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    方法技巧专题19,三角恒等变换（解析版）

    时间：2020-11-24 20:45:38 来源：蒲公英阅读网 本文已影响人 蒲公英阅读网手机站

    相关热词搜索：变换 解析 技巧

    　方法技巧专题 19

    　三角恒等变换 解析版

    　一、三角恒等变换问题知识框架

    　二、三角恒等变换方法技巧

    　 【一】公式顺用、逆用及其变形用

    　 1. 两角和差公式：

    　cos(α－β)＝cosα cosβ＋sinα sinβ.

    　cos(α＋β)＝cosα cosβ－sinα sinβ. sin(α＋β)＝sinα cosβ＋cosα sinβ.

    　sin(α－β)＝sinα cosβ－cosα sinβ. tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β .

    　tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β（α，β，α－β 均不等于 kπ＋ π2 (k∈Z)）.

    　1.例题 例 【例 1 】计算：

    　(1)cos(－15°)；

    　(2)cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°. 【解析】(1)方法一 原式＝cos(30°－45°)＝cos 30°cos 45°＋sin 30°sin 45°＝32×22＋ 12 ×22＝6＋ 24. 方法二 原式＝cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝22×32＋22× 12 ＝6＋ 24. (2)原式＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)＝cos 90°＝0. 例 【例 2 】(1)计算：cos 2π12 －sin2 π12 ； 【解析】原式＝cos π6 ＝32. (2)计算：

    　1－tan2 75°tan 75°； 【解析】

    　1－tan 2 75°tan 75°＝2·1－tan 2 75°2tan 75° ＝2·1tan 150°＝－2 3.

    　(3)计算：cos 20°cos 40°cos 80°. 【解析】原式＝12sin 20°·2sin 20°cos 20°cos 40°cos 80°＝12sin 20°·sin 40°·cos 40°cos 80° ＝12 2 sin 20°sin 80°cos 80°＝12 3 sin 20°·sin 160°＝sin 20°2 3 sin 20°＝ 18 .

    　例 【例 3 】(1) 1＋tan 15°1－tan 15°＝________. 【解析】

    　3

    　原式＝tan 45°＋tan 15°1－tan 45°tan 15°＝tan(45°＋15°)＝tan 60°＝ 3. (2)化简：tan 23°＋tan 37°＋ 3tan 23°tan 37°. 【解析】

    　2. 二倍角公司 sin 2α＝2sinα cosα；

    　 cos 2α＝cos 2 α－sin 2 α＝2cos 2 α－1＝1－2sin 2 α；

    　tan 2α＝2tan α1－tan 2 α . 变形 1：降幂公式:

    　 cos 2 α2 ＝1＋cos α2，2sin 12sin 2  

    　变形 2 ：半角公式：（1＋cos 2α＝2cos 2 α， 1－cos 2α＝2sin 2 α）

    　sin α2 ＝±1－cos α2，cos α2 ＝±1＋cos α2，tan α2 ＝±1－cos α1＋cos α ＝sin α1＋cos α ＝1－cos αsin α

    　特别注意：两角和与差的正切公式有两种变形形式 ①tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)或②1∓tan α·tan β＝ tan α±tan βtanα±β. 当 α±β 为特殊角时，常考虑使用变形形式①，遇到 1 与正切的乘积的和(或差)时常用变形形式②.

    　 方法一 tan 23°＋tan 37°＋ 3tan 23°tan 37° ＝tan(23°＋37°)(1－tan 23°tan 37°)＋ 3tan 23°tan 37° ＝tan 60°(1－tan 23°tan 37°)＋ 3tan 23°tan 37°＝ 3. 方法二 ∵tan(23°＋37°)＝tan 23°＋tan 37°1－tan 23°tan 37°， ∴ 3＝tan 23°＋tan 37°1－tan 23°tan 37°， ∴ 3－ 3tan 23°tan 37°＝tan 23°＋tan 37°， ∴tan 23°＋tan 37°＋ 3tan 23°tan 37°＝ 3. （3）已知 sin θ＝ 45 ，5π2＜θ＜3π，求 cos θ2 和 tan θ2 . 【解析】

    　∵sin θ＝ 45 ，且5π2＜θ＜3π，∴cos θ＝－ 1－sin 2 θ＝－ 35 . 由 cos θ＝2cos 2 θ2 －1，得 cos2 θ2 ＝1＋cos θ2＝ 15 . ∵ 5π4＜ θ2 ＜3π2，∴cos θ2 ＝－ 1＋cos θ2＝－55. tan θ2 ＝sin θ1＋cos θ ＝2.

