第一章,导数及其应用(基础过关)(解析版)
第 第 1 章
导数及其应用 基础过关卷 卷 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ (考试时间:120 分钟
试卷满分:150 分)
一、 单项选择题:(本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
)
)
1.曲线 y=x 3 +lnx+1 在点(1,2)处的切线方程为(
)
A.3x﹣y﹣1=0 B.4x﹣y﹣2=0 C.4x+y﹣6=0 D.3x+y﹣5=0 【解答】解:由 y=x 3 +lnx+1,得 , ∴曲线在(1,2)处的斜率 k=y"| x = 1 =4, ∴曲线在点(1,2)处的切线方程为 y﹣2=4(x﹣1), 即 4x﹣y﹣2=0. 故选:B. 【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
2.函数 f(x)=x 2 ﹣2lnx 的单调减区间是(
)
A.(0,1] B.[1,+∞)
C.(﹣∞,﹣1]∪(0,1] D.[﹣1,0)∪(0,1] 【解答】解:f′(x)=2x﹣ = ,(x>0), 令 f′(x)≤0,解得:0<x≤1, 故选:A. 【知识点】利用导数研究函数的单调性
3.定义域为 R 的函数 f(x)满足 f′(x)>f(x),则不等式 e x﹣ 1 f(x)<f(2x﹣1)的解为(
)
A.
B.
C.(1,+∞)
D.(2,+∞)
【解答】解:令 g(x)= ,则 g′(x)= >0, 故 g(x)在 R 递增, 不等式 e x﹣ 1 f(x)<f(2x﹣1), 即 < , 故 g(x)<g(2x﹣1), 故 x<2x﹣1,解得:x>1, 故选:C. 【知识点】利用导数研究函数的单调性
4.函数 f(x)=e x ﹣kx,当 x∈(0,+∞)时,f(x)≥0 恒成立,则 k 的取值范围是(
)
A.k≤1 B.k≤2 C.k≤e D.
【解答】解:依题意,e x ﹣kx≥0 在(0,+∞)上恒成立,即 在(0,+∞)上恒成立, 令 ,则 , 当 x∈(0,1)时,g′(x)<0,g(x)单减,当 x∈(1,+∞)时,g′(x)>0,g(x)单增, ∴g(x)
min =g(1)=e, ∴k≤e. 故选:C. 【知识点】利用导数研究函数的最值
5.已知函数 f(x)=f"(e)+xlnx,则 f(1)+f"(1)=(
)
A.1+e B.3 C.2+e D.2 【解答】解:根据题意,函数 f(x)=f"(e)+xlnx, 其导数 f′(x)=lnx+1,则 f′(e)=lne+1=2, 故 f(x)=2+xlnx,则 f(1)=2,f′(1)=1, 故 f(1)+f"(1)=3; 故选:B. 【知识点】导数的运算
6.曲线 y=x 2 和 y=2x+3 围成的封闭面积是(
)
A.
B.
C.10 D.
