第五章,5.1.1,任意角

时间：2020-11-03 20:56:05 来源：蒲公英阅读网 本文已影响人

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　§5.1

　任意角和弧度制 5 ．1.1

　任意角 学习目标 1.了解任意角的概念，区分正角、负角与零角.2.了解象限角的概念.3.理解并掌握终边相同的角的概念，能写出终边相同的角所组成的集合．

　知识点一 任意角 1．角的概念：

　角可以看成平面内一条射线绕着它的端点旋转所成的图形． 2．角的表示：

　如图所示：角 α 可记为“α”或“∠α”或“∠AOB”，始边：OA，终边：OB，顶点 O.

　3．角的分类：

　名称 定义 图示 正角 一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角

　负角 一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角

　零角 一条射线没有做任何旋转形成的角

　 知识点二 角的加法与减法 设 α，β 是任意两个角，－α 为角 α 的相反角． (1)α＋β：把角 α 的终边旋转角 β. (2)α－β：α－β＝α＋(－β)． 知识点三 象限角 把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，那

　么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． 思考 “锐角”“第一象限角”“小于 90°的角”三者有何不同？ 答案 锐角是第一象限角也是小于 90°的角，而第一象限角可以是锐角，也可以是大于 360°的角，还可以是负角，小于 90°的角可以是锐角，也可以是零角或负角． 知识点四 终边相同的角 所有与角 α 终边相同的角，连同角 α 在内，可构成一个集合 S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角 α 终边相同的角，都可以表示成角 α 与整数个周角的和． 思考 终边相同的角相等吗？相等的角终边相同吗？ 答案 终边相同的角不一定相等，它们相差 360°的整数倍；相等的角终边相同．

　1．第二象限角是钝角．( × ) 2．终边与始边重合的角为零角．( × ) 3．终边相同的角有无数个，它们相差 360°的整数倍．( √ )

　一、任意角的概念 例 1 (多选)下列说法，不正确的是(

　) A．三角形的内角必是第一、二象限角 B．始边相同而终边不同的角一定不相等 C．钝角比第三象限角小 D．小于 180°的角是钝角、直角或锐角 答案 ACD 解析 A 中 90°的角既不是第一象限角，也不是第二象限角，故 A 不正确； B 中始边相同而终边不同的角一定不相等，故 B 正确； C 中钝角是大于－100°的角，而－100°的角是第三象限角，故 C 不正确； D 中零角或负角小于 180°，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故 D 不正确． 反思感悟 理解与角的概念有关问题的关键 正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可． 跟踪训练 1 经过 2 个小时，钟表的时针和分针转过的角度分别是(

　) A．60°，720°

　 B．－60°，－720°

　C．－30°，－360°

　 D．－60°，720° 答案 B 解析 钟表的时针和分针都是顺时针旋转，因此转过的角度都是负的，而212 ×360°＝60°，2×360°＝720°，故钟表的时针和分针转过的角度分别是－60°，－720°. 二、终边相同的角 例 2 已知 α＝－1 845°，在与 α 终边相同的角中，求满足下列条件的角． (1)最小的正角； (2)最大的负角； (3)－360°～720°之间的角． 解 因为－1 845°＝－45°＋(－5)×360°， 即－1 845°角与－45°角的终边相同， 所以与角 α 终边相同的角的集合是 {β|β＝－45°＋k·360°，k∈Z}， (1)最小的正角为 315°. (2)最大的负角为－45°. (3)－360°～720°之间的角分别是－45°，315°，675°. 反思感悟 终边相同的角的表示 (1)终边相同的角都可以表示成 α＋k·360°(k∈Z)的形式． (2)终边相同的角相差 360°的整数倍． 跟踪训练 2 (1)若角 2α 与 240°角的终边相同，则 α 等于(

　) A．120°＋k·360°，k∈Z B．120°＋k·180°，k∈Z C．240°＋k·360°，k∈Z D．240°＋k·180°，k∈Z 答案 B 解析 角 2α 与 240°角的终边相同， 则 2α＝240°＋k·360°，k∈Z， 则 α＝120°＋k·180°，k∈Z. (2)下列角的终边与 37°角的终边在同一直线上的是(

　) A．－37°

　B．143°

　C．379°

　D．－143° 答案 D 解析 与 37°角的终边在同一直线上的角可表示为 37°＋k·180°，k∈Z，当 k＝－1 时，37°－180°＝－143°.

