方法技巧专题22,概率与离散型随机变量分布列及期望（原卷版）

时间：2020-11-25 15:20:01 来源：蒲公英阅读网 本文已影响人

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　 方法技巧 22

　概率与离散型随机变量的分布列及期望

　[学生篇]

　 一、

　概率与离散型随机变量的分布列及期望知识框架

　 二、求随机变量的概率的方法

　 【一】利用古典概型求随机变量的概率

　 1. 例题 【例 1】已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为 240,160,160.现采用分层抽样的方法从中抽取 7 名同学去某敬老院参加献爱心活动. (1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？ (2)设抽出的 7 名同学分别用 A，B，C，D，E，F，G 表示，现从中随机抽取 2 名同学承担敬老院的卫生工作. ①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果； ②设 M 为事件“抽取的 2 名同学来自同一年级”，求事件 M 发生的概率.

　【例 2】在某大型活动中，甲、乙等五名志愿者被随机地分到 A，B，C，D 四个不同的岗位服务，每个岗1 、古典概型的定义：如果一个随机试验所包含的单位事件是有限的，且每个单位事件发生的可能性均相等，则这个随机试验叫做拉普拉斯试验，这种条件下的概率模型就叫古典概型。

　2 、求古典概型概率的步骤：

　（1）判断试验是否为古典概型； （2）利用列举法或排列组合知识求出基本事件总数 n 与事件 A 包含的基本事件数 m ； （3）利用公式nmA P  ）

　（ 求出事件 A 的概率.

　 位至少有一名志愿者. (1)求甲、乙两人同时参加 A 岗位服务的概率； (2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率； (3)求五名志愿者中仅有一人参加 A 岗位服务的概率.

　2.巩固提升综合练习 【练习 1】已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为 240,160,160.现采用分层抽样的方法从中抽取 7 名同学去某敬老院参加献爱心活动． (1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？ (2)设抽出的 7 名同学分别用 A ， B ， C ， D ， E ， F ， G 表示，现从中随机抽取 2 名同学承担敬老院的卫生工作． ①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果； ②设 M 为事件“抽取的 2 名同学来自同一年级”，求事件 M 发生的概率．

　【练习 2】2019 年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有 人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取 人调查专项附加扣除的享受情况. （Ⅰ）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？ （Ⅱ）抽取的 25 人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有 6 人，分别记为 .享受情况如下表，其中“ ”表示享受，“×”表示不享受.现从这 6 人中随机抽取 2 人接受采访. 员工项目 A B C D E F 子女教育 ○ ○ × ○ × ○ 继续教育 × × ○ × ○ ○ 大病医疗 × × × ○ × × 住房贷款利息 ○ ○ × × ○ ○ 住房租金 × × ○ × × × 赡养老人 ○ ○ × × × ○ （i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果； （ii）设 为事件“抽取的 2 人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件 发生的概率. 【二】利用相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式求随机变量的概率

　72,108,12025, , , , , A B C D E FM M

　1.例题 【例 1】某商场有奖销售中，购满 100 元商品得 1 张奖券，多购多得.1 000 张奖券为一个开奖单位，设特等奖 1 个，一等奖 10 个，二等奖 50 个.设 1 张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为 A，B，C，求：

　(1)P(A)，P(B)，P(C)； (2)1 张奖券的中奖概率； (3)1 张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.

　 【例 2】(1)设每个工作日甲、乙、丙、丁 4 人需使用某种设备的概率分别为 0.6,0.5,0.5,0.4，各人是否需使用设备相互独立，则同一工作日至少 3 人需使用设备的概率为________. （2）某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的 5 个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是 0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了 4 个问题就晋级下一轮的概率为________. （3）保持本例(2)条件不变，则该选手恰好回答了 5 个问题就晋级下一轮的概率为________. （4）保持本例(2)条件不变，则该选手回答了 5 个问题(5 个问题必须全部回答)就结束的概率为________.

　 1、 、 相互独立事件：

　（1）定义：对于事件 A，B，若事件 A 的发生与事件 B 的发生互不影响，则称事件 A，B 是相互独立事件. （2）相互独立事件概率乘法公式：

　) ( ) ( ) ( B P A P AB P   . 2、 、 互斥事件：

　（1）定义：事件 A 与事件 B 在任何一次实验中不会同时发生. （2）概率加法公式：

　) ( ) ( ) ( B P A P B A P    . 3 、互斥事件与相互独立事件的相同点与不同点：

　（1）相同点：二者都是描述两个事件间的关系. （2）不同点：互斥事件强调两事件不可能同时发生，即 P(AB)＝0，相互独立事件则强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响.

