人工智能模糊推理.doc

时间：2021-02-08 10:06:05 来源：蒲公英阅读网 本文已影响人

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　第 第4章 章

　不确定与非单调推理 在现实世界中，能够进行精确描述的问题只占较少一部分，而大多数问题是 非精确 、 非完备 的。对于这些问题，若采用上一章所讨论的精确性推理方法显然是不行的。为此，人工智能需要研究不确定性的推理方法，以满足客观问题的需求。

　4.1.1 C-F 模型 C-F 模型是消特里菲等人在确定性理论的基础上，结合 概率论和模糊集合论 等方法提出的一种基本的不确定性推理方法。下面讨论其知识表示和推理问题。

　1. 知识不确定性的表示 在 在 C-F 模型中，知识是用 产生式规则 表示的，其 一般形式为：

　：

　 IF

　 E

　 THEN

　 H

　(CF(H, E)) 其中，E 是知识的前提条件；H 是知识的结论；CF(H, E) 是知识的可信度。对它们的简单说明如下：

　前提条件 可以是一个 简单条件 ，也可以是由合取和析取构成的的 复合条件 。例如

　 E=( E1

　OR

　 E2)

　AND

　 E3

　AND

　 E4 就是一个复合条件。

　结论 可以是一个 单一的结论 ，也可以是 多个结论。

　。

　度 可信度 CF(Certainty Factor 简记为 CF) 又称为 可信度因子 或 规则强度 ，它实际上是知识的 静态强度。

　。CF(H, E) 的取值范围是[-1 ，1] ，其值表示当前提件 条件 E 所对应的证据为真时，该论 前提条件对结论 H 为真的支持程度。CF(H, E) 的值越大，对结论 H 为真的支持程度就越大。例如

　 IF

　 发烧

　AND

　流鼻涕

　 THEN

　 感冒

　 (0.8) 有 表示当某人确实有“发烧”及“流鼻涕”症状时，则有 80% 的把握是患了感冒。可见，CF(H, E) 反映的是前提条件与结论之间的 联系强度，即相应知识的知识强度。

　2. 可信度的定义 在 在 C-F 模型中，把 CF(H, E) 定义为

　 CF(H, E)=MB(H, E)-MD(H, E) 其中，MB(Measure Belief 简记为 MB) 称为 信任增长度件 ，它表示因与前提条件 E 匹配的证据的论 出现，使结论 H 为真的信任增长度。

　MD(Measure

　Disbelief 简记为 MD) 称为 不信任增长度件 ，它表示因与前提条件 E 匹配的证论 据的出现，对结论 H 的不信任增长度。

　在以上两个式子中，P(H) 表示 H 的 的 先验概率； ；P(H/E) 表示在前提条件 E 所对应的证据出否则若 1 ) (,) ( 1) ( )} ( ), / ( max{, 1) , ( H PH PH P H P E H P E H MB 否则若 0 ) (,) () ( )} ( ), / ( min{, 1) , (H PH PH P H P E H P E H MD

　论 现的情况下，结论 H 的 的 条件概率由 。由 MB 与 MD 的定义可以看出: 当 当 MB(H, E)>0 时，有 P(H/E)>P(H) ，这说明由于 E 所对应的证据的出现增加了 H 的信任程度。

　当 当 MD(H, E)>0 时，有 P(H/E)<P(H) ，这说明由于 E 所对应的证据的出现增加了 H 的不信任程度。

　提 对同一前提 E ，若支持若干个不同的结论 Hi(i=1,2,…,n) ，则如果发现专家给出的知识有如下情况

　 CF(H1, E)=0.7,

　CF(H2, E)=0.4 因 则因 0.7+0.4=1.1>1 为非法，应进行 调整或规范化）

　（归一化）。

　。（ （5 与 3 差 2,

　10 与 8 也差 2 ，绝对差值与相对差值含义完全不同）

　 最后需要指出，在中 实际应用中 P(H) 和 P(H/E) 的值是很难获得的，因此 CF(H, E) 的值 应有领域 专家直接给出 。其 原则是：加 若相应证据的出现会增加 H 为真的可信度，则 CF(H, E)>0， ，对 证据的出现对 H 为真支持越大，则 CF(H, E) 的值越大；反之，证据的出现减少 H 为真的可信则 度，则 CF(H, E)<0 ，证据的出现对 H 为假支持越大，就使 CF(H, E) 的值越小；若相应证据的与 出现与 H 无关，则使 CF(H, E)=0 。

　3. 证据不确定性的表示

　 在 在 C-F 模型中，证据的不确定性也是用可信度因子来表示的，其取值范围同样是[-1, 1]。

　。证据可信度的来源有以下 两种情况 ：如果是 初始证据 ，其可信度是由提供证据 的用户给出的；如果是先前推出的 中间结论 又作为当前推理的证据，则其可信度是原来在推出该结论时由不确定性的更新算法计算得到的。

　对据 初始证据 E ，若对其所有观察 e 能肯定它为真使 ，则使 CF(E)=1 ；若它以 某种程度为真 ，使 则使 CF 取区间(0 ，1) 中的某一个值，即 0<CF(E)<1 ；若 肯定它为假使 ，则使 CF(E)=-1 ；若它以使 某种程度为假，则使 CF 取区间(-1 ，0) 中的某一个值，即-1<CF(E)<0 ；若对其所有观察 e 都与使 它无关，则使 CF(E)=0 。

　可见，CF (E) 所描述的是证据的 动态强度 。尽管它和知识的静态强度在表示方 法上类似，但二者的含义却完全不同。度 知识的静态强度 CF(H, E) 表示的是知识的强度 （在规则库相对稳）

　定）当 ，即当 E 所对应的证据为真时对 H 的影响程度。而动态强度 CF(E) 表示的是证据 E 当前的。

　不确定性程度。

　（每次推理时，对已经证据的把握，即证据的不确定性程度不同，所以为动态）经 （已经 W(A),

　个 规划：对于任意一个 W(x) －＞ Q(x) ，使用谓词公式的置换进行推理）（已经P(A),

　规划：对于任意一个 W(x) －＞Q(x), 使用谓词公式的合一进行推理，P 行乘以 θ ，与谓式 词公式 W 形式合一。比如“善飞”和“会飞”）

　4. 证 组合证 据不确定性的计算 对证据的组合形式可分为“合取”与“析取”两种基本情况。当组合证据是多个单一证据的 合取 时，即

　 E=E1

　AND

　E2

　AND

　…

　AND

　En 知 时，若已知 CF(E1) ，CF(E2)， ，… ，CF(En) ，则 1 ) , (1niiE H CF

　CF(E)=min{CF(E1), CF(E2), … ,CF(En)} 当组合证据是多个单一证据的 析取时 ，即

　 E=E1

　OR

　E2

　OR

　…

　OR

　En 知 时，若已知 CF(E1) ，CF(E2)， ，… ，CF(En) ，则

　 CF(E)=max{CF(E1), CF(E2), … ,CF(En)} 5. 不确定性的更新 C-F 模型中的不确定性推理实际上是从不确定的初始证据出发，不断运用相关的不确定性知识， 逐步推出最终结论和该结论可信度的过程。

