专题04数列劣构性解答题突破B辑(解析版)
2021 年 高考 数学 压轴必刷题 (第三 辑)
)
专题 04 数列劣构性解答题突破 B 辑 1.在①102nnaa ,②16 6 1n na a ,③18n na a n 这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并解答. 问题:设nS 是数列 na 的前 n 项和,且14 a ,______,求 na 的通项公式,并判断nS 是否存在最大值,若存在,求出最大值;若不存在,说明理由. 【答案】选①:312nna ,存在,最大值 4;选②:1 256 6na n ,存在,最大值 50;选③:217 242nn na ,不存在,理由见解析. 选①:因为102nnaa ,即112nnaa ,14 a , 所以数列 na 是首项为 4、公比为12 的等比数列,1 31 142 2n nna , 当 n 为奇数时,14 128 1113 212nnnS , 因为8 113 2 n 随着 n 的增大而减小,所以此时nS 的最大值为14 S ; 当 n 为偶数时,14 128 1113 212nnnS ,且8 1 81 43 2 3nnS , 综上,nS 存在最大值,且最大值为 4. 选②:因为16 6 1n na a ,即116n na a ,14 a , 所以 na 是首项为 4、公差为16 的等差数列, 1 1 254 16 6 6na n n , 1 2506 6n ,解得 25 n ,240 a ,250 a , 故nS 存在最大值,且最大值为25S 或24S ,
2525 24 14 25 502 6S ,nS 的最大值为 50. 选③:因为18n na a n ,所以18n na a n , 所以2 17 a a ,3 26 a a ,…,19n na a n , 则 21 1 1 2 2 17 9 1 17 162 2n n n n nn n n na a a a a a a a , 因为14 a ,所以217 242nn na , 当 16 n 时, 0na ,故nS 不存在最大值. 2.在①3 2 5 25 6 a a a b , ;②2 3 4 32 3 b a a b , ;③3 4 5 29 8 S a a b , ,这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解答. 已知等差数列 na 的公差为 1 d d ,前 n 项和为nS ,等比数列 nb 的公比为 q,且1 1a b d q , ,____________. (1)求数列 na , nb 的通项公式. (2)记nnnacb,求数列 nc ,的前 n 项和nT .注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分. 【答案】(1)见解析(2)见解析 方案一:选条件① (1)3 2 5 2 1 15 6 1 a a a b a b d q d , + , , ,
11 12 52 5 6a da d a d 解得112ad 或1256512ad (舍去)
112bq 1–1nn d +
2 1 n
1 112n nnb bq- -= =
(2)nnnacb 112 1 1(2 1) ( )2 2nnnnc n
2 2 11 1 1 11 3 5 (2 3) (2 1)2 2 2 2n nnT n n 2 3 11 1 1 1 1 13 5 (2 3) (2 1)2 2 2 2 2 2n nnT n n 2 11 1 1 1 11 2 (2 1)2 2 2 2 2n nnT n 11 112 211 2 (2 1)1212nnn 13 (2 3)2nn 116 (2 3)2nnT n 方案二:选条件② (1)2 3 4 3 1 12, 3 , , , 1 b a a b a b d q d
121 122 5 3a da d a d 1122 5 6a da d d
解得112ad 或112ad (舍去)
112bq 1( 1)
=na a n d
=2n-1
1 112n nnb bq- -= =
(2)nnnacb 112 1 1(2 1) ( )2 2nnnnc n
2 2 11 1 1 11 3 5 (2 3) (2 1)2 2 2 2n nnT n n 2 3 11 1 1 1 1 13 5 (2 3) (2 1)2 2 2 2 2 2n nnT n n 2 11 1 1 1 11 2 (2 1)2 2 2 2 2n nnT n 11 112 211 2 (2 1)1212nnn 13 (2 3)2nn 116 (2 3)2nnT n