　 【例 3】甲、乙两人组成“火星队”参加投篮游戏，每轮游戏中甲、乙各投一次，如果两人都投中，则“火星队”得 4 分；如果只有一人投中，则“火星队”得 2 分；如果两人都没投中，则“火星队”得 0 分 ． 已知甲每次投中的概率为 45 ，乙每次投中的概率为34 ；每轮游戏中甲、乙投中与否互不影响，假设“火星队”参加两轮游戏，求：

　(1)“火星队”至少投中 3 个球的概率； (2)“火星队”两轮游戏得分之和 X 的分布列和数学期望 E(X) ．

　2.巩固提升综合练习 【练习 1】某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的 100位顾客的相关数据，如下表所示. 一次购物量 1 至 4 件 5 至 8 件 9 至 12 件 13 至 16 件 17 件及以上 顾客数(人) x 30 25 y 10 结算时间 (分钟/人) 1 1.5 2 2.5 3 已知这 100 位顾客中一次购物量超过 8 件的顾客占 55%. (1)确定 x，y 的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值； (2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率.(将频率视为概率)

　【练习 2】某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为 23 和35 ． 现安排甲组研发新产品 A，乙组研发新产品 B．设甲、乙两组的研发相互独立 ．

　(1)求至少有一种新产品研发成功的概率； (2)若新产品 A 研发成功，预计企业可获利润 120 万元；若新产品 B 研发成功，预计企业可获利润 100万元 ． 求该企业可获利润的分布列 ．

　 【练习 3】从甲地到乙地要经过 3 个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为 12 ，13 ，14 . (1)设 X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量 X 的分布列； (2)若有 2 辆车独立地从甲地到乙地，求这 2 辆车共遇到 1 个红灯的概率.

　【练习 4】某射手每次射击击中目标的概率是 23 ，且各次射击的结果互不影响 ．

　(1)假设这名射手射击 5 次，求恰有 2 次击中目标的概率； (2)假设这名射手射击 5 次，求有 3 次连续击中目标，另外 2 次未击中目标的概率； (3)假设这名射手射击 3 次，每次射击，击中目标得 1 分，未击中目标得 0 分 ． 在 3 次射击中，若有 2次连续击中，而另外 1 次未击中，则额外加 1 分；若 3 次全击中，则额外加 3 分 ． 记 ξ 为射手射击 3 次后的总分数，求 ξ 的分布列 ．

　【三】利用条件概率公式求随机变量的概率

　 1.例题 【例 1】现有 3 道理科题和 2 道文科题共 5 道题，若不放回地一次抽取 2 道题，则在第 1 次抽到理科题的条件下，第 2 次抽到理科题的概率为________. 1 、 条件概率的定义: 对于任何两个事件 A 和 B ，在已知事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的概率叫做条件概率，用符号) ( A B P 来表示，其公式为) () () (A PAB PA B P  (P(A)＞0).

　2 、条件概率的求法：

　（1）利用定义，分别求出 ) (A P 、 ) (AB P ，得) () () (A PAB PA B P  ； （2）借助古典概型概率公式，先求事件 A 包含的基本事件数1n ，在事件 A 发生的条件下求事件 B 包含的基本事件数2n ，即12) (nnA B P  ； （3）求复杂事件的条件概率，可以把复杂事件分解为两个（或若干个）互斥事件的和，利用公式：

　) ( ) ( ) ) ( A C P A B P A C B P    ，其中 C B、 互斥.

　【例 2】将三颗骰子各掷一次，记事件 A 为“三个点数都不同”，B 为“至少出现一个 6 点”，则条件概率 P(A|B)＝__________，P(B|A)＝________. (2)从 1,2,3,4,5 中任取 2 个不同的数，事件 A＝“取到的 2 个数之和为偶数”，事件 B＝“取到的 2 个数均为偶数”，则 P(B|A)＝________.

　2.巩固提升综合练习 【练习 1】已知盒中装有 3 只螺口灯泡与 7 只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只且不放回，则在他第 1 次抽到的是螺口灯泡的条件下，第 2 次抽到的是卡口灯泡的概率为(

　) A．310

　 B． 29

　 C． 78

　 D． 79

　【练习 2】某个电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为 12 ，两次闭合后都出现红灯的概率为 15 ，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为

　(

　) A．110

　 B．15

　 C．25

　D．12

　【练习 3】高三毕业时，甲、乙、丙等五位同学站成一排合影留念，已知甲、乙二人相邻，则甲、丙相邻的概率是____________ ．

　 三、两个特殊离散型随机变量的分布列及数学期望

　 【一】二项分布

　1、 、 独立重复试验：

　（1）独立重复实验的定义：一般地，在相同条件下重复做的 n 次试验称为 n 次独立重复试验. （2）独立重复试验的条件：

　①每次试验在相同条件下可重复进行； ②各次试验是相互独立的； ③每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生. 2、 、 二项分布：

　（1）二项分布定义：一般地，在 n 次独立重复试验中，设事件 A 发生的次数为 X ，在每次试验中事件 A 发生的概率为 p ，则事件 A 恰好发生 k 次的概率为k n k knp p C k X P   ) 1 ( ）

　（ ， k ＝0,1,2，…， n ，则称随机变量 X 服从二项分布，记作 X～B(n，p)，并称 p 为成功概率. （2）判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点：

　①是否为 n 次独立重复试验； ②随机变量是否为某事件在这 n 次独立重复试验中发生的次数.