    　2.巩固提升综合练习

    　【练习 1】化简 cos 15°cos 45°＋cos 75°sin 45°的值为(

    　) A. 12

    　B.32

    　C．－ 12

    　 D．－32 【解析】B

    　 cos 15°cos 45°＋cos 75°sin 45°＝cos 15°cos 45°＋sin 15°sin 45°＝cos(15°－45°)＝cos(－30°)＝32.

    　【练习 2】

    　1－ 3tan 75°3＋tan 75°＝________. 【解析】－1 原式＝33－tan 75°1＋33tan 75°＝tan 30°－tan 75°1＋tan 30°tan 75°＝tan(30°－75°)＝－tan 45°＝－1. 【练习 3】在△ABC 中，A＋B≠ π2 ，且 tan A＋tan B＋ 3＝ 3tan Atan B，则角 C 的值为(

    　) A. π3

    　 B.2π3

    　 C. π6

    　D.π4

    　【解析】A ∵tan A＋tan B＋ 3＝ 3tan Atan B⇔tan(A＋B)·(1－tan Atan B)＝ 3(tan Atan B－1)．(*) 若 1－tan Atan B＝0，

    　 则 cos Acos B－sin Asin B＝0，即 cos(A＋B)＝0. ∵0<A＋B<π，∴A＋B＝ π2 与题设矛盾． ∴由(*)得 tan(A＋B)＝－ 3，即 tan C＝ 3.又∵0<C<π，∴C＝ π3 . 习 【练习 4 】若 sin α＋cos α＝ 13 ，则 sin 2α=

    　. 【解析】由题意，得(sin α＋cos α) 2 ＝ 19 ，∴1＋2sin αcos α＝19 ，即 1＋sin 2α＝19 ， ∴sin 2α＝－ 89 . 【二】拆凑角问题

    　 1.例题 【例 1】已知31)3sin(   ，则 )6cos( 

    　的值为(

    　) A．－ 13

    　B.13

    　 C.2 23

    　D．－ 2 23 【答案】A 【解析】∵sin )3(  ＝ 13 ，∴cos)6(  ＝cos )]3(2[  ＝－sin )3(  ＝－ 13 . 【例 2】已知角 α 的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，它的终边过点  54,53P . 若角 β满足 sin(α＋β)＝513 ，则 cos β 的值为________． 【答案】

    　－ 5665 或1665

    　 【解析】

    　由角 α 的终边过点  54,53P ，得 sin α＝－ 45 ，cos α＝－35 . 由 sin(α＋β)＝513 ，得 cos(α＋β)＝±1213 . 由 β＝(α＋β)－α，得 cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α， 所以 cos β＝－ 5665 或 cos β＝1665 . 【例 3】若1sin6 3    ，则2cos 23    （

    　 ）

    　A．13 B．13

    　C．79 D．79

    　 三角公式求值中变角的解题思路

    　(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式； (2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．

    　 【答案】D 【解析】

    　2 22 π π πcos 2 2cos 1 2cos 13 3 2 6                              2π 2 72sin 1 16 9 9         

    　2.巩固提升综合练习 【练习 1】已知33)6tan(   ，则   )65tan( ________. 【答案】－33 【解析】tan )65(  ＝tan )6(    ＝tan )]6( [    ＝－tan )6(  ＝－33. 【练习 2】若102 7)4sin(  A ，A∈ ) ,4( ，则 sin A 的值为(

    　) A. 35

    　B. 45

    　C. 35 或45

    　D. 34

    　【答案】B 【解析】∵A∈ ) ,4( ，∴A＋ π4 ∈)45,2( ， ∴cos（A＋ π4 ）＝－ 1－sin 2 A＋ π4＝－210 ， ∴sin A＝sin[（A＋ π4 ）- π4 ]＝sin（A＋π4 ）cosπ4 －cos（A＋π4 ）sinπ4 ＝45 . 【练习 3】已知sin(

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