　而每一次运用不确定知识，都需要由证据的不确定性和知识的不确定性去计算结论的不确定性。其 计算公式 如下：

　 CF(H)=CF(H, E) ×max{0, CF(E)} 由上式可以看出，若 若 CF(E)<0 ，及相应证据以某种程度为假，则

　 CF(H)=0 论 这说明在该模型中没有考虑证据为假时对结论 H 所产 生的影响。另外， 当证据为真时 ，由上式可推出

　 CF(H)=CF(H, E) 度 这说明，知识中的规则强度 CF(H, E) 实际上就是在前提条件对应的证据为真时结论 H 的可信度。

　6. 结论不确定性的合成 如果可由 多条知识推出一个相同结论 ，并且这些知识的 前提相互独立 ，结论的可信度又不相同，则可用 不确定性的合成算法 求出该结论的综合可信度。其合成过程是先把第一条与第二条合成，然后再用该合成后的结论与第三条合成，依此进行下去，直到全部合成为止。由于多条知识的合成是通过两两合成来实现的，因此下面仅考虑两条知识的情况。

　设有如下知识：

　 IF

　E1

　 THEN

　 H

　(CF(H, E1))

　 IF

　E2

　 THEN

　 H

　(CF(H, E2)) 论 则结论 H 的综合可信度可 分以下两步计算：

　：

　(1) 分别对每条知识求出其 CF(H) 。即

　 CF1(H)=CF(H, E1)

　×max{0, CF(E1)}

　 CF2(H)=CF(H, E2)

　×max{0, CF(E2)} (2) 用如下公式求 E1 与 E2 对 H 的综合可信度 例 例 4.1 设有如下一组知识：

　 r1 ：IF

　E1

　THEN

　H

　(0.9)

　 r2 ：IF

　E2

　THEN

　H

　(0.6)  异号与 若若若若若) () (0 ) (0 ) (0 ) (0 ) () ( , ) ( min 1) ( ) () ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) () (2121212 12 12 1 2 12 1 2 1H CFH CFH CFH CFH CFH CFH CF H CFH CF H CFH CF H CH H CF H CFH CF H CF H CF H CFH CF    

　r3 ：IF

　E3

　THEN

　H

　(-0.5)

　 r4 ：IF

　E4

　AND

　( E5

　OR

　E6)

　THEN

　E1

　(0.8) 已知：CF(E2)=0.8 ，CF(E3)=0.6 ，CF(E4)=0.5 ，CF(E5)=0.6,

　CF(E6)=0.8 求：CF(H)=? 解：由 由 r4 得到：

　 CF(E1)=0.8 ×max{0, CF(E4

　AND

　(E5

　OR

　 E6))}

　 = 0.8 ×max{0, min{CF(E4),

　CF(E5

　OR

　 E6)}}

　=0.8 ×max{0, min{CF(E4),

　max{CF(E5),

　CF(E6)}}} =0.8 ×max{0, min{CF(E4),

　max{0.6,

　0.8}}} =0.8 ×max{0, min{0.5,

　0.8}} =0.8 ×max{0,

　0.5} =0.4 由 由 r1 得到：

　 CF1(H)=CF(H, E1) ×max{0,

　CF(E1)}

　 =0.9 ×max{0,

　0.4}

　 =0.36 由 由 r2 得到：

　 CF2(H)=CF(H, E2) ×max{0,

　CF(E2)}

　 =0.6 ×max{0,

　0.8}

　 =0.48 由 由 r3 得到：

　 CF3(H)=CF(H, E3) ×max{0,

　CF(E3)}

　 =-0.5 ×max{0,

　0.6} = -0.3 根据结论不确定性的合成算法得到：

　即 这就是所求出的综合可信度，即 CF(H)=0.53 。

　67 . 0 17 . 0 84 . 048 . 0 36 . 0 48 . 0 36 . 0) ( ) ( ) ( ) ( ) (2 1 2 1 2 , 1         H CF H CF H CF H CF H CF  53 . 07 . 037 . 03 . 0 , 67 . 0 min 13 . 0 67 . 0) ( , ) ( min 1) ( ) () (3 2 , 13 2 , 13 , 2 , 1H CF H CFH CF H CFH CF

　 4.1.2 带加权因子的可信度推理 在前面讨 论的方法中，当知识的前提条件为多个子条件的组合时，认为这些子条件之间相互独立，并且对结论的重要程度也完全相同。但是，现实世界中的事情却并非完全如此。例如，有如下知识：

　 IF

　某人发高烧

　AND

　咳嗽

　THEN

　 他应该多喝水 其中，前提中的发高烧和咳嗽这两个子条件之间是存在着依赖关系的。再如：

　 IF

　论文有创新

　AND

　立论正确

　AND

　文字流畅

　 THEN

　 该论文可以发表 中 其中，前提中 3 个子条件之间的重要程度显然是不同的。

　为此，可在知识的前提条件中引 入加权因子，对诸子条件给出相应的权重，以说明它们对结论的重要程度。把这种方法和前面的不确定性推理方法相比，有以下几个问题需要说明。

　1. 知识不确定性的表示 在这种不确定性推理方法中，知识的表示形式是 其中，i

　(i=1, 2, …,n) 为加权因子，其取值范围是[0, 1] ，该值由领域专家给出。给出i 的原则是：

　如果一个子条件的独立性越强，或者对结论的重要程度越大，其子条件的加权因子就应该越大。

　但加权因子必须满足 归一条件 ，即

　2. 组合证据不确定性的计算 在这种不确定性推理中，证据的不确定性仍然用可信度因子表示，组合证据的可信度可通过计算得到。对于前提条件 所对应的组合证据，其可信度由下式计算：

