第四章,指数函数与对数函数单元测试（基础卷）（解析版）

时间：2021-01-06 10:13:27 来源：蒲公英阅读网 本文已影响人

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　人教版第一册第四章指数函数与对数函数单元测试 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

　一、单选题 1 ．4a 的 4 次方根是（

　 ）

　）

　A ． a

　B ． a 

　C ． a 

　D ． a

　【答案】C 【解析】

　【分析】

　根据偶次方根的定义可以直接求解. 【详解】

　4a 的 4 次方根是4 4a a  . 故选：C 【点睛】

　考查了偶次方根的定义,属于基础题. 2 ． 下列各式正确的是（

　））

　A ．8 8a a  B ．01 a  C ．44( 4) 4   

　D ．55( )      【答案】D 【解析】

　【分析】

　根式化简及零指数意义. 【详解】

　对于 A，8 8a a ，当 a 为负数时等式不成立，故 A不正确； 对于 B，01 a  ，当 0 a  时无意义，故 B 不正确； 对于 C，44( 4) 4    ，左边为正，右边为负，故 C 不正确； 对于 D，55( )      ，故 D正确. 故选：D. 【点睛】

　试卷第 2 页，总 21 页 根式化简注意根指数的奇偶性. 3 ． 设2log 3 a  ，13log 2 b ，20.4 c  ，则 a ， b ， c 的大小关系是（

　）

　）

　A ． a bc  

　B ． b a c  

　C ． a c b  

　D ． c a b  

　【答案】C 【解析】

　【分析】

　根据指数与对数函数的单调性，分别判定 a ， b ， c 大小，即可得出结果. 【详解】

　因为函数2log y x  在 (0, )  上单调递增，且 2 3  ， 所以2 2log 2 log 3  ，即21 log 3  ，所以 1 a  ， 因为函数13log y x 在 (0, )  上单调递减，且 2 1  ， 所以1 13 3log 2 log 1 0  ，即 0 b  ， 因为函数 0.4 x y  在 R 上单调递减，且 2 0  ， 所以2 00 0.4 0.4 1   ，即 0 1 c   ， 所以 a c b   ， 故选：C. 【点睛】

　本题主要考查比较对数与指数大小，熟记指数函数与对数函数单调性即可，属于基础题型. 4 ． 在同一直角坐标系中，函数1 1, log ( 02axy y x aa      且 1) a  的图象可能是（

　）

　）

　A ． B ．

　C ． D ．

　【答案】D 【解析】

　【分析】

　根据 a 的不同取值分类讨论，结合两函数所过的定点进行判断即可. 【详解】

　当 0 1 a   时，函数xy a  过定点 (0,1) 且单调递减，则函数1xya 过定点 (0,1) 且单调递增，函数1log2ay x    过定点1( ,0)2且单调递减，D 选项符合；当 1 a  时，函数xy a  过定点 (0,1) 且单调递增，则函数1xya 过定点 (0,1) 且单调递减，函数1log2ay x    过定点1( ,02）

　且单调递增，各选项均不符合. 故选：D 【点睛】

　本题考查了识别函数图象问题，考查了对数型函数和指数函数的图象，考查了分类讨论思想和数形结合思想. 5 ． 函数2| |( )2 2x xx xf x的部分图象大致是（

　）

　）

　A ． B ．

　C ． D ．

　【答案】B 【解析】

　试卷第 4 页，总 21 页 【分析】

　研究函数的奇偶性，排除 A，探究当 x 时，函数值的变化趋势，又排除一些选项，从而确定正确选项． 【详解】

　函数的定义域为 R ，因为2| |( ) ( )2 2x xx xf x f x  ，所以   f x 是偶函数，排除选项 A；当 x时，考虑到2| | y x x   和 2 2x xy  的变化速度，知 x 时，( ) 0 f x  ，故排除选项 C，D.所以选项 B 正确.． 故选：B． 【点睛】

