第五章,§5.7,三角函数应用

时间：2020-11-03 20:55:56 来源：蒲公英阅读网 本文已影响人

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　§5.7

　三角函数的应用 学习目标 1.会用三角函数模型解决一些简单的实际问题.2.体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．

　知识点一 三角函数的应用 1．三角函数模型的作用 三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测未来等方面发挥重要作用． 2．用函数模型解决实际问题的一般步骤 收集数据―→画散点图―→选择函数模型―→求解函数模型―→检验． 知识点二 函数 y＝Asin(ωx＋φ)，A>0，ω>0 中参数的物理意义

　 1．函数 y＝3sin 12 x－π6的初相为________． 答案 － π6

　2．某人的血压满足函数式 f(t)＝24sin 160πt＋110，其中 f(t)为血压(单位：mmHg)，t 为时间(单位：min)，则此人每分钟心跳的次数为________． 答案 80 解析 ∵f(t)＝24sin 160πt＋110， ∴T＝ 2πω ＝2π160π ＝180 ，f＝1T ＝80， ∴此人每分钟心跳的次数为 80. 3．初速度为 v 0 ，发射角为 θ，则炮弹上升的高度 y 与 v 0 之间的关系式(t 是飞行的时间)为(

　) A．y＝v 0 t

　 B．y＝v 0 tsin θ C．y＝v 0 tsin θ－ 12 gt2

　D．y＝v 0 tcos θ 答案 C

　解析 由速度的分解可知炮弹上升的初速度为 v 0 sin θ，故炮弹上升的高度 y＝v 0 tsin θ－ 12 gt2 ，故选 C.

　一、三角函数在物理中的应用 例 1 已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移 s(cm)随时间 t(s)的变化规律为 s＝4sin 2t＋ π3，t∈[0，＋∞)．用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题：

　(1)小球在开始振动(t＝0)时的位移是多少？ (2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？ (3)经过多长时间小球往复振动一次？ 解 列表如下：

　2t＋ π3

　0 π2

　π 3π2 2π t － π6

　π12

　π3

　7π12

　5π6 s 0 4 0 －4 0

　描点、连线，图象如图所示．

　(1)将 t＝0 代入 s＝4sin 2t＋ π3，得 s＝4sin π3 ＝2 3，所以小球开始振动时的位移是 2 3 cm. (2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是 4 cm 和－4 cm. (3)因为振动的周期是 π，所以小球往复振动一次所用的时间是 π s. 反思感悟 处理物理学问题的策略 (1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性． (2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题． 跟踪训练 1 已知电流 I 与时间 t 的关系为 I＝Asin(ωt＋φ)．

　(1)如图所示的是 I＝Asin(ωt＋φ) ω>0，|φ|< π2在一个周期内的图象，根据图中数据求 I＝Asin(ωt＋φ)的解析式；

　 (2)如果 t 在任意一段1150 的时间内，电流 I＝Asin(ωt＋φ)都能取得最大值和最小值，那么 ω 的最小正整数值是多少？ 解 (1)由题图可知 A＝300，设 t 1 ＝－1900 ，t 2 ＝1180 ， 则周期 T＝2(t 2 －t 1 )＝2 1180 ＋1900＝175 . ∴ω＝ 2πT＝150π. 又当 t＝1180 时，I＝0，即 sin 150π·1180 ＋φ ＝0， 而|φ|< π2 ，∴φ＝π6 . 故所求的解析式为 I＝300sin 150πt＋ π6. (2)依题意知，周期 T≤1150 ，即2πω ≤1150 (ω>0)， ∴ω≥300π>942，又 ω∈N * ， 故所求最小正整数 ω＝943. 二、三角函数在生活中的应用 例 2 通常情况下，同一地区一天的温度随时间变化的曲线接近函数 y＝Asin(ωx＋φ)＋b 的图象．某年 2 月下旬某地区连续几天最高温度都出现在 14 时，最高温度为 14 ℃；最低温度出现在凌晨 2 时，最低温度为零下 2 ℃. (1)求出该地区该时段的温度函数 y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0，|φ|<π，x∈[0,24))的表达式； (2)29 日上午 9 时某高中将举行期末考试，如果温度低于 10 ℃，教室就要开空调，请问届时学校后勤应该开空调吗？ 解 (1)由题意知  A＋b＝14，－A＋b＝－2，解得  A＝8，b＝6， 易知 T2 ＝14－2，所以 T＝24，所以 ω＝π12 ， 易知 8sin π12 ×2＋φ ＋6＝－2， 即 sin π12 ×2＋φ ＝－1， 故π12 ×2＋φ＝－π2 ＋2kπ，k∈Z，