　三、象限角及区域角的表示 例 3 (1)(多选)下列四个角为第二象限角的是(

　) A．－200°

　B．100°

　C．220°

　D．420° 答案 AB 解析 －200°＝－360°＋160°，在 0°～360°范围内，与－200°终边相同的角为 160°，它是第二象限角，同理 100°为第二象限角，220°为第三象限角，420°为第一象限角． (2)如图所示．

　①写出终边落在射线 OA，OB 上的角的集合； ②写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合． 解 ①终边落在射线 OA 上的角的集合是 {α|α＝k·360°＋210°，k∈Z}． 终边落在射线 OB 上的角的集合是 {α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}． ②终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是 {α|k·360°＋210°≤α≤k·360°＋300°，k∈Z}． (学生) 反思感悟 (1)象限角的判定方法 ①根据图象判定．利用图象实际操作时，依据是终边相同的角的思想，因为 0°～360°之间的角与坐标系中的射线可建立一一对应的关系． ②将角转化到 0°～360°范围内．在直角坐标平面内，在 0°～360°之间没有两个角终边是相同的． (2)表示区域角的三个步骤 第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界． 第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角 α 和 β，写出最简区间{x|α<x<β}，其中 β－α<360°. 第三步：起始、终止边界对应角 α，β 再加上 360°的整数倍，即得区域角集合． 跟踪训练 3 已知角 α 的终边在图中阴影部分内，试指出角 α 的取值范围．

　 解 终边在30°角的终边所在直线上的角的集合为S 1 ＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}，终边在180°－75°＝105°角的终边所在直线上的角的集合为 S 2 ＝{α|α＝105°＋k·180°，k∈Z}，因此，终边在图中阴影部分内的角 α 的取值范围为{α|30°＋k·180°≤α<105°＋k·180°，k∈Z}．

　确定 nα 及 αn 所在的象限 典例 已知 α 是第二象限角：

　(1)求角 α2 所在的象限； (2)求角 2α 所在的象限． 解

　(1)方法一 ∵α 是第二象限角， ∴k·360°＋90°<α<k·360°＋180°(k∈Z)． ∴ k2 ·360°＋45°<α2 <k2 ·360°＋90°(k∈Z)． 当 k 为偶数时，令 k＝2n(n∈Z)，得 n·360°＋45°< α2 <n·360°＋90°， 这表明 α2 是第一象限角； 当 k 为奇数时，令 k＝2n＋1(n∈Z)，得 n·360°＋225°< α2 <n·360°＋270°， 这表明 α2 是第三象限角． ∴ α2 为第一或第三象限角． 方法二 如图，先将各象限分成 2 等份，再从 x 轴正半轴的上方起，按逆时针方向，依次将各区域标上一、二、三、四，则标有二的区域即为 α2 的终边所在的区域，故α2 为第一或第三象限角．

　(2)∵k·360°＋90°<α<k·360°＋180°(k∈Z)． ∴k·720°＋180°<2α<k·720°＋360°(k∈Z)． ∴角 2α 的终边在第三或第四象限或在 y 轴的非正半轴上． [素养提升] 分类讨论时要对 k 的取值分以下几种情况进行讨论：k 被 n 整除；k 被 n 除余 1；k 被 n 除余 2，…，k 被 n 除余 n－1.然后方可下结论．几何法依据数形结合，简单直观．通过该类问题，提升逻辑推理和直观想象等核心素养．

　1．与－30°终边相同的角是(

　) A．－330°

　B．150°

　C．30°

　D．330° 答案 D 解析 因为所有与－30°终边相同的角都可以表示为 α＝k·360°＋(－30°)，k∈Z，取 k＝1，得α＝330°. 2．2 020°是(