　如果不满足归一条件，则可信度由下式计算：

　3. 不确定性的更新 按照上面的方法，可以求出加权的组合证据的可信度，有了组合证据的可信度，不确定性) , () ( ) ( ) (2 2 1 1E H CF H THENE AND AND E AND E IFn n   nii11 ) ( ) ( ) (2 2 1 1 n nE AND AND E AND E E     ) ( ) (1iniiE CF E CF    nii iniiE CF E CF11)) ( (1) ( 

　的更新算法为

　 CF(H)=CF(H, E) ×CF(E) （条件概率与组合证据的可信度 进行某种运算）

　）

　， 其中， “ ×。

　”可以是“相乘”运算，也可以是“取极小”或其他合适的运算。

　（仅是一个符号）

　为了进一步说明加权的不确定推理，下面看一个例子。

　例 例 4.2 设有如下知识：

　 r1: IF

　E1(0.6 权值)

　AND

　E2(0.4)

　THEN

　E5(0.8)

　 r2: IF E3(0.5) AND E4(0.3) AND E5(0.2)

　THEN H (0.9) 已知：CF(E1)=0.9,

　CF(E2)=0.8,

　CF(E3)=0.7,

　CF(E4)=0.6 求：CF(H)=?

　 解：由 由 r1 得到：（权值乘以证据的可信度）

　 由 由 r2 得到：

　CF(H)=0.9 ×0.67=0.603 在可信度方法中，除了可以对前提条件或其子条件增加加权因子外，还可以对前提条件或其子条件本身也给出可信度， 甚至还可以在知识中增加阈值，用来判断相应知识是否可以被使。

　用。由于篇幅所限，这部分内容，请参考书后有关文献。

　（灵感思维、顿悟思维）

　4.2 可能性理论和模糊推理 前面 讨论的几种不确定推理模型都是以 概率论为基础 的，它们所研究的事件均是 由随机性所引起的不确定性 。也就是说，那些事件本身是具有确切含义的，只是由于条件限制，使得人们对它还不能充分认识。但在现实世界中，除了这种由随机性所引起的不确定性 以外，还有一种 由模糊所引起的不确定性 。例如，人们常说的“大”、“小”、“多”、“少”等概念，其本身就是模糊的。为处理这种模糊性，扎德(Zadeh)于 于 1965 年提出了 模糊集合理论 。此后，它又把这一理论应用到 近似推理方面于 ，并于 1978 年提出了 可能性理论 。扎德认为，可能性理论是处理模糊现象的一种极好的方法。

　86 . 08 . 0 4 . 0 9 . 0 6 . 0) ( ) ( ) 4 . 0 ( ) 6 . 0 ( (2 2 1 1 2 1       E CF E CF E AND E CF  67 . 014 . 0 18 . 0 35 . 069 . 0 2 . 0 6 . 0 3 . 0 7 . 0 5 . 0) 2 . 0 ( ) 3 . 0 ( ) 5 . 0 ( (5 4 3       E AND E AND E CF69 . 0 86 . 0 8 . 0 ) (    E CF

　本节先讨论模糊集合的概念，然后再讨论模糊知识表示和模糊推理问题。

　4.2.1 模糊逻辑基础 模糊性是指客观事物在 形态 和 属性 方面的不确定性。

　例如 ，“高山看上去比较高，但却不太胖”所描述的是高山在体征属性方面的两个特征，由于 “ 比较高 ”和“ 不太胖 ”是两个模糊。

　概念，因此，对高山体征属性的这种描述是模糊的。

　（秃头悖论）

　1. 模糊集与隶属函数 在可能性理论中，模糊概念可用相应的模糊集来刻画。

　模糊集是对普通集合的扩充，它又可用其隶属函数来刻画。

　关于模糊集及其隶属函数，扎德给出了如下定义：

　义 定义 4.13 设 U 是给定论域（即问题所限定的范围），F 是把任意 u u∈ ∈U 映射为[0, 1] 上某个值的函数，即

　 F ：

　：U →[0, 1]

　u→ → ) (uF

　则称F 在 为定义在 U 上的一个 隶属函数 ，由 ) (uF 有 （对所有 u  U ）所构成的集合 F 称为 U 上 上的一个 模糊集 ， ) (uF 为 称为 u 对 F 的 的 隶属度。

　。

　集 从这个定义可以看出，模糊集 F 完全是由隶属函数F 来刻画的，F 把 把 U 中的每一个元素 素 u 都映射为[0, 1] 上的一个值 ) (uF 。

　) (uF 示 的值表示 u 隶属于 F 的程度，其值越大，表示u 隶属于 F 的程度越高。

　当 ) (uF 取 仅取 0 和 1 时 时集 ，模糊集 F 便退化为一个 普通集合。

　。

　一般来说，一个 非空的论域， 可以对应多个不同的模糊集；一个 空的论域 ，只能对应一个空的模糊集。但是，一个 模糊集与其隶属函数 之间却是 一一对应 关系，即一个模糊集只能由一个隶属函数来刻画，一个隶属函数又只能刻画一个模糊集。

　例 例 4.11 设论域 U={20, 30, 40, 50, 60} 给出的是年龄，请确定一个刻画模糊概念“ 年轻集 ”的模糊集 F 。

　解：

　由于模糊集是用其隶属函数来刻画的，因此需要先求出描述模糊概念“年轻”的隶属域 函数。假设对论域 U 中的元素，其隶属函数值分别为：

　0 ) 60 ( , 1 . 0 ) 50 (, 4 . 0 ) 40 ( , 8 . 0 ) 30 ( , 1 ) 20 (   F FF F F   （分段函数）

　则可得到刻画模糊概念“年轻”的 模糊集 F={ 1, 0.8, 0.6, 0.1, 0} 集 即模糊集 F 的元素实际上就是 U 中相应元素的隶属函数值，该值表示的是某一年龄对模糊概念

　“年轻”的 隶属程度 。

　例如， ，30 岁对模糊概念“年轻”的隶属程度是 是 0.8。

　。

　隶属度 和 概率 是完全 不同 的两个量。例如，30 岁对年轻的隶属度是 0.8 ，可以理解为 30 岁的人中有 80% 的特征为 和年轻人一样。但是，绝对不能理解为 30 岁的人占年轻人数的 80% ，也不能理解为 30 岁的人有 中有 80% 是年轻人。