　又|φ|<π，得 φ＝－ 2π3， 所以 y＝8sin π12 x－2π3＋6(x∈[0,24))． (2)当 x＝9 时，y＝8sin π12 ×9－2π3＋6 ＝8sin π12 ＋6<8sin π6 ＋6＝10. 所以届时学校后勤应该开空调． (学生留) 反思感悟 解三角函数应用问题的基本步骤

　跟踪训练 2 健康成年人的收缩压和舒张压一般为 120～140 mmHg 和 60～90 mmHg.心脏跳动时，血压在增加或减小．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数 120/80 mmHg 为标准值．记某人的血压满足函数式 p(t)＝115＋25sin(160πt)，其中 p(t)为血压(mmHg)，t 为时间(min)，试回答下列问题：

　(1)求函数 p(t)的周期； (2)求此人每分钟心跳的次数； (3)求出此人的血压在血压计上的读数，并与正常值比较． 解 (1)T＝ 2π|ω| ＝2π160π ＝180 (min)． (2)f＝ 1T ＝80. (3)p(t) max ＝115＋25＝140(mmHg)， p(t) min ＝115－25＝90(mmHg)， 即收缩压为 140 mmHg，舒张压为 90 mmHg.此人的血压在血压计上的读数为 140/90 mmHg，在正常值范围内． 三、数据拟合模型的应用 例 3 下表所示的是某地 2000～2019 年的月平均气温(华氏度)． 月份 1 2 3 4 5 6 平均气温 21.4 26.0 36.0 48.8 59.1 68.6

　 月份 7 8 9 10 11 12 平均气温 73.0 71.9 64.7 53.5 39.8 27.7

　以月份为 x 轴，x＝月份－1，平均气温为 y 轴建立平面直角坐标系． (1)描出散点图，并用正弦曲线去拟合这些数据； (2)这个函数的周期是多少？ (3)估计这个正弦曲线的振幅 A； (4)下面四个函数模型中哪一个最适合这些数据？ ① yA ＝cos πx6；② y－46A＝cos πx6；③ y－46－A＝cos πx6； ④ y－26A＝sin πx6. 解 (1)根据表中数据画出散点图，并用曲线拟合这些数据，如图所示．

　(2)1 月份的平均气温最低，为 21.4 华氏度，7 月份的平均气温最高，为 73.0 华氏度，根据散点图知 T2 ＝7－1＝6，∴T＝12. (3)2A＝最高气温－最低气温＝73.0－21.4＝51.6， ∴A＝25.8. (4)∵x＝月份－1，∴不妨取 x＝2－1＝1，y＝26.0， 代入①，得 yA ＝26.025.8 >1≠cos π6 ，∴①不适合． 代入②，得 y－46A＝ 26.0－4625.8<0≠cos π6 ， ∴②不适合，同理，④不适合，∴③最适合． 反思感悟 处理曲线拟合与预测问题时，通常需要以下几个步骤 (1)根据原始数据绘出散点图． (2)通过观察散点图，画出与其“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线． (3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数解析式． (4)利用函数解析式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据．

