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    第1讲,函数4大性质学生

    时间：2021-02-01 20:54:54 来源：蒲公英阅读网 本文已影响人 蒲公英阅读网手机站

    相关热词搜索：函数 性质 学生

    　第一讲

    　函数四大性质 [玩前必备] 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义

    　增函数

    　减函数 定义 一般地，设函数 f ( x )的定义域为 I ，如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x 1 ， x 2

    　当 x 1 < x 2 时，都有 f ( x 1 )< f ( x 2 )，那么就说函数f ( x )在区间 D 上是增函数

    　当 x 1 < x 2 时，都有 f ( x 1 )> f ( x 2 )，那么就说函数f ( x )在区间 D 上是减函数 图象描述

    　 自左向右看图象是上升的

    　自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数 y ＝ f ( x )在区间 D 上是增函数或减函数，那么就说函数 y ＝ f ( x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间 D 叫做 y ＝ f ( x )的单调区间． 2．函数的最值 前提

    　设函数 y ＝ f ( x )的定义域为 I ，如果存在实数 M 满足 条件

    　(1)对于任意的 x ∈ I ，都有 f ( x )≤ M ； (2)存在 x 0 ∈ I ，使得 f ( x 0 )＝ M

    　(3)对于任意的 x ∈ I ，都有 f ( x )≥ M ； (4)存在 x 0 ∈ I ，使得 f ( x 0 )＝ M

    　结论

    　M 为最大值

    　M 为最小值 3.函数的奇偶性 奇偶性

    　定义

    　图象特点 偶函数

    　一般地，如果对于函数 f ( x )的定义域内任意一个 x ，都有 f (－ x )＝ f ( x )，那么函数 f ( x )就叫做偶函数

    　关于 y 轴对称 奇函数

    　一般地，如果对于函数 f ( x )的定义域内任意一个 x ，都有 f (－ x )＝－ f ( x )，那么函数 f ( x )就叫做奇函数

    　关于原点对称 4.对称性 （一）对称轴 1.概念：如果一个函数的图像沿着一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称函数具备对称性中的轴对称，该直线称为函数的对称轴。

    　2.常见函数的对称轴

    　①常数函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴 ②一次函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴 ③二次函数：是轴对称，不是中心对称，其对称轴方程为 x=-b/(2a) ④反比例函数：既是轴对称又是中心对称，其中原点为它的对称中心，y=x 与 y=-x 均为它的对称轴 ⑤指数函数：既不是轴对称，也不是中心对称 ⑥对数函数：既不是轴对称，也不是中心对称 ⑦幂函数：显然幂函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点；幂函数中的偶函数是轴对称，对称轴是 y轴；而其他的幂函数不具备对称性 ⑧正弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中（kπ，0）是它的对称中心，x=kπ+π/2 是它的对称轴 ⑨正弦型函数：正弦型函数 y=Asin(ωx+φ)既是轴对称又是中心对称，只需从ωx+φ=kπ中解出 x，就是它的对称中心的横坐标，纵坐标当然为零；只需从ωx+φ=kπ+π/2 中解出 x，就是它的对称轴；需要注意的是如果图像向上向下平移，对称轴不会改变，但对称中心的纵坐标会跟着变化 ⑩余弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中 x=kπ是它的对称轴，（kπ+π/2，0）是它的对称中心 ⑾正切函数：不是轴对称，但是是中心对称，其中（kπ/2，0）是它的对称中心，容易犯错误的是可能有的同学会误以为对称中心只是（kπ,0）

    　⑿对号函数：对号函数 y=x+a/x(其中 a>0)因为是奇函数所以是中心对称，原点是它的对称中心。

    　⒁绝对值函数：这里主要说的是 y=f(│x│)和 y=│f(x)│两类。前者显然是偶函数，它会关于 y 轴对称;后者是把 x 轴下方的图像对称到 x 轴的上方，是否仍然具备对称性，这也没有一定的结论，例如 y=│lnx│就没有对称性，而 y=│sinx│却仍然是轴对称 （二）中心对称 1.概念：如果一个函数的图像沿一个点旋转 180 度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心 2.对称性的三个常用结论 (1)若函数 y＝f(x＋a)是偶函数，即 f(a－x)＝f(a＋x)，则函数 y＝f(x)的图象关于直线 x＝a 对称； (2)若对于 R 上的任意 x 都有 f(2a－x)＝f(x)或 f(－x)＝f(2a＋x)，则 y＝f(x)的图象关于直线 x＝a 对称； (3)若函数 y＝f(x＋b)是奇函数，即 f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数 y＝f(x)关于点(b,0)中心对称． 5.周期性 (1)周期函数：对于函数 y＝f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有 f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数 y＝f(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期．

    　[玩转典例] 考向一

    　单调区间求解 【例 1】（1）下列函数中，定义域是 R 且为增函数的是(

    　) A.y ＝2－ x

    　B. y ＝ x

    　C. y ＝log2 x

    　D. y ＝－ 1x

    　(2)函数 f ( x )＝ln ( x2 －2 x －8) 的单调递增区间是(

    　) A．(－∞，－2)

    　B．(－∞，1)

    　C．(1，＋∞)

    　D．(4，＋∞) (3)求函数 f ( x )＝| x2 －4 x ＋3|的单调区间

    　 ．

    　 [玩转跟踪]

    　1．下列函数中，在(0,+∞)上单调递减的是(

    　) A． f(x) = lnx

    　B． f(x) = (x − 1) 2

    　 C． f(x) = 2 −x

    　 D． f(x) = x 3

    　2．函数

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