常见递推数列通项九种类型

时间：2020-10-29 15:17:21 来源：蒲公英阅读网 本文已影响人

相关热词搜索：数列 种类 常见

　 常见递推数列通项的九种类型

　 高考中的递推数列求通项问题，情境新颖别致，有广度，创新度和深度，是高考的热点之一。是一类考查思维能力的好题。要求考生进行严格的逻辑推理，找到数列的通项公式，为此介绍几种常见递推数列通项公式的求解方法。

　类型一：

　) (1n f a an n （ ) (n f 可以求和）

　解决方法累加法

　例 例 1、在数列  na 中，已知1a =1，当 2 n  时，有12 1n na a n     2 n ，求数列的通项公式。

　解析：12 1( 2)n na a n n   

　2 13 24 311352 1n na aa aa aa a n       

　 上述 1 n 个等式相加可得：

　211na a n   

　2na n  

　评注：一般情况下，累加法里只有 n-1 个等式相加。

　类型二：1( )n na f n a 

　 （ ( ) f n 可以求积）

　解决方法累积法

　例 例 2、在数列  na 中，已知11, a  有  11n nna n a  ，( 2 n  )求数列  na 的通项公式。

　解析：1 2 3 211 2 3 2 1n n nnn n na a a a aa aa a a a a       

　1 2 3 211 1 4 3n n nn n n      21 n 又1a 也满足上式；21nan 

　*( ) n N 

　评注：一般情况下，累积法里的第一步都是一样的。

　类型三：1(n na Aa B   其中A,B为常数A 0,1）

　解决方法待定常数法 可将其转化为1( )n na t A a t   ，其中1BtA，则数列  na t  为公比等于 A A 的等比数列，然后求na 即可。

　例 例 3

　在数列  na 中， 11 a  ，当 2 n  时，有13 2n na a  ，求数列  na 的通项公式。

　解析：设  13n na t a t   ，则13 2n na a t 

　1 t   ，于是  11 3 1n na a  

　  1na   是以11 2 a   为首项，以 3 为公比的等比数列。

　12 3 1nna   

　类型四：

　 1 10n n nAa Ba Ca       ；其中A,B,C为常数，且A B C 0

　 可将其转化为     1 12n n n nA a a a a n        ----- （* * ）的形式，列出方程组A BC       , , 解出 , ;   还原到（* * ）式，则数列  1 n na a  是以2 1a a   为首项，

　A为公比的等比数列，然后再结合其它方法，就可以求出na 。

　 2 密

　 封

　 线

　 内

　 不

　 得

　 答

　 题

　例 例 4 、 在数列  na 中， 12 a  ，24 a  ，且1 13 2n n na a a     2 n 求数列  na 的通项公式。

　解析：令1 1( ),( 2)n n n na a a a n       

　得方程组32      

　解得 1, 2;     

　  1 12 2n n n na a a a n     

　则数列  1 n na a 是以2 1a a  为首项，以 2 为公比的等比数列 112 2 2n nn na a    

　2 123 234 3112222 nn na aa aa aa a       

　 112(1 2 )2 21 2nnna a      *2 nna n N   

　评注：在  1 10n n nAa Ba Ca       ；其中A,B,C为常数，且A B C 0 中，若A+B+C=0,则一定可以构造  1 n na a 为等比数列。

　例 例 5

　 已知12 a  、23 a  ,1 16n n na a a   ( 2) n  ,求na

　解析：令   1 12n n n na a a a n        ，整理得  1 1 n n na a a      

　16     

　3, 2     

　 1 11 2 13 3 2 9 2n nn na a a a       ； 两边同除以12 n 得，113 92 2 2 4n nn na a  ， 令2nnnab  ，13 92 4n nb b  

　令  132n nb t b t    ，得13 52 2n nb b t  

　5 9,2 4t  

　910t  

　19 3 910 2 10n nb b       ， 故910nb   是以119 9 110 2 10 10ab     为首项，32 为公比的等比数列。

　

　19 1 310 10 2nnb     ，19 1 310 10 2nnb      即19 1 310 10 22nnna     ，得  1 9 12 310 5nnna   

　类型五：

　) (1n f ka an n 

　（ 0  k 且 1  k ）

　一般需一次或多次待定系数法，构造新的等差数列或等比数列。

　 （1 1 ）若 b an n f   ) ( ，则可设) ( ) 1 (1B An a k B n A an n     

　∴

　A B k An k ka an n     ) 1 ( ) 1 (1

　∴

　   b A B ka A k) 1 () 1 (

　解得：1 kaA，2) 1 ( 1 kakbB

　∴ } { B An a n   是以 B A a  1为首项，k 为公比的等比数列

　∴

　11) (     nnk B A a B An a

　∴

　B An k B A a ann     11) (

　将 将 A A 、B B 代入即可

　（2 2 ）若nq n f  ) ( （  q 0 0 ，1 1 ），则等式两边同时除以1  nq 得q qaqkqannnn111  

　令nnnqaC 

　 则qCqkCn n11 

　∴ } {nC 可归为 b ka an n 1型

　例 例 6

　设在数列  na 中， 11 a  ，  112 1 22n na a n n    求数列  na 的通项公式。

　解析：设 n nb a An b   

　  1112n na An B a A n B          展开后比较得2 04261 02 2AAA B B       

　这时  114 62n n n nb b a n     n 2 且b

　 nb  是以 3 为首项，以12为公比的等比数列1132nnb      即113 4 62nna n      ，113 4 62nna n        例 例 7