　跟踪训练 3 下表中给出了在 24 小时期间人的体温的变化(从夜间零点开始计时)：

　时间(时) 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 温度(℃) 36.8 36.7 36.6 36.7 36.8 37 37.2 37.3 37.4 37.3 37.2 37 36.8

　(1)作出这些数据的散点图； (2)选有用一个三角函数来近似描述这些数据． 解 (1)散点图如图所示，

　(2)设 t 时的体温 y＝Asin(ωt＋φ)＋c， 由表知 y max ＝37.4，y min ＝36.6，则 c＝ 37.4＋36.62＝37，A＝ 37.4－36.62＝0.4，ω＝ 2πT＝ 2π24 ＝π12 . 由 0.4sin π12 ×16＋φ ＋37＝37.4，得 sin 4π3＋φ ＝1， 即 4π3＋φ＝2kπ＋ π2 ，k∈Z， ∴φ＝2kπ－ 5π6，k∈Z，取 φ＝－ 5π6， 故可用函数 y＝0.4sin π12 t－5π6＋37 来近似描述这些数据．

　1．简谐运动 y＝4sin 5x－ π3的相位与初相分别是(

　) A．5x－ π3 ，π3

　B．5x－ π3 ，4 C．5x－ π3 ，－π3

　D．4， π3

　答案 C 解析 相位是 5x－ π3 ，当 x＝0 时的相位为初相即－π3 . 2．电流强度 I(A)随时间 t(s)变化的关系式是 I＝5sin 100πt＋ π3，则当 t＝1200

　s 时，电流强度

　I 为(

　) A．5 A

　B．2.5 A

　C．2 A

　D．－5 A 答案 B 解析 将 t＝1200 代入 I＝5sin 100πt＋ π3，得 I＝2.5 A. 3.如图所示的是一个单摆，以平衡位置 OA 为始边、OB 为终边的角 θ(－π<θ<π)与时间 t(s)满足函数关系式 θ＝ 12 sin 2t＋ π2，则当 t＝0 时角 θ 的大小及单摆的频率分别是(

　)

　A. 12 ，1π

　 B．2，1π

　 C.12 ，π

　D．2，π 答案 A 解析 当 t＝0 时，θ＝ 12 sin π2 ＝12 ，由函数解析式易知单摆的周期为2π2＝π，故单摆的频率为 1π . 4.如图，某港口一天 6 时到 18 时的水深变化曲线近似满足函数 y＝3sin π6 x＋φ ＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为(

　)

　A．5

　B．6

　C．8

　D．10 答案 C 解析 根据图象得函数的最小值为 2， 有－3＋k＝2，k＝5，最大值为 3＋k＝8. 5．一根长 l cm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移 s(cm)与时间 t(s)的函数关系式为 s＝3cos gl t＋π3，其中 g 是重力加速度，当小球摆动的周期是 1 s 时，线长 l＝________cm. 答案 g4π 2

　解析 由已知得2πgl＝1， 所以gl ＝2π，gl ＝4π2 ，l＝g4π 2 .

　 1．知识清单：

　(1)三角函数在物理中的应用． (2)三角函数在生活中的应用． 2．方法归纳：数学建模、数形结合． 3．常见误区：选择三角函数模型时，最后结果忘记回归实际生话．

　 1．如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过 12 周期后，乙点的位置将处于图中的(

　)

　A．甲

　B．戊

　C．丙

　D．丁 答案 D 解析 与乙点的位置相差 12 周期的点为丁点． 2.(多选)如图所示是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是(

　)

　A．该质点的运动周期为 0.8 s B．该质点的振幅为 5 cm C．该质点在 0.1 s 和 0.5 s 时运动速度最大 D．该质点在 0.1 s 和 0.5 s 时运动速度为零 答案 ABD 解析 由题图可知， T2 ＝0.7－0.3＝0.4，所以 T＝0.8；最小值为－5，所以振幅为 5 cm；在 0.1 s 和 0.5 s 时，质点到达运动的端点，所以速度为 0. 3.如图表示电流强度 I 与时间 t 的关系 I＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0)在一个周期内的图象，则该函数解析式可以是(

