方法技巧专题07,,圆锥曲线概念及其几何性质（原卷版）

时间：2020-11-23 15:18:00 来源：蒲公英阅读网 本文已影响人

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　 方法技巧专题 7

　圆锥曲线的概念及其几何性质 一、

　圆锥曲线的概念及其几何性质知识框架

　 二、圆锥曲线的定义、方程

　【一】圆锥曲线的定义

　 1. 例题

　1 、椭圆 （1）秒杀思路：动点到两定点(距离为 2c )距离之和为定值( 2a )的点的轨迹； （2）秒杀公式：过抛圆的一个焦点作弦 AB ,与另一个焦点 F 构造 FAB  ，则 FAB  的周长等于 a 4 。

　（3）

　①当 c a 2 2  时，表示椭圆；②当 c a 2 2  时，表示两定点确定的线段；

　③当 c a 2 2  时，表示无轨迹。

　2 、双曲线 （1）秒杀思路：

　①双曲线上任意一点到两焦点距离之差的绝对值是常数 2a ;

　 ②注意定义中两个加强条件:（I）绝对值; （II）

　2 2 a c  ； ③加绝对值表示两支(或两条),不加绝对值表示一支(或一条);

　 （2）秒杀公式：过双曲线的一个焦点作弦 AB （交到同一支上），与另一个焦点 F 构造 FAB  ，则FAB  的周长等于 AB a 2 4  。

　 （3）

　①当 2 2 a c  时，表示双曲线；

　②当 2 2 a c  时，表示以两定点为端点向两侧的射线；

　 ③当 2 2 a c  时，无轨迹；

　④当 2 0 a  时表示两定点的中垂线。

　3 、抛物线 （1）秒杀思路：到定点(焦点)距离等于到定直线(准线)距离。所以，一般情况下,抛物线已知到焦点的距离需转化为到准线的距离,已知到准线的距离需转化为到焦点的距离。

　（2）秒杀公式一：焦点在 x 轴上的圆锥曲线,曲线上的点到同一个焦点的距离成等差数列，则横坐标成等差数列，反过来也成立。

　（3）秒杀公式二：作过抛物线焦点且倾斜角为  60 或  120 的弦,两段焦半径分别为:32, 2pp .

　 【例 1 1 】设 P 是椭圆2 2125 16x y  上的点,若2 1 ,FF 是椭圆的两个焦点,则1 2PF PF  等于 (

　)

　A.4

　B.5

　 C.8

　D.10

　【例 2 2 】已知椭圆 C :2 219 4x y  ,点 M 与 C 的焦点不重合,若 M 关于 C 的焦点的对称点分别为 B A, ,线段MN 的中点在 C 上,则 | | | | AN BN  

　 .

　 例 【例 3 3 】已知双曲线 12 2  y x ,点2 1 ,FF 为其两个焦点,点 P 为双曲线上一点,若2 1PF PF  ,则2 1PF PF  的值为_______. 【例 4 4 】设椭圆1C 的离心率为135,焦点在 x 轴上且长轴长为 26,若曲线2C 上的点到椭圆1C 的两个焦点的距离的差的绝对值等于 8,则曲线2C 的标准方程为

　 (

　 ) A. 13 42222 y x

　 B. 15 132222 y x

　 C. 14 32222 y x

　 D. 112 132222 y x 【例 5 5 】(2016 年新课标全国卷 I10)以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 B A, 两点,交 C 的准线于 E D, 两点.已知 AB = 4 2 , DE = 2 5 ,则 C 的焦点到准线的距离为

　(

　) A.2

　B.4

　C.6

　D.8 例 【例 6 6 】已知抛物线22 ( 0) y px p   的焦点为 F ,点  1 1 1, y x P ,  2 2 2, y x P ,  3 3 3, y x P 在抛物线上,且2 1 32x x x   ,则有

　(

　) A.1 2 3FP FP FP  

　 B.2 2 21 2 3FP FP FP  

　C.2 1 32 FP FP FP  

　 D.22 1 3FP FP FP  ·

　【例 7 7】

　】(2017 年新课标全国卷 II16)已知 F 是抛物线 : C 的焦点, M 是 C 上一点, FM 的延长线交轴于点 N .若 M 为 FN 的中点，则 FN =

　. 【例 8 8 】

　M 是抛物线24 y x  上一点,F 是抛物线的焦点,以 Fx 为始边、 FM 为终边的角 60 xFM    , 求 FM .

