方法技巧专题28,极坐标与参数方程概念（解析版）

时间：2021-02-01 20:55:22 来源：蒲公英阅读网 本文已影响人

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　方法技巧专题 28

　极坐标与参数方程的概念

　解析篇

　一、

　极坐标与参数方程的概念知识框架

　二、参数方程与普通方程的互化

　1.例题 1 1 ．参数方程的概念：

　设在平面上取定一个直角坐标系 xOy ，把坐标 y x, 表示为第三个变量 t 的函数：

　 ，

　 ……………………① 如果对于 t 的每一个值( b t a   )，①式所确定的点 ) , ( y x M 都在一条曲线上；而这条曲线上任意一点 ) , ( y x M ，都可由 t 的某个值通过①式得到，则称①式为该曲线的参数方程，其中 t 称为参数． 2 ．参数方程与普通方程的互化：

　把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消元法；加减消参法；平方和(差)消参法；乘法消参法等． 把曲线 C 的普通方程 0 ) , (  y x F 化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性． 要注意方程中的参数的变化范围． 3 ．直线、圆、椭圆的参数方程：

　（1）经过一定点) , (0 0 0y x P，倾斜角为  的直线 l 的参数方程为：

　( t 为参数)； （2）直线参数方程的一般形式为 （ t 为参数）； （3）圆的参数方程为 (  为参数)； （5）椭圆 的参数方程为 (θ，  为参数)． ) () (t g yt f xb t a    sin, cos00t y yt x x  bt y yat x x00,  sin, cos00r y yr x x) 0 ( 12222    b abyaxsin, cosb ya x

　    sin , cos   y x

　xyy x      tan ,2 2 2

　 【例 1】

　在直角坐标系 xOy 中，已知曲线1C 的方程为2 2110 6x y  ，曲线2C 的参数方程为1,2382x ty t  （ t 为参数）. （1）求1C 的参数方程和2C 的普通方程； （2）设点 P 在1C 上，点 Q 在2C 上，求 PQ 的最小值. 【解析】（1）由曲线1C 的方程为2 2110 6x y  ， 得曲线1C 的参数方程为10cos ,6sinxy （  为参数）， 由曲线2C 的参数方程为1,2382x ty t  （ t 为参数）， 得曲线2C 的普通方程为3 8 0 x y    . （2）设 ( 10cos , 6sin ) P   ，点 P 到直线2C 的距离为 d ， 则 PQ 的最小值即为 d 的最小值， 因为 30cos 6sin 86sin 82 2d     ，其中 tan 5   ， 当 sin( ) 1      时， d 的最小值为 1，此时min1 PQ  . 【例 2】已知直线 ) (23211: 为参数 tt yt xl , 曲线 ) (sincos:1为参数 yxC ． (1)设 l 与 相交于 两点,求 ； (2)若把曲线 上各点的横坐标压缩为原来的21倍,纵坐标压缩为原来的23倍,得到曲线 ,设点 是曲线上的一个动点,求它到直线 l 的距离的最小值． 【解析】（1）

　l 的普通方程为 的普通方程为

　联立方程组 解得 l 与 的交点为 , ,则 .

　 （2）

　的参数方程为 为参数).故点 的坐标是 , 从而点 到直线 的距离是 , 由此当 时, 取得最小值,且最小值为 .

　2.巩固提升综合练习 【练习 1】在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为2cos4sinx θy θ ，（ θ 为参数），直线 l 的参数方程为1 cos2 sinx t αy t α   ，（ t 为参数）． （1）求 C 和 l 的直角坐标方程； （2）若曲线 C 截直线 l 所得线段的中点坐标为 (1,2) ，求 l 的斜率． 【解析】（1）曲线 C 的直角坐标方程为2 214 16x y  ． 当 cos 0   时， l 的直角坐标方程为 tan 2 tan y x       ， 当 cos 0   时， l 的直角坐标方程为 1 x ． （2）将 l 的参数方程代入 C 的直角坐标方程，整理得关于 t 的方程 2 2(1 3cos ) 4(2cos sin ) 8 0 t t         ．① 因为曲线 C 截直线 l 所得线段的中点 (1,2) 在 C 内， 所以①有两个解，设为1t ，2t ，则1 20 t t   ． 又由①得1 224(2cos sin )1 3cost t   ， 故 2cos sin 0     ， 于是直线 l 的斜率 tan 2 k    ．

　【练习 2】在平面直角坐标系 中,已知直线 的参数方程为 ( 为参数),以坐标原点 为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 的极坐标方程为 . (1)写出直线 的普通方程和曲线 的参数方程. (2)求曲线 上的点到直线 的最短距离.

