专题17.5,二项分布与正态分布（精讲精析篇）（原卷版）

时间：2021-01-26 15:18:23 来源：蒲公英阅读网 本文已影响人

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　题 专题 17.5 二项分布与正态分布 （精讲精析篇）

　提纲挈领

　点点突破 点 热门考点 01

　独立重复试验的概率

　n 次独立重复试验 (1)定义 一般地，在相同条件下重复地做 n 次试验，各次试验的结果相互独立，称为 n 次独立重复试验． (2)公式 一般地，在 n 次独立重复试验中，设事件 A 发生的次数为 X，在每次试验中事件 A 发生的概率为 p，那么在n 次独立重复试验中，事件 A 恰好发生 k 次的概率为 P n (k)＝C k n p k (1－p) n－ k ，(k＝0,1,2，„，n)． 【典例 1】（2015·全国高考真题（理））投篮测试中，每人投 3 次，至少投中 2 次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为 0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ）

　A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.312 【典例 2】（多选题）（2020·襄阳市第一中学月考）一袋中有大小相同的 4 个红球和 2个白球，给出下列结论：①从中任取 3 球，恰有一个白球的概率是35；②从中有放回的取球 6 次，每次任取一球，恰好有两次白球的概率为80243；③现从中不放回的取球 2 次，每次任取 1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为25；④从中有放回的取球 3 次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为2627. 则其中正确命题的序号是（

　）

　A．① B．② C．③ D．④ 【总结提升】

　1 独立重复试验的特点

　 2 (1)每次试验中，事件发生的概率是相同的.

　 (2)每次试验中的事件是相互独立的，其实质是相互独立事件的特例． 2.运用独立重复试验的概率公式求概率，首先要分析问题中涉及的试验是否为 n 次独立重复试验，若不符合条件，则不能应用公式求解；在求 n 次独立重复试验中事件恰好发生 k 次的概率时，首先要确定好 n 和 k的值，再准确利用公式求概率． 3．解决这类实际问题往往需把所求的概率的事件分拆为若干个事件，而这每个事件均为独立重复试验； 4．在解题时，还要注意“正难则反”的思想的运用，即利用对立事件来求其概率． 点 热门考点 02

　二项分布及其应用 1.若将事件 A 发生的次数设为 X，发生的概率为 P，不发生的概率 q＝1－p，那么在 n 次独立重复试验中，事件 A 恰好发生 k 次的概率是 P(X＝k)＝C k n p k q n－ k (k＝0,1,2，„，n) 于是得到 X 的分布列 X 0 1 „ k „ n P C 0 n p 0 q n

　C 1 n p 1 q n－ 1

　„ C k n p k q n－ k

　„ C n n p n q 0

　由于表中第二行恰好是二项式展开式 (q＋p) n ＝C 0 n p 0 q n ＋C 1 n p 1 q n－ 1 ＋„＋C kn pk q n － k ＋„＋C nn pn q 0 各对应项的值，称这样的离散型随机变量 X 服从参数为 n，p 的二项分布，记作 X～B(n，p)． 【典例 3】（2020·科尔沁左翼后旗甘旗卡第二高级中学高二期末（理））已知随机变量  服从二项分布14,3B    ，则 ( 3) P    （

　）． A．3281 B．1681 C．2481 D．881 【典例 4】为了适当疏导电价矛盾，保障电力供应，支持可再生能源发展，促进节能减排，某省于 2018 年推出了省内居民阶梯电价的计算标准：以一个年度为计费周期、月度滚动使用，第一阶梯电量：年用电量 2 160 度以下(含 2 160 度)，执行第一档电价 0.565 3 元/度；第二阶梯电量：年用电量 2 161 至 4 200 度(含 4 200度)，执行第二档电价 0.615 3 元/度；第三阶梯电量：年用电量 4 200 度以上，执行第三档电价 0.865 3 元/度． 某市的电力部门从本市的用电户中随机抽取 10 户，统计其同一年度的用电情况，列表如下表：

　用户编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 年用 1 000 1 260 1 400 1 824 2 180 2 423 2 815 3 325 4 411 4 600

　 3 电量(度)

　(1)试计算表中编号为 10 的用电户本年度应交电费多少元？ (2)现要在这 10 户家庭中任意选取 4 户，对其用电情况作进一步分析，求取到第二阶梯电量的户数的分布列； (3)以表中抽到的 10 户作为样本估计全市的居民用电情况，现从全市居民用电户中随机地抽取 10 户，若抽到 k 户用电量为第一阶梯的可能性最大，求 k 的值． 【规律方法】