　 【例 9 9 】抛物线24 y x  的焦点为 F ,准线为 l ,经过 F 且斜率为 3 的直线与抛物线在 x 轴上方的部分相交28 y x  y

　 于点 A , AK l ⊥ ,垂足为 K ,则 AKF △ 的面积是

　(

　) A.4

　 B. 3 3

　 C. 4 3

　D. 8

　2. 巩固提升综合练习

　【练习 1 1 】(2011 年新课标全国卷 14)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的中心为原点,焦点1 2, F F 在 x 轴上,离心率为22.过1F 的直线 l 交 C 于 , A B 两点,且2ABF  的周长为 16,那么 C 的方程为

　. 【练习2 2】

　】已知 为椭圆 的两个焦点,过 的直线交椭圆于 , A B 两点, ,则 =

　 . 【练习 3 3 】已知双曲线 C 的离心率为 2，焦点为1F 、2F ,点 A 在 C 上,若1 22 F A F A  ,则2 1cos AF F  

　 A.14

　B.13

　C.24

　 D.23 【练习 4 4 】若双曲线

　的左、右焦点分别为 ,点 在双曲线 上,且 ,则

　等于

　(

　) A.11

　B.9

　 C.5

　D.3

　【练习 5 5 】抛物线24 y x  上的一点 M 到焦点的距离为 1,则点 M 的纵坐标是

　(

　) A.1617

　 B.1615

　 C.87

　D.0 【练习 6 6 】已知 F 是抛物线2y x  的焦点, , A B 是该抛物线上的两点, =3 AF BF  ,则线段 AB 的中点到y 轴的距离为

　(

　) A.34

　B.1

　C.54

　D.74 【练习 7 7 】(2014 年新课标全国卷 I10)已知抛物线 C :28 y x  的焦点为 F ,准线为 l , P 是 l 上一点, Q 是直线PF 与 C 的一个焦点,若 4 FP FQ  ,则 | | QF =

　(

　) A.72

　 B.52

　 C.3

　D.2 【练习 8 8】

　】(2017 年新课标全国卷 II 文 12)过抛物线 x y C 4 :2 的焦点 F ,且斜率为 3 的直线交 C 于点 M( M 在 x 轴上方), l 为 C 的准线,点 N 在 l 上且 l MN  ,则 M 到直线 NF 的距离为

　(

　) A. 5

　B. 2 2

　 C. 3 2

　D. 3 3

　2 1F F、 19 252 2 y x1F 122 2  B F A FAB2 2: 19 16x yE  1 2, F F P E13 PF 2PF

　 【练习 9 9】

　】设抛物线28 y x  的焦点为 F ,准线为 l , P 为抛物线上一点, PA l , A 为垂足,如果直线 AF 的斜率为 3  ,那么 PF =

　(

　) A. 4 3

　 B.8

　C. 8 3

　D.16 【练习 10 】设 O 是坐标原点, F 是抛物线22 ( 0) y px p   的焦点, A 是抛物线上的一点, FA 与 x 轴正向的夹角为  60 ,则 OA 为

　 ． 【二】圆锥曲线的方程

　1. 例题

　【例 1 1 】(2012 年新课标全国卷 8)已知等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,C 与抛物线 x y 162 的准线交于 A,B 两点, 3 4  AB ,则 C 的实轴长为

　(

　)

　A. 2

　 B. 2 2

　C.4

　D.8 【例 2 2 】“ ”是“方程 ”表示焦点在 y 轴上的椭圆”的 (

　)

　 A.充分而不必要条件

　B.必要而不充分条件

　C.充要条件

　D.既不充分也不必要条件 例 【例 3 3 】设 AB 是椭圆的长轴,点 C 在椭圆上,且4 CBA .若 2 , 4   BC AB ,则椭圆的两个焦点之间的距离为

　 . 【例 4 4 】已知双曲线 和椭圆 19 162 2 y x有相同的焦点,且双曲线的离心率是 0 m n  2 21 mx ny  2 22 21( 0 b 0)x yaa b  ＞ ， ＞1、 、 椭圆( 秒杀方法：分母大的为焦点所在轴)：