　本题考查由函数解析式先把函数图象，解题时可通过研究函数的性质如奇偶性、单调性、对称性排除一些选项，再研究函数的特殊值，与坐标轴的交点坐标，函数值的正负，函数值的变化趋势等排除选项，从而得出正确结论． 6． ．20 世纪 30 年代，里克特制定了一种表明地震能量大小的尺 度，就是使用测震仪衡量地震能力的等级，地震能力越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级 M . 其计算公式为0lg lg M A A   ，其中 A 是被测地震的最大振幅，0A 是标准地震的振幅，5 级地震已经给人的震感已比较明显，8 级地震的最大振幅是 5 级地震的最大振幅的（

　）

　）

　A． ．30 倍 B ． lg30 倍 C． ．100 倍 D． ．1000 倍 倍 【答案】D 【解析】

　【分析】

　设 8 级地震的最大振幅为1A ，5 级地震的最大振幅为2A ，由1 08 lg lg A A   和2 05 lg lg A A   易得1A 和2A 的倍数关系. 【详解】

　解：设 8 级地震的最大振幅为1A ，5 级地震的最大振幅为2A ， 则：

　   11 2 1 0 2 02lg lg lg lg lg lg lg 8 5 3AA A A A A AA         ， 所以12310 1000AA . 故选：D.

　【点睛】

　考查对数的运算以及指数式和对数式的互相转化，基础题. 7 ． 函数  4xf x e x    的零点所在的区间为（

　）

　）

　A ． (1,2)

　B ． ( 1,0) 

　C ． (0,1)

　D ． (2,3)

　【答案】A 【解析】

　【分析】

　先判断函数的单调性，再结合零点存在性定理，即可判断出零点所在的区间. 【详解】

　因为函数xy e  与 yx 在 R 上均是单调增函数， 所以函数   4xf x e x    是 R 上的单调增函数， 因为 (1) 1 4 3 0 f e e       ，2 2(2) 2 4 2 0 f e e       ， 又函数( ) f x 的图象连续不间断， 所以函数( ) f x 的零点所在的区间为 (1,2) . 故选：A 【点睛】

　本题主要考查函数零点存在性定理的应用，属于基础题. 8 ． 已知定义在 R 上的函数  y f x  对任意的 x 都满足   2 ( ) f x f x   ，当 1 1 x    时， 3f x x  ．若函数     log a g x f x x   有 恰有 6 个不同零点，则 a 的取值范围是（

　）

　）

　A ．  1 1, 5,77 5   B ．  1 1, 5,75 3   C ．  1 1, 3,55 3   D ．  1 1, 3,57 5   【答案】A 【解析】

　【分析】

　根据题意作出   y f x  与 log a y x  的图像，讨论当 1 a  时，log 5 1log 7 1aa ，当 0 1 a   ，

　试卷第 6 页，总 21 页 log 5 1log 7 1aa   ，分别解不等式组即可求解. 【详解】

　由条件可知函数     log a g x f x x   恰有 6个不同的零点， 转化为   y f x  与 log a y x  恰有 6 个不同的交点， ∵     2 f x f x   ， ∴   y f x  的周期 2 T  ，且   1,1 x  时，  3f x x  ， log a y x  是偶函数， 图象关于 y 轴对称， 如图，在同一坐标系下画出函数   y f x  和 log a y x  的图象， ①当 1 a  时， log a y x  的图象如图所示， y 轴左侧有 4 个交点，右侧有 2个交点，

　此时应满足log 5 1log 7 1aa ，解得 5 7 a   ； ②当 0 1 a   时，   y f x  与 log a y x  在 y 轴左侧有 2 个交点， 右侧有 4 个交点，

　此时应满足log 5 1log 7 1aa    ，解得：1 17 5a   ； 综上可知， a 的取值范围是  1 1, 5,77 5  ．

　故选：A 【点睛】

　本题考查了根据零点个数求参数的取值范围，考查了数形结合的思想以及分类与整合的思想，属于中档题.

