：

　①题设：若斜率为 k 的直线 l 经过抛物线 px y C 22  ：

　的焦点 F ，且与 C 交于两点）

　（ ）、 （2 2 1 1, , y x N y x M ，其中  tan  k，则：

　sin 2sin2 212pMNpSMON    . ②题设：若斜率为 k 的直线 l 经过抛物线 py x C 22  ：

　的焦点 F ，且与 C 交于两点）

　（ ）、 （2 2 1 1, , y x N y x M ，其中  tan  k，则：

　cos 22sin 22sin2 212 2p pMNpSMON     ）

　（）

　（.

　 为 （

　 ）

　A．22 B．2

　C．3 22 D． 2 2

　【解析】抛物线24 y x  焦点为   1,0 F ，准线方程为 1 x ， 由 3 AF  得1(2,2 2), ( , 2)2A B  或1(2, 2 2), ( , 2)2A B 

　所以12AOB A BS OF y y   1 3 21 2 2 22 2     ，故答案为 C． 【例 2】

　】已知点 F 是抛物线 C ：24 y x  的焦点，直线 l 与抛物线 C 相切于点   0 0 0, 0 P x y y  ，连接 PF交抛物线于另一点 A ，过点 P 作 l 的垂线交抛物线 C 于另一点 B .

　（1）若01 y  ，求直线 l 的方程； （2）求三角形 PAB 面积 S 的最小值 【解析】（1）由01 y  得1,14P   , 设直线 l 的方程为  114t y x    , 由 21144t y xy x  得24 4 1 0 y ty t     , 因为直线 l 与抛物线 C 相切,故  216 4 4 1 0 t t     ,解得12t  . 故所求直线 l 的方程  1 112 4y x    ,即122y x   .

　 （2）设切线 l 的方程为  0 0t y y x x    ,211,4yA y   ,222,4yB y   , 又由 A , F , P 三点共线,故/ / FA FP ,2111,4yy FA    ,2001,4yFP y    , 化简可得,1 04 y y   , 20 04 4, Ay y   , 由 0 024t y y x xy x   得20 04 4 4 0 y ty y x     , 因为直线 l 与抛物线 C 相切,故02 4 y t  ,即02yt  , 故直线 PB 的方程为  00 02yy y x x     ,300 02 2 04yy x y y     , 因此点 A 到直线 PB 的距离为  3022002 20 0 042444 4 4yyyydy y y    , 由300 022 2 044yy x y yy x    得  2 30 0 08 8 0 y y y y y     ,0 208y yy  ,2 008y yy  , 故2 0 020 0 04 4 81 1 2 y y y By y yP         , 所以 2200220 00 041 1 4 81 22 24 4PAByS d PB yy yy y        32004 14yy     330 00 01 4 1 42 164 4y yy y              等号成立当且仅当004yy,即02 y  时等号成立. 此时三角形 PAB 面积 S 的最小值为 16. 例 【例 3 】已知点1F ，2F 是椭圆2 22 2: 1( 0)x yC a ba b    的两个焦点， P 为椭圆 C 上一点，且

　 1 22FPF  ．若△1 2PFF 的面积为 9，则 b _______ 【解析】1 22FPF  ,1 2PFF  的面积为 9， 设1| | PF m  ，2| | PF n  ．则2 2 221924m n amnm n c    可得：2 24 36 4 c a   ， 即2 2 29 a c b    ，解得 3 b ． 【例 4 】已知点 A(0，－2)，椭圆 E：2 22 21x ya b 

　(a>b>0)的离心率为32，F 是椭圆 E 的右焦点，直线 AF的斜率为2 33，O 为坐标原点.