　【解析】(1)消去参数 ,得直线 的普通方程为 , 由 ,可得 ,所以 ,整理得 , 所以曲线 的参数方程为 ( 为参数). (2)由(1)得 ,所以圆心 到直线 的距离 , 所以曲线 上的点到直线 的最短距离为 .

　 三、极坐标方程与直角坐标方程的互化

　1.例题 【例 1】极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程为 2   ．以极点为原点，极轴为 x 轴建立平面直角坐标系 xOy，直线 l 的参数方程为3212x a ty t （t 为参数）． （1）求曲线 C 的直角坐标方程以及直线 l 的普通方程； （2）若曲线 C 上恰有四个不同的点到直线 l 的距离等于 1，求实数 a 的取值范围． 【解析】（1）依题意，24   ，代入公式2 2 2x y    ，得曲线 C 的直角坐标方程为2 24 x y   ， 由直线的参数方程消去参数 t，得直线 l 的普通方程为 3 0 x y a    ； （2）依题意可得，圆心 O 到直线 l：

　3 0 x y a    的距离 1 d  ， 所以| |11 3a，解得 2 2 a    ． 1 ．极坐标系的概念：

　在平面内取一个定点 O ， O 点出发的一条射线 Ox ，一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，合称为一个极坐标系． O 称为极点， Ox 称为极轴． 设 M 是平面内任意一点，极点 O 与点 M 的距离 OM 叫做点 M 的极径，记作  ；以极轴 Ox 为始边，射线 OM 为终边的角 xOM 叫做点 M 的极角，记作  ，有序数对 ）

　， （   叫做点 M 的极坐标．一般情况下，约定 0   ． 2 ．极坐标系与直角坐标系的互化：

　直角坐标化极坐标：

　  cos  x ，   sin  y ； 极坐标化直角坐标：

　，

　2 2 2y x    ). 0 ( tan xxy

　 故实数 a 的取值范围为 ( 2,2)． 【例 2】

　在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为3 2cos1 2sinxy    （  为参数），以坐标原点 O为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线 C 的极坐标方程； （2）在曲线 C 上取两点 M ， N 与原点 O 构成 MON △ ，且π2MON   ，求 MON △ 面积的最大值. 【解析】（1）可知曲线 C 的普通方程为2 2( 3) ( 1) 4 x y     ， 所以曲线 C 的极坐标方程为22 3 cos 2 sin 0         ，即π4sin( )3    . （2）由（1）不妨设1( , ) M   ，2π( , )2N   1 2( 0, 0)     ， 1 21 1 π π π 2π8|sin( )sin( )| 4|sin(2 )| 42 2 3 2 3 3MONS OM ON              △， 所以 MON △ 面积的最大值为 4.

　2.巩固提升综合练习 【练习 1】在平面直角坐标系 xOy 中，已知曲线12 2cos:1 2sinx tCy t    （ t 为参数），以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线:2C 0 1 sin cos 4        . （1）求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程； （2）若点 P 在曲线1C 上， Q 在曲线2C 上，求 | | PQ 的最小值. 【解析】（1）由12 2cos:1 2sinx tCy t    消去 t 得 4 ) 1 ( ) 2 (2 2    y x ， 因为 0 1 sin cos 4        ，由直角坐标与极坐标的转化公式可得 0 1 4    y x . 所以曲线1C 的普通方程为 4 ) 1 ( ) 2 (2 2    y x ，曲线2C 的直角坐标方程为 0 1 4    y x . （2）由（1）知 :1C 4 ) 1 ( ) 2 (2 2    y x 的圆心为 ) 1 , 2 ( ，半径为 2， :2C 0 1 4    y x ， | | PQ 的最小值即为 ) 1 , 2 ( 到直线 0 1 4    y x 的距离减去圆的半径， 因为 ) 1 , 2 ( 到直线 0 1 4    y x 的距离为1717 8) 1 ( 4| 1 1 4 2 |2 2     d，所以 | | PQ 的最小值为21717 8. 【练习 2】在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为cos 3sin ,sin 3cosxy     （  为参数）．坐标原点 O