　1.判断随机变量 X 服从二项分布的条件( X ～ B ( n ， p )) (1) X 的取值为 0,1,2，„， n . (2) P ( X ＝ k )＝Ckn pk (1－ p ) n － k ( k ＝0,1,2，„， n ， p为试验成功的概率)． 提醒：在实际应用中，往往出现数量“较大”“很大”“非常大”等字眼，这表明试验可视为独立重复试验，进而判定是否服从二项分布． 2. 二项分布满足的条件 (1)每次试验中，事件发生的概率是相同的． (2)各次试验中的事件是相互独立的． (3)每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生． (4)随机变量是这 n 次独立重复试验中事件发生的次数． 3.二项展开式的通项与二项分布的概率公式的“巧合” 一般地，由 n 次试验构成，且每次试验相互独立完成，每次试验的结果仅有两种对立的状态，即 A 与 A ，每次试验中   0 p A p   .我们将这样的试验称为 n 次独立重复试验，也称为伯努利试验．在 n 次独立重复试验中，每次试验事件 A 发生的概率均为   0 1 p p   ，即   p A p  ， 1 p A p q    .由于试验的独立性， n 次试验中，事件 A 在某指定的 k 次发生，而在其余 n k  次不发生的概率为k n kp q.而在 n 次试验中，事件 A 恰好发生   0 k k n   次的概率为  k k n kn nP k C p q ， 0,1,2, , k n  .它恰好是  np q  的二项展开式中的第 1 k  项． 4. 牢记且理解事件中常见词语的含义：

　(1) A 、 B 中至少有一个发生的事件为 A B ； (2) A 、 B 都发生的事件为 AB ； (3) A 、 B 都不发生的事件为 AB ； (4) A 、 B 恰有一个发生的事件为 AB AB ； (5) A 、 B 至多一个发生的事件为 AB AB AB .

　 4 热门考点 03

　与二项分布有关的均值与方差

　二项分布的期望、方差：

　若   , X B n p ，则   E X np  . 若   , X B n p ，则     1 D X np p   ． 【典例 5】（2019·天津高考真题（理））设甲、乙两位同学上学期间，每天 7：30 之前到校的概率均为23.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立. （Ⅰ）用 X 表示甲同学上学期间的三天中 7：30 之前到校的天数，求随机变量 X 的分布列和数学期望； （Ⅱ）设 M 为事件“上学期间的三天中，甲同学在 7：30 之前到校的天数比乙同学在 7：30 之前到校的天数恰好多 2”，求事件 M 发生的概率. 【典例 6】（2019·河北高二期末（理））互联网正在改变着人们的生活方式，在日常消费中手机支付正逐渐取代现金支付成为人们首选的支付方式. 某学生在暑期社会活动中针对人们生活中的支付方式进行了调查研究. 采用调查问卷的方式对 100 名 18 岁以上的成年人进行了研究，发现共有 60 人以手机支付作为自己的首选支付方式，在这 60 人中，45 岁以下的占23，在仍以现金作为首选支付方式的人中，45 岁及以上的有 30 人.

　（1）从以现金作为首选支付方式的 40 人中，任意选取 3 人，求这 3 人至少有 1 人的年龄低于 45 岁的概率； （2）某商家为了鼓励人们使用手机支付，做出以下促销活动：凡是用手机支付的消费者，商品一律打八折. 已知某商品原价 50 元，以上述调查的支付方式的频率作为消费者购买该商品的支付方式的概率，设销售每件商品的消费者的支付方式都是相互独立的，求销售 10 件该商品的销售额的数学期望. 【总结提升】

　与二项分布有关的期望、方差的求法 (1)求随机变量 ξ 的期望与方差时，可首先分析 ξ 是否服从二项分布，如果 ξ ～ B ( n ， p )，则用公式 E ( ξ )＝ np ， D ( ξ )＝ np (1－ p )求解，可大大减少计算量． (2)有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用 E ( aξ ＋ b )＝ aE ( ξ )＋ b 以及 E ( ξ )＝ np 求出 E ( aξ ＋ b )，同样还可求出 D ( aξ ＋ b )． 热门考点 0 04 4

　正态曲线及其性质

　1．正态曲线及其性质 (1)正态曲线：

　函数 φ μ ， σ (x)＝12πσ e－x－μ 22σ 2，x∈(－∞，＋∞)，其中实数 μ，σ(σ>0)为参数，我们称 φ μ ， σ (x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．