　)

　 A．I＝300sin 50πt＋ π3 B．I＝300sin 50πt－ π3 C．I＝300sin 100πt＋ π3 D．I＝300sin 100πt－ π3 答案 C 解析 A＝300，T＝2 1150 ＋1300＝150 ，ω＝2πT＝100π， I＝300sin(100πt＋φ)． 代入点 －1300 ，0 ，得 100π× －1300＋φ＝0， 取 φ＝ π3 ，∴I＝300sin 100πt＋ π3. 4．商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一某商场的人流量满足函数 F(t)＝50＋4sin t2 (t≥0)，则下列时间段内人流量是增加的是(

　) A．[0,5]

　B．[5,10]

　C．[10,15]

　D．[15,20] 答案 C 解析 由 2kπ－ π2 ≤t2 ≤2kπ＋π2 ，k∈Z，知函数 F(t)的增区间为[4kπ－π，4kπ＋π]，k∈Z.当 k＝1 时，t∈[3π，5π]，而[10,15]⊆[3π，5π]，故选 C. 5．稳定房价是我国今年实施宏观调控的重点，国家最近出台的一系列政策已对各地的房地产市场产生了影响，青岛市某房地产中介对本市一楼盘在今年的房价作了统计与预测：发现每个季度的平均单价 y(每平方米的价格，单位：元)与第 x 季度之间近似满足：y＝500sin(ωx＋φ)＋9 500(ω>0)，已知第一、二季度平均单价如下表所示：

　x 1 2 3 y 10 000 9 500 ？

　则此楼盘在第三季度的平均单价大约是(

　) A．10 000 元

　 B．9 500 元 C．9 000 元

　 D．8 500 元

　答案 C 解析 因为 y＝500sin(ωx＋φ)＋9 500(ω>0)， 所以当 x＝1 时，500sin(ω＋φ)＋9 500＝10 000； 当 x＝2 时，500sin(2ω＋φ)＋9 500＝9 500， 所以 ω 可取 3π2，φ 可取 π， 即 y＝500sin 3π2x＋π ＋9 500. 当 x＝3 时，y＝9 000. 6．振动量函数 y＝ 2sin(ωx＋φ)(ω>0)的初相和频率分别为－π 和 32 ，则它的运动周期为________，相位是________． 答案 23

　3πx－π 解析 因为频率 f＝ 32 ，所以 T＝1f ＝23 ，所以 ω＝2πT＝3π，所以相位 ωx＋φ＝3πx－π. 7．某城市一年中12个月的月平均气温y与月份x的关系可近似地用函数y＝a＋Acos π6 x－6(x＝1,2,3，…，12)来表示，已知 6 月份的月平均气温最高，为 28 ℃，12 月份的月平均气温最低，为 18 ℃，则 10 月份的月平均气温为________℃. 答案 20.5 解析 根据题意得 18＝a＋Acos π6 12－6 ＝a－A,28＝a＋A， 解得 a＝23，A＝5， 所以 y＝23＋5cos π6 x－6 ， 令 x＝10， 得 y＝23＋5cos π6 10－6 ＝23＋5cos2π3＝20.5. 8．如图表示相对于平均海平面的某海湾的水面高度 h(米)在某天 0～24 时的变化情况，则水面高度 h 关于时间 t 的函数关系式为______________．

　答案 h＝－6sin π6 t(0≤t≤24)