　(1)求 E 的方程； (2)设过点 A 的动直线 l 与 E 相交于 P，Q 两点.当△ OPQ 的面积最大时，求 l 的方程. 【解析】（1）设   ,0 F c ，因为直线 AF 的斜率为2 33，   0, 2 A 

　所以2 2 33 c ， 3 c . 又2 2 23,2cb a ca   解得 2, 1 a b   ，所以椭圆 E 的方程为2214xy   . （2）解：设    1 1 2 2, , , P x y Q x y

　由题意可设直线 l 的方程为：

　2 y kx   ， 联立221{ 42,xyy kx  ，消去 y 得  2 21 4 16 12 0 k x kx     ， 当  216 4 3 0 k     ，所以234k  ，即32k   或32k  时 1 2 1 22 216 12,1 4 1 4kx x x xk k   . 所以 221 2 1 21 4 PQ k x x x x    222 216 4811 4 1 4kkk k      2 224 1 4 31 4k kk 

　 点 O 到直线 l 的距离221dk所以221 4 4 32 1 4OPQkS d PQk ， 设24 3 0 k t   ，则2 24 3 k t  ， 24 4 4144 2 4OPQtSttt   ，当且仅当 2 t  ，即24 3 2 k  ， 解得72k   时取等号，满足234k 

　所以 OPQ  的面积最大时直线 l 的方程为：722y x   或722y x   . 2. 巩固提升综合练习 【练习 1 】抛物线24 y x  的焦点为 F,准线为 l,经过 F 且斜率为 3 的直线与抛物线在 x 轴上方的部分相交于点 A, AK l  ,垂足为 K,则AKF  的面积是(

　) A．4 B． 3 3

　C． 4 3

　D．8 【解析】由抛物线24 y x  可得   1,0 F , 因为斜率为 3 ,则直线方程为   3 1 3 3 y x x     , 联立23 34y xy x   ,消 y 得23 10 3 0 x x   ,解得11=3x ,23 x  , 因为交点 A 在 x 轴上方,所以 3 x ,则   3,2 3 A , 则   223 1 2 3 4 AF    , 则由抛物线定义可得 4 AK AF   , 因为直线斜率为 3 ,即倾斜角为 60 ,因为 AK l  ,所以 // AK x 轴,即 60 KAF    , 所以1 1 3sin 4 4 4 32 2 2AKFS AF AK KAF         ,故选:C 【练习 2 】已知 P 为椭圆2 24125 75x y  上一点，1 2F F ， 是椭圆的焦点，1 260 FPF    ，则1 2FPF  的面积为________． 【解析】由椭圆方程得：

　5 a  ，5 32b  ，75 5254 2c   

　 设1PF m  ，2PF n  ，则 2 10 m n a   

　在1 2FPF  中，由余弦定理得：

　 222 2 21 22 4 4 100 2 25 1cos2 2 2 2m n mn c m n c mnFPFmn mn mn          解得：

　25 mn

　1 21 21 25 3sin2 4F PFS mn FPF    【练习 3 】如图所示,直线 ykx b  与椭圈2214xy   交于 A､B 两点,记 AOB  面积为 S; (1)求在 0 k  , 0 1 b   的条件下 S 的最大值; (2)当 2 AB  , 1 S  , 0 k  时,求直线 AB 的方程;

　【解析】设  1 1, A x y ,  2 2, B x y , （1）当 0 k  时, y b  ,联立2214y bxy  ,即2214xb   , 所以212 1 x b  ,222 1 x b  ,所以21 24 1 AB x x b     , 则212 12S AB b b b    , 因为 0 1 b   ,所以设21 cos b   ,则 sin b   ,02   ， , 则 2sin cos sin2 S      , 因为   2 0,    ,所以   0,1 S ,则 S 的最大值为 1 （2）因为 2 AB  , 1 S  ,所以211bhk ,即2 21 b k  ,