　 5 (2)正态曲线的性质：

　①曲线位于 x 轴上方，与 x 轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线 x＝μ 对称； ③曲线在 x＝μ 处达到峰值12πσ ； ④曲线与 x 轴之间的面积为 1； ⑤当 σ 一定时，曲线的位置由 μ 确定，曲线随着 μ 的变化而沿 x 轴平移，如图甲所示； ⑥当 μ 一定时，曲线的形状由 σ 确定，σ 越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ 越小．曲线越“瘦高”．总体分布越集中，如图乙所示：

　 甲

　 乙 2．正态分布 一般地，如果对于任何实数 a，b(a<b)，随机变量 X 满足 P(a<X≤b)＝ ab φ μ ， σ (x)dx，则称随机变量 X 服从正态分布(normal distribution)．正态分布完全由参数 μ 和 σ 确定，因此正态分布常记作 N(μ，σ 2 )．如果随机变量 X 服从正态分布，则记为 X～N(μ，σ 2 )． 3．正态总体三个特殊区间内取值的概率值 ①P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826； ②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9544； ③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.9974． 4．3 σ 原则 通常服从正态分布 N(μ，σ 2 )的随机变量 X 只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值．

　【典例 7】（2020·湖北十堰·期末）设某地胡柚（把胡柚近似看成球体）的直径（单位：

　) mm 服从正态分布 (75,16) N ，则在随机抽取的 1000 个胡柚中，直径在 (79 ， 83] 内的个数约为 (

　 )

　 6 附：若2~ ( , ) X N  ，则 ( ) 0.6827 P X         „ ， ( 2 2 ) 0.9545 P X         „ ． A．134 B．136 C．817 D．819 【典例 8】（多选题）（2020·辽宁省本溪满族自治县高级中学高二期末）若随机变量   0,1 N  ，    x P x     ，其中 0 x  ，下列等式成立有(

　) A．     1 x x     

　B．     2 2 x x   

　C．     2 1 P x x     

　D．     2 P x x     

　【规律方法】

　1.求正态曲线的两个方法 (1)图解法：明确顶点坐标即可，横坐标为样本的均值 μ，纵坐标为12πσ ． (2)待定系数法：求出 μ，σ 便可． 2.正态分布下 2 类常见的概率计算 (1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线 x ＝ μ 对称，曲线与 x 轴之间的面积为 1. (2)利用 3 σ 原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的 μ ， σ 进行对比联系，确定它们属于( μ － σ ， μ ＋ σ )，( μ －2 σ ， μ ＋2 σ )，( μ －3 σ ， μ ＋3 σ )中的哪一个． 3.正态总体在某个区间内取值概率的求解策略 (1)充分利用正态曲线对称性和曲线与 x 轴之间面积为 1． (2)熟记 P ( μ － σ < X ≤ μ ＋ σ )， P ( μ －2 σ < X ≤ μ ＋2 σ )， P ( μ －3 σ < X ≤ μ ＋3 σ )的值． (3)注意概率值的求解转化：

　① P ( X < a )＝1－ P ( X ≥ a )； ② P ( X < μ － a )＝ P ( X ≥ μ ＋ a )； ③若 b < μ ，则 P ( X < b )＝ 1－ Pμ － b < X < μ ＋ b2． 特别提醒：正态曲线，并非都关于 y 轴对称，只有标准正态分布曲线才关于 y 轴对称． 热门考点 0 05 5

　正态分布及其应用

　【典例 9】(2020·开封模拟)某商场经营的某种包装的大米质量 ξ (单位：kg)服从正态分布 N (10， σ2 )，根据检测结果可知 P (9.9≤ ξ ≤10.1)＝0.96，某公司为每位职工购买一袋这种包装的大米作为福利，若该公司有 1 000 名职工，则分发到的大米质量在 9.9 kg 以下的职工数大约为(

　) A．10

　B．20 C．20

　D．40

　 7 【典例 10】（2020·全国高三其他（理））某公司订购了一批树苗，为了检测这批树苗是否合格，从中随机抽测 100 株树苗的高度，经数据处理得到如图（1）所示的频率分布直方图，其中最高的 16 株树苗的高度的茎叶图如图（2）所示，以这 100 株树苗的高度的频率估计整批树苗高度的概率.

