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    方法技巧专题27,不等式性质与线性规划（原卷版）

    时间：2020-11-25 15:18:45 来源：蒲公英阅读网 本文已影响人 蒲公英阅读网手机站

    相关热词搜索：线性规划 不等式 性质

    　方法技巧专题 27

    　不等式的性质与线性规划

    　学生篇

    　 一、不等式的性质与线性规划知识框架

    　二、不等式的性质

    　 【一】不等式的性质

    　1. 不等式的 基本 性质 性质 性质内容 特别提醒 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 传递性 a>b，b>c⇒a>c ⇒ 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c ⇔ 可乘性

    　 a>bc>0⇒ac>bc,

    　 a>bc<0⇒ac<bc 注意 c 的符号 同向可加性

    　 a>bc>d⇒a＋c>b＋d ⇒ 同向同正可乘性

    　 a>b>0c>d>0⇒ac>bd ⇒ 可乘方性 a>b>0⇒a n >b n (n∈N，n≥1) a，b 同为正数 可开方性 a>b>0⇒ n a> n b(n∈N，n≥2)

    　1.例题 【例 1】若 a，b，c∈R，且 a＞b，则下列不等式一定成立的是（

    　）

    　A．a+c≥b﹣c B．（a﹣b）c 2 ≥0 C．ac＞bc D．

    　【例 2】三个正整数 x ， y ， z 满足条件: xy ， yz ，3xz  ，若 5 z  ，则 y 的最大值是（

    　）

    　A．12 B．13 C．14 D．15 【例 3】下列不等式正确的是（

    　）

    　A．若 a＞b，则 a•c＞b•c B．若 a＞b，则 a•c 2 ＞b•c 2

    　 C．若 a＞b，则

    　D．若 a•c 2 ＞b•c 2 ，则 a＞b 2.巩固提升综合练习 【练习 1】设 b＞a＞0，c∈R，则下列不等式中不一定成立的是（

    　）

    　A．a b

    　B．

    　C．

    　D．ac 2 ＜bc 2

    　【练习 2】对于实数 a、b、c，有下列命题：①若 a>b，则 ac<bc；②若 ac 2 >bc 2 ，则 a>b；③若 a<b<0，则a 2 >ab>b 2 ；④若 c>a>b>0，则 ；⑤若 a>b， ，则 a>0，b<0.其中正确的是________．(填写序号) 【二】比较数（式）大小

    　 1.例题 【例 1】已知 t＝a+4b，s＝a+b 2 +4，则 t 和 s 的大小关系是（

    　）

    　2. 不等式的一些常用性质 (1)倒数的性质 ①a>b，ab>0⇒ 1a <1b .

    　②a<0<b⇒1a <1b .

    　③a>b>0,0<c<d⇒ac >bd .

    　 ④0<a<x<b 或 a<x<b<0⇒1b <1x <1a . (2)有关分数的性质,若 a>b>0，m>0，则 ① ba <b＋ma＋m ；ba >b－ma－m (b－m>0)．

    　 ②ab >a＋mb＋m ；ab <a－mb－m (b－m>0)． 比较大小的常用方法 (1)作差法 一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差． (2)作商法 一般步骤：①作商；②变形；③判断商与 1 的大小关系；④结论． (3)函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数的单调性得出大小关系．

    　A．t＞s B．t≥s C．t＜s D．t≤s 【例 2】已知：

    　26 10a b ，则 3， ab ，  a b 的大小关系是（

    　 ）

    　A． 3 ab a b    B． 3 ab a b   

    　C． 3 a b ab    D． 3 ab a b   

    　【例 3】已知 ，则 a、b、c 的大小关系为

    　 ． 2.巩固提升综合练习 【练习 1】已知 a＞b＞0，x＝a+be b ，y＝b+ae a ，z＝b+ae b ，则（

    　）

    　A．x＜z＜y B．z＜x＜y C．z＜y＜x D．y＜z＜x 【练习 2】若 7 P a a    ， 3 4 Q a a       0 a  ，则 , P Q 的大小关系是（