　二、多选题 9 ．设 设 a ，b ，c 都是正数，且 4 6 9a b c ，那么（

　）

　）

　A ． 2 ab bc ac  

　B ． ab bc ac  

　C ．2 2 1c a b 

　D ．1 2 1c b a 

　【答案】AD 【解析】

　【分析】

　利用与对数定义求出 a ， b ， c ，再根据对数的运算性质可得 log 4 log 9 2log 6M M M  ，然后进行化简变形即可得到. 【详解】

　由于 a ， b ， c 都是正数，故可设 46 9a b cM   ， 4log a M  ，6log b M  ，9log c M  ，则1log 4Ma ，1log 6Mb ，1log 9Mc . log 4 log 9 2log 6M M M  ， 1 1 2a c b  ，即1 2 1c b a  ，去分母整理得， 2 ab bc ac   . 故选 AD. 【点睛】

　本题考查对数的定义及运算性质，属于基础题. 10 ． 己知函数  2 12 1xxf x，下面说法正确的有（

　）

　）

　A ．   f x 的图像关于原点对称 B ．   f x 于 的图像关于 y 轴对称 C ．   f x 的值域为  1,1 

　D ．1 2, x x R   ，且1 2x x  ，   1 21 20f x f xx x 【答案】AC 【解析】

　试卷第 8 页，总 21 页 【分析】

　依次判断每个选项：判断奇偶性得出 A正确，B 错误；利用换元法求( ) f x 的值域，可得出 C 正确；判断函数单调递增可得出 D正确，进而可得出答案. 【详解】

　对于选项 A， 2 12 1xxf x，定义域为 R ，则2 1 1 2( ) ( )2 1 1 2x xx xf x f x     ， 则( ) f x 是奇函数，图象关于原点对称，故 A正确； 对于选项 B，计算  2 1 112 1 3f ，    11121 11312f f    ， 故( ) f x 的图象不关于 y 轴对称，故 B 错误； 对于选项 C，2 1 2( ) 12 1 1 2xx xf x   ，令   , 1 1 2 ,xt t    ，2( ) 1 y f xt   ， 易知 ( ,21 ) 1 1t   ，故 ( ) f x 的值域为 ( 1,1)  ，故 C 正确； 对于选项 D，2 1 2( ) 12 1 1 2xx xf x   ，令   , 1 1 2 ,xt t    ，2( ) 1 y f xt   ， 函数 1 2 x t   在 R 上单调递增，且21 yt  在   1, t  上单调递增， 根据复合函数的单调性，可知2( ) 11 2 xf x  在 R 上单调递增， 故1 2, x x R  ，且1 2x x  ，   1 21 20f x f xx x不成立，故 D错误. 故选：AC. 【点睛】

　本题考查了函数的奇偶性，单调性，值域，意在考查学生对于函数知识的综合应用，属于中档题. 11 ． 下列选项中说法正确的是（

　）

　A ． 函数    22log 2 f x x x  的单调减区间为   ,1 

　B ． 幂函数   f xmx   过点1 2,2 2    ，则32m   

　C ． 函数   y f x  的定义域为  1,2 ，则函数   2 x y f  的定义域为   2,4

　D ． 若函数    2lg 5 4 f x ax x    的值域为 R ，则实数 a 的取值范围是250,16    【答案】BD 【解析】

　【分析】

　对于 A选项：由对数函数的定义域和复合函数的单调可判断；对于 B 选项：由幂函数的定义和函数过的点可判断；对于 C 选项：由复合函数的定义域可判断；对于 D选项：由对数函数的值域可判断. 【详解】

　对于 A选项：由22 >0 x x 得 >2 x 或 0 x  ，所以    22log 2 f x x x  中函数的定义域为    0 2   ， ， ，又函数22 t x x  在   ,1  上单调递减，函数2log y t  在   0,   上单调递增，所以函数    22log 2 f x x x  的单调减区间为   ,0  ，故 A不正确； 对于 B 选项：因为幂函数   f x mx   过点1 2,2 2    ，所以2212m   ，且 1 m  ，解得12  ，所以32m    ，故 B 正确； 对于 C 选项：因为函数   y f x  的定义域为  1,2 ，所以 12 2x ，解得 0 1 x   ，所以函数 2 x y f 的定义域为   0,1 ，故 C 不正确； 对于 D选项：因为函数    2lg 5 4 f x ax x   的值域为 R ， 所以当 0 a  时，     lg 5 4 f x x   ，满足其值域为 R ， 当 0 a  时，需 >0 a 且25 16 0 a     ，解得25016a   ， 所以实数 a 的取值范围是250,16   ，故 D正确， 故选：BD. 【点睛】