方案三:选条件③ 3 4 5 2 1 19, 8 , , , 1 S a a b a b d q d
11 132 7 8a da d a d 解得112ad 或121838ad (舍去)
112bq 1( 1)na a n d
2 1 n
11nnb bq
12 n (2)nnnacb 112 1 1(2 1)2 2nnnnc n 2 2 11 1 1 11 3 5 (2 3) (2 1)2 2 2 2n nnT n n 2 3 11 1 1 1 1 13 5 (2 3) (2 1)2 2 2 2 2 2n nnT n n 2 11 1 1 1 11 2 (2 1)2 2 2 2 2n nnT n 11 112 211 2 (2 1)1212mnn 13 (2 3)2nn 116 (2 3)2nnT n 3.在①113 a ,105 S ;②37 a ,75 a ;③330 S ,535 S 这三个条件中任选一个,回答下列问题,已知等差数列 na 满足________. (1)求数列 na 的通项公式; (2)求数列 na 的前 n 项和nS ,以及使得nS 取得最大值时 n 的值. 【答案】(1)选条件① 16 3na n ,选条件② 16 3na n ,选条件③ 16 3na n ,(2)229 32nn nS ;5 n 时,nS 最大为. (1)选条件①,
因为数列 na 是等差数列,设公差为 d , 由110 11310 910 52aS a d 解得:
3 d , 所以 13 ( 1) 3 16 3na n n , 选条件②, 因为数列 na 是等差数列,设公差为 d , 3 17 12 76 5a a da a d 解得:1133ad
所以 13 ( 1) 3 16 3na n n , 选条件③, 因为数列 na 是等差数列,设首项为1a ,公差为 d , 由3 15 13 23 3025 45 352S a dS a d 即11102 7a da d ,解得1133ad , 所以 13 ( 1) 3 16 3na n n
(2)由(1)知 16 3na n , 21 29 32 2nna an nS n, 令 16 3 0na n ,可得 5 n , 令 16 3 0na n ,可得 6 n , 所以 na 前 5 项都是正值,从第 6 项起是负值, 故当 5 n 时,nS 最大. 2529 5 3 5352S . 4.已知nS 是等差数列 na 前 n 项和,30, 15na S ,公差 1 d 且
从“①21 a 为11 a 与31 a 的等比中项” ,“②等比数列 nb 的公比1 2 3 31, ,2q b a b a ”这两个条件中,选择一个补充在上面问题中的划线部分,使得符合条件的数列 na 存在并作答.
(1)求数列 na 的通项公式; (2)设数列11n na a 的前 n 项和为nT ,求nT . 【答案】(1)答案见解析;(2) 3 2 3nnTn. 解:(1)若选①,21 a 为11 a 与31 a 的等比中项,则 21 3 21 1 1 a a a , 由 na 为等差数列,315 S ,得23 15 a 25 a
把25 a 代入上式,可得 4 6 16 d d ,即22 8 0 d d 解得 2 d 或 4 d ,又因为公差 1 d ,故 2 d , 13 a ,故 2 1na n ; 若选②,等比数列 nb 的公比,1 2 3 31, ,2q b a b a
可得23 1b bq ,即23 212a a ,即有 1 1124a d a d 即13 7 0 a d , 又315 S ,可得113 3 2 152a d ,即15 a d , 解方程得1514d ,不符合题意,故选①, 此时 2 1na n ; (2)因为 2 1na n ,所以 11 1 1 1 12 1 2 3 2 2 1 2 3n na a n n n n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1···2 3 5 5 7 2 1 2 3 2 3 2 3 3 2 3nnTn n n n . 5.在①2 3 5 1a a a b ,②2 3 72 a a a ,③315 S 这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解答.已知等差数列 na 的公差 0 d ,前 n 项和为nS ,若_______,数列 nb 满足11 b ,213b ,1 1 n n n na b nb b . (1)求 na 的通项公式; (2)求 nb 的前 n 项和nT .