【解答】解:根据题意, ,解可得 x 1 =﹣1,x 2 =3, 则曲线 y=x 2 和 y=2x+3 围成的封闭面积 S= (2x+3﹣x 2 )dx=(x 2 +3x﹣ )
= ; 故选:A. 【知识点】定积分的应用
7.如图是函数 y=f(x)的导数 y=f"(x)的图象,则下面判断正确的是(
)
A.在(﹣3,1)内 f(x)是增函数
B.在 x=1 时 f(x)取得极大值
C.在(4,5)内 f(x)是增函数
D.在 x=2 时 f(x)取得极小值 【解答】解:根据题意,依次分析选项:
对于 A,在(﹣3,﹣ )上,f′(x)<0,f(x)为减函数,A 错误; 对于 B,在(﹣ ,2)上,f′(x)>0,f(x)为增函数,x=1 不是 f(x)的极大值点,B错误; 对于 C,在(4,5)上,f′(x)>0,f(x)为增函数,C 正确; 对于 D,在(﹣ ,2)上,f′(x)>0,f(x)为增函数,在(2,4)上,f′(x)<0,f(x)为减函数,则在 x=2 时 f(x)取得极大值,D 错误; 故选:C. 【知识点】利用导数研究函数的单调性
8.函数 f(x)=x 3 +ax 2 ﹣(3+2a)x+1 在 x=1 处取得极大值,则实数 a 的取值范围为(
)
A.(﹣∞,﹣3)
B.(﹣3,+∞)
C.(﹣∞,3)
D.(3,+∞)
【解答】解:f′(x)=3x 2 +2ax﹣(3+2a),f′(1)=0,f′(x)的一个零点为 x 1 =1, 由韦达定理可知,f′(x)的另一个零点为 , 因为 f(x)在 x=1 处取得极大值, 所以 f′(x)在 x=1 的左侧附近大于 0,右侧附近小于 0, 因为二次函数 f′(x)是开口向上的抛物线, 所以 x 1 <x 2 ,即 ,解得 a<﹣3. 故选:A. 【知识点】利用导数研究函数的极值
9.下列函数求导运算错误的个数为(
)
①(3 x )′=3 x log 3 e;②(log 2 x)′= ;③(ln2x)′= ;④( )′=x;⑤(e﹣ x )′=﹣e﹣ x
A.1 B.2 C.3 D.4 【解答】解:根据题意,依次分析各式的计算:
①(3 x )′=3 x ln3,错误; ②(log 2 x)′= ,正确; ③(ln2x)′= = ,错误;
④( )′= =﹣ ,错误; ⑤(e﹣ x )′=﹣e ﹣ x ,正确;其中计算错误的有:①③④; 故选:C. 【知识点】导数的运算
10.函数 f(x)=xe x +1 的单调递减区间是(
)
A.(﹣∞,1)
B.(1,+∞)
C.(﹣∞,﹣1)
D.(﹣1,+∞)
【解答】解:f′(x)=(x+1)e x , 当 x<﹣1 时,f′(x)<0,函数单调递减, 故选:C. 【知识点】利用导数研究函数的单调性
11.在直角坐标系中,设 O 为原点,M 为任意一点.定义:质点 M 的位置向量 关于时间的函数叫做质点M的运动方程.已知质点M的运动方程 ,则质点M在t=1时刻的瞬时速度为(
)
A.﹣10 B.
C.10 D.5 【解答】解:∵质点 M 的运动方程 ,即 s=﹣5t 2 , ∴s"=s"(t)=﹣10t, ∴当 t=1 时,s"(1)=﹣10, 故选:A. 【知识点】变化的快慢与变化率
12.已知定义在(0,+∞)上的函数 f(x),恒为正数的 f(x)符合 f(x)<f′(x)<2f(x),则 的取值范围为(
)
A.(e,2e)
B.
C.(e,e 3 )
D.