　本题考查函数的定义域，复合函数的单调性，对数函数的值域和幂函数的定义，属于中档题. 12 ． 已知偶函数   f x 对任意 xR 都有     12 12 0 f x f x     ，当   0,12 x 时，  22 ,0 2lg 2 ,2 12x x xf xx x       ，实数ix 是关于 x 的方程     1,2,3,... f x m i   的解，且ix 互不相等. 则下列说法正确的是（

　）

　）

　试卷第 10 页，总 21 页 A ．   f x 是 的最小正周期是 12 B ．   y f x  图象的对称轴方程为12 x k  ， k Z 

　C ． 当 1 m > 时，关于 x 的方程  f x m  在   0,12 x 上有唯一解 D ． 当 0 m  时，存在1x ，2x ，3x ，4x ，使得1 2 3 4x x x x    为 的最小值为 0 【答案】BCD 【解析】

　【分析】

　选项A求出函数的最小正周期为24，判断选项A错误；选项B求出函数图象关于直线   12 x x k Z  对称，判断选项 B 正确；选项 C 先结合   22 ,0 2lg 2 ,2 12x x xf xx x       的单调性和图像判断当 1 m >时，关于 x 的方程   f x m  在   0,12 x 上只有唯一解，从而判断选项 C 正确；选择 D先判断当0 m  时，总能找到两两关于 y 对称的四个零点，使得1 2 3 40 x x x x     ，再判断若 4 个零点不关于 y 对称时，1 2 3 40 x x x x     ，从而判断选项 D正确. 【详解】

　选项 A：因为函数是偶函数，且     12 12 f x f x    ，当   0,12 x 时，函数   f x 无轴对称性，所以函数的最小正周期为 24，故选项 A错误； 选项 B：因为 0 x  是函数的对称轴，且     12 12 f x f x    ，所以函数图象关于直线  12 x x k Z   对称，故选项 B 正确； 选项 C：当   0,12 x 时，结合   22 ,0 2lg 2 ,2 12x x xf xx x       的单调性和图像可知，当 1 m > 时，关于 x 的方程   f x m  在   0,12 x 上只有唯一解，故选项 C 正确； 选择 D：当 0 m  时，总能找到两两关于 y 对称的四个零点，使得1 2 3 40 x x x x     ，若 4 个零点不关于 y 对称时，1 2 3 40 x x x x     ，故选项 D正确.

　故选：BCD. 【点睛】

　本题考查函数的周期性、函数的对称性、函数的零点，是中档题.

　 三、填空题 13 ． 若函数( ) y f x  与10 x y  互为反函数，则  22 y f x x  的单调递减区间是________. 【答案】

　( ,0) 

　【解析】

　【分析】

　由反函数求出( ) f x 解析式，进而求出其单调性，结合二次函数的性质及复合函数单调性的性质，可求出所求的单调递减区间. 【详解】

　解：由题意知，10( ) log lg f x x x   在   0,   上单调递增，设  22 g x x x   ， 令22 0 x x  ，解得 0 x  或 2 x  ，由二次函数的性质，   g x 在   ,0  单调递减， 在   2, 上单调递增.则  22 y f x x  的单调递减区间是   ,0  . 故答案为:   ,0  . 【点睛】

　本题考查了反函数的应用，考查了函数单调性的求解.本题的易错点是忽略了函数的定义域. 14 ． 化简：11 2 30 7 2 10     __________. 【答案】6 2  【解析】

　【分析】

　将二次根式的被开方数化为完全平方式，然后利用根式的性质可计算出结果. 【详解】

　原式       2 2 2 26 2 6 5 5 5 2 5 2 2            2 26 5 5 2 6 5 5 2 6 5 5 2 6 2              .

