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    第4讲,三角函数图像和性质学生

    时间：2021-02-01 20:54:40 来源：蒲公英阅读网 本文已影响人 蒲公英阅读网手机站

    相关热词搜索：函数 图像 性质

    　 第四讲

    　三角函数图像和性质 [玩前必备] 1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象

    　定义域 R R {x|x∈R 且 x≠ π2 ＋kπ，k∈Z} 值域 [－1，1] [－1，1] R 单调性 [－ π2 ＋2kπ，π2 ＋2kπ](k∈Z)上递增； [ π2 ＋2kπ，3π2＋2kπ](k∈Z)上递减 [－π＋2kπ，2kπ] (k∈Z)上递增； [2kπ，π＋2kπ] (k∈Z)上递减 (－ π2 ＋kπ，π2 ＋kπ) (k∈Z)上递增 最值 x＝ π2 ＋2kπ(k∈Z)时，y max ＝1； x＝－ π2 ＋2kπ(k∈Z)时，y min ＝－1 x＝2kπ(k∈Z)时， y max ＝1； x＝π＋2kπ(k∈Z)时，y min ＝－1

    　奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称中心 (kπ，0)(k∈Z) ( π2 ＋kπ，0) (k∈Z) ( kπ2，0)(k∈Z) 对称轴 方程 x＝ π2 ＋kπ (k∈Z) x＝kπ(k∈Z)

    　周期 2π 2π π 2．五点法作 y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图

    　 用“五点法”作图，就是令 ωx＋φ 取下列 5 个特殊值：0, π2 , π, 3π2, 2π，通过列表，计算五点的坐标，描点得到图象. 3．三角函数图象变换

    　4[常用结论] （1）对称与周期的关系 正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一个周期；正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期． （2）与三角函数的奇偶性相关的结论 若 y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则有 φ＝kπ＋ π2 (k∈Z Z)；若为奇函数，则有 φ＝kπ(k∈Z Z)． 若 y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数，则有 φ＝kπ(k∈Z Z)；若为奇函数，则有 φ＝kπ＋ π2 (k∈Z Z)． 若 y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则有 φ＝kπ(k∈Z Z)． [玩转典例] 题型一

    　三角函数的 5 大性质 例 例 1 (安老师原创) 已知函数 f(x)＝2cos x·sin  x＋ π3－ 3sin 2 x＋sin x cos x＋1. (1)求函数 f(x)的最小正周期； (2) 当 x∈ 0， π2时， 求函数 f(x)的最大值及最小值； (3)写出函数 f(x)的单调递增区间． (4)写出函数 f(x)的对称轴和对称中心. (5)函数 f(x)向右平移 t 个单位为偶函数，求 t 的最小正值。

    　[玩转跟踪]

    　 1．（2020·山东高三下学期开学）函数2( ) cos3f x x     的最小正周期为（

    　）

    　A．4 B． 2 

    　C．2 D． 

    　2．（2020 届山东省济宁市高三 3 月月考）已知函数      2sin 2 0 f x x        ，若将函数   f x 的图象向右平移6个单位长度后，所得图象关于 y 轴对称，则下列结论中正确的是(

    　) A．56 

    　B． ,012    是   f x 图象的一个对称中心 C．   2 f  

    　D．6x  是   f x 图象的一条对称轴 3.（2019·呼和浩特开来中学）已知函数23 1( ) sin2 cos2 2f x x x   . (1)求2( )3f的值及 f(x)的对称轴； (2)将( ) f x 的图象向左平移6个单位得到函数 ( ) g x 的图象，求 ( ) g x 的单调递增区间.

