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    菱形正方形性质与判断

    时间：2021-02-08 20:12:53 来源：蒲公英阅读网 本文已影响人 蒲公英阅读网手机站

    相关热词搜索：正方形 菱形 性质

    　 矩形、菱形、正方形

    　菱形的性质及判定

    　板块 一、菱形的性质

    　， 如图， 是菱形 的边 的中点， 于 ，交 于 的延长线于 ，交 于 于 ，

    　证明：

    　与 互相平分．

    　E ABCD AD EF AC  H CB FAB PAB EF1． ． 菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 2 ．菱形的性质 菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，•还具有自己独特的性质：

    　① 边的性质：对边平行且四边相等．

    　② 角的性质：邻角互补，对角相等． ③ 对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角． ④ 对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形．

    　菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半． 点评：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半． 3 ．菱形的判定 判定①：一组邻边相等的平行四边形是菱形． 判定②：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 判定③：四边相等的四边形是菱形． 知识点睛

    　PHFEDCBA

    　 ☆菱形的周长为 ，两邻角度数之比为 ，则菱形较短的对角线的长度为

    　如图 3 3 ，在菱形 中， ， ， 、 、 分别是边 和 的中点，

    　点 于点 ，则 （）

    　A A ． B B ．

    　 C C ． D D ．

    　 ☆ 已知菱形 的两条对角线 的乘积等于菱形的一条边长的平方，则菱形的一个钝角的大小是

    　已知，菱形 ， 中， 、 、 分别是 、 上的点，若 ，求的度数．

    　板块 二、菱形的判定

    　☆ 如图，在 中， 平分 ， 的中垂线交 点 于点 ，交 于点，求证：四边形 是菱形

    　20cm 2:1ABCD 110 A    E F AB BCEP CD  P FPC  35 4550 55ABCD AC BD ，ABCD E F BC CD AE AF EF AB   C F EDCBAABC  BD ABC  BD AB E BCF BEDF图3EDPCFBA

    　 如图，在梯形纸片 中， ， 点 ，将纸片沿过点 的直线折点 叠，使点 落在 点 上的点 处，折痕 交 点 于点 ，连结 . . 求证：四边形 是菱形．

    　（辽宁）如图，已知C △ABC 的面积为 3 3 ，且 AB=AC ，现将C △ABC 沿 沿 A CA 方向平移 A CA 长度得到 △EFA ．

    　（1 1 ）求C △ABC 所扫过的图形的面积；

    　（2 2 ）试判断 F AF 与 与 E BE 的位置关系，并说明理由；

    　（3 3 ）若 ∠BEC=15° ，求 C AC 的长．

    　FE DCBAABCD / / AD BC AD CD  DC AD C DE BC EC E CDCE C" DC BAE

    　 巩固练习

    　一、选择题

    　1 1点 、（天津）在平面直角坐标系中，已知点 A A （0 0 ，2 2 ），B B （﹣2 2 ，0 0 ），C C （0 0 ，﹣2 2， ），D D （2 2 ， ，0 0 ），则以这四个点为顶点的四边形 D ABCD 是（

    　）

    　A A 、矩形

    　B B 、菱形

    　C C 、正方形

    　D D 、梯形

    　2 2 、能判定一个四边形是菱形的条件是（

    　）

    　A A 、对角线相等且互相垂直

    　B B 、对角线相等且互相平分

    　C C 、对角线互相垂直

    　D D 、对角线互相垂直平分

    　3 3 、四边形的四边长顺次为 a a 、b b 、c c 、d d ，且 a a2 2 +b2 2 +c2 2 +d2 2 =ab+bc+cd+ad ，则此四边形一定是（

    　）

    　A A 、平行四边形

    　B B 、矩形

    　C C 、菱形

    　D D 、正方形

    　4 4 、（梅州）如图所示，圆 O O 的弦 B AB 垂直平分半径 OC ，则四边形 OACB （

    　）

    　A A 、是正方形

    　B B 、是长方形

    　C C 、是菱形

    　D D 、以上答案都不对

    　 二 、解答题

    　5 5. . （贵阳）如图，在▱ ▱ D ABCD 中，E E ，F F 分别为边 AB ，D CD 的中点，连接DE 、 BF 、 BD ．

    　（1 1 ）求证：

    　△ADE≌△CBF ．

    　（2 2 ）若 AD⊥BD ，则四边形 BFDE 是什么特殊四边形？请证明你的结论．

    　6 6 、如图，等边C △ABC 的边长为 2 2 ，E E 是边 C BC 上的动点，C EF∥AC 交边B AB 于点 F F ，在边 C AC 上取一点 P P ，使 PE=EB ，连接 FP ．