　 1.例题 【例 1】为研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门随机选取 100 名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在 55 名男性驾驶员中，平均车速超过 100 km/h 的有 40 人，不超过 100 km/h 的有 15 人；在 45 名女性驾驶员中，平均车速超过 100 km/h 的有 20 人，不超过 100 km/h的有 25 人 ．

　(1)在被调查的驾驶员中，从平均车速不超过 100 km/h 的人中随机抽取 2 人，求这 2 人恰好有 1 名男性驾驶员和 1 名女性驾驶员的概率； (2)以上述样本数据估计总体，从高速公路上行驶的家用轿车中随机抽取 3 辆，记这 3 辆车平均车速超过 100 km/h 且为男性驾驶员的车辆为 X，求 X 的分布列 ．

　 【例 2】一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得 10 分，出现两次音乐获得 20 分，出现三次音乐获得 100分，没有出现音乐则扣除 200 分(即获得－200 分) ． 设每次击鼓出现音乐的概率为 12 ，且各次击鼓出现音乐相互独立 ．

　(1)设每盘游戏获得的分数为 X，求 X 的分布列； (2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？

　2.巩固提升综合练习 【练习 1】甲、乙两位同学进入新华书店购买数学课外阅读书籍，经过筛选后，他们都对 , , A B C 三种书籍有购买意向，已知甲同学购买书籍 , , A B C 的概率分别为3 1 1, ,4 2 3,乙同学购买书籍 , , A B C 的概率分别为2 1 1, ,3 2 2,假设甲、乙是否购买 , , A B C 三种书籍相互独立. （1）求甲同学购买 3 种书籍的概率； （2）设甲、乙同学购买 2 种书籍的人数为 X ,求 X 的概率分布列和数学期望.

　 【练习 2】“移动支付、高铁、网购、共享单车”被称为中国的“新四大发明”.为了帮助 50 岁以上的中老年人更快地适应“移动支付”,某机构通过网络组织 50 岁以上的中老年人学习移动支付相关知识.学习结束后,每人都进行限时答卷,得分都在   50,100 内.在这些答卷(有大量答卷)中,随机抽出 200 份,统计得分绘出频率分布直方图如图.

　(1)求出图中 a 的值,并求样本中,答卷成绩在   80,90 上的人数; (2)以样本的频率为概率,从参加这次答卷的人群中,随机抽取 4 名,记成绩在 80 分以上(含 80 分)的人数为 X ,求 X 的分布列和期望.

　【二】超几何分布

　 1 、超几何分布列定义：

　在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有 X 件次品，则nNk nM NkMCC Ck X P  ) ( ， k ＝0,1,2，…，m，其中 m＝min{M，n}，且 n≤N，M≤N，n，M，N∈N* X 0 1 … k … m P nNnM N MCC C0 - 0 nNnM N MCC C1 - 1 … nNk nM NkMCC C … nNm nM NmMCC C- 若随机变量 X 的分布列具有上表形式，则称随机变量 X 服从超几何分布. 2：

　、超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：

　（1）考察对象分两类； （2）已知各类对象的个数； （3）从中抽取若干个个体，考查某类个体数 X 的概率分布． （4）超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型.

　3 、m ＝min{M ，n} 的理解 m 为 k 的最大取值，当抽取的产品件数不大于总体中次品件数，即 n≤M 时，k(抽取的样本中次品的件数)的最大值为 m＝n；当抽取的产品件数大于总体中次品件数，即 n＞M 时，k 的最大值为 m＝M.

　 1.例题 【例 1】在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有 6 名男志愿者 A 1 ，A 2 ，A 3 ，A 4 ，A 5 ，A 6 和 4 名 女志愿者 B 1 ，B 2 ，B 3 ，B 4 ，从中随机抽取 5 人接受甲种心理暗示，另 5 人接受乙种心理暗示.

　(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含 A 1 但不包含 B 1 的概率； (2)用 X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求 X 的分布列.

　 【例 2】为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员 3 名，其中种子选手 2 名；乙协会的运动员 5 名，其中种子选手 3 名.从这 8 名运动员中随机选择 4 人参加比赛. (1)设 A 为事件“选出的 4 人中恰有 2 名种子选手，且这 2 名种子选手来自同一个协会”，求事件 A 发生的概率； (2)设 X 为选出的 4 人中种子选手的人数，求随机变量 X 的分布列.