　：2 2 2b a c  

　2 22 21( 0)x ya ba b   表示焦点在 x 轴椭圆的标准方程; 2 22 21( 0)y xa ba b   表示焦点在y轴椭圆的标准方程。

　2、 、 双曲线（秒杀方法：系数为正的为焦点所在轴）：2 2 2c a b  

　2 22 21( 0, 0)x ya ba b    表示焦点在 x 轴上双曲线的标准方程; 2 22 21( 0, 0)y xa ba b    表示焦点在y轴上双曲线的标准方程。

　3 、抛物线（秒杀方法：一次项对应焦点所在轴）：p表示焦点到准线的距离 22 y px   ( 0) p  表示焦点在 x 轴上抛物线的标准方程;

　 22 x py   ( 0) p  表示焦点在y轴上抛物线的标准方程。

　椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为

　 . 【例 5 5 】曲线2 21( 6)10 6x ymm m   与曲线2 21(5 9)5 9x ymm m    的

　(

　)

　A.焦距相等

　B.离心率相等

　C.焦点相同

　 D.准线相同 2. 巩固提升综合练习

　【练习 1 1 】若 R k ,则“ 3  k ”是“方程 13 32 2 kykx表示双曲线”的

　(

　) A.充分不必要条件

　B.必要不充分条件 C.充要条件

　D.既不充分也不必要条件 【练习 2 2 】已知抛物线 x y 82 的准线过双曲线 ) 0 , 0 ( 12222    b abyax的一个焦点,且双曲线的离心率 为 2,则该双曲线的方程为

　 . 【练习 3 3】

　】下图是抛物线形拱桥,当水面在 l 时,拱顶离水面 2 米,水面宽 4 米,水位下降 1 米后,水面宽

　米

　【练习 4 4 】已知 04   ,则双曲线2 212 2: 1cos sinx yC   与2 222 2 2: 1sin sin tany xC    的 (

　 )

　A.实轴长相等

　B.虚轴长相等

　 C.焦距相等

　 D. 离心率相等

　三、圆锥曲线的几何性质

　 【一】焦点三角形

　 1 、椭圆的焦点三角形：椭圆上任意一点 P 与两焦点1F 、2F 构成的三角形:1 2PFF  。

　（1）秒杀题型一：①周长为定值：

　2( ) a c  。

　 1. 例题

　 【例 1 1 】(2017 年新课标全国卷 I 文 12)设 A 、 B 是椭圆 C 132 3 my x长轴的两个端点,若 C 上存在点 M满足    120 AMB ,则 m 的取值范围是

　(

　 ) A.      , 9 1 , 0 

　 B.      , 9 3 , 0 

　C.      , 4 1 , 0 

　D.      , 4 3 , 0 

　【例 2 2 】已知 , 是椭圆 ) 0 (  b a 的两个焦点, 为椭圆 上一点, . 若 的面积为 9,则 =

　 . 例 【例 3 3 】设1F 、2F 为椭圆2 219 4x y  的两个焦点, P 为椭圆上的一点.已知 P ,1F ,2F 是一个直角三角形的三个顶点,且1 2PF PF  ,求12PFPF的值.

　 1F2F 1 :2222 byaxC P C2 1PF PF 2 1 FPF  b②1 2, FPF    当点 P 靠近短轴端点时  增大，当点 P 靠近长轴端点时  减小；与短轴端点重合时  最大。

　（2）秒杀题型二：2tan 22122 1b y c SPF F   ， bc S max即 P 与短轴端点重合时面积最大。

　（3）秒杀题型三：①当2 1 PFF  底角为 90 ，2 1 PFF  个数：4 个( P 点为通径端点)； ②当2  时，2 1 PFF  个数：2( 0),022( ),222(1 ),42b c eb c eb c e      。

　。（ P 点为以1 2F F为直径的圆与椭圆的交点）

　2 、双曲线的焦点三角形：

　（1）焦点直角三角形的个数：一定为八个，顶角为直角与底角为直角的各为四个； （2）1 22 .cot(2PF FS b  为焦点三角形的顶角)= c y  。（等面积思想在解题时非常重要）

　 【例 4 4 】(2015 年新课标全国卷 I)已知  0 0 ,yx M 是双曲线 12:22  yxC 上的一点,2 1 ,FF 是 C 的两个焦点,若 02 1 MF MF ,则0y 的取值范围是

　(

　) A.33,33

　 B.63,63

　 C.32 2,32 2

　 D.33 2,33 2

　 【例 5 5 】已知1F 、2F 为双曲线 C :2 21 x y   的左、右焦点,点 P 在 C 上,2 1 PFF    60 ,则1 2| | | | PF PF  

　 (

　) A.2

　 B.4

　C.6

　 D.8 例 【例 6 6 】双曲线2 219 16x y  的两个焦点为1 2, F F ,点 P 在双曲线上,若1 2PF PF  ,则点 P 到 x 轴的距离为

　 . 2. 巩固提升综合练习

　【练习 1 1】

　】已知1 2, F F 是椭圆2 219 5x y  的焦点,点 P 在椭圆上且1 23FPF  ,1 2FPF  的面积为

　.