　实际上，隶属程度所反映的只是一种 可能性即 ，即 U 中某一元素是某个模糊概念的可能性。例如，对上面的例子我们也可以说：30 岁是年轻的可能性为 0.8 。在可能性理论中，“U 中元素是某个模糊概念的可能性”可以用 可能性分布函数 来描述。

　义 定义 4.14 设 U 是给定论域，x 是在 U 上取值的变量，则 可能性分布函数 示 表示 x 取 u(u ∈U) 值的可能性。

　而“x 取 u 值的可能性”是用 poss{x=u} 表示的，即 poss{x=u}=Л Л x (u) 。例如，对“x 是年轻”这一命题，poss{x=30}=0.8 表示 30 岁是年轻的可能性为 0.8 。

　果 对可能性分布函数，如果 x 取 U 上的所有值，则可得到 x 在 U 上的一个 可能性分布Π Πx。

　。从本质上讲，x 的可能性分布Π Πx 是一个模糊集，即Π Πx=F ，它用来定义 x 在 U 上取任何可能值的可能性。

　从上面的分析可以看出， 可能性分布函数与隶属函数密不可分 ，它们之间存在如下关系：

　 Лx (u)= ) (uF

　u ∈U 即 即

　 poss{x=u}= ) (uF

　2. 模糊集的表示方法 模糊集的表示方法与论域性质（如 离散 的和 连续：

　的）有关，下面分两种不同情况进行讨论：

　(1) 离散且为有限论域的表示方法( 信号抽样－＞数字化) 设论域

　 U={u1, u2, … , un} 为离散论域，则其模糊集可表示为：

　 F={ ) (1uF , ) (2uF , … , ) (n Fu  } 为了能够表示出论域中的 元素与其隶属度 之间的对应关系， 扎德 引入了一种模糊集的表示方式：先为论域中的每个元素都标上其隶属度，然后再用“+ ”号把它们连接起来，即 也可写成 其中， ) (i Fu  为 为 ui 对 对 F 的隶属度；“i i Fu u / ) (  ” 不是相除 关系，只是一个记号；“+ ”也 不是算术意义上的加 ，只是一个 连接符 号。

　] 1 , 0 [ :  Uxn n F F Fu u u u u u F / ) ( / ) ( / ) (2 2 1 1       nii i Fu u F1/ ) ( 

　个 在这种表示方法中，当某个 ui 对 对 F 的 的 隶属度i Fu) (  =0 时， 可省 略 不写。例如，前面例4.4 的模糊集 F 可表示为：

　F= 1/20+ 0.8/30+ 0.6/40+ 0.2/50 有时 ，模糊集 也可写成如下两种形式：

　：

　其中，前一种称为 单点形式 ，后一种称为 序偶形式。

　。

　 (2) 连续论域的表示方法 如果论域是连续的，则其模糊集可用一个 实函数 来表示。

　例如 ，扎德以年龄为论域，取U=[0, 100] ，给出了“年轻”与“年老”这两的模糊概念的隶属函数

　(3) 一般表示方法 域 不管论域 U 是有限的还是无限的，是连续的还是离散的，扎德又给出了一种 类似于积分 的一般表示形式：

　这 里的记号  不是数学中的积分符号，也不是求和 ，只是表示论域中各元素与其隶属度对应关系的 总括。

　。

　3. 模糊集的运算 模糊集与普通集合类似，也有 相等 、 包含 、 交 、 并 、 补 等运算。

　义 定义 4.16 设 F 、G 分别是 U 上的两个模糊集，对任意 u ∈U ，都有 称 成立，则称 F 等于 G ，记为 F=G 。

　义 定义 4.17 设 F 、G 分别是 U 上的两个模糊集，对任意 u ∈U ，都有 )} ), ( ( , ), ), ( ( ), ), ( {(} / ) ( , , / ) ( , / ) ( {2 2 1 12 2 1 1n n F F Fn n F F Fu u u u u u Fu u u u u u F    或者100 u 2525 0] )525( 1 [1) (1 2  当当年轻uuu 100 u 5050 0] )505( 1 [0) (1 2  当当年老uuu U uFu u F / ) ( ) ( ) ( u uG F  

　称 成立，则称 F 含于 G ，记为 F  G 。

　义 定义 4.18 设 F 、G 分别是 U 上的两个模糊集，则 F ∪G 、F ∩G 分别称为 F 与 G 的 的 并集 、交集 ，它们的隶属函数分别为：

　为简便起见，模糊集合论中通常用“ ∨ ”代表 表 max, “ “ ∧表 ”代表 min 。即有

　义 定义 4.19 设 F 为 U 上的模糊集，称﹁ ﹁F 为 F 的 的 补集 ，其隶属函数为：

　例 例 4.12 设 U={1,2,3} ，F 和 G 分别是 U 上的两个模糊集，即

　 F= 小=1/1+0.6/2+0.1/3

　 G= 大=0.1/1+0.6/2+1/3 则 则

　 F ∪G=(1 ∨0.1)/1+(0.6 ∨0.6)/2+(0.1 ∨1)/3=1/1+0.6/2+1/3

　 F ∩G=(1 ∧0.1)/1+(0.6 ∧0.6)/2+(0.1 ∧1)/3=0.1/1+0.6/2+0.1/3

　 ﹁F=(1-1)/1+(1-0.6)/2+(1-0.1)/3=0.4/2+0.9/3 从这个例子可以看出，两个模糊集之间的运算实际上就是 逐点 对隶属函数作相应的运算。

　4. 模糊关系 模糊集上的 模糊关系 是对普通集合上的确定关系的扩充。在 普通集合中 ，关系是通过笛卡尔乘积定义的。

　设 设 V 与 W 是两个普通集合，V 与 W 的笛卡尔乘积为

　 V ×W ={(v,w) ∣任意 v v  V ，任意 w  W} 可见，V 与 W 的笛卡尔乘积是由 V 与 W 上 上 所有可能的序偶(v, w) 构成的一个集合。

　从 所谓从 V 到 W 的 的系 关系 R ，是指 V ×W 上的一个子集，即 R 

　V ×W ，记为 于 对于 V ×W 中的元素(v,w) ，若(v,w) ∈R ，则称 v 与 w 有关系 R ；若(v,w)  R ，则称 v 与 w没有关系。