【解答】解:令 g(x)= ,x∈(0,+∞), ∵∀x∈(0,+∞),f(x)<f′(x), ∴g′(x)= = >0, ∴g(x)=
在区间(0,+∞)上单调递增, ∴g(1)= < =g(2), ∴ < ①;
再令 h(x)= ,x∈(0,+∞), ∵∀x∈(0,+∞),f′(x)<2f(x)恒成立, ∴h′(x)= = <0, ∴函数 h(x)在 x∈(0,+∞)上单调递减, ∴h(1)= > =h(2), ∴ > ②, 综上①②可得:
< < . 故选:D. 【知识点】利用导数研究函数的单调性
二、填空题:(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。)
13.若函数 f(x)=e x ﹣x 2 ﹣ax 在区间(0,+∞)单调递增,则 a 的取值范围是
﹣∞ ﹣
. 【解答】解:函数 f(x)=e x ﹣x 2 ﹣ax 在区间(0,+∞)单调递增, ∴f′(x)=e x ﹣2x﹣a≥0 在区间(0,+∞)上恒成立, 即 a≤e x ﹣2x 在区间(0,+∞)上恒成立, 令 y=e x ﹣2x 其在(0,+∞)上单调递增, ∴y′=e x ﹣2,当 y′=0 时 x=ln2, ∴0<x<lm2 时,y′<0 函数递减, x>ln2 时,y′>0;函数递增 ∴y min =e ln2 ﹣2ln2=2﹣2ln2, ∴a≤2﹣2ln2; 故答案为:(﹣∞,2﹣2ln2]. 【知识点】利用导数研究函数的单调性
14.已知函数 f(x)=xe x﹣ 1 ,则曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线方程为
﹣ . 【解答】解:f′(x)=xe x﹣ 1 +e x ﹣ 1
f′(1)=2,f(1)=1, 故切线方程是:y﹣1=2(x﹣1), 即 y=2x﹣1; 故答案为:y=2x﹣1. 【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
15.已知函数 f(x)=log a x(a>0 且 a≠1),f′(x)为 f(x)的导函数,且满足 f′(1)=1,则 a=
. 【解答】解:f(x)=log a x(a>0 且 a≠1),则 f′(x)= , ∴f′(1)= =1,
∴a=e, 故答案为:e 【知识点】导数的运算
16.已知函数 f(x)=2x+ +1,函数 g(x)=( )
x ﹣m,若对任意的 x 1 ∈[1,2],存在 x 2 ∈[﹣1,1],使得 f(x 1 )≥g(x 2 ),则实数 m 的取值范围为
﹣
. 【解答】解:对任意的 x 1 ∈[1,2],存在 x 2 ∈[﹣1,1], 使得 f(x 1 )≥g(x 2 ),等价于 f(x)
min ≥g(x)
min , 令 f′(x)=2﹣ =0,解得 x=1,且当 x>1 时,f′(x)>0, 则 f(x)在[1,2]上单调递增,所以 f(x)
min =f(1)=2+1+1=4, 又 g(x)在[﹣1,1]上单调递减,所以 g(x)
max =g(1)= ﹣m, 则 4≥ ﹣m,解得 m≥﹣ , 故答案为[﹣ ,+∞). 【知识点】利用导数研究函数的最值
三、解答题:(本题共 6 小题,共 70 分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)
17.求下列函数的导数. (1)y=3x 2 +xcosx; (2)f(x)= . 【解答】(1)f′(x)=6x+cos x﹣xsin x; (2)∵
∴ . 【知识点】导数的运算
18.已知 f(x)=2xlnx+x 2 +ax+3. (1)当 a=1 时,求曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线方程; (2)若存在 ,使得 f(x 0 )≥0 成立,求 a 的取值范围. 【解答】解:f"(x)=2(lnx+1)+2x+a. (1)当 a=1 时,f(x)=2xlnx+x 2 +x+3,f"(x)=2(lnx+1)+2x+1, 所以 f(1)=5,f"(1)=5, 所以曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线方程为 y﹣5=5(x﹣1),即 y=5x.