    　）

    　A． P Q 

    　B． PQ 

    　C． P Q 

    　D． , P Q 的大小由 a 的取值确定 【练习 3】已知 a，b，x 均为正数，且 a＞b，则ba____b xa x（填“＞”、“＜”或“＝”）． 【练习 4】设 0＜x＜1，a＞0 且 a≠1，比较|log a (1－x)|与|log a (1＋x)|的大小。

    　 二、二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题

    　 【一】二元一次不等式组表示的平面区域

    　 1.例题 【例 1】不等式组2 02 4 03 2 0x yx yx y       表示的平面区域的面积为________．

    　1. 解决求平面区域面积问题的方法步骤

    　(1)画出不等式组表示的平面区域； (2)判断平面区域的形状，并求得直线的交点坐标、图形的边长、相关线段的长(三角形的高、四边形的高)等，若为规则图形则利用图形的面积公式求解；若为不规则图形则利用割补法求解． 2. 根据平面区域确定参数的方法

    　在含有参数的二元一次不等式组所表示的平面区域问题中，首先把不含参数的平面区域确定好，然后用数形结合的方法根据参数的不同取值情况画图观察区域的形状，根据求解要求确定问题的答案．

    　 【例 2】设关于 x，y 的不等式组 2x－y＋1>0，x＋m<0，y－m>0表示的平面区域内存在点 P(x 0 ，y 0 )，满足 x 0 －2y 0 ＝2，则 m 的取值范围是(

    　) A.  34,

    　 B.  31,

    　 C.

    　  32,

    　 D.   35,

    　2.巩固提升综合练习 【练习 1】不等式组12 4x yx y   的解集记为 D .有下面四个命题：

    　1p ：

    　( , ) , 2 2 x y D x y      ，

    　 2p ：

    　( , ) , 2 2 x y D x y     , 3P ：

    　( , ) , 2 3 x y D x y     ，

    　 4p ：

    　( , ) , 2 1 x y D x y      . 其中真命题是（

    　）

    　 A .2p ，3P

    　 B .1p ，4p

    　 C .1p ，2p

    　D .1p ，3P

    　【练习 2】设集合 {( , )| 1, 4, 2}, A x y x y ax y x ay      ≥ ≤ 则 A．对任意实数 a ， (2,1) A 

    　B．对任意实数 a ， (2,1)A 

    　C．当且仅当 0 a  时， (2,1) A 

    　 D．当且仅当32a≤ 时， (2,1) A 

    　 【二】求解目标函数的取值范围（最值）

    　 1.例题 【例 1】已知实数, x y 满足约束条件3 02 02x yx yx    ，则 3 z x y   的最小值为（

    　）

    　1. 线性目标函数 (1)线性目标函数 z＝Ax＋By――→转化 一组平行线 y＝－ AB x＋zB . (2)最值――→转化 平行线组的最大(小)纵截距 zB . (3)线性目标函数的最大(小)值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得． (4)求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义——与 y 轴上的截距相关的数． 2. 非线性目标函数 (1)点到点的距离型：形如 z＝(x－a) 2 ＋(y－b) 2 ，表示区域内的动点(x，y)与定点(a，b)的距离的平方； (2)斜率型：形如 z＝ y－bx－a ，表示区域内的动点(x，y)与定点(a，b)连线的斜率．

    　 A．-5 B．2 C．7 D．11 【例 2】已知实数 x ， y 满足线性约束条件   0 201y xy xx，则1 yx的取值范围是（

    　）

    　A． ( 2 ， 1] 

    　B． ( 1  ， 4]

    　C． [ 2  ， 4)

    　D． [0 ， 4]

    　【例 3】设, x y 满足约束条件2 1 03 2 3 03 6 0x yx yx y       ，则2 2z x y   的最小值为（

    　）

    　A. 1

    　 B.3 105

    　C.3 1313

    　 D.55 2.巩固提升综合练习 【练习 1】已知实数

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