　。

　例 例 4.13 设 V={1 班，2 班，3 班}

　W={ 男队，女队} 则 则 V ×W 中有 6 个元素，即

　 V ×W ={(1 班，男队) ，(2 班，男队) ，(3 班，男队) ， (1 班，女队) ，(2 班，女队) ，(3 班，女队)} 其中， 每个元素是 是一代表队。假设要进行一种双方对垒的循环赛，则每一个赛局都是 V ×W 中 中) ( ) ( u uG F     ) ( ), ( min ) ( :) ( ), ( max ) ( :u u u G Fu u u G FG FU uG FG FU uG F    ) ( ) ( ) ( :) ( ) ( ) ( :u u u G Fu u u G FG F G FG F G F      ) ( 1 ) ( : u u FF F    W VR 

　了 的一个子集，它构成了 V ×W 上的一个关系。

　在普通集合上定义的关系都是 确定性关系， ，v 与 w 之间有没有某种关系是十分明确的。但在 模糊集合 上一般不存在这种明确关系，而是一种 模糊关系。

　。

　下面我们就来定义模糊集合上的 笛卡尔乘积 和 模糊关系。

　。

　义 定义 4.20 设 Fi 是 Ui(i=1,2,…,n) 上的模糊集，则称

　为 为 F1,F2,…,Fn 的 笛卡尔乘积是 ，它是 U1 ×U2× ×… ×Un 上的一个 模糊集。

　。

　义 定义4.21 在U1 ×U2× ×… ×Un 上的一个n元 元系 模糊关系R 是指以U1 ×U2× ×… ×Un 为论域的一个模糊集，记为

　在上面的两个定义中， ) (i Fui (i=1,2,…,n)集 是模糊集 Fi 的隶属函数 ； ) , , , (2 1 n Ru u u   是系 模糊关系 R 的隶属函数把 ，它把 U1 ×U2× ×… ×Un 上的每一个元素(u1,u2,…,un) 映射为[0,1] 上的一个实数，该实数反映出 u1,u2,…,un 系 具有关系 R 的程度。

　。

　例如当 ，当 n=2 时有 其中， ) , ( v uR 了 反映了 u 与 v 具有关系 R 的程度。

　例 例 4.14 设有一组学生

　 U={u1,u2}={ 秦学，郝玩} 一些在计算机上的活动

　 V={v1,v2,v3}={ 编程，上网，玩游戏} 并设每个学生对各种活动的爱好程度分别为 ) , (j i Rv u  i=1,2 ；j=1,2,3 ，即

　则 则 U ×V 上的模糊关系 R 为 此外，U 与 V 可以有相同的论域，即 U=V 。当 U=V 时，R 应该是 U ×U 上的模糊关系。

　5. 模糊关系 的合成         nnU U Un n F F F nu u u u u u F F F  2 12 1) , , , /( )) ( ) ( ) ( (2 1 2 1 2 1  ) , , , /( ) , , , (2 1 2 12 1nU U Un Ru u u u u u Rn    V URv u v u R ) , /( ) , ( 8 . 0 ) , ( 3 . 0 ) , ( , 2 . 0 ) , (, 0 ) , ( 6 . 0 ) , ( , 9 . 0 ) , (    玩游戏 郝玩 ， 上网 郝玩 编程 郝玩玩游戏 秦学 ， 上网 秦学 编程 秦学R R RR R R    8 . 0 3 . 0 2 . 00 6 . 0 9 . 0R

　义 定义 4.21 设 R1 与 与 R2 分别是 U ×V 与 与 V ×W 上的两个模糊关系，则 R1 与 与 R2 的合成是从 从 U 到 W 的一个模糊关系，记为

　 R1 οR2

　其隶属函数为 其中， ∧和∨分别表示取最小和取最大。这样，即可求得合成关系中的 每一个元素 。

　例 例 4.15 设有以下两个模糊关系 则 则 R1 与 R2 的合成是 其 方法把 是把 R1 的第 i 行元素分别与 R2 的第 j 列的对应元素相比较，两个数中 取最小 者，然后再在所得的一组最小数中 取最大的为 一个，并以此数作为 R1 οR2 的元素 R(i,j) 。例如 R(1,1)=(0.4 ∧0.7) ∨(0.5 ∧0.2) ∨(0.6 ∧0.5)=0.4 ∨0.2 ∨0.5=0.5 R(2,1)= (0.8 ∧0.7) ∨(0.3 ∧0.2) ∨(0.7 ∧0.5)=0.7 ∨0.2 ∨0.5=0.7

　6. 模糊变换 义 定义 4.22 设 设 } ), ( , ), ( ), ( {2 1 n F F Fu u u F      域 是论域 U 上的 模糊集， ，R 是 U ×V 上的 模糊关系 ，则

　 F οR=G 称为 模糊变换。

　。

　例 例 4.16 设

　 F={1, 0.6, 0.2} 则 则 G= F οR={1 ∧1 ∨0.6 ∧0.5 ∨0.2 ∧0, 1 ∧0.5 ∨0.6 ∧1 ∨0.2 ∧0.5,

　1 ∧0 ∨0.6 ∧0.5 ∨0.2 ∧1, 1 ∧0 ∨0.6 ∧0 ∨0.2 ∧0.5,}

　={1, 0.6, 0.5, 0.2} 4.2.2 模糊知识表示 由前面的分析可知， 模糊集所描述的是由模糊引起的不确定性 。在模糊集的基础上，可实现的对模糊命题和模糊知识的表示。

　1. 语言变量 模糊逻辑中所使用的变量是语言变量，所谓 语言变量 是指用自然语言中的 词 或 句子 表示的)} , ( ) , ( { ) , (2 1 2 1w v v u w uR R R R     3 . 0 5 . 08 . 0 2 . 09 . 0 7 . 07 . 0 3 . 0 8 . 06 . 0 5 . 0 4 . 02 1R R 8 . 0 7 . 05 . 0 5 . 02 1R R R 5 . 0 1 5 . 0 00 5 . 0 1 5 . 00 0 5 . 0 1R

　变量。

　例如 ，变量“ 年龄 ”在普通集合中为 数字量 变量 u  [0 ，150] ，而在模糊集和中可使用语言变量，该语言变量的取值可以是 年轻 、 很年轻 、 不很年轻 、 老 、 不很老 、 很老 等。这些值可看作域 是论域 U=[0 ，150] 上模糊集的集合名。