(2)存在 ,使得 f(x 0 )≥0 成立, 等价于不等式 在 有解. 设 ,则 , 当 时,h"(x)>0,h(x)为增函数;当 1<x<e 时,h"(x)<0,h(x)为减函数. 又 , ,故 , 所以当 时, , 所以 ,即 a 的取值范围为 . 【知识点】利用导数研究函数的最值、利用导数研究曲线上某点切线方程
19.已知函数 f(x)=|2x﹣a|. (1)当 a=2,求不等式 f(x)+|x|≤6 的解集; (2)设 f(x)+|x﹣1|+3x≤0 对 x∈[﹣2,﹣1]恒成立,求 a 的取值范围. 【解答】解:(1)当 a=2 时,f(x)+|x|≤6,即|2x﹣2|+|x|≤6, 当 x≤0 时,原不等式化为 2﹣2x﹣x≤6,得 ,即 ; 当 0<x≤1 时,原不等式化为 2﹣2x+x≤6,即 x≥﹣4,即 0<x≤1; 当 x>1 时,原不等式化为 2x﹣2+x≤6,得 ,即 . 综上,原不等式的解集为 . (2)因为 x∈[﹣2,﹣1],所以 f(x)+|x﹣1|+3x≤0,可化为|2x﹣a|≤﹣2x﹣1, 所以 2x+1≤2x﹣a≤﹣2x﹣1,即 4x+1≤a≤﹣1 对 x∈[﹣2,﹣1]恒成立, 则﹣3≤a≤﹣1,所以 a 的取值范围是[﹣3,﹣1]. 【知识点】利用导数研究函数的最值、绝对值不等式的解法
20.已知函数 f(x)=(x+1)e x +(a﹣1)x,其中 a∈R. (1)当 a=1 时,求 f(x)的最小值; (2)若 g(x)=f(x)﹣e x 在 R 上单调递增,则当 x>0 时,求证:
【解答】解:(1)当 a=1 时,f(x)=(x+1)e x ∴f"(x)=(x+2)e x , ∴当 x<﹣2 时 f"(x)<0,f(x)在(﹣∞,﹣2)上单调递减; 当 x>﹣2 时 f"(x)>0,f(x)在(﹣2,+∞)上单调递增. ∴ . (2)证明:∵g(x)=f(x)﹣e x =xe x +(a﹣1)x,
∴g"(x)=(x+1)e x +a﹣1≥0 恒成立, ∴a≥1﹣(x+1)e x 恒成立. 则由(1)可得:
. 又∵x>0, ∴f(x)=(x+1)e x +(a﹣1)x . 【知识点】利用导数研究函数的最值
21.已知函数 f(x)= ﹣4x+1. (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)当 x∈[﹣2,5]时,求函数 f(x)的最大值和最小值. 【解答】解:(1)f"(x)=(x﹣4)(x+1), 函数 f(x)单调递增区间是(﹣∞,﹣1)和(4,+∞), 函数 f(x)单调递减区间是(﹣1,4); (2)当 x∈[﹣2,﹣1]时,f"(x)>0,当 x∈[﹣1,4]时,f"(x)<0,当 x∈[4,5]时,f"(x)>0, 所以 , , , , 当 x=﹣1 时,函数 f(x)为 ,当 x=4 时,函数 f(x)的最小值为 . 【知识点】利用导数研究函数的最值、利用导数研究函数的单调性
22.已知函数 f(x)=lnx﹣ae x +1(a∈R). (1)当 a=1 时,讨论 f(x)极值点的个数; (2)若函数 f(x)有两个零点,求 a 的取值范围. 【解答】解:(1)当 a=1 时,f(x)=lnx﹣e x +1(x>0),则 f′(x)= ﹣e x , 显然 f′(x)在(0,+∞)上单调递减,又 f′( )=2﹣ >0,f′(1)=1﹣e<0, 所以 f′(x)在( ,1)上存在唯一零点 x 0 , 当 x∈(0,x 0 )时,f′(x)>0,当 x∈(x 0 ,+∞)时,f′(x)<0, 所以 x 0 是 f(x)的极大值点,且是唯一极值点; (2)令 f(x)=0,a= ,令 y=a,g(x)= ,则 y=a 与 g(x)的图象在(0,+∞)上有 2 个交点, g′(x)= (x>0),令 h(x)= ,则 h′(x)=﹣ ﹣ <0, 所以 h(x)在(0,+∞)上单调递减,而 h(1)=0, 故当 x∈(0,1)时,h(x)>0,即 g′(x)>0,g(x)单调递增,
当 x∈(1,+∞)时,h(x)<0,即 g′(x)<0,g(x)单调递减, 故 g(x)
max =g(1)= , 又 g( )=0,当 x>1 时,g(x)>0,作出图象如图:
由图可得:0<a< , 故 a 的取值范围是(0, ). 【知识点】利用导数研究函数的极值、函数的零点与方程根的关系
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改革开放大事记简表 (1978-2012年) 时间1978年12月18日至22日地点北京事件党的十一
【外国名著】 日期:2021-06-17
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山东省生产经营单位安全生产主体责任规定(2013年2月2日山东省人民政府令第260号公布根据2016
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【外国名著】 日期:2020-02-26
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白烛葵,花名,花语为“不感兴趣”。现又指《知音漫客》上连载漫画《极度分裂》里主要角色之一。下面小编为你整理了白烛葵的花语。欢迎阅读。 白烛葵的花语:不感兴趣 ...