　解析 设 h＝Asin(ωt＋φ)， 由图象知 A＝6，T＝12， ∴ 2πω ＝12，得 ω＝2π12 ＝π6 . 点(6,0)为五点法作图中的第一点， 故 π6 ×6＋φ＝0，得 φ＝－π， ∴h＝6sin π6 t－π ＝－6sin π6 t(0≤t≤24)． 9．一根细线的一端固定，另一端悬挂一个小球，当小球来回摆动时，离开平衡位置的位移S(单位：cm)与时间 t(单位：s)的函数关系是 S＝6sin 2πt＋ π6. (1)画出它的图象； (2)回答以下问题：

　①小球开始摆动(即 t＝0)时，离开平衡位置是多少？ ②小球摆动时，离开平衡位置的最大距离是多少？ ③小球来回摆动一次需要多少时间？ 解 (1)周期 T＝ 2π2π ＝1(s)． 列表：

　t 0 16

　512

　23

　1112

　1 2πt＋ π6

　π6

　π2

　π 3π2 2π 2π＋ π6

　6sin 2πt＋ π6 3 6 0 －6 0 3

　描点画图．

　(2)①小球开始摆动(即 t＝0)时，离开平衡位置为 3 cm. ②小球摆动时离开平衡位置的最大距离是 6 cm. ③小球来回摆动一次需要 1 s(即周期)． 10．已知某地一天从 4～16 时的温度变化曲线近似满足函数 y＝10sin π8 x－5π4＋20，x∈[4,16]．

　(1)求该地这一段时间内温度的最大温差； (2)若有一种细菌在 15 ℃到 25 ℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌最多能生存多长时间？ 解 (1)当 x＝14 时函数取最大值，此时最高温度为 30 ℃， 当 x＝6 时函数取最小值，此时最低温度为 10 ℃， 所以最大温差为 30 ℃－10 ℃＝20 ℃. (2)令 10sin π8 x－5π4＋20＝15， 得 sin π8 x－5π4＝－ 12 ， 而 x∈[4,16]，所以 x＝ 263. 令 10sin π8 x－5π4＋20＝25， 得 sin π8 x－5π4＝ 12 ， 而 x∈[4,16]，所以 x＝ 343. 当 x∈ 263， 343时， π8 x－5π4∈ － π6 ，π6， 所以函数 y 在 263， 343上单调递增． 故该细菌能存活的最长时间为 343－ 263＝ 83 小时．

　11.如图是一个半径为 3 米的水轮，水轮的圆心 O 距离水面 2 米，已知水轮每分钟旋转 4 圈，水轮上的点 P 到水面的距离 y(米)与时间 t(秒)满足关系式 y＝Asin(ωt＋φ)＋2，则(

　)

　A．ω＝ 152π ，A＝3

　 B．ω＝ 2π15 ，A＝3 C．ω＝ 2π15 ，A＝5

　 D．ω＝ 152π ，A＝5 答案 B 解析 由题意知 A＝3，ω＝ 2π×460＝ 2π15 . 12．设 y＝f(t)是某港口水的深度 y(米)关于时间 t(时)的函数，其中 0≤t≤24.下表是该港口某

　一天从 0 时至 24 时记录的时间 t 与水深 y 的关系：

　t/时 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y/米 12 15.1 12.1 9.1 11.9 14.9 11.9 8.9 12.1

　经长期观察，函数 y＝f(t)的图象可以近似地看成函数 y＝k＋Asin(ωt＋φ)的图象．下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是(

　) A．y＝12＋3sin π6 t，t∈[0,24] B．y＝12＋3sin π6 t＋π ，t∈[0,24] C．y＝12＋3sin π12 t，t∈[0,24] D．y＝12＋3sin π12 t＋π2，t∈[0,24] 答案 A 解析 由图表可得函数 y＝k＋Asin(ωt＋φ)的最大值为 15，最小值为 9，故 k＝ 15＋92＝12，A＝15－12＝3，由于当函数取得最大值时，相邻的两个 t 值分别为 t＝3 和 t＝15， 故函数的周期等于 15－3＝12＝ 2πω ，解得 ω＝π6 ， 故函数的解析式为 y＝12＋3sin π6 t＋φ ， 由当 t＝0 时，函数值等于 12， 可得 12＋3sin φ＝12，∴sin φ＝0， ∴φ＝kπ，k∈Z，故可取 φ＝0， 故函数的解析式为 y＝12＋3sin π6 t，t∈[0,24]． 13.为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针位置 P(x，y)．若初始位置为 P 0 32， 12，当秒针从 P 0 (注：此时 t＝0)开始走时，点 P 的纵坐标 y 与时间 t 的函数解析式为(