　事实上，语言变量的值可以由一个或多个 原始值 再加上一组 修饰词 和 连词 来组成的。例如，上面给出的语言变量“年龄”， 其 原始词为“年轻”、“老”，若加上修饰词“不很”可得到“不很年轻”、“不很老”，若再加上连词“且”，则可得到“不很年轻

　且

　不很老” 2. 模糊命题的描述

　 模糊逻辑 是通过 模糊谓词 、 模糊量词 、 模糊概率 、 模糊可能性 、 模糊真值 、 模糊修饰语 等对命题的模糊性进行描述的。

　(1) 模糊谓词 设 设 x 为在 U 中取值的变量，F 为模糊谓词，即 即 U 中的一个模糊关系，则 命题 可表示为

　 x

　is

　F 其中的模糊谓词可以是大、小、年轻、年老、冷、暖、长、短等。

　(2) 模糊量词 模糊逻辑中使用了大量的模糊量词，如极少、很少、几个、少数、多数、大多数、几乎所有等。这些模糊量词可以使我们很方便地描述类似于下面的命题：

　 大多数成绩好的学生学习都很刻苦。

　 很少有成绩好的学生特别贪玩。

　(3) 模糊概率、模糊可能性和模糊真值 设 λ为模糊概率，π为模糊可能性，τ为模糊真值，则对命题还可以 附加概率限定、可能性限定和真值限定：

　(x

　is

　F)

　is

　λ

　 例如：

　x 或许年轻

　 (x

　is

　F)

　is

　π π

　例如：

　x 可能 年轻

　 (x

　is

　F)

　is

　τ τ

　例如：

　x 年轻有些假

　其中，λ可以是“或许”、“必须”等；π可以是“非常可能”、“很不可能”等；τ可以是“非常真”、“有些假”等。

　例如 ，“ 常青很可能是年轻的 ”可表示为

　( (Age(Chang qing ) is young) is likely (4) 模糊修饰语 设 设 m 是模糊修饰语，x 是变量，F 为模糊谓词，则模糊命 题可表示为

　 x

　is

　mF 模糊修饰语也称为 程度词 ，常用的程度词有“很”、“非常”、“有些”、“绝对”等。模糊修饰语的表达主要通过以下四种运算实现：

　① ① 求补

　 表示否定，如“不”、“非”等，其隶属函数的表示为 ②

　集中

　表示“很”、“非常”等，其效果是减少隶属函数的值：

　③ ③

　扩张

　表示“有些”、“稍微”等，其效果是增加隶属函数的值：

　④

　加强对比

　表示“ 明确 ”、“ 确定加 ”等，其效果是增加 0.5 以上隶属函数的值，减少 0.5] 1 , 0 [ ) ( 1 ) (    u u uF F  非] 1 , 0 [ ) ( ) (2  u u uF F  非常] 1 , 0 [ ) ( ) ( 21  u u uF F  有些

　以下隶属函数的值：（使用分段函数）

　 上 在以上 4 种运 算中，集中与扩张用得最多。

　例如 ，语言变量“真实性”取值“真”和“假”的隶属函数定义为 则“非常真”、“有些真”、“非常假”、“有些假”可定义为

　 ， 由以上几个方面的讨论可以看出， 模糊逻辑对不确定性的描述要比传统的二值逻辑更为灵活、全面，也更接近于自然语言的描述。

　3. 模糊知识的表示 在扎德的推理模型中，产生式规则的表示形式是

　 IF

　x

　is

　F

　THEN

　y

　is

　G 其中， ，x 和 y 是变量，表示对象；F 和 G 分别是论域 U 及 V 上的模糊集，表示概念。并且条件部分可以是多个“xi

　is

　Fi。

　”的逻辑组合，此时，诸隶属函数间的运算按模糊集的运算进行。

　模糊推理中所用的证据是用模糊命题表示的，其一般形式为

　 x

　is

　F" ， 其中，F" 是论域 U 上的模糊集。

　4.2.3 模糊概念的匹配

　模糊概念的匹配是指对两个模糊概念相似程度的比较与判断，而两个模糊概念的 相似程度又称为 匹配度 。本节主要讨论 语义距离 和 贴近度 这两种计算匹配度的方法。

　1. 语义距离 语义距离刻画的实际上是两个模糊概念之间的 差异 ，常用的计算语义距离的方法有多种，本节主要介绍 海明距离。

　。

　设 设 U={u1, u2, … , un} 是一个 离散 有限论域， ，F 和 G 分别是论域 U 上的两个模糊概念的模则 糊集，则 F 和 G 的海明距离定义为 域 如果论域 U 是 是 实数域 上的某个闭区间[a, b] ，则海明距离为     1 ) ( 5 . 0 )) ( 1 ( 2 15 . 0 ) ( 0 ) ( 2) (22u uu uuF FF FF  若若确实] 1 , 0 [ 1 ) (] 1 , 0 [ ) (   u u uu u u假真] 1 , 0 [ ) (] 1 , 0 [ ) (212  u u uu u u有些真非常真] 1 , 0 [ 1 ) (] 1 , 0 [ 1 ) (212    u u uu u u）

　（）

　（有些假非常假

　 例 例 4.17 设论域 U={-10, 0, 10, 20, 30} 表示温度，模糊集

　F= 0.8/-10+0.5/0+0.1/10

　 G=0.9/-10+0.6/0+0.2/10 分别表示“ 冷 ”和“ 比较冷 ”，则

　d(F,G)=0.2 ×(| | 0.8- - 0.9| |+ +| | 0.5- - 0.6| |+ +| | 0.1- - 0.2| |)=0.2 ×0.3=0.06 即 即 F 和 G 的海明距为 离为 0.06 。

　对求出的 海明距离 ，可通过 下式 1-d(F, G) 将其转换为 匹配度 。当 匹配度大于 某个事先给定的 阈值 时第 （第 2 章中的不确定性已知条件与规则库中规则前件的匹配搜索，已知部分条件，诊断专家系统，基于过程知识表示，6 种动物识）