　试卷第 12 页，总 21 页 故答案为：6 2 . 【点睛】

　本题考查根式的化简计算，解题的关键就是将二次根式的被开方数化为完全平方的形式，考查计算能力，属于基础题. 15 ．用二分法求函数 f(x) ＝3 x －x －4 的一个零点，其参考数据如下：

　f(1.600 0)≈0.200

　f(1.587 5)≈0.133

　f(1.575 0)≈0.067

　f(1.562 5)≈0.003

　f(1.556 2)≈ －0.029

　f(1.550 0)≈ －0.060

　据此数据，可得方程 3 x －x －4 ＝0 的一个近似解为________( 精确到 0.01) 【答案】1.56 【解析】

　注意到 f(1.5562)＝－0.029 和 f(1.5625)＝0.003，显然 f(1.5562)f(1.5625)＜0，故区间的端点四舍五入可得 1.56. 16． ． 已知函数    3 2 4 , 1log , 1aa x a xf xx x    对任意不相等的实数1x ，2x ，都有   1 21 20f x f xx x，则 a 的取值范围为______. 【答案】2 2,7 3   【解析】

　【分析】

　首先根据题意得到   f x 在 R 上为减函数，从而得到3 2 00 13 2 4 log 1aaaa a     ，再解不等式组即可. 【详解】

　由题知：对任意不相等的实数1x ，2x ，都有   1 21 20f x f xx x， 所以   f x 在 R 上为减函数， 故3 2 00 13 2 4 log 1aaaa a     ，解得：2 27 3a   .

　故答案为：2 2,7 3   【点睛】

　本题主要考查分段函数的单调性，同时考查了对数函数的单调性，属于简单题.

　四、解答题 17 ． 求下列各式的值. （ （1）

　）   210 300.25 3 4351.8 2019 27 2

　3 39     . （ （2）

　）7log 52 2 9814log log 7 log 3.43  

　(3)2 22lg5 lg8 lg5 lg20 lg 23   

　(4)27 64 9 4log 32 log 27 log 2 log 27   

　】

　【答案】（1）

　2  ；（2）294. 【解析】

　【分析】

　（1）利用指数幂的运算性质即可求出； （2）运用对数的运算性质即可得出. 【详解】

　（1）原式( )11 221 13 334 49 51 3 3 15 9-轾骣 骣犏琪 琪 = ? ? - 犏琪 琪桫 桫 犏臌 1 13 35 53 1 29 9骣 骣琪 琪 = - + - =-琪 琪桫 桫； （2）原式( ) 2 2 214log 3 log 81 log 4 54= - - + +

　2 21 294log 3 4log 3 2 54 4= - + + + = . （3）

　 2 2 2 3 2 22 2lg5 lg8 lg5 lg20 lg 2 lg5 lg2 lg5 lg5 lg2 lg 23 3         

　   22 222lg5 3lg2 lg 5 2lg5lg2 lg 2 2 lg5 lg2 lg5 lg23          2 1 3    . （4）27 64 9 4lg32 lg27 lg2 lg 27log 32 log 27 log 2 log 27lg27 lg64 lg9 lg4      

　试卷第 14 页，总 21 页 3lg3lg32 lg 27 5lg22lg64 2lg9 6lg2 2 2lg3    5 3 296 8 24   .