    　 题型二

    　三角函数模型中“ω”范围的求法探究 例 例 2 (2020·洛阳尖子生第二次联考)已知函数 f(x)＝sin ωx＋ π6(ω>0)在区间 － π4 ，2π3上单调递增，则 ω 的取值范围为(

    　) A. 0， 83

    　B. 0， 12 C. 12 ，83

    　D. 38 ，2 例 例 3 已知函数 f(x)＝cos ωx＋ π3(ω>0)的一条对称轴 x＝ π3 ，一个对称中心为点 π12 ，0 ，则 ω 有(

    　) A．最小值 2

    　 B．最大值 2

    　 C．最小值 1

    　 D．最大值 1 例 例 4 已知函数 f(x)＝2sin ωx 在区间 － π3 ，π4上的最小值为－2，则 ω 的取值范围是________． [玩转跟踪]

    　1．(2020·湖南师大附中 3 月月考)若函数 f(x)＝2 3sin ωxcos ωx＋2sin 2 ωx＋cos 2ωx 在区间 － 3π2， 3π2上单调递增，则正数 ω 的最大值为(

    　) A. 18

    　 B． 16

    　C. 14

    　 D. 13

    　2.已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，若 f(x)在区间 0， π2上是单调函数，且 f(－π)＝f(0)＝－f π2，则ω 的值为(

    　) A. 23

    　 B． 23 或 2 C. 13

    　D．1 或 13

    　3.设函数 f(x)＝cos ωx－ π6(ω>0)．若 f(x)≤f π4对任意的实数 x 都成立，则 ω 的最小值为________． 题型 三

    　三角 函数的 图像和图像变换 例 例 5 （2017 山东）设函数 ，其中 ．已知 ． （Ⅰ）求 ； （Ⅱ）将函数 的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移 个单位，得到函数 的图象，求 在 上的最小值．

    　 [玩转跟踪]

    　1．(2014·辽宁卷) 将函数 y＝3sin 2x＋ π3的图象向右平移 π2 个单位长度，所得图象对应的函数(

    　) A．在区间 π12 ，7π12上单调递减

    　B．在区间 π12 ，7π12上单调递增 ( ) sin( ) sin( )6 2f x x x       0 3    ( ) 06f( ) y f x 4( ) y g x  ( ) g x3[ , ]4 4 

    　 C．在区间 － π6 ，π3上单调递减

    　D．在区间 － π6 ，π3上单调递增 2.【2017 课标 1，9】已知曲线 C 1 ：y=cosx，C 2 ：y=sin (2x+2π3)，则下面结论正确的是 A．把 C 1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线 C 2 B．把 C 1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线 C 2 C． 把 C 1 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线 C 2 D．把 C 1 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线 C 2 3.（2020 届山东省济宁市第一中学高三二轮检测）将函数   3cos 2 13f x x      的图象向左平移3个单位长度，再向上平移 1 个单位长度，得到函数   g x 的图象，则下列关于函数   g x 的说法正确的是（

    　）

    　A．最大值为 3 ，图象关于直线12x 对称 B．图象关于 y 轴对称 C．最小正周期为 

    　D．图象关于点 ,04    对称 题型 四

    　由求 图象求 y ＝Asin(ωx ＋φ)的 的 解析 式

    　例 例 6 (1)若函数 y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则 y＝

    　.

    　 (2)已知函数 f(x)＝sin(ωx＋φ) ω>0，|φ|< π2的部分图象如图所示，则 y＝f x＋ π6取得最小值时 x 的集合为

    　．

    　[玩转跟踪] 1．(四川，6)函数 f(x)＝2sin(ωx＋φ)  ω ＞0，－ π2＜φ＜ π2 的部分图象如图所示，则 ω， φ 的值分别是(

    　) A．2，－ π3

    　 B．2，－ π6 C．4，－ π6

    　 D．4， π3 2.(2020·石家庄质检)已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B A>0，ω>0，|φ|< π2的部分图象如图所示，将函数 f(x)的图象向左平移 m(m>0)个单位长度后，得到函数 g(x)的图象关于点 π3 ，32对称，则 m 的值可能为(

    　)

    　A. π6

    　B. π2

    　C. 7π6

    　 D. 7π12

    　题型五

    　三角函数大题 例 例 7 7 已知函数 f(x)＝2 3sin x2 ＋π4·cos x2 ＋π4－sin(x＋π)． (1)求 f(x)的最小正周期； (2)若将 f(x)的图象向右平移 π6 个单位长度，得到函数 g(x)的图象，求函数 g(x)在区间[0，π]上的最大值和最小值．

    　 [玩转跟踪]

    　1 ． （2020 届山东省泰安市肥城市一模）已知函数4( ) cos f x x  42sin cos sin x x x  （1）求   f x 的单调递增区间； （2）求   f x 在 0,2    上的最小值及取最小值时的 x 的集合.