　别，框架搜索等等）

　，认为两个模糊概念是相匹配的。当然，也可以 直接 用语义距离来判断两个模糊概念是否匹配。这时，需要检查语义距离是否小于某个给定的阈值，距离越小说明两者越相似。

　2. 贴近度 贴近度是指两个概念的 接近程度 ，可直接用来作为匹配度。

　设 设 F 和 G 分别是论域

　 U={u1, u2, … , un} 上的两个模糊概念的模糊集，则它们的贴近度定义为 (F, G)=21( F ·G+(1-F ⊙G)) 其中：

　 F ⊙G= )) ( ) ( (i G i FUu u    称 称 F ·G 为 F 与 G 的 的 内积， ，F ⊙G 为 F 与 G 的 的 外积。

　。

　例 例 4.18 设论域 U 及其上的模糊集 F 和 G 如上例所示，则

　 F ·G=0.8 ∧0.9 ∨0.5 ∧0.6 ∨0.1 ∧0.2 ∨0 ∧0 ∨0 ∧0=0.8 ∨0.5 ∨0.1 ∨0 ∨0=0.8

　 F ⊙G=

　( (0.8 ∨0.9) ∧( (0.5 ∨0.6) ∧( (0.1 ∨0.2)

　∧( (0 ∨0) ∧( (0 ∨0)=0.9 ∧0.6 ∧0.2 ∧0 ∧0=0

　 (F, G)=0.5 ×(0.8+(1-0))=0.5 ×1.8=0.9

　)) ( ) ( (i G i FUu u G F       nii G i Fu unG F d1) ( ) (1) , (  ) ( ) ( ) (1) , ( u d u ua bG F dbaG F   

　即 即 F 和 G 的贴近度为 0.9 。实际上，当用贴近度作为匹配度时，其值越大越好，当贴近度大于某个事先给定的阈值时，认为两个模糊概念是相匹配的。

　例子：（知识过程表示，更多是用数据结构来表示）

　r1001:IF

　 发烧( 权 0.9)

　AND

　流鼻涕

　 THEN

　 感冒

　 (0.8) 综合库：已知：发烧 问题：规则 则 r1001 是否能够成为可用规则库的待用规则

　？ ？

　4.2.4 模糊推理

　 。

　模糊推理是按照给定的推理模式通过模糊集的合成来实现的。

　而模糊集的合成实际上又是通过 模糊集 与 模糊关系的合成 来实现的。可见，模糊关系在模糊推理中占有重要位置。为此，在讨论模糊推理方法之前，先对 模糊关系的构造 问题进行简单介绍。

　1. 模糊关系的构造

　 前面曾经介绍过模糊关系的概念，这里主要讨论由模糊集构造模糊关系的方法。目前已有多种构造模糊关系的方法，先面仅介绍其中最常用的几种。

　(1) 模糊关系 Rm 系 模糊关系 Rm 是由扎德提出的一种构造模糊关系的方法。设 设 F 和 G 分别是论域 U 和 V 上 上则 的两个模糊集，则 Rm 定义为 其中， × 号表示模糊集的笛卡尔乘积。

　例 例 4.19 设 U=V={1 ，2 ，3} ，F 和 G 分别是 U 和 V 上的两个模糊集，并设

　 F=1/1+0.6/2+0.1/3

　 G=0.1/1+0.6/2+1/3 则 则 Rm 为 以 下面以 Rm(2, 3) 为例来说明 Rm 中元素的求法

　 =(0.6 ∧1) ∨(1-0.6)=0.6 ∨0.4=0.6 (2) 模糊关系 Rc 系 模糊关系 Rc 是由麦姆德尼(Mamdani) 提出的一种构造模糊关系的方法。设 F 和 G 分别 是域 论域 U 和 V 上的两个模糊集，则 Rc 定义为 例如例 ，例 4.19 所给出的模糊集，其 Rc 为    V UF G F mv u u v u R ) , /( )) ( 1 ( )) ( ) ( (   9 . 0 9 . 0 9 . 06 . 0 6 . 0 4 . 01 6 . 0 1 . 0mR)) ( 1 ( )) ( ) ( ( ) 3 , 2 (2 3 2u v u RF G F m       V UG F cv u v u R ) , /( )) ( ) ( (  1 . 0 1 . 0 1 . 06 . 0 6 . 0 1 . 01 6 . 0 1 . 0cR

　以 下面以 Rc(3, 2) 为例来说明 Rc 中元素的求法

　(3) 模糊关系 Rg 系 模糊关系 Rg 是米祖莫托(Mizumoto) 提出的一种构造模糊关系的方法。设 F 和 G 分别是论域 域 U 和 V 上的两个模糊集，则 Rg 定义为 其中 例如例 ，例 4.19 所给出的模糊集，其 Rg 为

　 其中：

　 2. 模糊推理的基本方法

　与自然演绎推理相对应，模糊推理也有相应的三种基本模式，即 模糊假言推理 、 拒取式推理 及 模糊假言三段论 推理。

　(1) 模糊假言推理 在普通集上的假 言推理为：

　P,

　P →Q ＝＞ Q 而对模糊集 设 设 F 和 G 分别是 U 和 V 上的两个模糊集，且有知识

　 IF

　x

　is

　F

　THEN

　y

　is

　G 有 若有 U 上的一个模糊集 F " ，且 F 可以和 F" 匹配，则可以推出 y

　is

　G " ，且 G " 是 V 上的一个模糊集。这种推理模式称为 模糊假言推理 ，其表示形式为：

　 知识：IF

　x

　is

　F

　THEN

　y

　is

　G

　 证据：x

　is

　F "

　---------------------------------------------------------

　 结论：

　 y

　is

　G " 在这种推理模式下，模糊知识  V UG F gv u v u R ) , /( )) ( ) ( (   时 当时 当) ( ) ( ) () ( ) ( 1) ( ) (v u vv uv uG F GG FG F    1 . 0 6 . 0 1 . 0 ) ( ) ( ) 2 , 3 (2 3     v u RG F c 1 1 11 1 1 . 01 6 . 0 1 . 0gR

　IF

　x

　is

　F

　THEN

　y

　is

　G 在 表示在 F 与 G 之间存在着确定的因果关系，设此为 因果关系为 R 。那么，当已知的模糊事实 F "和 可以和 F 匹配时，则可通过 F" 与 R 的合成到 得到 G " ，即

