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    课后限时集训23,简单三角恒等变换

    时间：2020-11-09 15:46:07 来源：蒲公英阅读网 本文已影响人 蒲公英阅读网手机站

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    　1

    　简单的三角恒等变换 建议用时：45 分钟

    　一、选择题 1．已知 sin  π6 －α ＝cos π6 ＋α ，则 tan α＝(

    　) A．1

    　 B．－1

    　 C. 12

    　D．0 B [∵sin  π6 －α ＝cos π6 ＋α ， ∴ 12 cos α－32sin α＝32cos α－ 12 sin α， 即   32－ 12sin α＝   12 －32cos α， ∴tan α＝ sin αcos α ＝－1.] 2．求值：cos 20°cos 35° 1－sin 20°＝(

    　) A．1

    　 B．2

    　 C. 2

    　 D. 3 C [原式＝cos 20°cos 35°|sin 10°－cos 10°|

    　＝cos 2 10°－sin 2 10°cos 35°cos 10°－sin 10° ＝cos 10°＋sin 10°cos 35° ＝2   22cos 10°＋22sin 10°cos 35° ＝2cos45°－10°cos 35°＝2cos 35°cos 35°＝ 2.] 3．(2019·杭州模拟)若 sin  π3 －α ＝14 ，则 cos π3 ＋2α 等于(

    　)

    　2 A．－ 78

    　B．－ 14

    　C. 14

    　D. 78

    　 4．设 α∈  0， π2，β∈  0， π2，且 tan α＝ 1＋sin βcos β，则(

    　) A．3α－β＝ π2

    　B．2α－β＝ π2

    　C．3α＋β＝ π2

    　D．2α＋β＝ π2

    　B [由 tan α＝ 1＋sin βcos β，得 sin αcos α ＝1＋sin βcos β， 即 sin αcos β＝cos α＋cos αsin β， ∴sin(α－β)＝cos α＝sin  π2 －α . ∵α∈  0， π2，β∈  0， π2， ∴α－β∈  － π2 ，π2， π2 －α∈ 0， π2， 由 sin(α－β)＝sin  π2 －α ，得 α－β＝π2 －α， ∴2α－β＝ π2 .] 5．若函数 f(x)＝5cos x＋12sin x 在 x＝θ 时取得最小值，则 cos θ 等于(

    　) A.513

    　B．－513

    　C. 1213

    　D．－ 1213

    　B [f(x)＝5cos x＋12sin x ＝13  513 cos x＋1213 sin x ＝13sin(x＋α)，

    　3 其中 sin α＝513 ，cos α＝1213 ， 由题意知 θ＋α＝2kπ－ π2 (k∈Z)， 得 θ＝2kπ－ π2 －α(k∈Z)， 所以 cos θ＝cos  2kπ－ π2 －α ＝cos π2 ＋α ＝－sin α＝－513 .] 二、填空题 6．化简：

    　2sinπ－α＋sin 2αcos 2 α2＝

    　. 4sin α [ 2sinπ－α＋sin 2αcos 2 α2＝ 2sin α＋2sin αcos α12 1＋cos α ＝ 4sin α1＋cos α1＋cos α＝4sin α.] 7．已知方程 x 2 ＋3ax＋3a＋1＝0(a＞1)的两根分别为 tan α，tan β，且 α，β∈  － π2 ，π2，则 α＋β＝

    　. － 34 π [依题意有  tan α＋tan β＝－3a，tan α·tan β＝3a＋1， ∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β ＝－3a1－3a＋1 ＝1. 又   tan α＋tan β＜0，tan α·tan β＞0， ∴tan α＜0 且 tan β＜0， ∴－ π2 ＜α＜0 且－π2 ＜β＜0， 即－π＜α＋β＜0，结合 tan(α＋β)＝1， 得 α＋β＝－ 3π4.] 8．函数 y＝sin xcos  x＋ π3的最小正周期是

    　．

    　4 π [y＝sin xcos  x＋ π3＝ 12 sin xcos x－32sin 2 x＝ 14 sin 2x－32·1－cos 2x2＝ 12sin  2x＋ π3－34，故函数 f(x)的最小正周期 T＝ 2π2＝π.] 三、解答题 9．已知函数 f(x)＝2sin xsin  x＋ π6. (1)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间； (2)当 x∈ 时，求函数 f(x)的值域． [解] (1)因为 f(x)＝2sin x   32sin x＋ 12 cos x ＝3× 1－cos 2x2＋ 12 sin 2x＝sin  2x－ π3＋32， 所以函数 f(x)的最小正周期为 T＝π. 由－ π2 ＋2kπ≤2x－π3 ≤π2 ＋2kπ，k∈Z， 解得－π12 ＋kπ≤x≤5π12 ＋kπ，k∈Z，

    　10．已知函数 f(x)＝sin 2 x＋ 3sin xcos x. (1)求 f(x)的最小正周期； (2)若 f(x)在区间 上的最大值为32 ，求 m 的最小值． [解] (1)因为 f(x)＝sin 2 x＋ 3sin xcos x ＝ 12 －12 cos 2x＋32sin 2x

    　5 ＝sin  2x－ π6＋ 12 ， 所以 f(x)的最小正周期为 T＝ 2π2＝π. (2)由(1)知 f(x)＝sin  2x－ π6＋ 12 . 由题意知－ π3 ≤x≤m， 所以－ 5π6≤2x－ π6 ≤2m－π6 . 要使 f(x)在区间 上的最大值为32， 即 sin 2x－π6 在区间上的最大值为 1， 所以 2m－ π6 ≥π2 ，即 m≥π3 . 所以 m 的最小值为 π3 .