　 联立 22014y kx b kxy    ,则  2 2 21 4 8 4 4 0 k x kbx b      , 所以1 2281 4kbx xk ,21 224 41 4bx xk, 则22 11 AB k x x     221 2 1 21 4 k x x x x      2222 24 4 4811 4 1 4bkbkk k         2 2224 14 11 4k bkk   22234 11 4kkk  2 , 整理可得4 24 4 1 0 k k   ,解得212k  ,所以22k  或22 （舍）, 则21 312 2b    ,所以62b  或62b  , 所以直线 AB 的方程为2 62 2y x   或2 62 2y x   【练习 4 】已知椭圆  ：2 22 21( 0)x ya ba b    的离心率为32，椭圆的四个顶点围成四边形的面积为 4. （Ⅰ）求椭圆  的标准方程； （Ⅱ）直线 l 与椭圆  交于 A ， B 两点， AB 的中点 M 在圆2 21 x y   上，求 AOB  （ O 为坐标原点）面积的最大值. 【解析】（Ⅰ）由题意知32ca ，得32c a  ，12b a  ， 所以2 22 23 314x yc c  ， 由椭圆  的四个顶点围成的四边形的面积为 4，得 2 4 ab ， 所以 2 a  ， 1 b ，椭圆  的标准方程为2214xy   . （Ⅱ）当直线 l 的斜率不存在时， 令 1 x ，得32y   ，1 31 32 2AOBS      ， 当直线 l 的斜率存在时，设 l : ykx m  ，  1 1, A x y ，  2 2, B x y ，  0 0, M x y ，

　由2 24 4y kx mx y   ，得  2 2 21 4 8 4 4 0 k x kmx m      ， 则1 2281 4kmx xk  ，21 224 41 4mx xk， 所以0241 4kmxk ，20 02 241 4 1 4k m my kx m mk k      ， 将2 24,1 4 1 4km mk k    代入2 21 x y   ，得 22221 416 1kmk， 又因为 221 2 1 21 4 AB k x x x x      2 2 2241 1 41 4k k mk    ， 原点到直线 l 的距离21mdk， 所以221121AOBmS kk    2 2241 41 4k mk  2 2221 41 4mk mk   2222 1 41 416 1kkk  2221 41 4 116 1kkk     2 22212 1 4216 1k kk  2 22212 1 416 1k kk  222 1 16116 1 2kk  . 当且仅当2 212 1 4 k k  ，即24k   时取等号. 综上所述， AOB  面积的最大值为 1.

　四、课后自我检测

　1.已知直线 与抛物线 交于 ， 两点，则 等于（

　）

　A．

　B．6 C．7 D．8 【解析】方法一：设 为 , 为 ,联立 得 , 1 y x  214x y A BAB4 2A  1 1, x yB  2 2, x y2114y xx y  26 1 0 x x   

　 因为 ,则 , 所以

　方法二：

　84sin4sin222  pAB

　故选：D 2.已知直线 y＝－x＋1 与椭圆 x2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a＞b＞0)相交于 A，B 两点，若椭圆的离心率为22，焦距为 2，则线段 AB 的长是(

　) A. 2 23

　B. 4 23

　 C. 2

　D．2 【解析】选 B 由条件知 c＝1，e＝ ca ＝22，所以 a＝ 2，b＝1，椭圆方程为 x22 ＋y2 ＝1，联立直线方程与椭圆方程可得交点坐标为(0,1)， 43 ，－13，所以|AB|＝ 4 23. 3.已知焦点在 x 轴上的椭圆 C：

　x2a 2 ＋y2 ＝1(a＞0)，过右焦点作垂直于 x 轴的直线交椭圆于 A，B 两点，且 |AB|＝1，则该椭圆的离心率为________． 【解析】因为椭圆 x2a 2 ＋y2 ＝1(a＞0)的焦点在 x 轴上，所以 c＝a 2 －1，又过右焦点且垂直于 x 轴的直线为 x＝c，将其代入椭圆方程中，得 c2a 2 ＋y2 ＝1，则 y＝± 1－ c2a 2 ，又|AB|＝1，所以 21－ c2a 2 ＝1，得c 2a 2 ＝34 ，所以该椭圆的离心率 e＝ ca ＝32. 答案：32 4.已知抛物线2: 4 C y x  的焦点为 F ，过点 F 的直线交抛物线 C 于 A ， B 两点， O 为坐标原点，若 AOB 的面积为3 22，则线段 AB 的长是（

　）

　A. 9

　B. 4

　C.92 D. 8

　【解析】方法一：当直线 AB 垂直于 x 轴时，  12 2 1 22AOBS       ，不符合题设； 当直线 AB 不垂直于 x 轴时，设 AB 方程为   1 ( 0) y k x k    ，即 kx y k 0    . 点   0,0 到直线 AB 距离21kdk. 2=6 4 1 1 32 0      1 2 1 26, 1 x x x x         22 2 21 2 1 21 4 1 1 6 4 1 64 8 AB k x x x x           