　 G "=F" οR 系 其中的模糊关系 R ，可以是 Rm 、Rc 或 Rg 中的任何一种。

　例 例 4.20 对例 4.19 所给出的 F 、G ，以及所求出的 Rm ，设有已知事实

　 x

　 is

　 较小 并设“ 较小 ”的模糊集为

　 较小=1/1+0.7/2+0.2/3 求在此已知事实下的 模糊结论。

　。

　解系 ：本例的模糊关系 Rm 已在例 4.19 中求出，设已知模糊事实“较小”为 F " ，F " 与 Rm论 的合成即为所求结论 G " 。

　={0.4,

　0.6, 1} 论 即所求出的模糊结论 G " 为

　 G "=0.4/1+0.6/2+1/3 算 如果把计算 Rm 的公式代入到求 G" 的公式中求 ，则可得到求 G "的 的 一般公式：

　：

　事实上 于 由于 U 和 V 分别是 F 和 G 的论域，Rm 是 U 到 V 的一个关系，而 G "=F" οRm

　 其中：F’ 是一向量，Rm 是一矩阵， 其合成应为一向量。有公式

　    v R u R Fm FV vum/ ""   

　将 将 Rm 的公式带入即得上式。

　由 在实际应用中，可直接利用此公式由 F 、G 和 F" 求出 G" 。

　系 同理，对模糊关系 Rc ，也可推出求 G" 的一般公式：

　由 在实际应用中，也可直接利用此公式由 F 、G 和 F" 求出 G" 。

　 (2) 模糊拒取式推理方法

　在普通集上的拒取式推理为：

　 ¬ ¬Q,

　P →Q ＝＞ ¬ ¬P 而对模糊集 设 设 F 和 G 分别是 U 和 V 上的两个模糊集，且有知识  9 . 0 9 . 0 9 . 06 . 0 6 . 0 4 . 01 6 . 0 1 . 0} 2 . 0 , 7 . 0 , 1 {" " mR F G  v u v u u R F GF G FFV vum/ )] ( 1 ( )) ( ) ( [( ) ( " ""          v v u u R F GG F FV vuC/ )]} ( ) ( [ ) ( { """ "       

　IF

　x

　is

　F

　THEN

　y

　is

　G 有 若有 V 上的一个模糊集 G" ，且 G 可以和 G" 匹配，则可以推出 x

　is

　F" ，且 F" 是 U 上的一个模糊集。这种推理模式称为模糊拒取式推理。它可表示为：

　 知识：IF

　x

　is

　F

　THEN

　y

　is

　G

　 证据：

　y

　is

　G"

　---------------------------------------------------------

　 结论：x

　is

　F" 在这种推理模式下，模糊知识

　 IF

　x

　is

　F

　THEN

　y

　is

　G 在 也表示在 F 与 与 G 之间存在着确定的因果关系，设此因果关系为 R 。那么，当已知的模糊事实G" 可以和模糊假设 G 匹配时，则可通过 R 与 G" 的合成得到 F " ，即

　 F"=R οG" 系 其中的模糊关系 R ，可以是 Rm 、Rc 或 Rg 中的任何一种。

　例 例 4.21 设 F 、G 如例 4.19 所示，已知事实为

　 y

　 is

　 较大 且“较大” 的模糊集为

　 较大=0.2/1+0.7/2+1/3 与 若已知事实与 G 匹配，以模糊关系 Rc 为例，在此已知事实下推出 F" 。

　解：系 本例的模糊关系 Rc 已在前面求出，设模糊概念“较大”为 G" ，则 Rc 与 G" 的合成即的 为所求的 F " 。

　的 即所求出的 F" 为

　 F"=1/1+0.6/2+0.1/3

　 和模糊假言推理类似，也可把计算 Rm 、Rc 的公式代入到求 F" 的公式中，得到求 F" 的一般对 公式。对 Rm 有 系 同理，对模糊关系 Rc ，也可推出求 F" 的一般公式：

　由 在实际应用中，也可直接利用这些公式由 F 、G 和 G" 求出 F " 。

　(3) 模糊假言三段论推理 在普通集上的假言三段论推理为：

　 P → Q,

　Q → R ＝＞ P → →R 而对模糊集 设 设 F 、G 、H 分别是 U 、V 、W 上的 3 个模糊集，且由知识  1 . 06 . 0117 . 02 . 01 . 0 1 . 0 1 . 06 . 0 6 . 0 1 . 01 6 . 0 1 . 0" " G R Fc  u v u v u G R FGF GFU uvm/ ) ( )] ( 1 ( )) ( ) ( [( "" ""          v v u u G R FBG FU uvc/ )} ( )] ( ) ( {["""" "       

　IF

　x

　is

　F

　THEN

　y

　is

　G

　 IF

　y

　is

　G

　THEN

　z

　is

　H 则可推出

　 IF

　x

　is

　F

　THEN

　z

　is

　H 这种推理模式称为模糊假言三段论推理。它可表示为：

　 知识：IF

　x

　is

　F

　THEN

　y

　is

　G

　 证据：IF

　y

　is

　G

　THEN

　z

　is

　H

　---------------------------------------------------------

　 结论：IF

　x

　is

　F

　THEN

　z

　is

　H 在这种推理模式下，模糊知识

　 r1:

　IF

　x

　is

　F

　THEN

　y

　is

　G 在 表示在 F 与 G 之间存在着确定的因果关系，设此因果关系为 R1 。模糊知识

　 r2:

　IF

　y

　is

　G

　THEN

　z

　is

　H 在 表示在 G 与 H 之间存在着确定的因果关系，设此因果关系为 R2 。

　则 若模糊假言三段论成立，则 r3 的模糊关系 R3 可由 R1 与 R2 的合成得到。即

　 R3=R1 οR2 系 这里的关系 R1 、R2 、R3 都可以是前面所讨论过的 Rm 、Rc 、Rg 中的任何一种。为说明这一方法，下面讨论一个例子。

　例 例 4.22 设 U=W=V={1, 2, 3}

　E=1/1+0.6/2+0.2/3

　F=0.8/1+0.5/2+0.1/3

　G=0.2/1+0.6/2+1/3 按 按 Rg 求 E ×F× ×G G 系 上的关系 R 。

　解：求 先求 E ×F 上的关系 R1 （以 R1 中第一行第一列元素为例：按照 Rg 的定义可知，如果 时 当 ) ( ) ( v uG F   ，则对应项取 1，否则取较小项做为对应项。

　）

　求 再求 F ×G 上的关系 R2

　 求 最后求 E ×F ×G 上的关系 R

　1 . 0 1 11 . 0 5 . 0 11 . 0 5 . 0 8 . 01R1 1 11 1 2 . 01 6 . 0 2 . 02R

　 本章重点

　1. 确定性理论的 C-F 模型（4.3.2 节）

　2. 模糊推理（4.6.4 节）

　 1 1 2 . 01 8 . 0 2 . 08 . 0 6 . 0 2 . 02 1R R R 