    　（1 1 ）请直接写出图中与线段 F EF 相等的两条线段；（不再另外添加辅助线）

    　（2 2 ）探究：当点 E E 在什么位置时，四边形 C EFPC 是平行四边形？并判断四边形 C EFPC 是什么特殊的平行四边形，请说明理由；

    　 矩形、菱形、正方形

    　正方形的性质及判定

    　1 1 ．正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．

    　2 2 ．正方形的性质

    　正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形．它具有前三者的所有性质：

    　① 边的性质：对边平行，四条边都相等．

    　② 角的性质：四个角都是直角．

    　③ 对角线性质：两条对角线互相垂直平分且相等， • 每条对角线平分一组对角．

    　④ 对称性：正方形是中心对称图形，也是 轴 对 称 图形 ．

    　平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系：

    　）

    　（如图）

    　3 3 ．正方形的判定

    　判定 ① ：

    　有一组邻边相等的矩形是正方形．

    　判定 ② ：

    　有一个角是直角的菱形是正方形．

    　正方形的性质

    　例 例 1 1 、在正方形 D ABCD 的边 C BC 的延长线上取一点 E E ，使 CE=CA, 连接 AE例题精讲

    　知识点睛

    　正方形菱形 矩形平行四边形

    　 交 交 D CD 于 于 F F ，求 的度数。

    　例 例 2 2 ：如图， E E 为正方形 ABCD 的 BC 边上的一点， CG 平分∠ DCF ，连结AE ，并在 CG 上取一点 G G ，使 EG = = AE . . 求证：

    　AE ⊥ EG . .

    　对比练习：

    　例 例 2 2 ：如 上 图， E E 为正方形 ABCD 的 BC 边上的一点， CG 平分∠ DCF ，连结 AE ，并在 CG 上取一点 G G ，使 AE ⊥ EG . . 求证：

    　EG = = AE . .

    　例 例 3 3 、P P 为正方形 ABCD 内一点， PA =1 ， PB =2 ， PC =3 ，求∠ APB 的度数. .

    　AFD 

    　 例 例 4 4 、（海南省）如图， P P 是边长为 1 1 的正方形 ABCD 对角线 AC 上一动点（ P P 与 A A 、 C C 不重合），点 E E 在射线 BC 上，且 PE= = PB . .

    　（1 1 ）求证：① PE= = PD ；② PE ⊥ PD ；

    　（2 2 ）设 AP = = x x , , △ PBE 的面积为 y y . . 求出 y y 关于 x x 的函数关系式，并写出x x 的取值范围；

    　例 例 7. ☆ 如图，四边形 为正方形，以 为边向正方形外

    　作等边三角形 ， 与 相交于点 ，则

    　正方形的判定

    　例 例 1 1 ：（淄博）

    　已知：如图，在 △ ABC 中 ， AB = = AC ， AD ⊥ BC ，垂足为 点 D D ，AN 是 △ ABC 外角 ∠ CAM 的平分线， CE ⊥ AN ，垂足为 点 E E ，（1 1 ）求证：四边形 ADCE 为矩形；（2 2 ）当 △ ABC 满足什么条件时，四边形 ADCE 是一个正方形？ 并给出证明 ．

    　ABCD ABABE CE BD FAFD  A B C P D

    　E

    　FEDC BA

    　 例 例 2 2 、如图，△ ABC 中，点 O O 是 AC 边上一个动点，过点 O O 作直线 MN ∥BC ，设 MN 交∠ BCA 的平分线于 E E ，交∠ BCA 的外角平分线于点 F F . .

    　(1) 求证：

    　EO = = FO

    　 ( (2 2) ) 当点 O O 运动到何处时，四边形 AECF 是矩形？并证明你的结论. .