【答案】(1)选①:
3 1na n ;选②:
3 1na n ;选③:
3 1na n ;(2)选①: 31 32n ;选②:
31 32n ;选③: 31 32n
若选①:
(1)1 1 n n n na b nb b , 当 1 n 时,1 2 1 2ab b b , 11 b ,213b ,12 a . 又2 3 5 1a a a b ,1 1 12 3 4 a d a d b , 3 d , 3 1na n ; (2)由(1)知:
1 13 1n n nn b nb b ,即13n nnb nb ,113n nb b , 又11 b , 数列 nb 是以 1 为首项,以13为公比的等比数列,113nnb , 113 31 31213nnnT . 若选②:
(1)1 1 n n n na b nb b , 当 1 n 时,1 2 1 2ab b b , 11 b ,213b ,12 a . 又2 3 72 a a a , 1 1 12 2 6 a d a d a d , 3 d , 3 1na n ; (2)由(1)知:
1 13 1n n nn b nb b ,即13n nnb nb ,113n nb b , 又11 b , 数列 nb 是以 1 为首项,以13为公比的等比数列,113nnb , 113 31 31213nnnT . 若选③:
(1)1 1 n n n na b nb b , 当 1 n 时,1 2 1 2ab b b , 11 b ,213b ,12 a .
又315 S ,13 23 152a d , 3 d , 3 1na n ; (2)由(1)知:
1 13 1n n nn b nb b ,即13n nnb nb ,113n nb b , 又11 b , 数列 nb 是以 1 为首项,以13为公比的等比数列,113nnb , 113 31 31213nnnT . 6.在①1 2 3, 1, a a a 成等差数列;②430 S ;③1 2 364 aa a 三个条件中任选一个补充在下面的问题中,并作答.(注:如果选择多个条件分别作答,按第一个解答计分)
已知nS 是数列 { }na 的前 n 项和.若12 ( )n nS a a n N ,10 a ,且满足
(1)求数列 { }na 的通项公式; (2)设11 b ,*1( )n n nb b a n N ,求数列 { }nb 的通项公式. 【答案】(1)
2 nna ;(2)
2 1nnb . (1)因为12n nS a a ,所以1 1 12n nS a a , 所以 1 1 1 1 12 2n n n n na S S a a a a ,化简得12n na a , 若选择①:
因为1 2 3, 1, a a a 成等差数列,所以 2 1 32 1 a a a 即 1 1 12 2 1 4 a a a , 解得12 a , 所以数列 { }na 是以 2 为首项,公比为 2的等比数列, 所以 2 nna ; 若选择②:
因为2 4 1 3 4 115 30 a a a a S a ,所以12 a , 所以数列 { }na 是以 2 为首项,公比为 2的等比数列, 所以 2 nna ;
若选择③:
因为31 2 3 18 64 aa a a ,所以12 a , 所以数列 { }na 是以 2 为首项,公比为 2的等比数列, 所以 2 nna ; (3)由(1)得 2 nna ,则12 nn nb b ,
所以当 2 n 时, 2 3 11 2 1 3 2 4 3 11 2 2 2 2 nn n nb b b b b b b b b b
1 1 22 11 2nn , 当 1 n 时,11 b 满足上式, 所以 2 1nnb . 7.在等差数列 { }na 中,已知612 a ,1836 a . (1)求数列 { }na 的通项公式na ; (2)若____,求数列 { }nb 的前 n 项和nS . 在①14nn nba a,① ( 1) nn nb a ,① 2nan nb a 这三个条件中任选一个补充在第(2)问中,并对其求解. 【答案】(1)*2 ,na n n N ;(2)答案见解析. (1)由题意,设等差数列 { }na 的公差为 d ,则 115 1217 36a da d ,解得122ad , 2 ( 1) 2 2na n n , * n N . (2)方案一:选条件① 由(1)知,14 4 12 2( 1) ( 1)nn nba a n n n n , 1 2 n nS b b b
1 1 11 2 2 3 ( 1) n n …