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【外国名著】 日期:2019-05-31
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【外国名著】 日期:2020-09-18
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把脉人力资源管理的风向标 外部经营环境的巨大变化,不可避免地给身处其中的企业及其经营管理带来新的、深刻的变化和挑战:市场需求在明显萎缩;而买方市场中,客户要求
【外国名著】 日期:2019-09-04
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梧桐花为梧桐科植物梧桐的花,植物形态详梧桐子条。今天小编为你整理了梧桐花的花语,欢迎阅读。 梧桐花的花语是:情窦初开 在春季里晚开的花朵,有着恬淡的气息。 ...
【寓言童话】 日期:2020-03-03
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西部计划笔试题库(99题含答案) 1 第十三届全国人大三次会议表决通过了《中华人民共和国民法典》,自
【寓言童话】 日期:2021-06-16
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【寓言童话】 日期:2020-03-12
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年学生资助诚信教育主题活动方案
各二级学院(部): 为深入贯彻落实习近平总书记关于教育的重要论述,落实立德树人根本任务,增强当代大学
【寓言童话】 日期:2020-06-21
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【寓言童话】 日期:2020-08-31
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这些惊悚故事在短短的篇幅和时间之内让您感受到故事里传达出来的恐怖感,令你感到害怕。下面就是小编给大家整理的令人惊悚的故事,希望对你有用! 令人惊悚的故事篇1:学校...
【寓言童话】 日期:2019-05-13
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读《李光耀观天下》有感_李光耀观天下txt在线读
务实与真诚 ——读《李光耀观天下》有感 原创:雁过留声ly 购于北大,在出差的飞机和高铁上读完,这本《李光耀观天下》给予我很多启示。严格地说,这本书没有详
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自助餐简直就是拯救大胃王的最佳饮食!没有之一!世界上没有什么事情是吃一顿自助餐解决不了的,如果有,那就吃两顿!下面小编给大家推荐北京几家好吃的自助餐。 北京最好吃的...
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学生高考动员演讲稿3篇高考动员演讲稿11 老师们、同学们: 大家下午好!漫漫高考长征路已经进入尾声了
【百家讲坛】 日期:2021-09-22
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最新企业安全的演讲稿5篇 演讲稿是作为在特定的情境中供口语表达使用的文稿。在充满活力,日益开放的今天
【百家讲坛】 日期:2021-09-22
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XX镇扶贫项目实施专项整治工作总结 为深入贯彻精准扶贫精准脱贫基本方略,认真落实党中央、国务院,省委
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对乡镇领导班子干部成员批评意见例文
对乡镇领导班子干部成员的批评看法范文 一、对党委书记XXX同志的批评看法〔3条〕 1、与干部交流偏少
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党委书记在警示教育大会上的讲话55篇汇编 党委书记在警示教育大会上的讲话(一) 同志们: 根据省州委
【百家讲坛】 日期:2021-09-22
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关于12021年召开巡视整改专题民主生活会对照检查材料 按照中央巡视组要求和省、市、区委统一部署,区
【百家讲坛】 日期:2021-08-14
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消防安全知识培训试题姓名: 部门班组: 成绩: 一:填空题,每空4分,共44分。 1、灭火剂是通过隔
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疫情防控致全体师生员工及家长一封信
疫情防控致全体师生员工及家长的一封信 各位师生员工及全体家长朋友: 暑假已至,近期我省部分地方发现确
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