　 【例 3】为了减少雾霾，还城市一片蓝天，某市政府于 12 月 4 日到 12 月 31 日在主城区实行车辆限号出行政策，鼓励民众不开车低碳出行.市政府为了了解民众低碳出行的情况，统计了该市甲、乙两个单位各 200名员工 12 月 5 日到 12 月 14 日共 10 天的低碳出行的人数，画出茎叶图如图所示， (1)若甲单位数据的平均数是 122，求 x； (2)现从图中的数据中任取 4 天的数据(甲、乙两个单位中各取 2 天)，记抽取的 4 天中甲、乙两个单位员工低碳出行的人数不低于 130 的天数分别为 ξ 1 ， ξ 2 ，令 η＝ ξ 1 ＋ ξ 2 ，求 η 的分布列.

　 2.巩固提升综合练习

　【练习 1】某项大型赛事，需要从高校选拔青年志愿者，某大学学生实践中心积极参与，从 8 名学生会干部(其中男生 5 名，女生 3 名)中选 3 名参加志愿者服务活动.若所选 3 名学生中的女生人数为 X，求 X 的分布列.

　 【练习 2】长春市的“名师云课”活动自开展以来获得广大家长和学生的高度赞誉，在推出的第二季名师云课中，数学学科共计推出 36 节云课，为了更好地将课程内容呈现给学生，现对某一时段云课的点击量进行统计：

　点击量 [0,1 000] (1 000,3 000] (3 000，＋∞) 节数 6 18 12 (1)现从 36 节云课中采用分层抽样的方式选出 6 节，求选出的点击量超过 3 000 的节数； (2)为了更好地搭建云课平台，现将云课进行剪辑，若点击量在区间[0,1 000]内，则需要花费 40 分钟进行剪辑，若点击量在区间(1 000,3 000]内，则需要花费 20 分钟进行剪辑，点击量超过 3 000，则不需要剪辑，现从(1)中选出的 6 节课中随机取出 2 节课进行剪辑，求剪辑时间 X 的分布列.

　【练习 3】某电视台举行一个比赛类型的娱乐节目， A B 、 两队各有六名选手参赛，将他们首轮的比赛成绩作为样本数据，绘制成茎叶图如图所示，为了增加节目的趣味性，主持人故意将 A 队第六位选手的成绩没有给出，并且告知大家 B 队的平均分比 A 队的平均分多 4 分，同时规定如果某位选手的成绩不少于 21 分，则获得“晋级”.

　（1）主持人从 A 队所有选手成绩中随机抽取 2 个，求至少有一个为“晋级”的概率； （2）主持人从 A B 、 两队所有选手成绩中分别随机抽取 2 个，记抽取到“晋级”选手的总人数为  ，求  的分布列及数学期望.

　四、概率与其他知识的交汇

　 【一】利用概率解决实际决策问题

　 1.例题 【例 1】某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝 10 元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理． (1)若花店一天购进 16 枝玫瑰花，求当天的利润 y (单位：元)关于当天需求量 n (单位：枝， n ∈)的函数解析式； (2)花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：

　日需求量 n 14

　15

　16

　17

　18

　19

　20 频数

　10

　20

　16

　16

　15

　13

　10 以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率． ①若花店一天购进 16 枝玫瑰花， X 表示当天的利润(单位：元)，求 X 的分布列数学期望及方差； ②若花店计划一天购进 16 枝或 17 枝玫瑰花，你认为应购进 16 枝还是 17 枝？请说明理由．

　 【例 2】某公司计划购买 2 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 200 元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个 500 元.现需利用概率知识解决实际问题，尤其是生产和经营问题，其实与一般的应用题在本质上没有什么不同，只是因为个别因素由确定变量变成不确定变量，从而导致结果的不确定性，所以才需要作决策优化，抛开概率的烟雾弹，其实题目反映的都是最简单的公式（比如利润=收入—成本），所以面对复杂题目要学会审题，还是要回归常识.

　 决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：

　 以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器更换的易损零件数发生的概率，记 X 表示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数， n 表示购买 2 台机器的同时购买的易损零件数. （I）求 X 的分布列；

　（II）若要求 ( ) 0.5 P X n   ，确定 n 的最小值； （III）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在 19 n 与 20 n 之中选其一，应选用哪个？

　2.巩固提升综合练习 【练习 1】某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 4 元，售价每瓶 6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2 元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于 25，需求量为 500 瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300 瓶；如果最高气温低于 20，需求量为 200 瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：

　最高气温 [10，15）

　[15，20）

　[20，25）

　[25，30）

　[30，35）

　[35，40）

　天数 2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。

　（1）求六月份这种酸奶一天的需求量 X（单位：瓶）的分布列； （2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量 n（单位：瓶）为多少时，Y 的数学期望达到最大值？

　【练习 2】某工厂的某种产品成箱包装，每箱 200 件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取 20 件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为