1 1 1 1 112 2 3 1 n n 111 n 1nn. 方案二:选条件② 由(1)知, ( 1) ( 1) 2n nn nb a n , 1 22 4 6 8 ( 1) 2nn nS b b b n , ( ) i 当 n 为偶数时, 1 2 n nS b b b
2 4 6 8 ( 1) 2nn , ( 2 4) ( 6 8) [ 2( 1) 2 ] n n 2 2 2
22n
n , ( ) ii 当 n 为奇数时,1 n 为偶数, 1 2 n nS b b b
2 4 6 8 ( 1) 2nn , ( 2 4) ( 6 8) [ 2( 2) 2( 1)] 2 n n n 2 2 2 2n
12 22nn
1 n , , ,1, .nn nSn n 为偶数为奇数; 方案三:选条件③ 由(1)知,22 2 2 2 4na n nn nb a n n , 1 2 31 22 4 4 4 6 4 2 4 nn nS b b b n ,
2 3 14 2 4 4 4 2( 1) 4 2 4n nnS n n , 两式相减,可得 1 2 3 13 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4n nnS n
1 2 1 18 (1 4 4 4 ) 2 4n nn
11 48 2 41 4nnn 12(1 3 ) 843 3nn . 12(3 1) 849 9nnnS . 8.从①前 n项和 2nS n p p R ②611 a 且1 22n n na a a 这两个条件中任选一个,填至横线上,并完成解答.在数列 na 中,11 a ,________,其中 nN . (1)求数列 na 的通项公式; (2)若1a ,na ,ma 成等比数列,其中 m, nN ,且1 m n ,求 m的最小值. (注:如果选择多个条件分别解答,那么按第一个解答计分)
【答案】(1)答案见解析;(2)答案见解析. 选择①:
(1)当 1 n 时,由1 11 S a ,得 0 p . 当 2 n 时,由题意,得 211nS n , 所以 12 1 2n n na S S n n . 经检验,11 a 符合上式, 所以 *2 1na n n N . (2)由1a ,na ,ma 成等比数列,得21 n ma a a , 由(1)得 *2 1na n n N , 即 22 1 1 2 1 n m . 化简,得221 12 2 1 22 2m n n n .
因为 m,n 是大于 1 的正整数,且 m n , 所以当 2 n 时,m有最小值 5. 选择②:
(1)由1 22n n na a a , 得1 2 1 n n n na a a a , 所以数列 na 是等差数列. 设数列 na 的公差为 d. 因为11 a ,6 15 11 a a d , 所以 2 d . 所以 *11 2 1na a n d n n N . (2)因为1a ,na ,ma 成等比数列,所以21 n ma a a , 即 22 1 1 2 1 n m . 化简,得221 12 2 1 22 2m n n n . 因为 m,n 是大于 1 的正整数,且 m n , 所以当 2 n 时,m有最小值 5. 9.在①2 3 4, , 4 a a a 成等差数列;②1 2 3, 2, S S S 成等差数列;③12n na S 中任选一个,补充在下列问题中,并解答.在各项均为正数等比数列 na 中,前 n 项和为nS ,已知12 a ,且
. (1)求数列 na 的通项公式; (2)若 21 logn nb n a ,记数列24 2nnb 的前 n 项和为nT ,证明 2nT . 【答案】(1)答案见解析;(2)证明见解析. 设等比数列的公比为 ( 0) q q , (1)选①:因为2 3 4, , 4 a a a 成等差数列, 所以3 2 44 2 a a a ,
因为12 a ,所以2 2 3 32 1 3 1 4 12 , 2 , 2 a aq q a aq q a aq q , 所以2 34 2 2 4 q q q ,即 2 22 1 1 q q q .
又 0 q ,解得 2 q= , 所以 2 nna .
选②:因为1 2 3, 2, S S S 成等差数列, 所以 2 1 32 2 S S S , 即 1 2 1 1 2 32 2 a a a a a a ,化简得2 34 a a , 所以22 4 2 q q ,即22 0 q q ,
又 0 q ,解得 2 q= ,
所以 2 nna .