　为极点， x 轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 cos( ) 36   ．

　（1）求曲线 C 的普通方程和极坐标方程； （2）设射线 :3OM  与曲线 C 交于点 A ，与直线 l 交于点 B ，求线段 AB 的长． 【解析】（1）由题意得2 2 2 2(cos 3sin ) (sin 3cos ) 4 x y           ， ∴曲线 C 的普通方程为2 24 x y   ． ∵ cos x    ， sin y    ，∴代入可得曲线 C 的极坐标方程为 2   ． （2）把3 代入 cos( ) 36   中，可得 cos( ) 33 6   ， 解得 2 3   ﹐即 B 点的极径 2 3B  ， 由（1）易得 2A  ，∴ | | 2 3 2A BAB       ． 【练习3】在极坐标系中，已知圆的圆心 (6, )3C，半径 3 r  ， Q 点在圆 C 上运动．以极点为直角坐标系 原点，极轴为 x 轴正半轴建立直角坐标系． （1）求圆 C 的参数方程； （2）若 P 点在线段 OQ 上，且 : 2:3 OP PQ  ，求动点 P 轨迹的极坐标方程． 【解析】（1）由已知得，圆心 (6, )3C的直角坐标为 (3,3 3) C ， 3 r  ， 所以 C 的直角坐标方程为2 2( 3) ( 3 3) 9 x y     ， 所以圆 C 的参数方程为3 3cos3 3 3sinxy    （  为参数）． （2）由（1）得，圆 C 的极坐标方程为26 (cos 3sin ) 27 0         ， 即212 sin( ) 276     ，设   , P   ，  1 ,Q   ， 根据 : 2:3 OP PQ  ，可得1: 2:5    ， 将152   代入 C 的极坐标方程，得225 120 sin( ) 108 06      ， 即动点 p 轨迹的极坐标方程为225 120 sin( ) 108 06      ．

　四、参数方程中参数的几何意义

　 1.例题 【例 1】

　以平面直角坐标系的坐标原点 O 为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，以平面直角坐标系的长度为长度单位建立极坐标系. 已知直线 l 的参数方程为2 31 2x ty t    （ t 为参数），曲线 C 的极坐标方程为2sin 4cos     . （1）求曲线 C 的直角坐标方程；

　（2）设直线 l 与曲线 C 相交于 A B 、 两点，求 AB . 【解析】（1）由2sin 4cos     ，即2 2sin 4 cos      ，得曲线 C 的直角坐标方程为24 y x  . （2）将 l 的参数方程代入24 y x  ，整理得24 8 7 0 t t   ， ∴1 22 t t    ，1 274t t   ， ∴   2 221 2 1 2 1 23 2 13 4 13 4 7 143 AB t t t t t t            . 【例 2】在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为1 cossinx ty t  ( t 为参数，0 π    )，在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程为222.1 sin （1）求曲线 C 的直角坐标方程； （2）设点 M 的坐标为(1，0)，直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，求1 1MA MB的值. 【解析】（1）曲线2221 sin，即2 2 2sin 2      ，2 2 2 , sinx y y       ，  曲线 C 的直角坐标方程为2 22 2 x y   ，即2212xy   . 1、 、 直线参数方程：

　（1）注意必须是标准形式； （2）直线的参数方程 ( t 为参数)中参数 t 的几何意义：

　t 表示直线上任一点 ) , ( y x M 到直线上定点 ) , (0 0 0y x M 的距离； 2、 、 直线与二次曲线相交问题：

　将直线的参数方程与曲线的普通方程联立，通过判断  的符号来确定交点的个数；若 0   ，则有两个交点，此时的1t 、2t 分别表示交点 B A、 与直线所过定点 ) , (0 0 0y x M 的距离.   sin, cos00t y yt x x

　 （2）将1 cossinx ty t  代入2 22 2 x y   并整理得2 2(1 sin ) 2 cos 1 0 t t       ， 1 2 1 22 22cos 1,1 sin 1 sint t t t      ， 1 21 21 1· · ·MA MB AB t tMA MB MA MB MA MB t t     ，

　 221 2 1 2 1 22 2 2 24cos 4 2 24(1 sin ) 1 sin 1 sint t t t t t          ， 222 21 11 sin2 211 sinMA MB   . 【例 3】在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为1 cos1 sinx t xy t x    （ t 为参数， 0    ），以 O 为极 点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 (1 2cos2 ) 8cos      ． （1）判断直线 l 与曲线 C 的公共点的个数，并说明理由； （2）设直线 l 与曲线 C 交于不同的两点 , A B ，点   1, 1 P  ，若1 1 4| |3 PA PB ，求 tan  的值． 【解析】（1）由   1 cos2 8cos      得2sin 4cos     ， 所以2 2sin 4 cos      ，即24 y x  ， 将直线 l 的参数方程代入24 y x  ，得    21 sin 4 1 cos t t       ， 即  2 2sin 2sin 4cos 3 0 t t          ， 由 0    知2sin 0  ，  222sin 4cos 12sin 0         ， 故直线 l 与曲线 C 有两个公共点； （2）由（1）可设方程  2 2sin 2sin 4cos 3 0 t t          的两根为1 2t t ， ， 则1 222sin 4cossin   t t ，1 2230sin    t t ， 故1 21 21 1 2 4| | sin 2cos3 3PA PB t tPA PB PA t t       ， ∴2 2sin 4sin cos 4cos 4       ， 即24sin cos 3sin    ，∴4tan3  ．

