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    一元二次不等式、高次不等式、分式不等式解法

    时间：2020-09-27 20:35:05 来源：蒲公英阅读网 本文已影响人 蒲公英阅读网手机站

    相关热词搜索：不等式 分式 解法

    　课题：

    　一元二次不等式、高次不等式、分式不等式解法

    　目标：

    　１.巩固一元二次方程、一元二次不等式与二次函数得关系,掌握掌握简单得分式不等式与特殊得高次不等式得解法; 2．培养数形结合得能力，一题多解得能力,培养抽象概括能力与逻辑思维能力； ３.激发学习数学得热情,培养勇于探索得精神,勇于创新精神,同时体会从不同侧面观察同一事物思想。

    　重点：简单得分式不等式与特殊得高次不等式得解法。

    　难点:正确 串根。

    　过程: 一、 复习 引入 1.一元二次方程、一元二次不等式与二次函数得关系。

    　２.一元二次不等式得解法步骤。

    　引言:今天我们来研究一元二次不等式得另外解法,以及特殊得高次不等式、分式不等式得解法。

    　二、新课 ⒈ ⒈ 一元二次不等式与特殊得高次不等式解法 例 例 1 解不等式、 分析一：利用前节得方法求解; 分析二:由乘法运算得符号法则可知,若原不等式成立,则左边两个因式必须异号,∴原不等式得解集就是下面两个不等式组:与得解集得并集，即{x|}∪}＝φ∪｛x|-４＜x＜１}={ｘ|-4<x<1}、书写时可按下列格式：

    　解二:∵(x-1）(x+4)＜0 或 x∈φ或－4<x<１-４<x<1, ∴原不等式得解集就是{x|-4<x<１}、 小结：一元二次不等式得代数解法: 设一元二次不等式相应得方程得两根为,则; ①若    . x x, x x, x x, x x. x x, x x, x x, x x, a2121212100000 或 或 则得

    　当时,得或；当时，得、 ②若    . x x, x x, x x, x x. x x, x x, x x, x x, a2121212100000 或 或 则得

    　当时，得;当时,得、 分析三：由于不等式得解与相应方程得根有关系，因此可求其根并由相应得函数值得符号表示出来即可求出不等式得解集、 解 解:①求根:令（ｘ-1)(x+4）=０,解得 x(从小到大排列)分别为-4，1,这两根将ｘ轴分为三部分:（-,-4)(-4,１）(1，+）； ②分析这三部分中原不等式左边各因式得符号

    　（-，-４）

    　(-4,1) (１,+) x+4 - + + x-1 - － + (x-1)(x+4) + - + ③由上表可知,原不等式得解集就是｛ｘ|－4<x<1}、 例 2:解不等式：(x-1)(x+2)(ｘ-3)>0; 解:①检查各因式中ｘ得符号均正; ②求得相应方程得根为:-２,１,3; ③列表如下:

    　-2

    　 １

    　3 x+2 - ＋ + + x-1 - － + ＋ x－３ - - - + 各因式积 - + － ＋ ④由上表可知,原不等式得解集为:{x|-2<ｘ＜1 或 x>3｝、 小结:此法叫列表法,解题步骤就是: ①将不等式化为(x-x １ ）

    　（ｘ－x 2 )…（ｘ-x n )>0(<0)形式(各项ｘ得符号化“＋”),令（x－x 1 ）(x-x 2 ）…(x-ｘ n ）＝0,求出各根，不妨称之为分界点,一个分界点把(实数)数轴分成两部分,ｎ个分界点把数轴分成 n+１部分……; ②按各根把实数分成得ｎ+1 部分,由小到大横向排列,相应各因式纵向排列（由对应较小根得因式开始依次自上而下排列); ③计算各区间内各因式得符号，下面就是乘积得符号; ④瞧下面积得符号写出不等式得解集、 练习:解不等式:x（x-3）(２-x)(x+1)＞０、

    　 {ｘ|-1<x＜0 或２<x<３}、 思考:由函数、方程、不等式得关系，能否作出函数图像求解

    　例 2 图

    　 练习图

    　直接写出解集:{x|-2<x<1 或 x>3}、

    　{ｘ｜-1＜x＜０或２＜ｘ<3｝ 在没有技术得情况下:可大致画出函数图星求解,称之为 串根法 ①将不等式化为(x-x 1 )(ｘ-x 2 )…(ｘ-ｘ ｎ )＞0（<0)形式，并将各因式 x 得系数化“+”;(为了统一方便) ②求根，并在数轴上表示出来; ③由 右上 上方穿线,经过数轴上表示各根得点(为什么?）； ④若不等式（ｘ得系数化“+”后)就是“>0”,则找“线”在ｘ轴上方得区间;若不等式就是“<０”,则找“线”在 x 轴下方得区间、