　【点睛】

　本题考查了指数幂与对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题. 18 ． 在 ①  22 1xf x a  ， ②   24log f x x a x    ， ③    33log 1 , 0log 1 , 0x xf xax x      ，这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答. 已知______ ，若函数   f x 为奇函数，且函数   y f ax m   的零点在区间   2,3  内，求 m 的取值范围. 【答案】条件选择见解析，答案见解析. 【解析】

　【分析】

　分别对条件①②③逐个分析，利用函数是奇函数，确定出 a 的值，之后可以判断出函数是 R 上的增函数，从而得到其零点只能是 0，从而求得结果. 【详解】

　选①∵   f x 是奇函数，∴  2 2( ) 02 1 2 1x xf x f x a a       ， 得 1 a  . ∴2( ) 12 1xf x  ，易知   f x 在 R 上是增函数， ∴   f x 有唯一零点 0. ∵函数   y f x m   的零点在区间   2,3  内，∴ 0 x m   在   2,3  上有解， ∴ m x  ，即   2,3 m  ； 选② ∵   f x 是奇函数，∴       2 24 4log log 0 f x f x x a x x a x          ， 得 1 a  . ∴   24log 1 f x x x    ，易知   f x 在 R 上是增函数， ∴   f x 有唯一零点 0.

　∵函数   y f x m   的零点在区间   2,3  内，∴ 0 x m   在   2,3  上有解， ∴ m x  ，即   2,3 m 

　选③ 当 0 x  时， 0 x   ，∴    3log 1 f x x     ， ∵函数   f x 是定义在 R 上的奇函数，∴    3log 1 f x x     ， ∴     3log 1 0 f x x x     ，得 1 a   . ∴    33log 1 , 0log 1 , 0x xf xx x       ，易知   f x 在 R 上是增函数， ∴   f x 有唯一零点 0. ∵函数   y f x m    的零点在区间   2,3  内∴ 0 x m    在   2,3  上有解， ∴ m x  ，即   3,2 m  . 【点睛】

　该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有利用奇函数确定参数的值，根据解析式判断函数的单调性，根据函数的零点求参数的取值范围，属于简单题目. 19． ．过 某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过 10 万元时，按销售利润的 15%过 进行奖励；当销售利润超过 10 万元时，若超出 A 万元，则超出部分按52log ( 1) A 进行奖励. 记奖金为 y （单位：万元），销售利润为 x （单位：万元）. （ （1 ）写出该公司激励销售人员的奖励方案； （ （2 ）如果业务员小王获得了 3.5 万元的奖金， 那么他的销售利润是多少万元？ 】

　【答案】（1） 50.15 ,0 101.5 2log 9 , 10x xyx x     ；（2）14万元. 【解析】

　【分析】

　（1）根据题意，分别写出 0 10 x   ， 10 x  对应的解析式，即可得出结果； （2）根据（1）的结果，直接计算，即可得出结果. 【详解】

　（1）由题意，当 0 10 x   时，奖金 15% 0.15 y x x   ； 当 10 x  时，    5 515% 10 2log 10 1 1.5 2log 9 y x x         ；

　试卷第 16 页，总 21 页 即该公司激励销售人员的奖励方案为：

　 50.15 ,0 101.5 2log 9 , 10x xyx x     ； （2）由（1）知，当 0 10 x   时， 0 0.15 1.5 x   ， 因为业务员小王获得 35万元的奖金，即 3.5 y  ，所以 10 x  . 因此51.5 2log ( 9) 3.5 x    ，解得 14 x  . 所以业务员小王的销售利润是 14 万元. 【点睛】

　本题主要考查分段函数模型的应用，属于基础题型. 20 ． 已知函数  lg 2af x xx     ，其中 a 是大于 0 的常数． （ （1 ）求函数   f x 的定义域； （ （2 ）当  1,4 a时，求函数   f x 在   2, 上的最小值； （ （3 ）若对任意   2, x  恒有   0 f x  ，试确定实数 a 的取值范围． 】

　【答案】（1）答案见解析；（2）

　lg2a；（3）

　  2, ． 【解析】

　【分析】

　（1）根据分类讨论法，分 1 a  ， 1 a  ， 0 1 a   三种情况，解不等式220x x ax  ，即可得出结果； （2）先判断函数单调性，进而可得出函数在给定区间的最值； （3）由题意，得到23 a x x   在  2, x  上恒成立，令  23 h x x x   ，   2, x  ，求出其最大值，即可得出结果． 【详解】