　) A．第一象限角

　 B．第二象限角 C．第三象限角

　 D．第四象限角 答案 C 解析 2 020°＝5×360°＋220°， 所以 2 020°角的终边与 220°角的终边相同，为第三象限角． 3．与－460°角终边相同的角可以表示成(

　) A．460°＋k·360°，k∈Z

　 B．100°＋k·360°，k∈Z C．260°＋k·360°，k∈Z

　 D．－260°＋k·360°，k∈Z 答案 C 解析 因为－460°＝260°＋(－2)×360°， 故与－460°角终边相同的角可以表示成 260°＋k·360°，k∈Z. 4．若手表时针走过 4 小时，则时针转过的角度为(

　) A．120°

　B．－120°

　C．－60°

　D．60° 答案 B 解析 由于时针是顺时针旋转， 故时针转过的角度为负数， 即为－412 ×360°＝－120°. 5.已知角 α 的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角 α 的集合是________________．

　 答案 {α|k·360°＋45°<α<k·360°＋150°，k∈Z} 解析 观察图形可知，角 α 的集合是 {α|k·360°＋45°<α<k·360°＋150°，k∈Z}．

　1．知识清单：

　(1)任意角的概念． (2)终边相同的角． (3)象限角、区域角的表示． 2．方法归纳：数形结合、分类讨论． 3．常见误区：锐角与小于 90°角的区别，终边相同角的表示中漏掉 k∈Z.

　 1．(多选)下列四个角中，属于第二象限角的是(

　) A．160°

　B．480°

　C．－960°

　D．1 530° 答案 ABC 解析 160°是第二象限角； 480°＝120°＋360°是第二象限角； －960°＝－3×360°＋120°是第二象限角； 1 530°＝4×360°＋90°不是第二象限角． 2．与－457°角的终边相同的角的集合是(

　) A．{α|α＝457°＋k·360°，k∈Z} B．{α|α＝97°＋k·360°，k∈Z} C．{α|α＝263°＋k·360°，k∈Z} D．{α|α＝－263°＋k·360°，k∈Z} 答案 C 3．下面各组角中，终边相同的是(

　) A．390°，690°

　 B．－330°，750° C．480°，－420°

　D．3 000°，－840° 答案 B

　解析 因为－330°＝－360°＋30°，750°＝720°＋30°， 所以－330°与 750°终边相同． 4．若 α 是第四象限角，则 180°－α 是(

　) A．第一象限角

　 B．第二象限角 C．第三象限角

　 D．第四象限角 答案 C 解析 可以给 α 赋一特殊值－60°， 则 180°－α＝240°，故 180°－α 是第三象限角． 5.如图，终边在阴影部分(含边界)的角的集合是(

　)

　A．{α|－45°≤α≤120°} B．{α|120°≤α≤315°} C．{α|－45°＋k·360°≤α≤120°＋k·360°，k∈Z} D．{α|120°＋k·360°≤α≤315°＋k·360°，k∈Z} 答案 C 解析 如题图，终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是{α|－45°＋k·360°≤α≤120°＋k·360°，k∈Z}． 6．50°角的始边与 x 轴的非负半轴重合，把其终边按顺时针方向旋转 3 周，所得的角是________． 答案 －1 030° 解析 顺时针方向旋转 3 周转了－(3×360°)＝－1 080°. 又 50°＋(－1 080°)＝－1 030°，故所得的角为－1 030°. 7．与－2 020°角终边相同的最小正角是________；最大负角是________． 答案 140° －220° 解析 因为－2 020°＝－6×360°＋140°， 140°－360°＝－220°， 所以最小正角为 140°，最大负角为－220°. 8．在 0°～360°范围内，与角－60°的终边在同一条直线上的角为________． 答案 120°，300° 解析 与角－60°的终边在同一条直线上的角可表示为 β＝－60°＋k·180°，k∈Z. ∵所求角在 0°～360°范围内，