    　1．已知 cos  2π3－2θ ＝－ 79 ，则 sin π6 ＋θ 的值为(

    　) A. 13

    　 B．±13

    　 C．－19

    　 D.19

    　B [∵cos  2π3－2θ ＝－ 79 ， ∴cos  π－  π3 ＋2θ ＝－cos π3 ＋2θ ＝－cos  2  π6 ＋θ ＝－ 1－2sin 2  π6 ＋θ ＝－79 ， 解得 sin 2 π6 ＋θ＝19 ， ∴sin  π6 ＋θ ＝±13 .] 2．(2019·江西九江二模)若 sin  α－ π9＝2cos αsin π9 ，则sin  α－ π9cos  α－ 7π18＝(

    　)

    　6 A. 14

    　B. 12

    　C．2

    　 D．4 B [∵sin  α－ π9＝2cos αsin π9 ，∴sin αcos π9 －cos αsin π9 ＝2cos αsin π9 ，即sin αcos π9＝ 3cos αsin π9， ∴tan α ＝ 3tanπ9.cosα－ 7π18＝ cos7π18 －α ＝cos  π2 － α＋ π9＝sin  α＋ π9. 则sin  α－ π9cos  α－ 7π18＝sin  α－ π9sin  α＋ π9＝sin αcos π9 －cos αsinπ9sin αcos π9 ＋cos αsinπ9＝tan α－tan π9tan α＋tan π9＝2tan π94tan π9＝ 12 ，故选 B.] 3．已知 A，B 均为锐角，cos(A＋B)＝－ 2425 ，sin B＋ π3＝ 35 ，则 cos A－ π3＝

    　. 117125

    　[因为 A，B 均为锐角，cos(A＋B)＝－2425 ，sin B＋ π3＝ 35 ， 所以 π2 ＜A＋B＜π，π2 ＜B＋π3 ＜π， 所以 sin(A＋B)＝ 1－cos 2 A＋B＝725 ，cos B＋ π3＝－ 1－sin 2  B＋ π3＝－45 ， 可得 cos A－π3 ＝cos＝－2425 × －45 ＋725 ×35 ＝117125 .] 4．已知函数 f(x)＝cos 2 x＋sin xcos x，x∈R. (1)求 f  π6的值； (2)若 sin α＝ 35 ，且 α∈ π2 ，π ，求 f α2 ＋π24. [解] (1)f  π6＝cos 2 π6 ＋sin π6 cos π6

    　＝   322 ＋ 12 ×32＝ 3＋ 34. (2)因为 f(x)＝cos 2 x＋sin xcos x

    　7 ＝ 1＋cos 2x2＋ 12 sin 2x ＝ 12 ＋12 (sin 2x＋cos 2x)＝12 ＋22sin  2x＋ π4， 所以 f  α2 ＋π24＝ 12 ＋22sin  α＋π12 ＋π4 ＝ 12 ＋22sin  α＋ π3＝ 12 ＋22  12 sin α＋32cos α . 又因为 sin α＝ 35 ，且 α∈ π2 ，π ， 所以 cos α＝－ 45 ， 所以 f  α2 ＋π24＝ 12 ＋22  12 ×35 －32× 45 ＝ 10＋3 2－4 620.

    　1．已知 α∈  π4 ，3π4，β∈  0， π4，且 cos  π4 －α ＝35 ，sin 5π4＋β ＝－ 1213 ，则cos(α＋β)＝

    　. － 3365

    　[∵α∈ π4 ，3π4， π4 －α∈ － π2 ，0 ， cos  π4 －α ＝35 ，∴sin π4 －α ＝－45 ， ∵sin  5π4＋β ＝－ 1213 ，∴sin π4 ＋β ＝1213 ， 又∵β∈  0， π4， π4 ＋β∈ π4 ，π2， ∴cos  π4 ＋β ＝513 ， ∴cos(α＋β)＝cos

    　＝ 35 ×513 －45 ×1213 ＝－3365 .] 2．已知角 α 的顶点在坐标原点，始边与 x 轴的正半轴重合，终边经过点 P(－3， 3)．

    　8 (1)求 sin 2α－tan α 的值； (2)若函数 f(x)＝cos(x－α)cos α－sin(x－α)sin α，求函数 g(x)＝ 3f  π2 －2x －2f 2 (x)在区间 上的值域． [解] (1)∵角 α 的终边经过点 P(－3， 3)， ∴sin α＝ 12 ，cos α＝－32，tan α＝－33. ∴sin 2α－tan α＝2sin αcos α－tan α＝－32＋33＝－36. (2)∵f(x)＝cos(x－α)cos α－sin(x－α)sin α＝cos x， ∴g(x)＝ 3cos  π2 －2x －2cos2 x＝ 3sin 2x－1－cos 2x＝2sin2x－ π6－1. ∵0≤x≤ 2π3， ∴－ π6 ≤2x－π6 ≤7π6. ∴－ 12 ≤sin 2x－ π6≤1， ∴－2≤2sin  2x－ π6－1≤1， 故函数 g(x)＝ 3f π2 －2x －2f 2 (x)在区间 上的值域是[－2,1]．

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