　（1）由 2 0axx   ，得220x x ax  . ①当 1 a  时，  222 1 1 0 x x a x a        恒成立，所以   f x 的定义域为   0,   ； ②当 1 a  时，不等式可化为 210xx，所以 0 x  且 1 x  ，所以   f x 的定义域为

　    0,1 1, ； ③当 0 1 a   时，由220x x ax  可得：22 00x x ax   或22 00x x ax   ，解得：0 1 1 x a    或1 1 x a   ，即函数   f x 的定义域为     0,1 1 1 1 , a a       ； 综上，当 1 a  时，   f x 的定义域为   0,   ； 当 1 a  时，   f x 的定义域为     0,1 1, ； 当 0 1 a   时，   f x 的定义域为     0,1 1 1 1 , a a       ； （2）设   2ag x xx   ，则  21ag xx  ， 当  1,4 a，   2, x  时，显然  21 0ag xx   ， 所以   2ag x xx   在   2, 上是增函数； 因此   lg 2af x xx     在   2, 上是增函数； ∴    min22 lg 2 2 l2ga af x f       ； （3）若对任意   2, x  恒有   0 f x  ， 则 2 1axx   对任意   2, x  恒成立．∴23 a x x   在  2, x  上恒成立． 设  23 h x x x   ，   2, x  ， 则  23 h x x x   是开口向下，对称轴为32x  的二次函数， 所以  23 h x x x   在   2, x  上单调递减， 因此    max2 2 h x h   ， 即实数 a 的取值范围是   2, ． 【点睛】

　本题主要考查求具体函数的定义域，考查求函数在给定区间的最值，以及由不等式恒成立求参数的问题，涉及分类讨论法解不等式，以及导数的方法判定函数单调性，属于常考题型. 21 ． 土豆学名马铃薯，与稻、麦、玉米、高粱一起被称为全球五大农作物. 云南人爱吃土豆，在云南土豆 也称洋芋，昆明人常说 “ 吃洋芋，长子弟” ”. 2018 年 3 月，在全国两会的代表通道里，云南农业大学名誉校长朱有勇院士，举着一个两公斤的土豆，向全国的媒体展示，为来自家乡的 “ 山货 ”

　试卷第 18 页，总 21 页 代言，他自豪地说：

　“ 北京人吃的醋溜土豆丝， 5 盘里有 4 盘是我们澜沧种的！

　” （ （1：

　）在菜市上，听到小王叫卖：

　“ 洋芋便宜卖了，两元一斤，三元两斤，四元三 斤，五元四斤，六元五斤，快来买啊！

　” 结果一群人都在买六元五斤的. 由此得到如下结论：一次购买的斤数越多，单价越低，请建立一个函数模型，来说明以上结论； （ （2：

　）小王卖洋芋赚到了钱，想进行某个项目的投资，约定如下：

　① 投资金额固定； ② 投资年数可自由选择，但最短 3 年，最长不超过 10 年； ③ 投资年数  *x xN与总回报 y 的关系，可选择下 述三种方案中的一种：方案一：当 3 x  时， 6 y 

　 ，以后 x 每增加 1 时， y 增加 2 ；方案二：213y x  ；方案三： 33xy  . 请你根据以上材料， 结合你的分析，为小王提供一个最佳投资方案. 】

　【答案】（1）

　   *11 5,xf x x xx   N ；（2）答案见解析. 【解析】

　【分析】

　（1）设顾客一次购买 x 斤土豆，每斤土豆的单价为   f x 元，根据题意可得出   *11 5,xf x x xx   N ，化为  11 f xx  ，利用该函数的单调性可得出结论； （2）求出方案一中函数模型的解析式，列表得出三种方案所有年数的总回报，根据表格中的数据可得出结论. 【详解】

　（1）设顾客一次购买 x 斤土豆，每斤土豆的单价为   f x 元， 由题意知：

　   *11 5,xf x x xx   N ， 因为  1 11xf xx x   ，所以   y f x  在   1,5 为单调递减函数. 说明一次购买的斤数越多，单价越低； （2）根据题意，按照年数的不同取值范围，选出总回报最高的方案. 由题意可知方案一对应的解析式为：