　 【练习 2 2 】1F 、2F 是椭圆2 2: 18 4x yC   的焦点,在 C 上满足1 2PF PF  的点 P 的个数为

　. 【练习 3 3 】已知椭圆 19 162 2 y x的左、右焦点分别为1 2, F F ,点 P 在椭圆上,若1 2, , P F F 是一个直角三角形的三个顶点,则点 P 到 x 轴的距离为

　(

　) A.59

　 B.3

　C.77 9

　 D.49 【练习 4 4 】已知1F 、2F 为双曲线 C :2 21 x y   的左、右焦点,点 P 在 C 上,2 1 PFF  =  60 ,则 P 到 x 轴的距离为

　(

　) A.32

　B.62

　 C. 3

　 D. 6

　习 【练习 5 5 】设 P 为双曲线22112yx   上的一点,2 1 ,FF 是该双曲线的两个焦点,若1 2| |:| | 3:2 PF PF  则1 2PFF  的面积为

　(

　) A. 6 3

　B. 12

　C. 12 3

　 D. 24

　 习 【练习 6 6 】设2 1 ,FF 分别是双曲线2219yx   的左、右焦点,若点 P 在双曲线上,且1 20 PF PF   ,则1 2PF PF  

　 (

　) A. 10

　 B. 2 10

　C. 5

　D. 2 5

　 【二】离心率

　 1. 例题

　例 【例 1 1 】在平面直角坐标系 xOy 中,已知 ABC  顶点 ( 4,0) A  和 (4,0) C ,顶点 B 在椭圆2 2125 9x y  上,则sin sinsinA CB

　 . 【例 2 2 】(2013 年新课标全国卷 II)设椭圆2 22 2: 1x yCa b  ( 0) a b   的左、右焦点分别为1 2, F F , P 是 C 上的点,2 1 2PF FF  ,1 230 PFF   ,则 C 的离心率为

　(

　) A.36

　B.13

　C.12

　D.33 【例 3 3】

　】已知 是双曲线 的左、右焦点,点 在 上, 与 轴垂直, ,则 的离心率为

　(

　)

　2 1 ,FF2 22 2: 1x yEa b  M E1MF x2 11sin3MF F  E1 1 、 题型一：利用焦点三角形 （1）椭圆：  sin sin) sin(222 12 1 PF PFF Face （焦点三角形两底角分别为  、  ）； （2）双曲线：  sin - sin) sin(- 222 12 1  PF PFF Face （焦点三角形两底角,  ）。

　2 、题型二：寻找 关系求离心率 （1）秒杀思路：如果建立 或 c b, 或 c b a , , 的关系，一般情况要通过平方消去 b 化简为c a,关系求离心率。

　（2）特别地：当 c b a , , 成等比数列时，即ac b 2，椭圆:5 10.6182e ，叫优美椭圆； 类比：双曲线：21 5  e。

　c b a , ,b a,

　 A.

　B.

　 C.

　 D.

　【例 4 4 】(2015 年新课标全国卷 II)已知 B A, 为双曲线 E 的左、右顶点,点 M 在 E 上, 为等腰三角形,且顶角为 ,则 的离心率为

　(

　) A.

　 B.2

　C.

　D.

　【例 5 5 】设直线 过双曲线 的一个焦点,且与 的一条对称轴垂直, 与 交于 两点, 为 的实轴长的 2 倍,则 的离心率为

　(

　) A.

　 B.

　C.2

　 D.3 【例6 6】

　】(2017年新课标全国卷I15)已知双曲线 ) 0 , 0 ( 1 :2222    b abyaxC 的右顶点为 A ,以 A 为圆心, b 为半径作圆 A ,圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M 、 N 两点.若    60 MAN ,则 C 的离心率为

　 . 【例 7 7 】如图, 是椭圆 与双曲线 的公共焦点, 分别是 在第二、四象限的公共点.若四边形 为矩形,则 的离心率为

　 (

　)

　A.