　（1）求这批树苗的高度高于 1.60 米的概率，并求图（1）中 a ， b ， c 的值； （2）若从这批树苗中随机选取 3 株，记  为高度在   1.40,1.60 的树苗数量，求  的分布列和数学期望； （3）若变量 S 满足   06826 P S          . 且   2 2 0.9544 P S          ，则称变量 S 满足近似于正态分布  2, N  的概率分布.如果这批树苗的高度满足近似于正态分布   1.5,0.01 N 的概率分布，则认为这批树苗是合格的，将顺利被签收，否则，公司将拒绝签收.试问：该批树苗能否被签收？ 【规律方法】

　1.在解决有关问题时，通常认为服从正态分布 N(μ，σ 2 )的随机变量 X 只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值．如果服从正态分布的随机变量的某些取值超出了这个范围就说明出现了意外情况． 2.求正态变量 X 在某区间内取值的概率的基本方法：

　(1)根据题目中给出的条件确定 μ 与 σ 的值． (2)将待求问题向(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]这三个区间进行转化； (3)利用 X 在上述区间的概率、正态曲线的对称性和曲线与 x 轴之间的面积为 1 求出最后结果． 3.假设检验的思想

　 (1)统计中假设检验的基本思想：根据小概率事件在一次试验中几乎不可能发生的原则和从总体中抽测的个体的数值，对事先所作的统计假设作出判断：是拒绝假设，还是接受假设． (2)若随机变量 ξ 服从正态分布 N(μ，σ 2 )，则 ξ 落在区间(μ－3σ，μ＋3σ]内的概率为 0.9974，亦即落在区间(μ－3σ，μ＋3σ]之外的概率为 0.0026，此为小概率事件．如果此事件发生了，就说明 ξ 不服从正态分布． (3)对于小概率事件要有一个正确的理解：

　小概率事件是指发生的概率小于 3%的事件．对于这类事件来说，在大量重复试验中，平均每试验大约 33次，才发生 1 次，所以认为在一次试验中该事件是几乎不可能发生的．不过应注意两点：一是这里的“几乎

　 8 不可能发生”是针对“一次试验”来说的，如果试验次数多了，该事件当然是很可能发生的；二是当我们运用“小概率事件几乎不可能发生的原理”进行推断时，也有 3%犯错的可能性． 巩固提升 1．（2020·山东济宁·期末）若随机变量  23, X N ，且   5 0. 2 P X   ，则   1 5 P X   等于（

　）

　A． 0.6

　B． 0.5

　C． 0.4

　D． 0.3

　2．（2020·四川泸州·期末（理））设    1 1 2 2~ , , ~ , X N Y N     ， 这两个正态分布密度曲线如图所示，则下列结论中正确的是(

　)

　 A．1 2 1 2,      

　B．1 2 1 2,      

　C．1 2 1 2,      

　D．1 2 1 2,      

　3．（2020·江苏苏州·高二期末）现有 5 个人独立地破译某个密码，已知每人单独译出密码的概率均为 p，且112p   ，则恰有三个人译出密码的概率是（

　）

　A．3 35C p

　B．2 2 35(1 ) C p p 

　C．3 3 25(1 ) C p p 

　D．2 251 (1 ) C p  

　4.（2019·广东高二期末（理））从分别标有 1，2，„，9 的 9 张卡片中有放回地随机抽取 5 次，每次抽取1 张．则恰好有 2 次抽到奇数的概率是（

　）

　A．2 35 49 9          B．2 3255 49 9C          C．2 34 59 9          D．3 2355 49 9C          5．（多选题）（2020·江苏省海头高级中学高二月考）海头高级中学高二年级组织了一次调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数2( 100)2001( ) ,2 10xP x e x R ，则下列命题正确的是（

　）

　A．这次考试的数学平均成绩为 100 B．分数在 120 分以上的人数与分数在 90 分以下的人数相同

　 9 C．分数在 130 分以上的人数与分数在 70 分以下的人数大致相同 D．这次考试的数学成绩方差为 10 6．（2020·黑龙江爱民·牡丹江一中开学考试（理））2020 年 2 月，受新冠肺炎的影响，医卫市场上出现了“一罩难求”的现象．在政府部门的牵头下，部分工厂转业生产口罩，已知某工厂生产口罩的质量指标  ~ 15,0.0025 N  ，单位为 g ，该厂每天生产的质量在   14.9 ,15.05 g g 的口罩数量为 818600 件，则可以估计该厂每天生产的质量在 15.15 g 以上的口罩数量为（