　  6 3 2 2 y x x      . 列表得出三种方案所有年数的总回报，可以精确得出任意年数三种方案对应总回报的大小关系，进而可得出如下结论：

　投资年数 x

　总回报 y

　3

　4

　5

　6

　7

　8

　9

　10

　方案一 6

　8

　10

　12

　14

　16

　18

　20

　方案二 3

　163 253 12

　493 643 27

　1003 方案三 3

　343 533 9

　373 833 27

　1033

　当投资年数为 3 ~ 5 年时，选择方案一最佳； 当投资年数为 6 年时，选择方案一或方案二最佳； 当投资年数为 7 年或 8 年时，选择方案二最佳； 当投资年数为 9 年时，选择方案二或方案三最佳； 当投资年数为 10 年时，选择方案三最佳. 【点睛】

　本题考查函数模型的选择，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 22． ． 已知函数2( ) 2 1 ( 0) g x ax ax b a      在区间[2， ，3] 上有最大值 4 和最小值 1 ，设( )( )g xf xx . （ （1 ）求 a ， b 的值 （ （2 ）若不等式  2 2log 2 log 0 f x k x    在   2,4 x 上有解，求实数 k 的取值范围； （ （3 ）若  22 1 3 02 1xxf k k     有三个不同的实数解，求实数 k 的取值范围. 】

　【答案】（1）

　1, 0 a b   ；（2）1,8  ；（3）

　(0, )  ． 【解析】

　【分析】

　（1）判断函数在 [2,3] 上的单调性，得出最大值和最小值，由此可求得 , a b ； （2）设2log [1,2] t x   ，利用分离参数法，题中问题为221 2 12 1 1 kt t t       在 [1,2] t 上有解，求出21 21t t  的最大值即可得． （3）把方程化简，并设 2 1xt  ，方程化为2(3 2) (2 1) 0 t k t k      ，结合2 1xt  图象，方程2(3 2) (2 1) 0 t k t k      有两个实数解1 2, t t ，则有10 1 t   ，21 t  ，或10 1 t   ，21 t  ，利用二次方程根的分布知识求得 k 的范围． 【详解】

　试卷第 20 页，总 21 页 （1）由题意2( ) ( 1) 1 g x a x b a      ，又 0 a  ，∴ ( ) g x 在 [2,3] 上单调递增， ∴(2) 4 4 1 1(3) 9 6 1 4g a a bg a a b         ，解得10ab ． （2）由（1）2( ) 2 1 g x x x    ，( ) 1( ) 2g xf x xx x    ， [2,4] x 时，2log [1,2] x ，令2log t x  ，则 ( ) 2 0 f t kt   在 [1,2] 上有解， 1( ) 2 2 2 0 f t kt t ktt      ，∵ [1,2] t ，∴221 2 12 1 1 kt t t       ， [1,2] t ，则 11,12 t   ，∴211t   的最大值为14， ∴124k  ，即18k  ． ∴ k 的取值范围是1,8  ． （3）原方程化为22 1 (3 2) 2 1 (3 1) 0x xk k        ， 令 2 1xt  ，则 (0, ) t  ，2(3 2) (3 1) 0 t k t k      有两个实数解1 2, t t ， 作出函数 2 1xt  的图象，如图

　原方程有三个不同的实数解，则10 1 t   ，21 t  ，或10 1 t   ，21 t  ， 记2( ) (3 2) (3 1) 0 h t t k t k       ， 则2 1 0(1) 0kh k    ，解得 0 k  ， 或2 1 0(1) 03 20 12kh kk     ，无解．

　综上 k 的取值范围是 (0, )  ． 【点睛】

　本题考查函数的单调性，考查不等式有解，考查根据函数零点求参数范围问题，解题关键是掌握利用零点存在定理构建不等式求解，分离参数后转化为函数函数的最值，涉及到几个零点时，还要老考虑函数图象与直线的交点个数，本题考查了分析问题与解决问题的能力，考查运算求解能力．