　在数列  na 中， 12 a  ，  112 2 2nn na a n   求数列  na 的通项公式。

　解析：

　 112 2 2nn na a n  

　112 2 nn na a   ，两边同除以 2 n 得1122 2n nn na a 2nna    是以12a=1 为首项，2 为公差的等差数列。

　  1 1 2 2 12nnan n       

　即   2 2 1nna n  

　例 例 8

　在数列  na 中， 15 a  ， *12 2 1 2,nn na a n nN      求数列  na 的通项公式。

　解析：在12 2 1nn na a   中，先取掉 2 n ，得12 1n na a 

　令  12n na a     ，得 1   ，即11 2( 1)n na a   ； 然后再加上 2 n 得    11 2 1 2 nn na a   

　；

　   11 2 1 2 nn na a   

　两边同除以 2 n ，得111 11;2 2n nn na a  

　 4 密

　 封

　 线

　 内

　 不

　 得

　 答

　 题

　12nna     是以1122a  为首项，1 为公差的等差数列。

　 12 1 12nnan n      ，

　   2 1 1nna n    

　评注：若 ( ) f n 中含有常数，则先待定常数。然后加上 n 的其它式子，再构造或待定。

　例 例 9 已知数列 } a {n满足 1 a 4 2 5 a 3 a1nn 1 n    ， ，求数列 } a {n的通项公式。

　解析：在13 5 2 4nn na a    中取掉 5 2 n  待定 令  13n na t a t   ，则13 2n na a t 

　2 4 t   ，

　 2 t  ；  12 3 2 ,n na a    再加上 5 2 n  得，  12 3 2 5 2 nn na a      ，整理得：112 2 3 52 2 2 2n nn na a   ， 令22nnnab ，则13 52 2n nb b 

　令  13,2n nb t b t  

　 132 2n ntb b  ； 5, 5;2 2tt   

　即  135 52n nb b   ；  数列   5nb  是以112 135 52 2ab    为首项，32为公比的等比数列。

　113 352 2nnb     ，即12 13 352 2 2nnna     ；整理得113 3 5 2 2n nna    

　类型六：1nnnc aapa d（ 0 c p d    ）

　解决方法倒数法

　例 例 10 已知14 a  ，122 1nnnaaa，求na 。

　解析：两边取倒数得：11 112n na a  ，设1,nnba 则1112n nb b  ； 令11( )2n nb t b t   ；展开后得， 2 t  ；12 12 2nnbb ；

　  2nb   是以111 72 24ba     为首项，12为公比的等比数列。

　17 124 2nnb         ；即11 7 124 2nna        ，得1222 7nnna； 评注：去倒数后，一般需构造新的等差（比）数列。

　类型七：

　( )n nS f a  解决方法11( 1)( 2)nn ns nas s n   

　例 例 11 已知数列  na 前 n 项和2214  nn na S .

　  1 求1  na 与na 的关系；

　（2）求通项公式na .

　 解析：

　  1  1 1 n 时，1 1 14 2 a s a     ，得11 a  ；  2 2 n时，1 12 31 14 42 2n n n n nn na s s a a          ； 得11 12 2n nna a  。

　（2）在上式中两边同乘以12 n 得112 2 2n nn na a  ；  2 nna 数列 是以112 2 a  为首项，2 为公差的等差数列； 2 2 2 2 2nna n n      ；得12nnna 。

　类型八：周期型 例 例 12 若数列  na 满足   ) 121( , 1 2)210 ( , 21n nn nna aa aa ，若761 a ，则20a 的值为___________。

　解析：根据数列  na 的递推关系得它的前几项依次为：

　6 5 3 6 5 3 67 7 7 7 7 7 7，，，，，， ； ；我们看出这个数列是一个周期数列，三项为一个周期； 20 257a a    . 评注：有些题目，表面看起来无从下手，但你归纳出它的前几项后，就会发现规律，出现周期性，问题就迎刃而解。

　类型九、利用数学归纳法求通项公式

　例 例 13 已知数列 } a {n满足98a) 3 n 2 ( ) 1 n 2 () 1 n ( 8a a12 2n 1 n  ， ，求数列 } a {n的通项公式。22(2 1) 1(2 1)nnan  解析：根据递推关系和189a  得，2 324 48, ,25 49a a  