选③:因为12n na S ,所以2 12 4 a S ,
因为na 是等比数列,则212aqa ,
所以 2 nna .
(2)因为 2 nna , 所以2 2( 1)log ( 1)log 2 ( 1)nn nb n a n n n , 所以2 2 2 2 24 2 2(2 ...
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在家创业好项目,想创业,不想出门,有没有什么好方法呢?要想兼顾全职的工作,又想挣点外快,我们来看看这些项目。以下是小编为大家整理的关于20个创业思路,给大家作为参考,...
【古典文学】 日期:2020-03-02
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2021公安专业知识考试练习题(附答案)
2021公安专业知识考试练习题(附答案) 1 甲地公安机关接到群众举报,在当天举行的大型娱乐活动中,
【古典文学】 日期:2021-01-29
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时尚女装店面装修效果图|韩式女装店面装修
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【中国文学】 日期:2019-05-16
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2021年超星尔雅学习通《辩论与修养》章节测试试题(共183题附答案)
2021年超星尔雅学习通《辩论与修养》章节测试试题(共183题附答案)1、辩论的目的不是单纯获得某种
【中国文学】 日期:2021-05-12
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【世界上最大的半岛】阿拉伯半岛
你知道世界上最大的半岛是什么吗?下面由小编来介绍一下。 阿拉伯半岛的简介 阿拉伯半岛(阿拉伯文:)位于亚洲,是世界上最大的半岛。沙特阿拉伯、也门、阿曼、阿拉伯联合...
【中国文学】 日期:2019-05-24
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雪天安全行车注意事项_雪天安全行车提示语
维护城市交通秩序,争做河源文明市民。你们想看看雪天安全行车提示语有哪些吗?以下是小编推荐雪天安全行车提示语给大家,欢迎大家阅读! 安全行车温馨提示语【经典篇】 1...
【中国文学】 日期:2020-03-15
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2022年当前世界下中国面临国际形势论文范本
和平与发展仍然是当今时代的主题。谋和平、求合作、促发展是各国人民的共同愿望。为了大家学习方便,下面是小编为大家整理的当前世界下中国面临的国际形势论文范文内容,以供参...
【中国文学】 日期:2022-03-31
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小数乘法计算方法
小数乘法得计算方法理解小数乘法计算得法则,能够比较熟练得进行小数乘法笔算与简单得口算重点掌握小数乘法
【中国文学】 日期:2020-12-22
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清明节踏青简笔画【清明节踏青图片】
清明节是二十四节气之一,是很适合出去踏青的节日,下面是小编为大家收集的清明节踏青图片相关资料,希望对大家有所帮助。 清明节踏青图片欣赏 清明节踏青图片1 清明...
【中国文学】 日期:2019-05-08
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【欧式女装小店面装修图】 女装小店面装修
随着服装行业和照明产业的发展日趋成熟,服装店的照明设计越来越受到人们的广泛关注,即通过光环境设计对消费者产生引导性作用。下面小编就为大家解开欧式女装小店面装修图展...
【中国文学】 日期:2020-02-27
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中国漫画始于清末民初,而平面设计虽然其名称是在改革开放以后确立的,但设计活动却自古就有,二者的相互影响是本文的主要讨论范围。小编整理了唯美古代女生人物漫画,欢迎阅读!...
【中国文学】 日期:2020-03-19
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电磁场与电磁波实验报告
实验一 静电场仿真 1 实验目的建立静电场中电场及电位空间分布的直观概念。 2 实验仪器计算机一台3
【中国文学】 日期:2020-08-26
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山东省生产经营单位安全生产主体责任规定(2013年2月2日山东省人民政府令第260号公布根据2016
【外国名著】 日期:2020-10-22
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改革开放大事记简表 (1978-2012年) 时间1978年12月18日至22日地点北京事件党的十一
【外国名著】 日期:2021-06-17
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今天小编就为你介绍关于大学生音乐欣赏论文,下面是!小编给你搜集了相关资料!希望可以能帮助到大家。 大学生音乐欣赏论文—第一篇 音乐是生活不可缺少的一部分,学会欣...