    　例 例 3. 如图，在正方形 中， 、 、 分别是 、 、 的中点，求证：

    　．

    　ABCD E F AB BC AM AD A B C D M N E

    　MFEDC BA

    　 一、选择题

    　1 1 、（大兴安岭）如图所示，E E 、F F 分别是正方形 D ABCD 的边 CD ，D AD 上的点，

    　且 且 CE=DF， ， AE， ，F BF 相交于点 O O ，下列结论 ①AE=BF； ； ②AE⊥BF； ； ③AO=OE ；

    　④S △AOB =S 四边形 DEOF 中，错误的有（

    　）

    　A A 、1 1 个

    　B B 、2 2 个

    　C C 、3 3 个

    　D D 、4 4 个

    　2 2 、在平面直角坐标系中，称横、纵坐标均为整数的点为整点，

    　如下图所示的正方形内（包括边界）整点的个数是（

    　）

    　A A 、 13

    　B B 、 21

    　C C 、 17

    　D D 、 25

    　3 3 、如图，正方形 D ABCD 的对角线 C AC 与 与 D BD 相交于 O O 点，在 D BD 上截取BE=BC ，

    　连接 CE ，点 P P 是 是 E CE 上任意一点，D PM⊥BD 于 于 M M ，C PN⊥BC 于 于 N N ，

    　若正方形 D ABCD 的边长为 1 1 ，则 PM+PN= （

    　）

    　A A 、1 1

    　B B 、

    　 C C 、

    　 D D 、 1+

    　4 4 、顶点为 A A （6 6 ，6 6 ），B B （﹣4 4 ，3 3 ），C C （﹣1 1 ，﹣7 7 ），D D （9 9 ，﹣4 4 ）的正方形

    　在第一象限的面积是（

    　）

    　课后练习

    　 A A 、 25

    　B B 、 36

    　C C 、 49

    　D D 、 30

    　5 5 、矩形的四个内角平分线围成的四边形（

    　）

    　A A 、一定是正方形

    　B B 、是矩形

    　C C 、菱形

    　D D 、只能是平行四边形

    　6 6 、如图，正方形 D ABCD 的面积为 16 ，E △ABE 是等边三角形，点 E E 在正方形 ABCD

    　内，在对角线 D BD 上有一点 P P ，使 E PC+PE 的和最小，则这个最小值为（

    　）

    　A A 、4 4

    　B B 、2 2

    　 C C 、2 2

    　 D D 、2 2

    　7 7 、下列五个命题：

    　（1 1 ）若直角三角形的两条边长为 5 5 和 和 12 ，则第三边长是 13 ；

    　（2 2 ）如果 a≥0 ，那么 =a

    　（3 3 ）若点 P P （a a ，b b ）在第三象限，则点 P P （﹣a a ，﹣ b+1 ）在第一象限；

    　（4 4 ）对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；

    　（5 5 ）两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等．

    　其中不正确命题的个数是（

    　）

    　A A 、2 2 个

    　B B 、3 3 个

    　C C 、4 4 个

    　D D 、5 5 个

    　8 8 、（重庆）如图，在等腰 C Rt△ABC 中， ∠C=90° ， AC=8 ，F F 是 是 B AB 边上的中点，

    　点 点 D D ，E E 分别在 AC ，C BC 边上运动，且保持 AD=CE ．连接 DE ， DF ， EF． ．

    　在此运动变化的过程中，下列结论：

    　E ①△DFE 是等腰直角三角形； ② 四边形 E CDFE 不可能为正方形，

    　 ③E DE 长度的最小值为 4 4 ； ④ 四边形 E CDFE 的面积保持不变；

    　E ⑤△CDE 面积的最大值为 8 8 ．

    　其中正确的结论是（

    　）

    　A A 、 ①②③

    　B B 、 ①④⑤

    　C C 、 ①③④

    　D D 、 ③④⑤

    　二、填空题

    　9 9 、如图，若正方体的边长为 a a ，M M 是 是 B AB 的中点，则图中阴影部分的面积为

    　_________

    　．

    　10. 已知正方形 D ABCD 的边长为 4cm ，E E ，F F 分别为边 DC ，C BC 上的点，

    　BF=1cm ， CE=2cm ， BE ，F DF 相交于点 G G ，

    　则四边形 F CEGF 的面积为

    　_________

    　cm2 2 ．

    　三、解答

    　1 10 0 、如图，正方形 D ABCD 中， AB= ，点 E E 、F F 分别在 BC 、D CD 上，

    　且 ∠BAE=30° ，5 ∠DAF=15 度．

    　（1 1 ）求证：

    　DF+BE=EF ；

    　（2 2 ）则C ∠EFC 的度数为

    　_________

    　度；

    　（3 3 ）则F △AEF 的面积为

    　_________

    　．

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