    　2．(山东，18)设函数 f(x)＝32－ 3sin 2 ω x－sin ω xcos ω x(ω＞0)，且 y＝f(x)图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为 π4. (1)求 ω 的值； (2)求 f(x)在区间[π， 3π2]上的最大值和最小值．

    　 [玩转练习] 1．(2020·永州模拟)函数 y＝2cos 2x＋ π6的部分图象大致是(

    　)

    　2．(2020·河南中原名校联盟联考)已知函数 f(x)＝4sin(ωx＋φ)(ω＞0)．在同一周期内，当 x＝ π6 时取最大值，当 x＝－ π3 时取最小值，则 φ 的值可能为(

    　) A.π12

    　 B. π3

    　C. 13π6

    　D. 7π6 3．将曲线 y＝sin(2x＋φ) |φ|＜ π2向右平移 π6 个单位长度后得到曲线 y＝f(x)，若函数 f(x)的图象关于 y 轴对称，则 φ＝(

    　) A. π3

    　 B． π6

    　C．－ π3

    　D．－ π6

    　4．(2020·郑州市第一次质量预测)已知曲线 C 1 ：y＝cos x，C 2 ：y＝sin 2x－ 2π3，则下列结论正确的是(

    　) A．把 C 1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 7π12 个单位长度，得到曲线 C 2

    　B．把 C 1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 π6 个单位长度，得到曲线 C 2

    　C．把 C 1 上各点的横坐标缩短到原来的 12 ，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移7π12 个单位长度，得到曲线C 2

    　D．把 C 1 上各点的横坐标缩短到原来的 12 ，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π6 个单位长度，得到曲线C 2

    　5.(多选)已知函数 f(x)＝Asin ωx(A>0，ω>0)与 g(x)＝ A2 cos ωx 的部分图象如图所示，则(

    　)

    　 A．A＝1

    　 B．A＝2 C．ω＝ π3

    　D．ω＝ 3π

    　6．(多选)函数 f(x)＝2sin 2x－ π3的图象为 C，如下结论正确的是(

    　) A．f(x)的最小正周期为 π B．对任意的 x∈R R，都有 f x＋ π6＋f π6 －x ＝0 C．f(x)在 －π12 ，5π12上是减函数 D．由 y＝2sin 2x 的图象向右平移 π3 个单位长度可以得到图象 C 7．将函数 y＝sin x 的图象上所有的点向右平移π10 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是____________． 8．函数 f(x)＝tan ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线 y＝2 所得线段长为 π2 ，则 f π6的值是________． 9．(2020·安徽合肥一中等六校教育研究会联考)将函数 y＝cos x 的图象向左平移 φ(0≤φ<2π)个单位长度后，得到函数 y＝sin x－ π6的图象，则 φ＝________. 10．(一题两空)已知函数 f(x)＝2sin(ωx＋φ) ω＞0，|φ|＜ π2一部分图象如图所示，则 ω＝________，函数 f(x)的单调递增区间为________．

    　11．已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ) A>0，ω>0，|φ|< π2的图象过点 P π12 ，0 ，图象上与点 P 最近的一个最高点是 Q π3 ，5 . (1)求函数 f(x)的解析式； (2)求函数 f(x)的单调递增区间．

    　 12．设函数 f(x)＝sin ωx－ π6＋sin ωx－ π2，其中 0<ω<3，且 f π6＝0.

    　 (1)求 ω； (2)将函数 y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移 π4 个单位，得到函数 y＝g(x)的图象，求 g(x)在 － π4 ，3π4上的最小值．

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