　）

　参考数据：若  2~ , N   ，则   0.6827 P           ，   2 2 0.9545 P           ，  3 3 0.9973 P           ． A．158 700 B．22 750 C．2 700 D．1 350 7．（2020·营口市第二高级中学高二期末）荷花池中，有一只青蛙在成“品”字形的三片荷叶上跳来跳去（每次跳跃时，均从一片荷叶跳到另一片荷叶），而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示.假设现在青蛙在 A 荷叶上，则跳三次之后停在 A 荷叶上的概率是（

　）

　A．23 B．14 C．13 D．34 8．（2020·江苏张家港·期中）某篮球运动员每次投篮投中的概率是45，每次投篮的结果相互独立，那么在他10 次投篮中，记最有可能投中的次数为 m ，则 m 的值为（

　）

　A．5 B．6 C．7 D．8 9.（2019·湖北高二期末）

　NBA 总决赛采用 7 场 4 胜制，2018 年总决赛两支球队分别为勇士和骑士，假设每场比赛勇士获胜的概率为 0.6，骑士获胜的概率为 0.4，且每场比赛的结果相互独立，则恰好 5 场比赛决出总冠军的概率为_______． 10．（2020·天津南开�高三一模）甲、乙两名枪手进行射击比赛，每人各射击三次，甲三次射击命中率均为45；乙第一次射击的命中率为78，若第一次未射中，则乙进行第二次射击，射击的命中率为34，如果又未

　 10 中，则乙进行第三次射击，射击的命中率为12．乙若射中，则不再继续射击．则甲三次射击命中次数的期望为_____，乙射中的概率为_____． 11．（2018·浙江下城·杭州高级中学高三其他）一个盒子中有大小形状完全相同的 m 个红球和 6 个黄球，现从中有放回的摸取 5 次，每次随机摸出一个球，设摸到红球的个数为 X ，若 ( ) 3 E X  ，则 m ________，( 2) P X = = ________． 12．（2019·浙江高三其他）已知随机变量   ~ X B n p , ，且 X 的数学期望   2 E X  ，方差  23D X  ，则 p  ____________，   2 P X  

　____________. 13.(2019·济南市学习质量评估)某医药公司研发生产一种新的保健产品，从一批产品中随机抽取 200 盒作为样本，测量产品的一项质量指标值，该指标值越高越好．由测量结果得到如下频率分布直方图：

　(1)求 a ，并试估计这 200 盒产品的该项指标值的平均值． (2)①由样本估计总体，结合频率分布直方图认为该产品的该项质量指标值 ξ 服从正态分布 N ( μ ，102 )，计算该批产品该项指标值落在(180,220]上的概率； ②国家有关部门规定每盒产品该项指标值不低于 150 均为合格，且按该项指标值从低到高依次分为：合格、优良、优秀三个等级，其中(180,220]为优良，不高于 180 为合格，高于 200 为优秀，在①的条件下，设该公司生产该产品 1 万盒的成本为 15 万元，市场上各等级每盒该产品的售价(单位：元)如表，求该公司每万盒的平均利润. 等级

　合格

　优良

　优秀 售价

　10

　20

　30

　附：若 ξ ～ N ( μ ， δ2 )，则P ( μ － δ < ξ ≤ μ ＋ δ )≈0.682 7， P ( μ －2 δ < ξ ≤ μ ＋2 δ )≈0.954 5. 14.（辽宁高考真题（理））一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．

　 11

　将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立． (1)求在未来连续 3 天里，有连续 2 天的日销售量都不低于 100 个且另 1 天的日销售量低于 50 个的概率； (2)用 X 表示在未来 3 天里日销售量不低于 100 个的天数，求随机变量 X 的分布列，期望 E ( X )及方差 D ( X )． 15．（2020·浙江）2020 年五一期间，银泰百货举办了一次有奖促销活动，消费每超过 600 元(含 600 元)，均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种.方案一：从装有 10 个形状､大小完全相同的小球(其中红球 2 个，白球 1 个，黑球 7 个)的抽奖盒中，一次性摸出 3 个球其中奖规则为：若摸到 2个红球和 1个白球，享受免单优惠；若摸出 2 个红球和 1 个黑球则打 5折；若摸出 1 个白球 2 个黑球，则打 7 折；其余情况不打折.方案二：从装有 10 个形状､大小完全相同的小球(其中红球 3 个，黑球 7 个)的抽奖盒中，有放回每次摸取 1 球，连摸 3 次，每摸到 1次红球，立减 200 元. （1）若两个顾客均分别消费了 600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率； （2）若某顾客消费恰好满 1000 元，试从概率角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？