　 【例 4】在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （t 为参数）．以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 ． （1）求 C 和 l 的直角坐标方程； （2）求 C 上的点到 l 距离的最小值． 【解析】（1）因为2211 11tt  ，且2 22 2 22 2 21 4( ) ( ) 12 1 (1 )y t txt t    ， 所以C的直角坐标方程为221( 1)4yx x     ． l 的直角坐标方程为 2 3 11 0 x y    ． （2）由（1）可设C的参数方程为cos ,2sinxy （  为参数，π π    ）． C上的点到 l 的距离为π4cos( ) 11|2cos 2 3sin 11|37 7   ． 当2π3   时，π4cos( ) 113   取得最小值7， 故C上的点到 l 距离的最小值为 7 ．

　2.巩固提升综合练习 【练习 1】在直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为212 cos 11 0       . （1）求圆 C 的直角坐标方程； （2）设 (1,0) P ，直线 l 的参数方程是1 cossinx ty t  （ t 为参数），已知 l 与圆 C 交于 , A B 两点，且34PA PB  ，求 l 的普通方程. 【解析】（1）将2 2 2 , cosx y x       代入圆 C 的极坐标方程212 cos 11 0       ， 得2 212 11 0 x y x     ，化为圆的标准方程为2 2( 6) 25 x y    .

　（2）将直线 l 的参数方程1 cossinx ty t  （ t 为参数）代入圆 C 的直角坐标方程  226 25 x y    中， 2221141txttyt  ，2 cos 3 sin 11 0       

　 化简得214 cos 24 0 t t    ，设 , A B 两点所对应的参数分别为1 2, t t ， 由根与系数的关系知1 2 1 214cos , 24 t t t t      ，①

　∴1 2, t t 同号，又34PA PB  ，∴1 234t t  ，② 由①②可知12=3 2=4 2tt 或12= 3 2= 4 2tt ， ∴14cos 7 2   或 14cos   7 2 ，解得2cos2   ， ∴tan 1 k   ， ∴ l 的普通方程为( 1) y x  . 【练习 2】在直角坐标系 xOy 中，直线1C 的参数方程为33623x ty t  （其中 t 为参数）．以坐标原点 O 为 极点， x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos 3sin     ． （1）求1C 和2C 的直角坐标方程； （2）设点 (0,2) P ，直线1C 交曲线2C 于 , M N 两点，求2 2PM PN  的值． 【解析】（1）直线1C 的参数方程为33623txy t  （其中 t 为参数），消去 t 可得 2 2 0 x y    ； 由2cos 3sin     ，得2 2cos 3 sin      ，则曲线2C 的直角坐标方程为23 x y  ． （2）将直线1C 的参数方程33623x ty t  代入23 x y  ，得23 6 18 0 t t   ， 设 , M N 对应的参数分别为1 2, t t ，则1 21 23 618t tt t    ，  2 2 21 2 1 22 90 PM PN t t tt      ． 【练习 3】已知曲线 C：2 214 9x y  ，直线 l：22 2x ty t   (t 为参数)． (1)写出曲线 C 的参数方程，直线 l 的普通方程； (2)过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30°的直线，交 l 于点 A，求|PA|的最大值与最小值

　【解析】(1)曲线 C 的参数方程为2cos ,3sinxy  (θ 为参数)． 直线 l 的普通方程为 2x＋y－6＝0. (2)曲线 C 上任意一点 P(2cos θ，3sin θ)到 l 的距离为54cos 3sin 65d      ， 则2 5|5sin( ) 6|sin30 5dPA      ，其中 α 为锐角，且4tan3  . 当 sin(θ＋α)＝－1 时，|PA|取得最大值，最大值为22 55. 当 sin(θ＋α)＝1 时，|PA|取得最小值，最小值为2 55. 【练习 4】在直角坐标系