　 B.

　 C.

　D.

　例 【例 8 8 】已知双曲线 的左,右焦点分别为 ,点 在双曲线的右支上,且,则此双曲线的离心率 的最大值为

　 (

　) A.

　 B.

　C.

　D.

　 2. 巩固提升综合练习

　习 【练习 1 1 】双曲线2 22 21x ya b  ( , )的左、右焦点分别是 ,过 作倾斜角为 的直线交双2233 2ABM  120 E5 3 2l C C l C , A B AB CC2 32 1 ,FF 14:221  yxC2C B A,2 1 ,CC2 1 BFAF2C2 323262 22 21,( 0, 0)x ya ba b   1 2, F F P1 2| | 4| | PF PF  e43532730 a  0 b 1 2, F F1F  30O

　x

　y

　A

　B

　F 1 F 2

　 曲线右支于 点,若 垂直于 轴,则双曲线的离心率为

　(

　) A.

　B.

　C.

　D.

　习 【练习 2 2 】椭圆2 22 2: 1( 0)x ya ba b     的左、右焦点分别为1 2, F F ,焦距为 c 2 ,若直线 3( ) y x c   与椭圆  的一个交点 M 满足1 2 2 12 MFF MF F    ,则该椭圆的离心率等于

　. 【练习 3 3 】已知椭圆2 22 21( 0)x yM a ba b    ：

　，双曲线2 22 21x yNm n  ：

　．若双曲线 N 的两条渐近线与椭圆 M的四个交点及椭圆 M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆 M 的离心率为

　 ；双曲线 N 的离心率为

　 ． 【练习 4 4 】1F 和2F 分别是双曲线2 22 21( 0, 0)x ra ba b    的两个焦点, A 和 B 是以 O 为圆心,以1F O 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且 是等边三角形,则双曲线的离心为

　(

　) A.

　 B.

　C.

　D. 3 1

　习 【练习 5 5 】在 中, , .若以 为焦点的椭圆经过点 ,则该椭圆的离心率

　 ．

　【练习 6 6 】设 是等腰三角形, ,则以 为焦点且过点 的双曲线的离心率为(

　)

　A.

　 B.

　C.

　D.

　【练习 7 7 】已知 为坐标原点, 是椭圆 的左焦点, 分别为 的左、右顶点.为 上一点,且 轴.过点 的直线 与线段 交于点 ,与 轴交于点 .若直线 经过 的中点,则 的离心率为

　(

　) A.

　 B.21

　C.32

　D.43

　习 【练习 8 8 】(2017 年新课标全国卷 II9)若双曲线 C : （ ， ）的一条渐近线被圆M2MF x6 3 233AB F 2 3 525ABC △ 90 A  3tan4B  , A B Ce ABC  120 ABC   , A B C22 123 12 1 3 1O F ) 0 ( 1 :2222    b abyaxC B A, CP C  PF x A l PF M yE BM OE C312 22 21x ya b  0 a  0 b

　 所截得的弦长为 2,则 C 的离心率为

　(

　) A.2

　B.

　 C.

　 D.

　【练习 9 9 】(2017 年新课标全国卷 III10)已知椭圆 C :2 22 21x ya b  ( 0 , 0   b a )的左、右顶点分别为2 1 , AA ,且以线段2 1 AA 为直径的圆与直线 2 0 bx ay ab    相切,则 C 的离心率为

　(

　) A.63

　 B.33

　 C.23

　 D.13 【练习 10】

　】过双曲线 的左焦点且垂直于 轴的直线与双曲线相交于 两点,以 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点,则双曲线的离心率等于

　. 习 【练习 11 】从椭圆2 22 21( 0)x ya ba b    上一点 P 向 x 轴作垂线,垂足恰为左焦点1F , A 是椭圆与 x 轴正半轴的交点, B 是椭圆与 y 轴正半轴的交点,且 OP AB// ( O 是坐标原点),则该椭圆的离心率是 (