　)

　A．y＝sin π30 t＋π6，t∈[0，＋∞) B．y＝sin －π60 t－π6，t∈[0，＋∞)

　C．y＝sin －π30 t＋π6，t∈[0，＋∞) D．y＝sin －π30 t－π3，t∈[0，＋∞) 答案 C 解析 由题意可得函数初相为 π6 ，排除 B，D.又 T＝60(秒)且秒针按顺时针旋转，即 T＝2π|ω| ＝60，所以|ω|＝π30 ，即 ω＝－π30 .故选 C. 14．某时钟的秒针端点 A 到中心点 O 的距离为 5 cm，秒针均匀地绕点 O 旋转，当时间 t＝0时，点 A 与钟面上标 12 的点 B 重合，若将 A，B 两点的距离 d(cm)表示成时间 t(s)的函数，则 d＝________，其中 t∈[0,60]． 答案 10sin πt60

　解析 秒针 1 s 转π30 弧度，t s 后秒针转了π30 t 弧度，如图所示，sin πt60 ＝d25 ，

　所以 d＝10sin πt60 .

　15．国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：P＝Asin ωπt＋ π4＋60(美元)(A>0，ω>0)，现采集到下列信息：最高油价 80 美元，当 t＝150(天)时达到最低油价，则 ω 的最小值为________． 答案 1120

　解析 因为国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：P＝Asin ωπt＋ π4＋60，最高油价80 美元， 所以 A＝20. 当 t＝150(天)时达到最低油价， 即 sin 150ωπ＋ π4＝－1， 此时 150ωπ＋ π4 ＝2kπ－π2 ，k∈Z，

　因为 ω>0，所以令 k＝1， 得 150ωπ＋ π4 ＝2π－π2 ，解得 ω＝1120 . 故 ω 的最小值为1120 . 16．某商品一年内出厂价格在 6 元的基础上按月份随正弦曲线波动，已知 3 月份达到最高价格 8 元，7 月份价格最低为 4 元，该商品在商店内的销售价格在 8 元基础上按月份随正弦曲线波动，5 月份销售价格最高为 10 元，9 月份销售价格最低为 6 元，假设商店每月购进这种商品 m 件，且当月销售完，你估计哪个月份盈利最大？ 解 设出厂价波动函数为 y 1 ＝6＋Asin(ω 1 x＋φ 1 )， 易知 A＝2，T 1 ＝8，ω 1 ＝ π4 ，3π4＋φ 1 ＝ π2 ⇒φ 1 ＝－π4 ， 所以 y 1 ＝6＋2sin π4 x－π4. 设销售价波动函数为 y 2 ＝8＋Bsin(ω 2 x＋φ 2 )， 易知 B＝2，T 2 ＝8，ω 2 ＝ π4 ， 5π4＋φ 2 ＝ π2 ⇒φ 2 ＝－3π4， 所以 y 2 ＝8＋2sin π4 x－3π4. 每件盈利 y＝y 2 －y 1

　＝ 8＋2sin π4 x－3π4－ 6＋2sin π4 x－π4 ＝2－2 2sin π4 x， 当 sin π4 x＝－1，即π4 x＝2kπ－π2 (k∈Z)， x＝8k－2(k∈Z)时， y 取最大值． 当 k＝1，即 x＝6 时，y 最大． 所以估计 6 月份盈利最大．