    　注意:奇穿偶不穿 例 例 3 解不等式:(x-2）

    　2 (x-3) 3 (ｘ+1)<0、 解 解:①检查各因式中 x 得符号均正; ②求得相应方程得根为:-1,2,3（注意:2 就是二重根,3 就是三重根); ③在数轴上表示各根并穿线,每个根穿一次(自 右上方开始)，如下图:

    　④∴原不等式得解集为：{x|-1<ｘ＜2 或 2<x<3｝、 说明：∵3 就是三重根,∴在Ｃ处穿三次，2 就是二重根,∴在 B 处穿两次，结果相当于没穿、由此瞧出,当左侧 f(ｘ)有相同因式(x－x 1 ) n 时,n 为奇数时,曲线在 x 1 点处穿过数轴;n 为偶数时,曲线在 x 1 点处不穿过数轴，不妨归纳为“奇穿偶不穿”、 练习:解不等式:(ｘ-3)(x+1)(x 2 ＋4x+4）0、 解 解：①将原不等式化为:(x-3)(x+1)(ｘ+2）２ ０; ②求得相应方程得根为:－２(二重),－1,3; ③在数轴上表示各根并穿线,如图：

    　④∴原不等式得解集就是{x|－１x3 或ｘ＝-2｝、 说明:注意不等式若带“=”号,点画为实心,解集边界处应有等号;另外,线虽不穿－2 点,但ｘ=－２满足“=”得条件,不能漏掉、

    　2. 分式不等式得解法 例 例 4 解不等式:、 错解:去分母得

    　 ∴原不等式得解集就是、 解法 1:化为两个不等式组来解: ∵x∈φ或， ∴原不等式得解集就是、

    　解法 2:化为二次不等式来解:

    　∵, ∴原不等式得解集就是 说明:若本题带“=”,即（ｘ-3)(x+7)0,则不等式解集中应注意 x-７得条件，解集应就是{x| -7<x３}、 小结：由不等式得性质易知:不等式两边同乘以正数，不等号方向不变;不等式两边同乘以负数,不等号方向要变;分母中有未知数 x,不等式两边同乘以一个含ｘ得式子,它得正负不知,不等号方向无法确定,无从解起,若讨论分母得正负,再解也可以,但太复杂、因此, 解分式不等式，切忌去分母、 、 解法就是:移项,通分,右边化为０,左边化为得形式、 例５ 解不等式：、 解法 1:化为不等式组来解较繁、 解法 2:∵ ， ∴原不等式得解集为｛x｜ -1<ｘ1 或２x<3}、 练习:1、课本 P 2 １ 练习:3⑴⑵;2、解不等式、 答案：1、⑴{ｘ|－5<x<8}；⑵｛ｘ｜ｘ<-4，或 x>－１/2};2、{ｘ｜－13<x＜-5}、 练习:解不等式:、(答：｛ｘ|x０或 1<x<2}) 三、小 结 1.特殊得高次不等式即右边化为0,左边可分解为一次或二次式得因式得形式不等式,一般用区间法解,注意:①左边各因式中 x 得系数化为“＋”,若有因式为二次得(不能再分解了)二次项系数也化为“+”，再按我们总结得规律作；②注意边界点（数轴上表示时就是“0”还就是“、”)、 2.分式不等式,切忌去分母,一律移项通分化为>0(或<0)得形式,转化为:,即转化 为一次、二次或特殊高次不等式形式 、 ３.一次不等式，二次不等式,特殊得高次不等式及分式不等式,我们称之为有理不等式、 4.注意必要得讨论、 ５.一次、二次不等式组成得不等式组仍要借助于数轴、 四、布置作业 五、思考题: 1. 解关于 x 得不等式:(x－x 2 +12)(x+ａ)＜０、

    　解 解:①将二次项系数化“+”为：(x 2 -x-12)(x+ａ)＞0, ②相应方程得根为:-3，4,－a,现 a 得位置不定,应如何解? ③讨论: ⅰ当－a>4,即 a<－4 时,各根在数轴上得分布及穿线如下:

    　∴原不等式得解集为{x| -3<x<4 或ｘ>-a}、 ⅱ当-3＜－a<4，即-4<a＜３时,各根在数轴上得分布及穿线如下：

    　∴原不等式得解集为{x| -3<x<-a 或 x＞4}、 ⅲ当-ａ<-3,即ａ＞3 时,各根在数轴上得分布及穿线如下:

    　∴原不等式得解集为{x| -a<x<-３或 x>４}、 ⅳ 0 当-a=4，即 a＝－4 时，各根在数轴上得分布及穿线如下：

    　∴原不等式得解集为｛x| x>－3｝、 ⅴ当-a=－3，即 a=3 时,各根在数轴上得分布及穿线如下:

    　∴原不等式得解集为｛ｘ| x＞4｝、 2.若不等式对于 x 取任何实数均成立,求ｋ得取值范围、（提示：４ｘ 2 +6ｘ＋3 恒正)(答:1<k＜3)

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