　) A.24

　 B.12

　C.22

　 D.32 【练习 12 】(2017 年新课标全国卷 II)若 1  a ,则双曲线 1222  yax的离心率的取值范围是

　(

　) A. 2 + （ ， ）

　B. 2 2 （ ，）

　C. 2 （1， ）

　 D. 12 （，）

　 【三】双曲线的渐近线

　 222 4 x y   3 22 332 22 21x ya b    0, 0 a b   x , M NMN

　 1. 例题

　【例 1 1 】已知双曲线 C :2 22 21x ya b  ( 0, 0 a b   )的离心率为52,则 C 的渐近线方程为

　(

　) A.14y x  

　B.13y x  

　C.12y x  

　D. y x  

　【例2 2】

　】已知 0 , 0   b a ,椭圆1C 的方程为 12222 byax,双曲线2C 的方程为 12222 byax,1C 与2C 的离心率之积为23,则2C 的渐近线方程为

　(

　) A.

　B.

　C.

　D. 0 y 2x   【例 3 3 】设双曲线 C 经过点   2,2 ,且与2214yx   具有相同渐近线,则 C 的方程为

　；渐近线方程 为

　. 【例 4 4 】(2015 年新课标全国卷 II)已知双曲线过点 ,且渐近线方程为 ,则该双曲线的标准方程为

　 ．

　【例 5 5 】已知双曲线2 22 21( 0, 0)x ya ba b    的离心率为 2，过右焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于0 2 x   y 0 2   y x 0 2y x   4, 312y x  1 、题型一：由双曲线的方程求渐近线 秒杀思路：①已知双曲线方程求渐近线方程:2 2mx ny   2 20 mx ny    ; ②若焦点在 x 轴上，渐近线为 xaby   ；若焦点在 y 轴上，渐近线为 xbay   。

　2 、题型二：有共同渐近线的双曲线方程的设法 秒杀思路：2 2 2 22 2 2 21x y x ya b a b      。

　3 、题型三：已知渐近线方程设双曲线方程 秒杀思路：2 20 ( ) ( ) ax by ax by       。

　4、 题型四：双曲线的焦点到渐近线的距离：

　b

　秒杀公式：焦点到渐近线的距离与顶点到渐近线的距离之比等于双曲线的离心率。

　 B A, 两点. 设 B A, 到双曲线同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且1 26 d d   ，则双曲线的方程为

　 (

　 ) A.2 214 12x y 

　 B.2 2112 4x y 

　C.2 213 9x y 

　D.2 219 3x y 

　【例 6 6 】(2018 年新课标全国卷 III)设1 2F F ， 是双曲线 ) 0 , 0 ( 1 :2222    b abyaxC 的左，右焦点， O 是坐标原点.过2F 作 C 的一条渐近线的垂线,垂足为 P .若 OP PF 61 ,则 C 的离心率为

　(

　) A. 5

　B.2

　C. 3

　D. 2

　 2. 巩固提升综合练习

　【练习 1 1 】若双曲线2 22 21x ya b  的离心率为 3 ,则其渐近线方程为

　(

　) A. x y 2  

　B. x y 2  

　 C.12y x  

　D.22y x  

　 【练习 2 2 】求与双曲线2 219 16x y  有公共的渐近线,且经过点 A 3,2 3  的双曲线的方程. 【练习 3 3 】若双曲线的渐近线方程为 x y 3   ,它的一个焦点是 ( 10,0) ,则双曲线的方程是

　 . 【练习 4 4 】已知 F 是双曲线 C :2 23 ( 0) x my m m    的一个焦点,则点 F 到 C 的一条渐近线的距离为

　(

　) A. 3

　 B.3

　 C. 3m

　D. 3m

　【练习 5 5 】已知双曲线2 2214x yb  的右焦点与抛物线 x y 122 的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线 的距离等于

　(

　) A. 5

　B. 4 2

　 C.3

　 D.5 【练习 6 6 】在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线2 22 21( 0, 0)x ya ba b    的右焦点 ( ,0) F c 到一条渐近线的距离为23c，则其离心率的值是

　．

　【练习 7 7 】双曲线 ) 0 , 0 ( 12222    b abyax的渐近线为正方形 OABC 的边 OC OA, 所在的直线，点 B 为该双曲线的焦点.若正方形 OABC 的边长为 2,则 a =

　.