　 联立 21 ,4 ,y k xy x  得  2 2 2 22 4 0 k x k x k     ， 设1 1( , ), A x y2) 2( , ) B x y, 则由韦达定理得,21 22(2 4) kx xk   ,21 221kx xk  , 所以由弦长公式得,2 21 2 1 21 ( ) 4 AB k x x x x     22 22(2 4)1 ( ) 4 1kkk     224(1 ) kk , 因为 AOB  的面积为3 22, 所以2221 4 4 3 22 21k kkk  ，所以28 k ，所以92AB  . 故选 C. 方法二：22 3sin2 pSMON，所以32 2sin   ，所以29sin2 pAB 5.若直线 l 交双曲线2 212 6x y  的左，右两支于 A，B 两点，O 为坐标原点，若 0 OA OB   ，则 21OA21OB  （

　）

　A．12 B．13 C．2 D．3 【解析】设直线 OA 的方程为   0 y kx k   ，与2 212 6x y  联立得，222226363xkkyk  ，  222 226 1=3kOA x yk  ． 则直线 OB 的方程为1y xk= （ 0 k  ），同理求得 2226 13 1kOBk，   22 222 11 1 13 6 1kk OA OB   ． 故选 B． 6.已知抛物线2: C y x  ，直线 : 1 l y kx   ，则“ 0 k  ”是“直线 l 与抛物线 C 有两个不同交点”的（

　 ）

　 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】∵2, 1 y x y kx   

　∴  21 kx x   化简可得  2 22 1 1 0 k x k x    

　∵ 直线 l 与抛物线 C 有两个不同交点 ∴  222 1 4 4 1 0 k k k         ，且 0 k  等价于14k  ，且 0 k  ， “ 0 k  ”不能推出“直线 l 与抛物线 C 有两个不同交点”， “直线 l 与 抛物线 C 有两个不同交点”能推导出 0 k 

　∴ “ 0 k  ”是“直线 l 与抛物线 C 有两个不同交点”的必要不充分条件 故选 B 7.已知双曲线2 22 21x ya b  的右焦点为 F，过 F 做斜率为 2 的直线 l , 直线 l 与双曲线的右支有且只有一个公共点，则双曲线的离心率范围________ 【解析】因为过 F 做斜率为 2 的直线 l ,直线 l 与双曲线的右支有且只有一个公共点,所以 2ba , 所以221 5c bea a   ,又因为 1 e ,所以 [ 5, ) e 

　故答案为：

　[ 5, ) 

　8.已知双曲线2 2: 2 C x y   ，过右焦点的直线交双曲线于 , A B 两点，若 , A B 中点的横坐标为 4，则弦 AB长为（

　）

　A． 3 2

　B． 4 2

　C．6 D． 6 2

　【解析】双曲线2 2: 12 2x yC   ，则24 c ，所以右焦点 (2,0) F ， 根据题意易得过 F 的直线斜率存在，设为( 2) y k x  ， ( , ), ( , )A A B BA x y B x y

　联立2 2( 2)2y k xx y   ，化简得  2 2 2 21 4 4 2 0 k x k x k      ， 所以2 22 24 4 2,1 1A B A Bk kx x x xk k     ，