　∴0°≤－60°＋k·180°≤360°， 解得 13 ≤k≤73 ，k∈Z， ∴k＝1 或 2， 当 k＝1 时，β＝120°， 当 k＝2 时，β＝300°. 9．已知 α＝－1 910°. (1)把 α 写成 β＋k·360°(k∈Z,0°≤β<360°)的形式，并指出它是第几象限角； (2)求 θ，使 θ 与 α 的终边相同，且－720°≤θ<0°. 解 (1)α＝－1 910°＝－6×360°＋250°，它是第三象限角． (2)令 θ＝250°＋n·360°(n∈Z)， 取 n＝－1，－2 就得到符合－720°≤θ<0°的角． 250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°. 故 θ＝－110°或 θ＝－470°. 10．写出终边在下列各图所示阴影部分内的角的集合．

　解 先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，则得 (1){α|30°＋k·360°≤α≤150°＋k·360°，k∈Z}． (2){α|－210°＋k·360°≤α≤30°＋k·360°，k∈Z}．

　11．(多选)角 α＝45°＋k·180°(k∈Z)的终边落在(

　) A．第一象限

　 B．第二象限 C．第三象限

　 D．第四象限 答案 AC 解析 当 k＝2m＋1(m∈Z)时， α＝2m·180°＋225°＝m·360°＋225°， 故 α 为第三象限角； 当 k＝2m(m∈Z)时，α＝m·360°＋45°， 故 α 为第一象限角． 故 α 在第一或第三象限． 12．若 α 是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是(

　)

　A．90°－α

　 B．90°＋α C．360°－α

　 D．180°＋α 答案 C 解析 方法一 特例法，取 α＝30°，可知 C 正确． 方法二 因为 α 是第一象限角，所以 k·360°<α<90°＋k·360°(k∈Z)，所以 270°＋k·360°<360°－α<360°＋k·360°(k∈Z)，故 360°－α 是第四象限角． 13．终边与坐标轴重合的角 α 的集合是(

　) A．{α|α＝k·360°，k∈Z} B．{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z} C．{α|α＝k·180°，k∈Z} D．{α|α＝k·90°，k∈Z} 答案 D 解析 终边在坐标轴上的角大小为 90°的整数倍， 所以终边与坐标轴重合的角的集合为{α|α＝k·90°，k∈Z}． 14．若角 α 满足 180°<α<360°，角 5α 与 α 有相同的始边与终边，则角 α＝________. 答案 270° 解析 ∵角 5α 与 α 具有相同的始边与终边， ∴5α＝k·360°＋α，k∈Z，得 4α＝k·360°，k∈Z， ∴α＝k·90°，k∈Z， 又 180°<α<360°，∴180°<k·90°<360°， 解得 2<k<4，又 k∈Z，∴k＝3.∴当 k＝3 时，α＝270°.

　15．设集合 M＝  x  x＝ k2 ×180°＋45°，k∈Z，N＝  x  x＝ k4 ×180°＋45°，k∈Z，那么(

　) A．M＝N

　 B．N⊆M C．M⊆N

　 D．M∩N＝∅ 答案 C 解析 由题意得 M＝  x  x＝ k2 ×180°＋45°，k∈Z＝ { } x |

　x＝2k＋1×45°，k∈Z ， 即 M 是由 45°的奇数倍构成的集合， 又 N＝  x  x＝ k4 ×180°＋45°，k∈Z ＝{x|x＝(k＋1)×45°，k∈Z}， 即 N 是由 45°的整数倍构成的集合，

　∴M⊆N. 16．已知 α，β 都是锐角，且 α＋β 的终边与－280°角的终边相同，α－β 的终边与 670°角的终边相同，求角 α，β 的大小． 解 由题意可知 α＋β＝－280°＋k·360°，k∈Z. ∵α，β 为锐角， ∴0°<α＋β<180°. 取 k＝1，得 α＋β＝80°，① α－β＝670°＋k·360°，k∈Z. ∵α，β 为锐角， ∴－90°<α－β<90°. 取 k＝－2，得 α－β＝－50°，② 由①②得 α＝15°，β＝65°.