　三、课后自我检测

　1．已知 ABC  的顶点 , B C 在椭圆2213xy   上,顶点 A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在 BC边上,则 ABC  的周长是

　(

　) A. 2 3

　 B.6

　C. 4 3

　D.12

　2．已知椭圆 C :2 22 21x ya b  ( 0) a b   的左、右焦点为1F 、2F ,离心率为33,过2F 的直线 l 交 C

　于 B A, 两点,若1AFB  的周长为 4 3 ,则 C 的方程为

　(

　) A.2 213 2x y 

　 B.2213xy  

　C.2 2112 8x y 

　 D.2 2112 4x y 

　3．已知经过椭圆2 2125 16x y  的右焦点2F 作垂直于 x 轴的直线 AB ,交椭圆于 B A, 两点,1F 是椭圆的左焦点.（1）求1AF B  的周长; （2）如果 AB 不垂直于 x 轴,1AF B  的周长有变化吗?为什么?

　4．已知 F 为双曲线 116 9:2 2 y xC 的左焦点, Q P, 为 C 上的点,若 PQ 的长等于虚轴长的 2 倍,点   0 , 5 A 在线段 PQ 上,则 PQF  的周长为

　 . 5 ． 过 双 曲 线2 214 3x y  左 焦 点1F 的 直 线 交 双 曲 线 的 左 支 于 N M, 两 点 ,2F 为 其 右 焦 点 , 则2 2MF NF MN   的值为

　 ．

　 6．设抛物线28 y x  上一点 P 到 y 轴的距离是 4,则点 P 到该抛物线焦点的距离是

　(

　) A.4

　 B.6

　C.8

　D.12 7. 抛物线22 ( 0) x py p   的焦点为 F ,其准线与双曲线2 213 3x y  相交于 , A B 两点,若 ABF  为等边三 角形,则 p =

　 . 8．若实数 k 满足 ，则曲线 与曲线 的

　(

　)

　A.焦距相等

　 B.实半轴长相等

　 C.虚半轴长相等

　D.离心率相等 9．已知双曲线2 2: 19 16x yC   的左,右焦点分别为1 2, F F , P 为 C 的右支上一点,且2 1 2PF FF  ,则1 2PFF 的面积等于

　(

　) A.24

　B. 36

　 C. 48

　D. 96

　10．设双曲线 1322 yx 的左、右焦点分别为1F ,2F .若点 P 在双曲线上,且2 1 PFF  为锐角三角形,则2 1PF PF  的取值范围是_______． 11．设椭圆的两个焦点分别为1 2, F F ,过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P ,若1 2FPF  为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是

　(

　) A.22

　 B.2 12

　 C. 2 2 

　D. 2 1 

　12．已知正方形 ABCD ,则以 , A B 为焦点,且过 , C D 两点的椭圆的离心率为

　. 13．已知1 2, F F 是双曲线 ) 0 , 0 ( 12222    b abyax的两个焦点,以线段1 2FF 为边作正三角形1 2MFF ,若边1MF 的中点在双曲线上,则双曲线的离心率为

　(

　)

　A. 3 2 4

　 B. 1 3 

　 C.21 3 

　D. 1 3 

　14．设1 2, F F 是双曲线2 22 2: 1( 0, 0)x yC a ba b    的两个焦点, P 是 C 上一点，若216 , PF PF a   且1 2PFF  的最小内角为 30 ,则 C 的离心率为

　.

　0 9 k  2 2125 9x yk 2 2125 9x yk 

　 15．已知 是椭圆 的左,右焦点， 是的左顶点,点 在过 且斜率为的直线上, 为等腰三角形, ,则 的离心率为 (

　) A.32

　B.21

　 C.31

　 D.41 16．已知双曲线 13:22  yxC , O 为坐标原点, F 为 C 的右焦点,过 F 的直线与 C 的两条渐近线的交点分别为 N M, .若 OMN  为直角三角形,则 MN =

　(

　) A.23

　B.3

　C. 3 2

　 D.4 17．双曲线 的渐近线与圆 相切,则 r =

　(

　) A.

　 B.2

　 C.3

　 D.6 18．设 P 是椭圆2 219 5x y  上一点，, M N 分别是两圆   221 :2 1 C x y    和   222 :2 1 C x y    上的点，则 PM PN  的最小值和最大值分别为（

　 ）

　A．4，8 B．2，6 C．6，8 D．8，12

　 2 1 ,FF ) 0 ( 1 :2222    b abyaxC A C P A631 2PFF △1 2120 FF P    C13 62 2 y x) 0 ( ) 3 (2 2 2    r r y x3