　 因为 , A B 中点横坐标为 4，所以22481A Bkx xk  ， 解得22 k ，所以224 2101A Bkx xk  ， 则    22 28 4 10 24 4A B A B A Bx x x x x x         ， 则   22| | 1 3 24 6 2A BAB k x x       ． 故选：D． 9.已知双曲线2 22 21( 0, 0)x ya ba b    的虚轴长为 2 6 ，且离心率为 3 ． (1)求双曲线的方程； (2)经过双曲线右焦点2F 作倾斜角为 30° 的直线，直线与双曲线交于不同的两点 , A B ，求 | | AB ． 【解析】（1）双曲线2 22 2: 1( 0, 0)x yC a ba b    的虚轴长为 2 6 ，离心率为 3 ， ∴36cab解得 3 a  ， 6 b  ， 3 c ， ∴ 双曲线的方程为2 213 6x y  . （2）由（1）知双曲线2 213 6x y  的右焦点为2 (3,0)F ，设经过双曲线右焦点2F 且倾斜角为 30° 的直线的方程为3( 3)3y x   ，1 1( , ) A x y ，2 2( , ) B x y ， 由2 213 63( 3)3x yy x  ，得25 6 27 0 x x   ，其中，1 265x x    ，1 2275x x   ， 2 21 21 6 27 16 3| | 1 | | 1+ ( ) 4 ( )3 5 5 5AB k x x           . 10.已知椭圆 ：

　，短轴长为 ，离心率为 .直线 与椭圆 交于不同的两点 ， . （1）求椭圆 的方程； C 2 22 21 0x ya ba b    2321 1:2 2l y x   CM NC

　 （2）若已知点 ,求 的面积. 【答案】(1)

　(2)

　【解析】(1)由题意得 ,解得 ,所以椭圆 的方程为 . (2)方法 1：由 ,消去 x,得 ,判别式 , 设点 , 的坐标分别为 , , 所以 , 所以 的面积

　方法 2：由 ,消去 y,得 ,判别式 , 设点 , 的坐标分别为 , , 所以 , 又因为点 到直线 的距离 , 所以 的面积

　11.已知椭圆  2 22 2: 1 0x yE a ba b    的左焦点为   1,0 F  ，经过点 F 的直线与椭圆相交于 M ， N 两点，点 P 为线段 MN 的中点，点 O 为坐标原点.当直线 MN 的斜率为 1 时，直线 OP 的斜率为12 . （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）若点 A 为椭圆的左顶点，点 B 为椭圆的右顶点，过 F 的动直线交该椭圆于 C ， D 两点，记 ACD  的面积为1S ，BCD  的面积为2S ，求2 1S S  的最大值. (2,0) A AMN 2214xy  742 2 22 232bcaa b c   1 b C2214xy  222 114x yxy   28 4 3 0 y y   24 4 8 ( 3) 112       M N  1 1, x y  2 2, x y1 278 2y y  AMN 1 27(2 1)412y y S     221 12 214y xxy  22 2 3 0 x x   2( 2) 4 2 ( 3) 28        M N  1 1, x y  2 2, x y2 21 1 281 ( ) 1 ( )2 2 2 2MN      2,0 A1 1:2 2l y x  21211 ( )2d AMN 2211 28 721 ( )2 2 4 11 ( )21 1| |2 2S MN d      

　 【解析】（1）设  1 1, M x y ，  2 2, N x y ，则点1 2 1 2,2 2x x y yP     ，由条件知， 直线 MN 的斜率为1 21 21y yx x，直线 OP 的斜率为1 21 212y yx x ， 而2 21 12 22 22 22 211x ya bx ya b  ，两式作差得，2 2 2 21 2 1 22 20x x y ya b   ， 所以    2 2 21 2 1 21 22 2 21 2 1 2 1 212y y y y y y ba x x x x x x        ，即2 22 a b ， 又左焦点为   1,0 F  ，所以2 2 2 2 2 22 1 c a b b b b       ， 所以椭圆 E 的标准方程为2212xy   . （2）设直线 CD 的方程为 1 x my   ，记 C ， D 过标为  1 1, x y ，  2 2, x y ， 则1 1 2 1 21 2 12 2S AF y y y y     ， 2 1 2 1 21 2 12 2S BF y y y y     ， 所以2 1 1 2S S y y    . 联立方程，2 22 21x yx my   ，消去 x ，得  2 22 2 1 0 m y my     ， 所以1 2222my ym ，1 2212y ym ，    221 2 1 2 1 2 228 142my y y y y ym    ，令21 t m  ，则 1 t  ，且   22 228 18 8 8212 2122mttmtt    ，当且仅当 1 t  时等号成立， 所以2 1 1 22 S S y y     ，即2 1S S  的最大值为2 .