　所以猜测22(2 1) 1(2 1)nnan ，下面用数学归纳法证明它；  1 1 n时成立（已证明）

　 2 假设 n k ( 2) k  时，命题成立，即22(2 1) 1(2 1)kkak ， 则 1 n k   时，12 28( 1)(2 1) (2 3)k kka ak k  =    22 2 28 1 (2 1) 1(2 1)2 1 2 3k kkk k    =   4 3 22 216 64 84 44 82 1 2 3k k k kk k            2 2 22 2 22 1 2 3 1 2 3 12 1 2 3 2 3k k kk k k             。

　 1 n k   时命题成立；

　 6 密

　 封

　 线

　 内

　 不

　 得

　 答

　 题

　由  1  2 可知命题对所有的*n N  均成立。

　评注：归纳、猜想数学归纳法证明是我们必须掌握的一种方法。

　递推数列的通项公式的求法，虽无固定模式，但也有规律可循；主要靠观察分析、累加、累积、待定系数法，或是转化为等差或等比数列的方法解决；再或是归纳、猜想、用数学归纳法证明的方法来解决，同学们应归纳、总结它们的规律，通过练习，巩固掌握它。

　 8、 已知数列 } a {n满足 3 a 1 3 2 a a1nn 1 n    ， ，求数列 } a {n的通项公式。3 1nna n   

　9、已知数列  na 满足211 a ，n na an n 211，求na 。

　3 12nan 

　10、数列  na 中，12 a  ，1 n na a cn  （ c 是常数， 123 n ，，， ），且1 2 3a a a ， ， 成公比不为 1 的等比数列． （I）求 c 的值；

　 c=2 （II）求  na 的通项公式．

　22na n n   

　11、设平面内有 n 条直线 ( 3) n ≥ ，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用 ( ) f n 表示这 n 条直线交点的个数，则 (4) f 

　5 ； 当 4 n 时， ( ) f n 

　222n n  

　（用 n 表示）． 7、已知数列 } a {n满足 3 a a 5 ) 1 n ( 2 a1 nn1 n   ， ，求数列 } a {n的通项公式。2123 ! 2 5n nnna n   

　8、已知数列{a n }，满足 a 1 =1，1 3 2 1) 1 ( 3 2      n na n a a a a

　(n≥2)，则{a n }的通项1!2nan 

　 12nn

　7、设二次方程na x2-1. ＋ na x+1=0(n∈N)有两根 α 和 β，且满足 6α-2αβ+6β=3． (1)试用na 表示 a1 n；

　 11 12 3n na a 

　（2）求证：数列23na   是等比数列； （3）当176a  时，求数列  na 的通项公式

　2 13 2nna     2、 已知 a 1 =1，a 2 =53，2 na=531 na-23na ,求数列｛na ｝的通项公式na .23 33nna     3、已知数列  na 中，nS 是其前 n 项和，并且1 14 2( 1,2, ), 1n nS a n a    ， ⑴设数列 ) , 2 , 1 ( 21    n a a bn n n，求证：数列  nb 是等比数列；

　 ⑵设数列 ) , 2 , 1 ( ,2    nacnnn，求证：数列  nc 是等差数列； ⑶求数列  na 的通项公式及前 n 项和。1 22 3( 1) 2 ;n nna n     3 1) 2 2nns n     （

　9、已知数列 } a {n满足 3 a 1 3 2 a 3 a1nn 1 n    ， ，求数列 } a {n的通项公式。5 1(2 ) 36 2nna n    

　16、已知数列  na 中，nS 是其前 n 项和，并且1 14 2( 1,2, ), 1n nS a n a    ， ⑴设数列 ) , 2 , 1 ( 21    n a a bn n n，求证：数列  nb 是等比数列； ⑵设数列 ) , 2 , 1 ( ,2    nacnnn，求证：数列  nc 是等差数列； ⑶求数列  na 的通项公式及前 n 项和。1 22 3( 1) 2 ;n nna n     3 1) 2 2nns n     （

　7、若数列｛a n ｝中，a 1 =1，a1  n=22nnaa

　n∈N  ，求通项 a n ．21nan 6、已知无穷数列  na 的前 n 项和为nS ，并且*1( )n na S n N    ，求 na 的通项公式？

　 2nna

　2、在数列 } {na 中，. 1998 1 2 2 1, , 5 , 1 a a a a a an n n求     

　 -4 2、已知  na 是由非负整数组成的数列，满足 01 a ， 32 a ， ) 2 )( 2 (2 1 1      n n n na a a a（n=3，4，5…）。

　（1）求3a ；

　2 （2）证明 22  n na a （n=3，4，5…）；(数学归纳法证明) （3）求  na 的通项公式及前 n 项的和。1 (1 (nn nan n  为奇数）为偶数）；222(2(2nn nnsn nn   为奇数）为偶数）