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材料力学金属扭转实验报告 【实验目的】 1、验证扭转变形公式,测定低碳钢的切变模量G。;测定低碳钢和
【外国名著】 日期:2020-11-27
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白烛葵,花名,花语为“不感兴趣”。现又指《知音漫客》上连载漫画《极度分裂》里主要角色之一。下面小编为你整理了白烛葵的花语。欢迎阅读。 白烛葵的花语:不感兴趣 ...
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(新版)就业知识竞赛题库(全真题库) 一、单选题1 (单选):在职业生涯规划工具中,组织在展开员工职
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【寓言童话】 日期:2020-03-03
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西部计划笔试题库(99题含答案) 1 第十三届全国人大三次会议表决通过了《中华人民共和国民法典》,自
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各二级学院(部): 为深入贯彻落实习近平总书记关于教育的重要论述,落实立德树人根本任务,增强当代大学
【寓言童话】 日期:2020-06-21
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主题教育调查研究工作方案2篇
主题教育调查研究工作方案1根据省、市、县开展“不忘初心、牢记使命”主题教育工
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这些惊悚故事在短短的篇幅和时间之内让您感受到故事里传达出来的恐怖感,令你感到害怕。下面就是小编给大家整理的令人惊悚的故事,希望对你有用! 令人惊悚的故事篇1:学校...
【寓言童话】 日期:2019-05-13
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API油管规格及尺寸 公称尺寸(in) 不加厚外径(mm) 不加厚内径(mm) 加厚外径(mm) 加
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自助餐简直就是拯救大胃王的最佳饮食!没有之一!世界上没有什么事情是吃一顿自助餐解决不了的,如果有,那就吃两顿!下面小编给大家推荐北京几家好吃的自助餐。 北京最好吃的...
【寓言童话】 日期:2020-02-25
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廉洁自律自我剖析材料((精选多篇)) 信念。科学文化,提高自身素质的终身学习的意识,紧密联系群众,调
【寓言童话】 日期:2020-07-20
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【寓言童话】 日期:2019-05-27
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学生高考动员演讲稿3篇高考动员演讲稿11 老师们、同学们: 大家下午好!漫漫高考长征路已经进入尾声了
【百家讲坛】 日期:2021-09-22
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最新企业安全的演讲稿5篇 演讲稿是作为在特定的情境中供口语表达使用的文稿。在充满活力,日益开放的今天
【百家讲坛】 日期:2021-09-22
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XX镇扶贫项目实施专项整治工作总结_1
XX镇扶贫项目实施专项整治工作总结 为深入贯彻精准扶贫精准脱贫基本方略,认真落实党中央、国务院,省委
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对乡镇领导班子干部成员批评意见例文
对乡镇领导班子干部成员的批评看法范文 一、对党委书记XXX同志的批评看法〔3条〕 1、与干部交流偏少
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群英乡扶贫资金项目((芬坡村祖埇村生产道路硬化工程))绩效自评报告 一、基本情况(一)群英乡扶贫资金
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党委书记警示教育大会上讲话2021汇编
党委书记在警示教育大会上的讲话55篇汇编 党委书记在警示教育大会上的讲话(一) 同志们: 根据省州委
【百家讲坛】 日期:2021-09-22
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关于12021年召开巡视整改专题民主生活会对照检查材料 按照中央巡视组要求和省、市、区委统一部署,区
【百家讲坛】 日期:2021-08-14
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消防安全知识培训试题姓名: 部门班组: 成绩: 一:填空题,每空4分,共44分。 1、灭火剂是通过隔
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涉疫重点人员“五包一”居家隔离医学观察工作流程 目前,全球疫情仍处于大流行状
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疫情防控致全体师生员工及家长一封信
疫情防控致全体师生员工及家长的一封信 各位师生员工及全体家长朋友: 暑假已至,近期我省部分地方发现确
【百家讲坛】 日期:2021-08-14